I. Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
Définition 1.
On appelleR-espace vectoriel, ou espace vectoriel réel, un ensemble non videEmuni de deux applications :
1. Une loi de composition interne (addition, notée +) : E×E −→ E
(~u, ~v) 7−→ ~u+~v vérifiant :
∀(~u, ~v, ~w)∈E3, (~u+~v) +w~ =~u+ (~v+w)~ (associativité)
∃~0∈E / ∀~u∈E, ~u+~0 =~0 +~u=~u (élément neutre)
∀~u∈E, ∃−−−→
(−u)∈E / ~u+−−−→
(−u) =−−−→
(−u) +~u=~0 (symétrique)
∀(~u, ~v)∈E2, ~u+~v=~v+~u (commutativité)
2. Une loi de composition externe (multiplication par un réel, notée .) : R×E −→ E
(λ, ~u) 7−→ λ.~u vérifiant :
∀(λ, µ)∈R2, ∀~u∈E, λ.(µ.~u) = (λ.µ).~u (associativité)
∀~u∈E, 1.~u=~u (élément neutre)
∀λ∈R, ∀(~u, ~v)∈E2, λ.(~u+~v) =λ.~u+λ.~v (distributivité à gauche)
∀(λ, µ)∈R2, ∀~u∈E, (λ+µ).~u=λ.~u+µ.~u (distributivité à droite)
Définition 2.
1. Un élément~ud’un espace vectorielEs’appelle unvecteurdeE.
S’il n’y a pas d’ambiguïté, la flèche peut être omise, et on notera simplementu∈E. 2. Les réelsλsont parfois appelésscalaires.
3. Levecteur nulpourra, suivant le contexte, être noté~0,0E, ou encore simplement0.
Remarques.
1. "espace vectoriel" sera souvent noté en abrégé "e.v."
2. Le produit par un réelλ.usera souvent abrégé enλu.
3. Un e.v. contient toujours au moins un vecteur : le vecteur nul~0.
Exemple 1.
Les ensembles suivants sont des espaces vectoriels : 1. Rn, ensemble desn-uplets(x1, x2, ...xn)
2. Mn,1(R), ensemble des matrices colonnes avecnlignes / coefficients 3. Plus généralement, Mn,p(R), ensemble des matrices ànlignes etpcolonnes 4. Rn[X], ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal àn
5. R[X], ensemble des polynômes
6. RD, encore notéF(D,R), ensemble des fonctionsf:D−→R 7. RN, ensemble des suites réelles
8. Cn(R), ensemble des fonctions de classeCn
9. C∞(R), ensemble des fonctions indéfiniment dérivables
Proposition 1. 1. ∀~u∈E, 0.~u=~0 2. ∀λ∈R, λ.~0 =~0 3. ∀~u∈E, ∀λ∈R, λ.~u=~0 ⇐⇒λ= 0 ou ~u=~0
Définition 3.
SoitEun e.v. etF ⊂Eun sous-ensemble.
On dit queFest unsous-espace vectorieldeE(en abrégé s.e.v.) si : 1. F 6=∅
2. ∀(u, v)∈F2, u+v∈F (stabilité par somme)
3. ∀λ∈R, ∀u∈F, λ.u∈F (stabilité par le produit par un réel)
Remarques.
1. Pour le premier point, on montre généralement que0E∈F.
2. Les deux derniers points peuvent se montrer d’un seul coup : ∀λ∈R, ∀(u, v)∈F2, λ.u+v∈F
Théorème 1.
Un s.e.v.F d’un e.v.Eest lui-même un e.v. (grâce à la structure présente surE).
Exemple 2.
{0E}etEsont deux s.e.v. de l’e.v.E.
Exemple 3.
L’ensembleSn(R)des matrices symétriques deMn(R)est un e.v. (Pour rappel, une matriceAest ditesymétriquesitA=A.) 1. La matrice nulle est clairement symétrique :tOn=On.
