Sur la série de Lambert

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E. C ESÀRO

Sur la série de Lambert

Nouvelles annales de mathématiques 3

^e

série, tome 5

(1886), p. 106-109

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(2)

S l l t LA SÉRIE DE LAMBERT;

V\i\ M. E. CESARO.

I. D'après une formule connue, on peut écrire

i i /? -f- î p ~^~ * P ~ '2 °n ƒ? — 1 '

où

I I I

7' 3y>>{ 5p° 7/?7 ^

Dans l'égalité (i), donnons successivement à p les va- leurs //,, i/², . . ., //^/n et additionnons, après avoir posé

II vient

2. La formule (4) est susceptible de nombreuses ap- plications. En particulier, on peut l'utiliser pour éva- luer approximativement la somme des n premiers termes de la série de Lambert, c'est-à-dire

^ r (r2 jr11

l r f — .r2 \ - - ,r">

(3)

je étant conipns entre o el i. Prenons, à cet effet,

/// ; — -1 ! — ,

de sorte que

La formule (4) devient

\ „ - = - log ( r - , - 2 ^ - — _ _

3. On reconnaît sans peine, au moyen de l'inéga- lité (a), que, pour n indéfiniment croissant, V,, tend vers une limite finie V, supérieure à \,^t. D'autre part, en vertu de la même inégalité, on a

\Up— I ilp— I Up ,

() Âmk \llp-i UpJ

ou bien

(6) A — \ „ C ,! I " - - ( i — x ) ( V — l J „ ) \ . Or, à cause de

on a

'' —* H,,

x" r I-f- X \ — X Un

p n + 1

On peut donc, au lieu de (6), écrire, à plus forte raison,

étant une fraction proprement dite.

(4)

i . P a r substitution dans (,>), on trouve

i — .7' i / i — ar"\

S „ - - - l o - ( I -r- '2X

r -f- x K ^ i — x ] bun

c'est-à-dire

V ,

hconst.

[ — Xl> l — X " y '2 T X b(l — X" )) P - *

Par conslanie nous entendons une fonction de x, indé- pendaille de n. Pour n infini, on obtient

XI' r — x / i i —h- .r

loy 4 / r- consl..

i — x y '2 1 — ./'

ce qui nous donne l'interprétation de la constante.

D'après cela, l'égalité (7) peut prendre cette autre forme

àmà l — Xl' ~ \ — X ^ i -i-./; — -2 x" ^l G ( i — x" )

5. Si, après avoir multiplié par 1 — .r les membres de (7 ), on fait x = 1, on trouve la formule connue

•.« > // \ -2/ 6n D'ailleurs, l'application directe de la formule (4) à l'évaluation de la somme des n premiers termes de la série harmonique permet d'obtenir des expressions beaucoup plus approchées. Si l'on fait, par exemple, Up =/>-4-1, en ne considérant que ?? — 1 termes dans les séries (3), on trouve

1 - \ \- - -^ . . .-i- - — C — \o£\/n(n -i- i)-t- —

> n { n -r-1 )

(>. Pour une valeur donnée de .r, on peut toujours

(5)

( I O9 )

trouver la somme de la série de Lambert, avee une ap- proximation aussi grande qu'on le désire, en faisant usage de la formule (8), dans laquelle on attribue à n une valeur suffisamment grande. Proposons-nous, par exemple, de calculer la somme

s =

^{î i o}²^{— i i o}³— î 1 0 ^ — i * '

avec sept décimales exactes. Il suffit de prendre n = 3 dans (8), après quoi il vient

c T T I I I , 55()(>

S — ! ! H loo - = O , I 2 2 3 2 { 2 . . . .

9- 99 999 l 8 " ^ 9 9

Cet exeni])le admet une vérification facile. Le n^ivme chiiïre décimal doit, en effet, représenter le nombre des divi- seurs de n pour les quarante-six premières valeurs de n.