A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.
E LLIOT
Propriétés et applications de certaines fonctions analogues à la fonction Θ, seconde partie
Annales scientifiques de l’É.N.S. 2e série, tome 11 (1882), p. 425-436
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P R O P R I E T E S
ET
APPLICATIONS DE CERTAINES FONCTIONS
A N A L O G U E S A LA F O N C T I O N C,
PAR M. ELLÎOT,
P K O K K S S E l I t A l..\ F A C U L T E D1SS S C I E N C E S D E B E S A N Ç O N .
S E C O N D E P A R T I E .
Équations différentielles.
25. Considérons, avec les/? intégrales normales de première espèce, u n système de q i n t é g r a l e s n o r m a l e s de troisième espèce et de r inté- grales n o r m a l e s de seconde espèce. On pourra représenter ces intégrales par les expressions
"""-'c^'"
. , r^' ^.(.-^.r) ,/,.
1
^ '-"U,,,,,, ^WA^T)
„,(,, -V •i'^^———dx,
" ' ^ - U , [^TO^-r)
^;, 'L/, cl, ^ cta"t <les polynômes ayant les mêmes degrés et les mêmes
' " ' '//«/*. d,- fi'.c. No,;»al<-. •2- Scric. Tome XI. DÉcEMnrtF. 1882. 54
4^) ELLIOT. -
propriétés q u e ceux du n° 20. Considérons le système s u i v a n t de p + y + r é q u a t i o n s différentielles :
^C-7 ^ "____•' — • i ' ri y , —— / j i l .2(-',/^'./)// ^ ^ / / / ? ' ( œ - v } "</—y1 tz./»./ y / ( { ul F^,,^)'^
4^ (^ r./) -, d,ï'j-==-dv/, ( A - :-=. r , -î, . . . .ry ),
?(^') Y^-n . F ( •r • T •\ •' ~
^ » •' .I./ A y \ " ' - j i } j )
X^-21./^"./') ,/„. „ ,/.. ./, -^ ^^.^. „,_ ff^ ^ ( //, l."//-ly 1 y V ^ , / ? , } ,/ )
L'indice / de \y\ '^/ { )] et de Ç^'] signifie que l'on a reinpiîœé ,'r et y P^ tz>/' y/ ^•^"s les fonctions linéaires que représentent ces symboles. Nous regarderons d a n s les é q u a t i o n s f i ) les;r/ c o m m e fonc- tions des p 4" q 4- r q u a n t i t é s u^ ^/,, n.^. En a p p e l a n t . y •(^ les v a l e u r s i n i t i a l e s des Xj p o u r les v a l e u r s initiales i^f\ ^0), îï5^ ^es varial)les, !(;
système (i.) p e u t s'écrire / ==/^i-//-{-/•
y |>^ { x j } — u^ (.z-y")]-,: //, — ,^\
j := 1
J =- P +-(1 -\- r
^ [ç^') (.r,)-.^) (.^)•):|-.le,, .^..^),
; - : i
; - : 1
y= /'•+-</+/;•+-</•+•/•
V [^^'^^y) -lï^^^^Q]:
Si, dans les é q u a t i o n s ( i . j , on regarde u^ ^,, ^ comme f o n c t i o n s des xj, les con.ditions d'intégrabilité sont é v i d e m m e n t satisfaites, puisque le coefficient de dxj ne c o n t i e n t que la v a r i a b l e x,. On en conclut que, réciproquement', l'on peut considérer les x^ c o m m e fonc- tions des^, ^,, w^ et, d'après un t h é o r è m e de M. B o u q u e t , ces f o n c t i o n s resteront holomorphes tant que les coefficients d i f f é r e n t i e l s seront eux-mêmes h o l o m o r p h e s par r a p p o r t a u x xj. Pour avoir ces coef!i- cients, il faut résoudre les équations ( i ) par r a p p o r t a u x dxj. Le
P S U ) P n i E T E S ET APS^LKLVnONS DE CERTAINES FONCTIONS, ETC. /p^
dénominaleur comniun est le déterminant
''f'/'V*^ "/'-+- C/-+- r? .}' p^-q+'r}
V l (,"^'/^-^-//+-/>•> ,^ p+i/-ï-r )
^ _^^_^
| ^ , ^ |p,^4-/.