2. Soitλ∈R,(A, B)∈(Sn(R))2. On a, en utilisant les propriétés de la transposition :
t(λA+B) =t(λA) +tB=λtA+tB=λA+B. Donc,λA+B∈Sn(R).
Sn(R)est donc bien un s.e.v. deMn(R), donc est un e.v.
Exemple 4.
L’ensembleF =
f∈ C1(R)|f0−2f= 0 est un e.v.
1. Soit f0:x7−→0 la fonction nulle. Alors, on a f00= 0 (=f0), donc f00−2f0= 0−2×0 = 0.
2. Soitλ∈R,(f, g)∈F2. On a, par linéarité de la dérivation :
(λf+g)0−2(λf+g) =λf0+g0−2λf−2g=λ(f0−2f) +g0−2g=λ×0 + 0 = 0, donc λf+g∈F. Fest donc bien un s.e.v. deC1(R), donc est un e.v.
Théorème 2.
L’intersection de deux s.e.v. est un s.e.v.
Plus généralement une intersection T
i∈IEi de s.e.v. est un s.e.v.
Démonstration.
1. ~0∈Eet~0∈F, donc~0∈E∩F
2. Soitλ∈R,(u;v)∈(E∩F)2. Alors, en particulier,(u;v)∈E2, donc puisqueEest un s.e.v. alorsλu+v∈E.
De la même manière, on a aussiλu+v∈F. Donc,λu+v∈E∩F. E∩Fest bien également un s.e.v.
Remarque.
Ce n’est pas le cas de la réunion.
Par exemple, considérer V ect 1 0
!
∪V ect 0 1
! .
Définition 4.
SoitEun e.v. et(ui)1≤i≤nune famille de vecteurs deE.
Unecombinaison linéairedes(ui)1≤i≤nest un vecteur de la forme
n
X
i=1
λiui=λ1u1+...+λnun, où (λi)1≤i≤n ∈Rn.
Exemple 5.
Le vecteur 9
−20
!
est une combinaison linéaire des vecteurs 1 4
! et 3
−2
!
, puisque l’on a 9
−20
!
=−3 1 4
! + 4 3
−2
! .
Définition 5.
SoitEun e.v. et(ui)1≤i≤nune famille de vecteurs deE.
Lesous-espace vectoriel engendrépar les(ui)1≤i≤nest l’emsemble des combinaisons linéaires des(ui)1≤i≤n. On le noteV ect((ui)1≤i≤n).
On a V ect((ui)1≤i≤n) = ( n
X
i=1
λiui
(λi)1≤i≤n∈Rn )
.
Théorème 3.
Comme son nom l’indique,V ect((ui)1≤i≤n)est un s.e.v. deE, donc est un e.v.
Exemple 6.
F =
x y z
∈ M3,1(R)
3x−2y+z= 0
est un s.e.v. deM3,1(R).
En effet :
F =
x y z
∈ M3,1(R)
3x−2y+z= 0
=
x y z
∈ M3,1(R)
z=−3x+ 2y
=
x y
−3x+ 2y
∈ M3,1(R)
(x, y)∈R2
=
x
1 0
−3
+y
0 1 2
∈ M3,1(R)
(x, y)∈R2
=V ect
1 0
−3
,
0 1 2
Remarque.
Plus généralement, l’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène est un e.v.
Exemple 7.
F =
( a b b a
!
∈ M2(R)
a, b∈R )
=V ect
1 0 0 1
!
; 0 1 1 0
!!
est un s.e.v. deM2(R).
Exemple 8.
F ={P ∈R2[X]/P(1) = 0}=V ect(x2−1, x−1) est un s.e.v. deR2[X].
Exemple 9.
L’ensemble des suites géométriques de raison2est un s.e.v. deRN. Ce n’est pas le cas de l’ensemble des suites géométriques.
II. Familles remarquables d’un e.v.
Définition 6.
SoitEun e.v. et(ui)1≤i≤nune famille de vecteurs deE.
