DS 02

(1)

TM1-TM2

Devoir surveillé de mathématiques de 3 heures.

I ( 6 points)

Un marchand de glaces ambulant vend, sur une plage, des glaces qu'il transporte dans un seau isotherme. II s'aperçoit qu'à la fin de son circuit les glaces restantes ne supportent pas le retour au fournisseur. II décide de faire une étude statistique de ses ventes sur une saison pour un circuit sur la plage, en fonction de la température ambiante, afin d'avoir le moins de pertes possibles.

II obtient :

Température t en ° C 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Nombre de glaces vendues, q 4 9 12 16 25 32 40 49 64 72 1°) Le tracé du nuage de points de coordonnées (t ; q) , dans un repère, ne fournit pas un alignement suffisant. Le marchand décide de poser y= q^.

Recopier et compléter le tableau suivant : (Arrondi à 0,1 près)

x=t 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

y= q ₂ _3,5 _6,3

2°) On choisit pour unité graphique le centimètre ; on commencera la graduation à 25 °C sur l'axe des abscisses.

Construire le nuage des points de coordonnées (x ; y).

3°) Déterminer les coordonnées du point moyen G et placer ce point sur le graphique.

4°) Déterminer les coordonnées du point moyen G₁ du nuage formé des cinq premiers points et placer ce point sur le graphique.

5°) Déterminer les coordonnées du point moyen G2 du nuage formé des cinq derniers points et placer ce point sur le graphique.

6°) Déterminer l'équation de la droite

(

^{G G}¹ ²

)

. La tracer sur le graphique.

7°) Vérifier par un calcul que le point G appartient à

(

^{G G}¹ ²

)

^.

8°) La météo annonce pour le lendemain une température de 38 °C ; Calculer une estimation de yà deux décimales et en déduire une estimation du nombre de glaces q qu’il peut espérer vendre ce jours-là.

9°) Avec votre calculette trouver l’équation de la droite de régression par la méthode des moindres carrés de y en x. On donnera les résultats à 0,01près.

II ( 4 points)

Les résultats seront arrondis à 10⁻².

Un gouvernement envisage de baisser un impôt de 30 % en cinq ans.

1°) On suppose que le pourcentage de baisse est le même chaque année.

Calculer le pourcentage de baisse annuel.

2°) La première année, cet impôt baisse de 5 % ; la deuxième année, la baisse est de 1 % et, la troisième année, de 3 %.

Quelle est la baisse, en pourcentage, de cet impôt au terme de ces trois premières années ? 3°) Pour atteindre son objectif, quel pourcentage annuel de baisse doit décider ce

gouvernement, en supposant que ce pourcentage est le même sur les deux dernières années ?

(2)

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III ( 5 points)

Soit f la fonction définie sur

[

⁻^{4; 4}

]

^{par :} ^{f x}^{( )}⁼²^x³⁻⁶^x⁻²

1°) Calculer f x et vérifier que '( ) ^{f x}^{'( )}⁼⁶⁽^x⁻¹⁾

(

^x⁺¹

)

^.

2°) En déduire le signe de f x . '( )

3°) Dresser le tableau de variations de f . 4°) Construire la courbe

C

_pour^x^{∈ −}

[

^{4; 4}

]

^.

5°) À l'aide du graphique, donner un encadrement d'amplitude 0,5 de chacune des solutions de l'équation ( )f x =0. En déduire le signe de f x( ).

6°) Donner l’équation de la tangente à

C

au point d’abscisse x₀ =0

IV ( 5 points)

Un pays en voie de développement comptait, en l'an 2003, trois millions d'enfants dont l'âge était compris entre six et onze ans. Seuls 700 000 d'entre eux étaient scolarisés.

Dans tout cet exercice, on comparera la « population d'âge scolaire », c'est-à-dire le nombre des enfants dont l'âge est compris entre six et onze ans, et la « population scolarisée », c'est-à-dire le nombre des enfants d'âge scolaire qui sont inscrits dans une école. La population d'âge scolaire de ce pays augmente de 2 % par an et la population scolarisée augmente de 150 000 par an.