'TV • ^ 1 - » 71 ) '^/( •^, ,)'2 ,; Y </ {'ï' p + 7 •+ / • i . ^ p -+- 7 +7'}
"T^
7^-^'
71]^^-
[ S ^ ' ^ ^ ' J
(•yi, ï l ; '/j ( ^.' p^q^..}^ J' p^.q^,- )
^^.^.^
/l^^,.^)
L ^ |/j4-r/4-r
/./• ( 'j'-' ?•+•(/-^•ri .^ f)-ï-(f+-r )-^_.___
L^ ' J^-t-y-h-/-
/ f i + - r / - [ - r
divise par !e produil î î V ' y ( ' y / ' V j } ' Appelons A/, le mineur ohienu, / i
eîi supprimant dans A la i^11^ ligne et b y1''111'1 colonne, on aura
[
'... /' Â.- '/./,/•/ ( ,).^^(.r/,,r,) y (.-,:)/ ^ rl^ - 1 ~ V ( - i ^ ^-L dv, .^ /..i
h =-- /•
1
4.y(^,)^^Vt^^,,^ ^
^j
aA = - l
Les coefTieieiits dKTérentiels ne p e u v e n t cesser d'être holomorphes q u e si les fonclions x'j a c q u i è r e n t des v a l e u r s a n n u l a n t A, ou bien si l ' u n e ou p l u s i e u r s d ' e n t r e elles coïncident avec des points situés sur les droites (Ç^, y?^), ( Ç ^ ) , A devenant alors infini en même temps queA<y, . . . , ou b i e n , e n f i n , si l ' u n e ou p l u s i e u r s d'entre elles d e v i e n n e n t i n f i n i e s .
26. Le d é t e r m i n a n t A s ' a n n u l e q u a n d u n certain nombre de p o i n t s Cr,,yJ, (.r^, y ^ ) , . . . c o ï n c i d e n t . Supposons q u e les n points [x^ y/), (.r^j2), . . . , ( x ^ y , , ) coïncident avec un point (a, h), que nous sup- poserons d'abord u n point simple de F ( ^ , y ) -== o non situé sur les
4 2 8 ELLIOT.
droites (Ç^, ^AJ), (Ç^). Posons
^ == ^ + .2^. (\ç ==: i, 3, . . ., n ) et considérons les fonctions s y m é t r i q u e s
s = n .v == n s ^- n Z^-z^: ^ .2'^., ,^2 ^= ^ a-''^ ï . . . 5 .G^,==: ^ .T'y ,
.ï = 1 A- - 1 .y = 1
d'où l'on d é d u i t
s =: n
dz^^^Y .:^~1^.
.V =.-- 1
Posons, en outre,
.v ;-.. n,
M ( / ) —— \ / _ _ , \ A - 4 - / / ^.^ - 1 P' l .y ./ \ A .
-1'1/ : —— / \ ' } ^'^.y 1 y\ '^.s-îj' ,s-^ '-*/,,??
^ -.. 1 .<• -- //
\ j ( / ) — — — \ / ., \ A ' + - p 4 - / l ' / ^ . ' / ' " l ï^' / / y . ^,. \ A
^^. — 7 \ ï) ' ^^s i y^^SJ } a ) ^p\-/i-,si A- = 1
,y ::-: /j;
NA" = ^ (- l)'^1-'7^^^''1^ (.^,,7.)A,,,^,^., : .y :=; 1
on aura
/' = p />• =-. if /i-^-. r
^ N'^ ^'"^ ' N ' / '1 ^ N ^ ^ ( 3 ) ^.= ^ N,- ^, - ^ ^- .A,, ^ ^ -^ ^,
i = 1, />- =. 1 A =-. 1
et l'on pourra, dans le système des é q u a t i o n s ( i ) , remplacer les n pre- mières par les é q u a t i o n s (3), où t a, les valeurs i , 2, . . . , n. Les p-V-q -+- r fonctions seront alors ^, ..., z^ oc,^.^ . . . , ^ny^.. Les n ra- cinesjo ja» * - •» y/< étant voisines d'une même racine simple de l ' é q u a - tion V ( x ^ y ' ) ==o sont représentées par une même série
y^ == b + b ' X j -h b"a^ + . . . (y •= i, a, . . ., n).
