D1900. Un X xe.
Soient un triangleABCet un point P variable sur la droiteBCde sorte queCest situ´e entreB etP et les cercles inscrits aux trianglesABP etACP se rencontrent en deux pointsD etE.
Montrer que la droite (DE) passe par un point fixeX ind´ependant de la position deP.
Commen¸cons par montrer un r´esultat pr´eliminaire (sans doute classique) : On consid`ere un triangleABC et on note :
-O le centre de son cercle inscritC,
-B0 etC0les point de contact deCavec [AC] et [AB], -I l’intersection de (B0C0) et de la bissectrice (BO), -α, β,γles demi-angles en A,B,C du triangle.
Comme B0 et C0 sont sym´etrique par rapport `a la bissectrice (AO) les droites (AO) et (B0C0) sont or- thogonale. On a donc :
\OIB0 =\BIC0
=π−\IC0B−β (somme des angle de IBC0)
=\AC0I−β=π 2−α
−β
=γ=OCB\0 (car 2α+2β+2γ=π)
Donc les pointsO, B0, I, Csont cocycliques ce qui prouve que l’angleCIB[ =CIO[ =CB\0O est droit.
Le pointI est donc sur le cercle de diam`etre [BC].
Remarque :
On montre de mˆeme que, siB00et C00sont les points de contact du cercle exinscrit oppos´e `aB avec respectivement le segment [AC] et la droite (AB) alors la droite (B00C00) passe elle aussi parI(et elle est perpendiculaire `a (B0C0)).
Appliquons deux fois ce r´esultat au probl`eme de d´epart :
- Si on noteQ etR les points de contacts du cercleC de centreO inscrit dans le triangle ABP, alors la droite (QR) coupe la bissectrice (BO) en un pointF situ´e sur le cercle de diam`etre [BA] donc ind´ependant de la position deP.
- Si on noteQ0 et R0 les points de contacts du cercle C0 de centreO0 inscrit dans le triangleACP, alors la droite (Q0R0) coupe la bissectrice (CO0) en un point F0 situ´e sur le cercle de diam`etre [CA] donc ind´ependant de la position de P (la bissectrice int´erieure (CO0) deACP est aussi la bissectrice ext´erieure issue deC deABC donc est ind´ependante deP).
Si on noteretr0 les rayons respectifs deC et C0 alors on aOE2−O0E2=r2−r02=OD2−O0D2 or l’ensemble des pointsM du plan v´erifantOM2−O0M2=r2−r02est une droite (car cel`a ´equivaut `a −−→
KM .−−→
OO0= 0 pour un certain pointK∈(OO0)).
Or, si on noteQ00 le milieu de [QQ0], on aOQ002−O0Q002= (r2+QQ002)−(r02+Q0Q002) =r2−r02 doncQ00 est sur la droite (DE).
Le mˆeme calcul montre que le milieuR00de [RR0] est aussi sur la droite (DE) qui est donc parall`ele aux droites (QR) et (Q0R0).
La droite (DE) coupe donc le segment [F F0] en son milieuF00 qui est ind´ependant de la position deP.
Remarques :
- Les cercles C et C0 ne sont pas toujours s´ecants, mais la droite d´efinie comme l’ensemble des points M du plan tels que OM2−O0M2=r2−r02existe toujours et il s’agit en fait de l’axe radicaldes deux cercles, c’est `a dire de l’ensemble des points ayant mˆeme puissance par rapport `a ces deux cercles. La preuve ¸ci dessus montre que dans tout les cas (cercles s´ecants ou pas) l’axe radical deC etC0 passe par le point fixe F00.
- La remarque du r´esultat pr´eliminaire concernant les cercles exinscrits permet de montrer que le r´esultat perdure lorsque l’on prend pourP un point quelconque de la droite (BC) et comme cerclesCetC0des cercles inscrits ou exinscrit aux trianglesABP et ACP tels que leurs centres O et O0 soient respectivement situ´es sur la bisectrice int´erieure issue de B et sur la bissectrice ext´erieure issue deC(dans le triangleABC) et sur la mˆeme bissectrice int´erieure ou ext´erieure issue deP dans le triangleACP.
- On peut assez facilement montrer que, si Ω d´esigne le centre du cercle inscrit dans ABC alors les trianglesAΩC, AOO0 et AF F0 sont directement semblables ce qui permet de mieux voir les diff´erents cerclesC etC0 possibles :
On part par exemple d’un point quelconqueO sur le bissectrice int´erieure BΩ puis on construit le pointO0 tel queAOO0 soit directement semblable `aAΩC (O0 est alors situ´e sur la bissectrice ext´erieure issue de C dansABC) puis les cerclesC et C0 de centreO et O0 tangents `a la droite (BC). L’axe radical de ces deux cercles passe alors syst´ematiquement par le pointF00. On peut remarquer que les pointsF etF0 correspondent alors aux pointsOetO0 dans le cas o`u on a pris (OO0)//(BC) donc le pointP est ”`a l’infini” sur la droite (BC), la ”droite (AP)” est la parall´ele `a (BC) passant parA et la ”bissectrice int´erieure issue deP dansACP” est la la parall´ele `a (BC) passant par le milieuC0 de [AB].