1°) Recopier et compléter le tableau suivant :

Année Population d'âge scolaire Population scolarisée

2003 3 000 000 700 000

2004 2005 2006

2°) Quel est le pourcentage de la population scolarisée dans ce pays en 2003 ? en 2006 ? 3°) n est un nombre entier positif. On note P la population d'âge scolaire de ce pays en l'an _n

2003+n et S la population scolarisée cette même année. Quelles sont les valeurs de P_n 0 et S0 ? 4°) Exprimer P_n₊₁ en fonction de P et montrer que la suite (_n P ) est une suite géométrique. En _n déduire l'expression de P en fonction de n. _n

5°) Exprimer S_n₊₁ en fonction de S et montrer que la suite (_n S ) est une suite arithmétique. En _n déduire l'expression deS en fonction de n. _n

6°) Calculer le pourcentage de la population scolarisée en 2008.

7°) En s'aidant de la calculatrice, déterminer en quelle année on peut espérer que, pour la première fois, plus de la moitié de la population d'âge scolaire sera scolarisée.

(3)

Corrigé du DS 02

Exercice I.

Température t en ° C 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Nombre de glaces vendues, q 4 9 12 16 25 32 40 49 64 72 1. Le tracé du nuage de points de coordonnées (t ; q) , dans un repère, ne fournit pas un alignement suffisant. Le marchand décide donc de poser y= q^.

On a, arrondi à 0,1 près :

x=t 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

y= q ₂ ₃ _3,5 ₄ ₅ _5,7 _6,3 ₇ ₈ _8,5

2. On choisit pour unité graphique le centimètre ; on commencera la graduation à 25 °C sur l'axe des abscisses.

Le nuage des points de coordonnées (x ; y) est donnée en fin d’exercice.

3. Le point moyen G a pour coordonnées (moyenne des abscisses,moyenne des ordonnées) soit, pour les 10 valeurs données : ^G(^31.5;5.3)^.

4. Les coordonnées du point moyen G1 du nuage formé des cinq premiers points sont (^29;3.5) 5. Les coordonnées du point moyen G₂ du nuage formé des cinq derniers points sont (^{34; 7.1})^. 6.

(

^{G G}¹ ²

)

n’est pas une droite verticale, elle admet donc une équation du type y = ax + b.

Comme G₁ et G₂ sont deux points de la droite, le coefficient directeur est donné par

2 1

7,1 3,5 0, 72 34 29

G G

y y

a x x

− −

= = =

− − .

Comme G₁ est sur la droite, ses coordonnées vérifient l’équation et on a :

1 0.72 1 3.5 0.72 29 17.38

G G

y = x + ⇔ =b b − × = − . Ainsi

(

^{G G}¹ ²

)

^:^y⁼^{0, 72}^x⁻^17,38^.

7. Pour vérifier par un calcul que le point G appartient à

(

^{G G}¹ ²

)

, il suffit de remplacer ses coordonnées dans l’équation.

On a y_G =5.3 et 0, 72x_G−17,38=0, 72 31, 5 17, 38× − =5.3 : le point G est donc sur la droite.

8. La météo annonce pour le lendemain une température de 38 °C (x) : ainsi à l’aide de l’approximation affine, on obtient y=0, 72 38 17, 38× − ⇔ ≈y 9, 98.

Comme y= q, on trouve q≈9,98² ≈99, 6 soit envion 100 ventes espérées ce jour là.

9. L’équation de la droite de régression par la méthode des moindres carrés de y en x est

0.72 17.34

y= x− .

(4)

Exercice II

Les résultats seront arrondis à 10⁻².

Un gouvernement envisage de baisser un impôt de 30 % en cinq ans.

1. On suppose que le pourcentage de baisse est le même chaque année.

> Le coefficient multiplicateur global est alors de 1 ³⁰ 0.7

−100 = .

> Soit t le pourcentage moyen de baisse : le coefficient annuel moyen est alors de ( )^{1 t}⁻ ⁵^.

> On a alors ( )¹⁻^t ⁵ ⁼^0.7^{⇔ − =}¹ ^t ^0.7¹⁵ ^{⇔ = −}^t ^{1 0.7}¹⁵ ⁼^{0, 06885} soit en moyenne 7% de baisse annuelle.

2. La première année, cet impôt baisse de 5 % ; la deuxième année, la baisse est de 1 % et, la troisième année, de 3 %.

Au terme de ces trois premières années, le taux d’évolution est 0.95 0,99 0,97 1× × − soit environ 9% de baisse.

3. Soit t le taux cherché : on a 0.95 0,99 0, 97 ( )1 ² 0, 7 1 ^0.7 12%

0.95 0,99 0,97

t t t

× × × − = ⇔ − = ⇔ ≈

× × .