Apres la s u b s t i t u t i o n de ces valeurs, le d é t e r m i n a n t A d e v i e n t u n e fonction alternée de x\, x\^ ,.., x^ et son n u m é r a t e u r est divisible par le p r o d u i t des facteurs binômes o b t e n u s en faisant la dilférence de d e u x quelconques de ces quantités. Le q u o t i e n t est u n e fonction symé- t r i q u e de x^ x'^ ..., x'^ et, par suite, une fonction r a t i o n n e l l e de z^
P R O P R I É T É S ET APPLICATIONS DE CERTAINES FONCTIONS, ETC. ^l2?
c^, . . . , z,^ Ce q u o t i e n t ne s ' a n n u l e pas en général avec les q u a n t i t é s x\, x,,^ . . . , .^; il conserve d'ailleurs une valeur finie p o u r de petites valeurs de ces variables.
Le déteriïlinant mineur N'/1 se d é d u i t de A en remplaçant les n pre- miers termes de la i"""1116 ligne horizontale par les quantités
/ y ^ 1 V l r V '\ / - y . ^ - l V { y. i • \
i ,X- i F y {.À i . , ) i , ) , . . . , t ^ ,i r ^. {.2 /;, J /, ),
et les a u t r e s par zéro. Après la s u b s t i t u t i o n , il d e v i e n d r a u n e f o n c t i o n a l t e r n é e de.z^, x^ . . . , x ' ^ , divisible par le même p r o d u i t de facteurs b i n ô m e s q u e p r é c é d e m m e n t . En s u p p r i m a n t ces facteurs, le coefficient de diii d a n s ds^ d e v i e n d r a une fonction h o l o m o r p h e de s,, . . . , s^, x,t, .1, ..., x^..,.,. p o u r de p e t i t e s v a l e u r s de x\, x^ ..., x\^ On en conclut q u e les f o n c t i o n s s,, ..., z ^ , ^-4.1» • • » ^p-vq-r-r restent h o l o m o r p h e s dans le voisinage des v a l e u r s considérées, et que les fondions intégrales j1,, .r*j, . . . , ûi\i se p e r m u t e n t e n t r e elles c o m m e les racines d'une é q u a t i o n a l g é b r i q u e (11 ).
27. S u p p o s o n s q u e les n points ( ' . r , , 7 i j , - . . , (.^J/J. ^ pouvant, ê t r e 1/uîiité, c o ï n c i d e n t avec un point [ a, 6), situé sur la droite (Ç^ y/6r)). Le d é t e r m i n a n t A, d é v e l o p p é par r a p p o r t a u x é l é m e n t s de la p 4- ^«•"«^ ligne I i o r i z o n l a l e , a ses n premiers termes infinis et du pre- mier ordre. Apres avoir posé, comme p r é c é d e m m e n t ,
,/•) —: a -l- ^-\, . . ., a'^ —- a ~\- X',,,
et r e m p l a c é les y par l e u r développement en série relatif à la b r a n d i e de courbe q u i c o n t i e n t le p o i n t simple (a, 6), les d é n o m i n a t e u r s des n termes de A, d o n t il a é'té q u e s t i o n , c o n t i e n d r o n t en facteurs le premier x\, le second x^ . . . , le n1'"1^. En d é v e l o p p a n t m a i n t e n a n t le déter- m i n a n t N^ par r a p p o r t à la p -+•^i('lIle ligne h o r i z o n t a l e ; le d é n o m i n a - t e u r des n premiers termes c o n t i e n d r o n t aussi respectivement les fac- teurs x , .r,, oc ,. On v o i t , en chassant les d é n o m i n a t e u r s , que le coef- ficient de diti est une fraction qui reste finie. Il en est de même du coefficient de A^ et de celui de ^ si A est différent de g. Pour k=g.
le d é t e r m i n a n t N'^ ne devient pas i n f i n i , et A est i n f i n i , en sorte q u e le t~>
f > | T/u'oric clés fonctions abolie ri tics, ^. ^u.