La famille(ui)1≤i≤nest ditegénératricedeEsi tout vecteuru∈Es’exprime comme combinaison linéaire des(ui)1≤i≤n:
∀u∈E, ∃(λi)1≤i≤n∈Rn / u=
n
X
i=1
λiui.
Exemple 10.
a.
( 1 0
!
; 0 1
!)
est génératrice deM2,1(R), puisque ∀(x, y)∈R2, x y
!
=x 1 0
! +y 0
1
! .
b.
( 1 0
!
; 0 1
!
; −7 31
!)
est également génératrice deM2,1(R), puisque cette fois, x y
!
=x 1 0
! +y 0
1
!
+ 0 −7 31
! . Il ne s’agit pas de la seule décomposition possible, mais nous n’avons ici pas besoin du3evecteur.
c.
( 1 0
!)
n’est pas génératrice deM2,1(R), puisque l’on ne peut pas exprimer un vecteur si sa2ecoordonnée est non nulle.
Exemple 11.
La famille{1, X, X2}est génératrice deR2[X], puisque tout polynômePde degré inférieur ou égal à2peut bien s’écrire sous la forme P(X) =aX2+bX+c×1, ie comme combinaison linéaire de1,XetX2.
Théorème 4.
Une famille génératrice deRn(ou deMn,1(R)) comporte au moinsnvecteurs.
Remarque.
Ce théorème est bien illustré par les exemples précédents.
Théorème 5.
1. Si on ajoute un vecteur à une famille génératrice, alors la famille nouvellement obtenue est également génératrice.
2. Si on enlève un vecteur à une famille génératrice, alors la famille nouvellement obtenue est génératrice si, et seule- ment si, ce vecteur s’exprime comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille initiale.
Démonstration.
1. Soit(ui)1≤i≤nune famille génératrice deE.
Soitx∈E. Alors, ∃(λi)1≤i≤n∈Rn / x= X
1≤i≤n
λiui.
Soitvun quelconque vecteur, on a alors par exemple x=λ1u1+...+λnun+ 0.v.
Donc la famille(u1, ..., un, v)est également génératrice deE.
2. a. Soit(ui)1≤i≤nune famille génératrice deE.
Supposons, quitte à modifier les indices, queuns’exprime comme combinaison des(ui)1≤i≤n−1: un=
n−1
X
i=1
µiui.
Soitx∈E. On peut exprimer x=
n
X
i=1
λiui=
n−1
X
i=1
λiui+λnun=
n−1
X
i=1
λiui+λn n−1
X
i=1
µiui=
n−1
X
i=1
(λi+λnµi)ui. Donc,(ui)1≤i≤n−1est génératrice deE.
b. Si par contre, ce vecteur ne s’exprime pas en fonction des autres, alors la famille obtenue en l’enlevant n’est plus génératrice (puisque l’on ne peut en particulier pas l’obtenir).
Remarque.
Ce théorème est également bien illustré par l’exemple précédent, pointsa.etb., où le vecteur −7 31
!
est en quelques sortes inutile.
Théorème 6.
Toute famille qui engendre une famille génératrice est elle-même génératrice.
Démonstration.
SoitF= (ui)i∈Iune famille génératrice deE, etG= (vk)k∈Kune famille qui engendreF.
Alors, ∀i∈I, ∃(µi,k)k∈K∈RK / ui= X
k∈K
µi,kvk.
Soit maintenantx∈E. Alors, puisqueFest génératrice deE, on peut dire que ∃(λi)i∈I / x=X
i∈I
λiui.
Remplaçons : x=X
i∈I
λi
X
k∈K
µi,kvk=X
k∈K
µi,k
X
i∈I
λi
!
vk∈V ect(G).
Donc,GengendreEégalement.
Exemple 12.
La famille{1, X−1, X2−2X−1}est génératrice deR2[X], carX=X−1 + 1etX2=X2−2X−1 + 2(X−1) + 3×1.
Définition 7.
SoitEun e.v. et(ui)1≤i≤nune famille de vecteurs deE.