Exercice III

Soit f la fonction définie sur

[

⁻^{4; 4}

]

^{par :} ^{f x}^{( )}⁼²^x³⁻⁶^x⁻²

1. D’après le cours, f x'( )=6x²−6.

Or ⁶⁽^x⁻¹⁾

(

^x^{+ =}¹

)

⁶

(

^x²^{− + − =}^x ^x ¹

) (

⁶ ^x²^{− =}¹

)

⁶^x²⁻⁶ donc on a bien

( )

'( ) 6( 1) 1

f x = x− x+ ^.

2 / 3. Dressons le tableau de signes de f x : '( ) x-1 = 0 quand x = 1.

x+1 = 0 quand x = -1.

On en déduit :

4. Voici la courbe

C.

5. Graphiquement, f(x) = 0 quand C coupe l’axe des abscisses.

On lit que cela a lieu en 3 nombre a, b et c avec

2 a 1.5

− ≤ ≤ − , −0.5≤ ≤b 0 et 1.5≤ ≤c 2. On en déduit que :

x +∞ -1 1 +∞

x-1 - - 0 +

x+1 - 0 + +

f ’(x) + 0 - 0 + f (x)

…

ր 2

ց -6

ր

…

x -4 a b c 4 f(x) - 0 + 0 - 0 +

2 - 1

- 2

2

- 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6

0 1

1

x y

(5)

6. L’équation de la tangente à

C

au point d’abscisse x₀ =0 est ^y⁼ ^f⁽⁰⁾⁺ ^f ^'(0)(^x⁻⁰)^{: or,}

(0) 2

f = − et f'(0)= −6 donc T : y = -6x –2.

Exercice IV

Un pays en voie de développement comptait, en l'an 2003, trois millions d'enfants dont l'âge était compris entre six et onze ans. Seuls 700 000 d'entre eux étaient scolarisés.

Dans tout cet exercice, on comparera la « population d'âge scolaire », c'est-à-dire le nombre des enfants dont l'âge est compris entre six et onze ans, et la « population scolarisée », c'est-à-dire le nombre des enfants d'âge scolaire qui sont inscrits dans une école. La population d'âge scolaire de ce pays augmente de 2 % par an et la population scolarisée augmente de 150 000 par an.

1. Rappelons pour augmentater une valeur de 2%, on la multiplie par 1,02.

Année Population d'âge scolaire

Pn

Population scolarisée

Sn

2003 3 000 000 700 000

2004 3 060 000 850 000

2005 3 121 200 1 000 000

2006 3 183 620 1 150 000

2. La proportion de population scolarisée dans ce pays en 2003 est de ⁷⁰⁰⁰⁰⁰ ⁷ 23,3%

3000000=30≈ . En 2006, elle est de ^1150000 36,1%

3183620 ≈ .

3. n est un nombre entier positif. On note P la population d'âge scolaire de ce pays en l'an _n 2003 n+ et S la population scolarisée cette même année. _n

P₀ et S₀ correspondent à 2003 donc P₀ =3000 000 et S₀ =700 000. 4.

La population d’âge scolaire augmente de 2% de l’année n à l’année suivante n+1 : elle est donc multiplié par 1,02 et on a P_n₊₁=1, 02P_n : cette suite est donc géométrique, puisqu’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par 1.02.

D’après le cours, on a alors : P_n = ×P₀ 1, 02ⁿ d’où P_n =3 000 000 1.02× ⁿ. 5.

La population scolarisée augmente de 150 000 de l’année n à l’année suivante n+1 : on a donc S_n₊₁=S_n+150 000 : cette suite est donc artihmétique, puisqu’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours 150 000.

D’après le cours, on a alors : S_n=S₀+150 000n d’où S_n=700 000 150 000+ n. 6. 2008 correspond à n = 5 et on a, d’après la question précédente :

(6)

5 700 000 150 000 5 1450 000

S = + × = et P₅ =3 000 000 1.02× ⁵ =3312 240 donc la proportion cherchée est

5 5

43,8%

p S

= P ≈ .

7. En s'aidant de la calculatrice, déterminons en quelle année on peut espérer que, pour la première fois, plus de la moitié de la population d'âge scolaire sera scolarisée.

On cherche donc à trouver le premier n tel que 700 000 150 000

0.5 0.5

3000 000 1.02

n

n n

S n

P

≥ ⇔ + ≥

× : on teste donc différentes valeurs de n et on trouve n = 7 soit l’année 2010.