ZpO ELLÏOT.
coefficient de dv^ est n u l . Si ^ est différent de i , on c o n t i n u e r a la dé- m o n s t r a t i o n comme d a n s le cas précédent, en i n t r o d u i s a n t au lieu de .r,, cr^, . . . , a'n les q u a n t i t é s z^ z ^ , . . . , ,^. Les coefficients de clu^ dv^
dw,, dans la différentielle dz^ seront des fonctions r a t i o n n e l l e s en z^ ..., z,,, ^.,.-i, . . . > ^4-^» h o l o m o r p h e s p o u r de p e t i t e s valeurs des va- r i a b l e s ^ . D a n s cette nouvelle h y p o t h è s e , u n c e r t a i n n o m b r e de fonc- t i o n s intégrales p e u v e n t se p e r m u t e r .
Il n'y a é v i d e m m e n t rien à c h a n g e r au r a i s o n n e m e n t , si le p o i n i (a, h) est sur u n e d r o i t e ( Ç ^ ) , à moins qu'il ne soit au p o i n t de con- t a c t , a u q u e l cas les termes qui é t a i e n t - i n f i n i s du p r e m i e r ordre sont i n f i n i s du second ordre; m a i s , comme cette m o d i f i c a t i o n se présente a la Ibis au n u m é r a t e u r et au d é n o m i n a t e u r des coefficients de du^ d^i,,
^Ar/,, on a r r i v e à la même c o n c l u s i o n .
28. Supposons q u e les points (vr,, y J, . . . , {oCi^y,,) c o ï n c i d e n t avec u n p o i n t critique (a, b) de F(.'y,y) =--= o. Si les racines v^ . . . , y,/ a p p a r - t i e n n e n t à un même système c i r c u l a i r e âe p racines, on sait q u e Fon p e u t déterminer les constantes //, ///, . . . , et les exposants y , , c/.^ . . . , r/, de façon qu'en p o s a n t
j; -:::. a -1|•- x'f\ y =: h --)" b' .^1 •-I-- h" . i i - ' ' i - •i . . . l- y''.r^.s-,
y soit u n e fonction h o l o m o r p h e de ûo1 p o u r de petites v a l e u r s de c e t t e v a r i a b l e . Par cette s u b s t i t u t i o n , les coefficients d i f f é r e n t i e l s des i n l é - gïales des trois espèces d e v i e n d r o n t
ej'1!^^ ,/r'
s^z^y)^
/^(•^y) /.
[?
(^;^
(^\F'^^^^^^
î^^z^^'zIL^ ^ [ ^ • ' ^ ^ ' { ^ ^ y ) '
L'indice .y de [^/A), y^ | et d e f Ç ^ ] i n d i q u e ce que d e v i e n n e n t ces fonctions linéaires par la s u b s t i t u t i o n . Les n o u v e l l e s expressions ne sont plus linéaires en x et y'; m a i s elles ne s ^ a n n u l e n t pas p o u r de petites valeurs de x'', p u i s q u e par hypothèse le p o i n t (a, b} n'est pas sur les droites (^f A ), v^), (Ç^). On peut répéter alors le r a i s o n n e m e n t
PKOPSUETÉS ET APPLICATIONS DE CERTAINES IWCTIONS, ETC. /pt précédent.; les d e u x ternies de chaque coefficient d a n s l'expression de la d i t l é r e n l i e l l e dz^ sont t o u j o u r s des fondions a l t e r n é e s a v a n t un fac- teur c o m m u n que l'on p o u r r a s u p p r i m e r .