Les vecteurs de la famille(ui)1≤i≤nsont ditslinéairement indépendants, ou forment une famillelibresi la seule combi- naison linéaire de ces vecteurs qui soit égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls :
∀(λi)1≤i≤n∈Rn,
n
X
i=1
λiui=~0 ⇒ ∀i∈[[1;n]], λi= 0.
Définition 8.
Une famille de vecteurs qui n’est pas libre est diteliée.
Il existe donc une combinaison linéaire non triviale entre les(ui)1≤i≤n. (l’un d’eux s’exprime en fonction des autres)
Remarque.
Prendre unuidont leλiest non nul, l’isoler, puis diviser parλipour l’exprimer en fonction des autres vecteurs de la famille.
Exemple 13.
a. La famille ( 1
0
!
; 0 1
!)
est libre. En effet, résolvons : x 1 0
! +y 0
1
!
= 0 0
!
⇐⇒ x y
!
= 0 0
!
⇐⇒ x=y= 0.
b.
( 1 0
!
; 0 1
!
; 1 1
!)
n’est pas libre, puisqu’il existe une relation non triviale entre ces trois vecteurs : 1 0
! + 0
1
!
= 1 1
! .
c.
1 0 0
est libre. En effet, résolvons : x
1 0 0
=
0 0 0
⇐⇒ x= 0.
d.
1 0 0
;
0 0 1
;
0 0 0
est également liée, puisque l’on a par exemple : 0
1 0 0
+ 0
0 0 1
+ 57
0 0 0
=
0 0 0
.
e.
( 4
−2
!
; −6 3
!)
est une famille liée, car 3 4
−2
!
+ 2 −6 3
!
= 0 0
! .
Exemple 14.
Etudions la famille{1, X, X2}.
En effet, soit(a, b, c)∈R3tels queaX2+bX+c×1 = 0, et notonsPle polynômeP(X) =aX2+bX+c.
Prenons alorsX= 0, on obtient alorsP(0) =c= 0.
Puis, dérivons :P0(X) = 2aX+b.
Mais cette quantité est nulle, puisquePest le polynôme nul. On a alors en particulierP0(0) = 2a×0 +b=b= 0.
Et enfin, à nouveau :P00(X) = 2a= 0, d’oùa= 0.
Bilan,a=b=c= 0, donc la famille est libre.
Théorème 7.
1. Toute famille contenant~0est liée.
2. Une famille constituée d’un seul vecteur est libre si, et seulement si, ce vecteur est non nul.
Théorème 8.
Une famille de deux vecteurs est libre si, et seulement si, ils ne sont pas colinéaires (ie ils ne sont pas multiples l’un de l’autre).
Théorème 9.
Une famille libre deRn(ou deMn,1(R)) comporte au plusnvecteurs.
Théorème 10.
1. Si on enlève un vecteur à une famille libre, alors la famille nouvellement obtenue est également libre.
2. Si on ajoute un vecteur à une famille libre, alors la famille nouvellement obtenue est libre si, et seulement si, ce vecteur ne s’exprime pas comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille initiale.
Démonstration.
1. Supposons que la famille(ui)1≤i≤n+1est libre.
Soit alors une famille de réels(λi)1≤i≤ntels que
n
X
i=1
λiui=~0. Alors
n
X
i=1
λiui+ 0un+1=~0.
Or,(ui)1≤i≤n+1est libre, donc tous les coefficients valent 0 :λ1=...=λn= 0. (λn+1valait déjà 0).
Ceci signifie bien que la famille(ui)1≤i≤nest libre.
2. a. Si on ajoute un vecteur qui est combinaison linéaire des autres, alors il est évident qu’il existe une relation non triviale entre tous les vecteurs de la nouvelle famille. Celle-ci est donc liée.
b. Réciproquement, supposons le vecteur ajouté nous donne une famille liée.
Alors, ∃(λi)1≤i≤n+1, non tous nuls, tels que
n+1
X
i=1
λiui=~0.
Siλn+1 = 0, alors on se retrouve avec
n
X
i=1
λiui =~0, et comme la famille(ui)1≤i≤nest libre, alors tous lesλisont nuls.
