Prenonsn divisen2−2009, donc 104 divise 2009250−1

Enonc´e n^oA536 (Diophante) Les quatre derniers chiffres

Trouver les entiers aetb (a > b≥1) de somme minimale tels que 2009^a et 2009^b ont les mˆemes quatre derniers chiffres.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

La condition de l’´enonc´e ´equivaut `a dire que 10⁴ divise 2009^a−2009^b= 2009^b(2009^a−b−1),

donc aussi 2009^a−b−1 car 2009 est premier avec 10.

Pour tout n premier avec 10, 2⁴ divise n⁴−1 et 5⁴ divise n⁵⁰⁰−1, donc 10⁴ divisen⁵⁰⁰−1. Prenonsn= 7003, 10⁴ divisen²−2009, donc 10⁴ divise 2009²⁵⁰−1.

Il reste `a voir si a−b peut ˆetre un diviseur strict de 250. Un tel diviseur doit ˆetre pair, car 2009 ´elev´e `a une puissance impaire a 9 et non 1 comme chiffre des unit´es. C’est donc 50 ou un de ses diviseurs.

Modulo 10⁴, par quelques ´el´evations au carr´e et multiplications, on obtient 2009² = 6081, 2009⁴ = 8561, 2009¹⁶ = 9841, 2009³² = 5281, 2009⁴⁸= 321, 2009⁵⁰= 2001 : 10⁴ ne divise pas 2009⁵⁰−1.

La plus petite puissance de 2009 ayant 1 pour reste modulo 10⁴ est donc 250.

Pour satisfaire l’´enonc´e, il faut prendre a= 250k+b (k ≥1) et la somme a+b= 250k+ 2bsera minimale pour b= 1, a= 251.

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