On fera u n e seconde s u b s t i t u î i o n a n a l o g u e si un second groupe de n' points v i e n t coïncider avec le p o i n t c r i t i q u e (a, 6), les n' r a c i n e s , y / / - i i » « • • » yn.\ii' a p p a r t e n a n t à u n autre système c i r c u l a i r e .
E n f i n , si u n e ou p l u s i e u r s des fondions xj d e v i e n n e n t i n f i n i e s , on effectuera p o u r ces fondions la t r a n s f o r m a t i o n x= —•
29. Le d é t e r m i n a n t A p e u t aussi s ' a n n u l e r sans q u e d e u x des p o i n t s (^•î.y/) c o ï n c i d e n t . Il s u f f i t que les p 4- q -I- r points soient situés sur u n e courbe a d j o i n t e du degré m -t- q -r- r — 3 (n°20). Appelons (op &/) les p ^ q .+. r p o i n t s d a n s celte h y p o t h è s e ; la courbe a d j o i n t e q u i les c o n - tient r e n c o n t r e encore la courbe F(,r,,y) == o en p -+- q 4- r — 2 a u t r e s p o i n t s (rty, / / • ) , et l'on a u r a
, I , ...l. // ., / . , y , ,|.^ - l - / . — — 3
y f/^'^a./) -[- y f f ^ ' i (a/) -=. S\.,
^sxi-à àaaisÀ I } I .= 1 j ^ p - \ - < i i / • / ) i - \ -/ l / • î
y i'^(^) -h y e (Â •)(^) ^A^, / 1 / - 1
y I , \ t / . . \ r /' /' - f " / / + . • / • 2
y (^^(ay)-!- y ^• r// )(^/)=î^.
/ - l y - l
Soient u^ v^ \v^ les v a l e u r s des v a r i a b l e s u^ ^, w/, dans le cas p a r t i - c u l i e r d o n t nous n o u s o c c u p o n s . Les équations ( 2 ) p o u r r o n t s'écrire
y , ,,.-!.. r / - t - / ' î l =.p^-q-\-r
7/1 "" f/? ^ r i ~~ X //(/)( ^ ) ~ Y ^^(..^ 01 ),
/ ^ 1 / = 1 / -:- / / - < // 4- r î 1 - /' + / / - ( - / •
^... ^»^A,.-.-. ^ i^-)(^) - ^ ^ ^ ( . r /0 1) , /... î î = î
/ .• /; + ff -I- /• 2 / - p..^q.+,-
^ ^-. n.," ::.::. ^ - - - ^ i v ^ ^ ^ ) - - ^ i r ( A ) ( ^1) ,
/ . 1 / =• 1
ou p l u s s i m p l e m e n t , en supposant q u e les variables u,, ^, Wk soient
43-^ ELLÎOT.
nulles q u a n d les points ('r/,v/) coïncident tous avec l ' o r i g i n e (.r^J'o) des intégrales
M-/7-+-/' - - 2
y ^(^),
^ = r,
/ --/'+ <] '->•-/•^
S '^^
j .--•--1
4-^.4,. /• 2
V (ï-^(a;.) 0 =:A^.~
y .1-. p ~^(j 4. /• 2
( T - / / = = £ / , — ^ ( ï ' ^ ( aY^
Un voit ainsi que les q u a n t i t é s u,, (î/,, (^ conservent la m ê î n e v a l e u r q u a n d les' courbes a d j o i n t e s du degré m -+- q + r— 3 passent par les p -}-€/-+- r— 2 points (a^ //y). Donc à un système d é t e r m i n é de v a l e u r s de ces quantités r é p o n d e n t u n e infinité de systèmes de p -h- q + r p o i n t s qui se déplacent sur la courbe ï [ x , y } == o, en restant sur une courbe adjointe d'ordre m •+• q -h r — 3.
