Décomposition en éléments simples de la fonction doublement périodique de seconde espèce ayant un inifini d’ordre <span class="mathjax-formula">$n$</span>. Formation des coefficients

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E. M ^ATHY

Décomposition en éléments simples de la fonction doublement périodique de seconde espèce ayant un inifini d’ordre n. Formation des coefficients

Nouvelles annales de mathématiques 4

série, tome 7

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[F2d]

DECOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES DE LA FONCTION DOUBLEMENT PÉRIODIQUE DE SECONDE ESPÈCE AVANT l \ INFINI D'ORDRE //. FORMATION DES COEFFICIENTS;

PAU M. E. I M A T H Y .

Pour résoudre la question, il faut établir le lemme suivant :

LEMME. — Les coefficients du développement de

—-—— suivant les puissances de u sont des poly-

— 3 CL

nomes entiers en Ç, p et p{n).

En effet, la fonction Œ(U — a) est holomorphe et im- paire ; donc

i a(u — a) = — va -h U<J a a a H ;—r G a — . . . ,

(0

j / a'a u2 a"a u3 a"a

Par définition

En dérivant, on trouve

<s"a / V a \2

(2') = — pa;

d'où De même

= Ça —pa.

va * r

9 a a a a a y ,

= — i^apa —p a.

On en déduit

(3; = Ça —3Ça/>a — p'a.

Mais on peut écrire

d <s" a G'" a G" a da <ra aa <sa

pour en conclure

v"a _ a"a d_ <J'a va ~ va da va

D'une façon générale

(5) ^{= Ça-h-r-:}

a a 1 a da a a

Cette égalité jointe à (2) démontre le lemme et donne la loi de formation des coefficients de (1); il suffit de faire (AI) successivement égal à 2, 3, 4>

Le développement sera

( 6 )

n![ aa ^ da va \

( 265 )

PROBLÈME. — Soit la fonction ¥(u) doublement pé- riodique de seconde espèce ayant un infini d'ordre n ; sa forme générale est

La formule de décomposition est

( 8 ) F ( u ) = cp^-1) M -h A , <p(»-«'

l'élément simple

T V — <J( a , -4-

Les développements de eP" et de (<ju)~n sont con- nus; comme l'expression (6) fournit les développe- ments des n fonctions O*(M — #«)> on peut calculer d'une façon explicite les coefficients A(w_4)? ..., A2, A{, de la formule ( 8 ) ; on sait qu'ils sont respectivement les coefficients des puissances négatives de u de n à i dans le produit des {n -f- 2) fonctions qui forment F(«).

Application (n = 3 ) .

FU)= ^ ~ (9)

T

En formant les développements on trouve F ( u ) = c p " u ^ p - 2 ç aⁿW u

(io)

( 266 ) Si

P = 2m

1

on retrou\e une forme classique

( M ) / = <p*u (pa,\-\-pa<i^r-/?a3)cpi

[ ] • 'JL

cp u = -

-4- a2 -1- «3) <r u