Contradiction.
C’est donc queλn+16= 0, et donc on peut exprimerun+1(le vecteur ajouté) en fonction des autres : un+1=− 1
λn+1 n
X
i=1
λiui.
Théorème 11.
Une famille de vecteurséchelonnéeest libre.
Exemple 15.
1. La famille
1 0 0
;
1 1 0
;
1 1 1
est échelonnée, donc libre dansR3.
2. La famille
2 0 0 0
;
3 2 0 0
;
1 1 1 1
est échelonnée, donc libre dansR4.
Exemple 16.
La famille de polynômes
1, X+ 3, X2+X est échelonnée en degré, donc libre dansR2[X].
Définition 9.
SoitEun e.v. et(ei)i∈Iune famille de vecteurs deE.
La famille(ei)i∈Iest appeléebasedeEsi elle est à la fois génératrice deEet libre.
Théorème 12.
La famille (ei)1≤i≤n est une base de E si, et seulement si, tout vecteur u ∈ E s’exprime de manière unique comme combinaison linéaire des(ei)i∈I :
∀u∈E, ∃! (λi)i∈I ∈RI / u=X
i∈I
λiei.
Les coefficients(λi)i∈Isont alors appeléscoordonnéesdu vecteurudans la base(ei)i∈I.
Démonstration.
Remarque.
Tout espace vectoriel admet une base.
Définition 10.
La base la plus naturelle d’un espace vectoriel est appelébase canonique.
Exemple 17.
Voici les bases canoniques des e.v. de référence.
1. Rn: {(1,0, ...,0),(0,1,0, ...,0), ...,(0, ...,0,1)}
2. Mn,1(R):
1 0 ... 0
,
0 1 ... 0
, ...,
0 0 ... 1
3. M2(R):
( 1 0 0 0
! , 0 1
0 0
! , 0 0
1 0
! , 0 0
0 1
!)
4. M2,3(R):
( 1 0 0 0 0 0
!
, 0 1 0 0 0 0
!
, 0 0 1 0 0 0
!
, 0 0 0 1 0 0
!
, 0 0 0 0 1 0
!
, 0 0 0 0 0 1
!)
5. Rn[X]:
1, X, X2, ..., Xn 6. R[X]:
1, X, X2, X3, ...
7. RN: {(1,0,0, ...),(0,1,0, ...),(0,0,1,0, ...), ...}
Définition 11.
On dit queEestde dimension finies’il existe une base deEcomportant un nombre fini de vecteurs.
Le nombre de vecteurs d’une base deEest appelédimensiondeE. On la notedim(E).
Exemple 18.
Voici les dimensions de quelques e.v.
1. dim(Rn) =n 2. dim(Mn,1(R)) =n 3. dim(M2(R)) = 4
4. dim(M2,3(R)) = 6, dim(Mn,p(R)) =np 5. dim(Rn[X]) =n+ 1
Remarque.
Toutes les bases deEont donc le même cardinal.
Théorème 13.
SoitEun espace vectoriel de dimensionn. Alors :
1. Une famille génératrice deEcomporte au moinsnvecteurs.
2. Une famille libre deEcomporte au plusnvecteurs.
Exemple 19.
La famille {(1,2,1),(2,1,3),(3,1,1),(1,4,3)} est liée, cardim(R3) = 3.
Théorème 14. famille génératrice minimale SoitEun espace vectoriel de dimensionn.
Une famille génératrice deEcomportantnvecteurs est une base deE.
Théorème 15. famille libre maximale SoitEun espace vectoriel de dimensionn.
Une famille libre deEcomportantnvecteurs est une base deE.
Exemple 20.
1. La famille
1 1 0
;
1 0 1
;
1 2 1
est une base deM3,1(R).
2. La famille
1;X−1; (X−1)2 est une base deR2[X].
Remarque.
Si on a une famille comportant "le bon nombre de vecteurs", on peut donc se contenter de montrer l’un des deux (génératrice ou libre).