30. 1.1 résulte des considérations précédentes que t o u t e f o n c t i o n r a t i o n n e l l e et s y m é t r i q u e des q u a n t i t é s ^, .^, . . . , ^,,^,.,. est u n e fonction méromorphe d e s j r ? 4 - y + r variables i n d é p e n d a n t e s u,, ^,, n'^
à l'exception du cas d ' i n d é t e r m i n a t i o n don l il vient d'être q u e s l i o n . On p e u t la regarder comme u n e fonction abélicnne de ces variables a d m e î - tant u n système de ip + q périodes; la f o n c t i o n ne c h a n g e r a pas si l'on a u g m e n t e s i m u l t a n é m e n t toutes les v a r i a b l e s de m u l t i p l e s q u e l - conques des q u a n t i t é s contenues dans u n e môme colonne v e r t i c a l e du tableau suivant
'^V/—-' o . . . o 9.an ... o.a^ o o ... < >
0 ^^\j— Î . . . o 2^1 . , . 2%2^ 0 0 . . . < »
0 ° • • • ' ^ \ / — r ^i . . . aa^ o o . . . o
0 ° • • • 0 ^ A n . . . 2 Ai;, 27:\/~^~ï O . . . (..)
0 ° • • • ° a A ^ i ... ^A^ o o . . . a T c ^ — i '
0 0 • • • ° ^11 * • . (hq 0 0 . . . 0
P R O P R I É T É S ET A P P L I C A T I O N S OE CERTAINES E O I N C T Î O N S , ETC. 4^
Soi! la fonction rationnelle .c == —^—<i^.r,y} i;—; nous p o u v o n s r a m e n e r ia recherche des quantités xj, yj à celle des fonctions s y m é t r i q u e s
M i == ^ -h ^3 -1- 3^ -l- . . . ,
MÎ ==. ^i ---2+^1 ^ 3 + - - • -
l e s q u e l l e s s ' o b t i e n d r o n t de la façon suivante.
Supposons (.lue dans le t h é o r è m e IX on regarde les points (^.iji ). .. • , f'2'/^/!/'» y/n-Y/i./-) q^i sont c o m p l è t e m e n t arbitraires comme é t a n t ceux q u i s a l i s f o n t a u x é q u a t i o n s dilîérentielles simultanées ( i ) , la fonclion \ d e v i e n d r a , en t e n a n t c o m p t e de ces é q u a t i o n s , une fonction des p ^ q .»i_ j- variables i n d é p e n d a n t e s u^v^ w/^ et l'équation ( 2 9 ) , qui
f o u r n i t une r e l a t i o n e n t r e les p o i n i s ( x ^ y ^ , . . . , [^^.,^^.,yp,^,.,.) et cette fonction V, r e n f e r m e la s o l u t i o n du p r o b l è m e .
Pour a v o i r un n o m b r e s u f t i s a n t de relations, nous supposerons que la c o u r b e ¥ == o soit r e m p l a c é e par $ -h X ¥ -=: o, en sorte q u e les p o i n t s ( a / , ^ j d é p e n d e n t de cette constante arbitraire).. On aura ainsi
, .. J J ^ \ l l ^ - ~ < ^i )( ^ / ' ) - • - ^ i . • - " I
\ ( ^, ^, n-//,) -- il ^<^-(^^^--^7^^^^^^^ 5
/ .-;•• 1
/...- /- -1- ,1
,..),^^LJL
/ -1
V ( o , o , o )
 w"1" - -1 17 ^ - ^ ^1 1 1 1^ ^ ^ ( .,..^ }, ..._-..———
I.a f o n c t i o n P o r d o n n é e par r a p p o r t aux puissantes croissantes de ), a précisément p o u r coefficients les fonctions symétriques M i , Ma, .. ., M ,,„,.,.. Si l'on d o n n e à X p ~\- q -(- r valeurs différentes, on o b t i e n d r a p -i- y -^- r é q u a t i o n s du premier de^ré q u i permettront d'exprimer ces q u a n t i t é s par des f o n d i o n s linéaires desp-^q+'r fonctions V f a , , ^ ^) r é p o n d a n t a u x v a l e u r s a t t r i b u é e s à 1.
