D1895. Alignements en cascades
Q1/ Perspectifs et orthologiques
ABC et son triangle orthiqueHaHbHcsont perspectifs de centreH et d’axe PaPbPc.
Ils sont aussi en orthologie. Les centres d’orthologie sont : H pour HaHbHc relativement `aABC, et Opour ABC relativement `a HaHbHc. (Par exem- ple, OH et OA sont isogonales, et HbHc et BC sont anti-parall`eles; donc OA⊥HbHc).
Le th´eor`eme de Sondat indique que l’axe d’orthologieOH, c’est-`a-dire la droite d’Euler de ABC, passe par le centre de perspective H et est orthogonale `a l’axe de perspective.
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Q2/ Droites de Steiner
Le cercle d’Euler est circonscrit au triangle m´edian MaMbMc. Les points Hi appartiennent aussi au cercle d’Euler, donc leurs projections droites sur les cˆot´es du triangle m´edian sont align´ees sur les droites de Simson des Hi, et leurs sym´etriques sur les droites de Steiner, dont on sait qu’elles passent par l’orthocentre deMaMbMc, c’est-`a-dire le centreO du cercle circonscrit `a ABC.
cbsym´etrique deHc/MaMc, etbcsym´etrique deHb/MaMbsont ´equidistants de O; de mˆeme pour les 2 autres paires de points. Les droites qui les relient forment le triangleSaSbScperspectif `aABC. Le centre de perspectiveJ0est l’inverse du centreJ de l’hyperbole de Jerabek par rapport au cercle de Brocard de diam`etreOK (Kpoint de Lemoine). Cette hyperbole, circonscrite `aABC est la conjugu´ee isogonale de la doite d’Euler deABC.
J0 =X(125)Kimberling J =X(184) Kimberling
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Q3/ Autres droites de Steiner
Q3est le pendant deQ2avec la permutation des rˆoles entre lesHi et lesMi : les droites∆i sont concourantes enH0 orthocentre du triangle orthique.
H0 =X(52)Kimberling
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