Ce sera d’ailleurs la plupart du temps le cas, puisque nous travaillons généralement dans l’un des espaces vectoriels de références présentés précédemment, et dont nous connaissons la dimension.
Théorème 16.
Une famille denvecteurs engendre un espace vectoriel de dimension au plusn, avec égalité si, et seulement si, la famille est libre.
Théorème 17.
SoitEun espace vectoriel, etFun s.e.v. deE.
Alors,dim(F)≤dim(E), avec égalité si, et seulement si,F =E.
Exemple 21.
( 1 2
!
; 3 5
!)
est une famille libre.
On s’en rend compte en calculant par exemple le produit en croix (encore appelé déterminant)1×5−3×2 =−16= 0.
Elle engendre donc un espace vectoriel de dimension2.
Or, nous sommes précisément dansR2, qui est de dimension2.
C’est donc que V ect ( 1
2
!
; 3 5
!)
=R2.
III. Rang
Définition 12.
SoitEun e.v. et(ui)1≤i≤nune famille de vecteurs deE.
On appellerangde la famille la dimension du s.e.v. engendré par les(ui)1≤i≤n. On le noterg(ui)1≤i≤n.
Théorème 18.
Le rang d’une famille de vecteurs (ui)1≤i≤n est donc égal au cardinal de la plus grande famille libre contenue dans (ui)1≤i≤n.
Théorème 19.
Une famille libre denvecteurs est donc de rangn.
Exemple 22.
1 2 1
−2
;
1
−1 2 1
;
2 1 3
−1
;
0 3
−1 3
est de rang2car les deux premiers vecteurs (non colinéaires) engendrent les deux autres.
Exemple 23.
X3+X2, X3−X, X+ 1est libre, donc de rang3.
Définition 13.
SoitA∈ Mn,p(R).
LerangdeA, notérg(A), est le rang de la famille de ses vecteurs colonnes (ou de ses vecteurs lignes) dansMn,1(R).
Exemple 24.
rg
1 2 3 3 4 7 2 3 5
= 2, car les deux premières colonnes ne sont pas colinéaires, mais engendrent la dernière.
Théorème 20.
SoitA∈ Mn,p(R). Alors : 1. rg(tA) =rg(A)
2. rg(A) = 0 ⇐⇒ A=On,p
3. rg(A) =rg(B), siBest une matrice obtenue à partir deApar des opérations sur les lignes ou colonnes deA.
Théorème 21.
SoitA∈ Mn(R). AlorsAest inversible si, et seulement si,rg(A) =n.
Conséquence.Une matrice carrée est inversible si, et seulement si, ses colonnes forment une famille libre (et donc une base).
IV. Changement de base
Définition 14.
SoitEun espace vectoriel,Bune base deE, etB0une famille de vecteurs deE.
La matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs deB0dans la baseBest appeléematrice des coordonnées deB0dans la baseB, et est notéePB,B0.
Théorème 22.
SoitEun espace vectoriel,Bune base deE, etB0une famille de vecteurs deE. Alors,PB,B0 est inversible si, et seulement si,B0est une base deE.
Dans ce cas, on aPB,B−10 =PB0,B.
Définition 15.
SiBetB0sont deux bases deE, alorsPB,B0est appeléematrice de passagede la baseBà la baseB0.
Théorème 23. formule de changement de base
SoitBetB0deux bases deE, etu∈E, ayant pour coordonnées le vecteur colonneXdans la baseBetX0dans la baseB0. Alors :
X =PB,B0X0
Exemple 25.
SoitBla base canonique, et B0= ( 2
1
!
; 5 3
!) .
On a PB,B0 = 2 5 1 3
!
, et PB0,B= 3 −5
−1 2
! .
Soitu∈ M2,1(R), s’écrivant dans la base canonique : X = 7
−3
!
= 7e1−3e2.
Ses coordonnées dans la baseB0sont données par X0=PB0,BX = 36
−13
! .
En effet, on a 36 2 1
!
−13 5 3
!
= 7
−3
! .