Ami, de l ' E c . Normale. 2^- Série. Tome X I . — CLOTURE 1^2. ^^' ^f
434 ELLIOT.
Cas cF indétermination.
31. Nous avons vu qu'il y a i n d é t e r m i n a t i o n dans la résolution des é q u a t i o n s abéliennes quand les variables ont les valeurs
/ == /) -)- fj -)~ / • — 2 _. ^
/ / / r-^C,— y ^ ( ^ ( ^ ) ,/ =
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(v//-=:--> E/,—
( i )
D'un autre côté, on sait, par le théorème f o n d a m e n t a l s u r l e s x é r o s , q u e les^-+-r/+rzérosde la fonction Q^ [^(/)(;z>)—•G•/, ^(x^—g^ ^(x)— yy/j sont les points (^y,y/) c o n s t i t u a n t le système intégral des é q u a t i o n s ahéliennes où les variables des seconds membres u^ ç^,, (T^ ont, les valeurs G,+-C/, ^4-D/,, 7/,-hE/,. Il en r é s u l t e que ces zéros ne s o n t plus d é t e r m i n é s q u a n d on donne aux constantes les v a l e u r s
(;, = C.
/ • - • /M-7 -+-/•—
^
V ^
r'
)(^,
/ l / ^ /;-(- // -i.-./-— 2
^^-=1)^,— V ^ ( ^ y ) , / =; i
-{/, =-:::: E^ ^ n^^^^^.).
/ -1
Or la fonclion 6^ devient, dans ce cas,
[
/ =; /? -)~ //.+-/• - 2 --g0^ ^(^)+ ^ ^)(a;)-~-C., . . . ,
et, d'après le théorème V, elle est i d e n t i q u e m e n t n u l l e .
De là nous pouvons conclure que la fonction V ( u ^ ^, w/j est i n d é -
PROPRIÉTÉS ET APPLICATIONS DE CERTAINES FONCTIONS, ETC. 431)
t e r m i n é e q u a n d les v a r i a b l e s ont les valeurs ( 4 ) ; car, prenant le quo- t i e n t des fonctions ©;,^ qui entrent dans la fonction Y et qui ré- p o n d e n t à la même v a l e u r de Z, on a u r a , pour les deux termes de ce quotient, les expressions
r ^--w
21
e;7; F.-- ^ / ^ ( ^ ) - ^ ^ ) , . . . ,
r ' - / ' - ^ — "i
Ô^ (.- > ^ ( ^ ) - - ^ ' ( a , ) . . . 1
i ^»j
L / i J qui sont nulles t o u t e s les d e u x .
Interprétation géométrique.
32. On sait q u e le problème de l'inversion de Jacobi revient géomé- t r i q u e m e n t a chercher les p p o i n t s d'intersection de la courhe fonda- m e n t a l e F(.ï',j) =o, avec u n e courbe de degré s u p é r i e u r à m — - 3 , q u i satisfait a toutes les c o n d i t i o n s relatives a u x p o i n t s critiques, et que l'on a s s u j e t t i t en o u t r e à passer par u n nombre de p o i n t s de F(.r,y)===o suffisant p o u r la d é t e r m i n e r . On p e u t d o n n e r du problème plus général d o n t il a été q u e s t i o n d a n s ce t r a v a i l u n e interprétation analogue en se servant de courbes a d j o i n t e s d'ordre supérieur à m-\-q 4 - r ' — 3 ; nous p r e n d r o n s des courbes de l'ordre m-{-q-+-r—9^
R e m a r q u o n s d'abord q u e la m é t h o d e employée au n° 20 p o u r déter- miner le n o m b r e des p o i n t s de la courbe F(\r,y) =o par lesquels on doit faire passer u n e c o u r b e a d j o i n t e du degré m+q-r-r— 3, afin de la déterminer c o n d u i r a i t à u n n o m b r e trop élevé pour des courbes (l'un ordre q u e l c o n q u e n. Lesj)oints c o m m u n s a u x deux courbes VÇoc.y) == o, ç . ( ^ , y j = = o restent les mêmes si l'on r e m p l a c e la seconde équation par ^ ( x , y ) -\-j\x,y) V[oc,y) =-= o , / é t a n t un polynôme d u degré n—m, d o n t les coefficients sont a r b i t r a i r e s . Mais les courbes considérées d o n t l ' u n e est ^ { x , y ) -=- o, é t a n t a d j o i n t e s et passant par conséquent par U q ^ , r \ ( ( î •+- r — i ) points situés en dehors de la c o u r b e ' F ( ^ , j ) = = o , H f a u t q u e la c o u r b e f ( . x ' , y ) = o passe aussi par ces points, et le nombre des paramètres de la fonction f(x, y ) ne suffira que si •ron a
3G E L L ï O T . — PROPIUÉTÉS ET APPLICATIONS DE CERTAINES FONCTIONS, ETC.
ou bien
( n — //i — q — /- „[- ^ ^ ç // — /^ ^ ^y -^ /• _.,j_. i ) ^ ç^
Celte condition n'est pas r e m p l i e p o u r des courbes du degré /?24- q 4-r— 3. Quand le degré n est égal à m -i- y "h r — 29 on p e u l ou n o n e m p l o y e r la fonction j\^^y} sans changer le noniS)re des c o n d i - tions. Le n o m b r e des p o i n t s de Ff^,j)-==o par lesquels on d o i t l'aire passer u n e courbe a d j o i n t e du degré m -\-q -\-r— 2 pour la d é t e r m i n e r est
-i (/^ -l-y + r -'.>.) { n i -\-(/ -+-/• -I- i)~ A.— }('</ 4- / • ) ( 7 + /• — î ) —(///, • - ' . > } (// ! / • ) .
ou, en remplaçai) t A par sa v a l e u r ,
p ...j». ..»Y ,-..|.» .^ ^ .^.. ^^ -..„.. ^
Le nombre des points d'intersection avec la courbe ¥ [ . i \ r \ =.---u, qui se trouveni ainsi déterminés par les autres^ esl
/ / / ( in, 4- q 4- /• ""-< ).) -•-•• '-î A - - (ni -— :>/) (^ 4- r ) — (// 4- 1> •y -i- ^ /' •l-l-- ni • •-; ) l / ' .
Supposons mainlenani que l'on ctumisse q 4- r des /.)-{-• s y -i- ,9.r •r-w •--' :.>.
j)oisiis en delîors de la courbe F(.r,,y) •-=o; il est clair que p ~ r ~ f / r-r points seroni délerminés par les au 1res.
Le théorème d'Abcl fournil pour la recherche de ces points^ 4- (/-}•••• r équalions dont les p presYâicres coïncident avec les équations { i } . !l n'en est pas do inéinc des q-\-r aulrcs, à cause du lo^'antbnic ou de i;!
f o n c t i o n algébrique qu'introduit ce iliéorcme. Mais ces quantités dis- j ) a r a î t r o n t ( 1 1 ° 2 1 ^ si l'on choisit les y 4 - r j)oints (juc l'on d o i l prendre en dehors de la courbe F(<ï",,y) =-o, res[)ccl.ivement si!î' chacune des y 4 - r droiles (S^, r^}, (S^^. Donc la résolulion des équa- tions difl'érenlicllcs f t ) revient au problème suivant : Trouver les /) 4- y 4- r points (.ririiersecdon avec Ff/r, y ] == o (.r uae courbe adjointe (lu de gré m 4-^4- r--— 2 passani par p 4- y + r 4- 'm — 2 points de F(.r, y') == o et par y 4-r points situés respectivement sur chacune des droites ^(/tJ, '//l(/i^
^'y^'), en dehors de fa courbe.
F I N D U T O M E O N Z Ï Î L M I-:.
