3 5 3- a) Montrer que (nIN) Un1  Un

Texte intégral

(1) Examen Nat Sc Eco 2016 Sess norm EX1 (4,5 pts) On considère la suite numérique U n  définie par : U0 = 0   2 Un+1 = Un +1 (n IN)  5  1- Calculer U1 et U2 2- a) Montrer par récurrence que :  ∀n ∈ IN b) Montrer par récurrence que :.  ∀n ∈ IN. 5 3 Un > 1. Un <. 3 5 3- a) Montrer que (nIN) Un1  Un =   Un   5 3 b) Déduire que la suite ( U n ) est croissante et qu’elle est convergente 5 4- on pose : Vn = Un  (n IN) 3 5 a) Calculer V0 2 b) Montrer que (Vn ) est une suite géométrique de raison q  5 n 52 5 c) Ecrire Vn en fonction de n ; puis déduire que :  nIN Un =    + 3  53  3 5 d) Calculer lim Un n. Ex 2 : (4,5 pts) (Donner tous les résultats sous forme de fractions) Une caisse contient 7 boules indiscernables au toucher, 2 boules Blanches, 3 boules Rouges et 2 boules Vertes. On tire de façon aléatoire et simultanément 2 boules de la caisse. On considère les événements suivants : A : «Les 2 boules tirées sont de même couleur » B : « Parmi les boules tirées au moins une est rouge » 5 1- a) Montrer que la probabilité de l’événement A est P(A)  21 b) Calculer P(B) 1 c) Montrer que p( A  B)  7 d) Est-ce que les deux événements A et B sont indépendants ? Justifier votre réponse. 2- Soit X la variable aléatoire liée au nombre de boules tirées 1- Compléter le tableau ci-dessous en justifiant votre réponse xi 0 1 2 P( X  xi ). 2- Calculer E(X) l’espérance mathématique de la variable aléatoire X..

(2) . Ex 3 : (11 pts) Partie A : On considère la fonction numérique g définie sur  0,   par : g ( x)  1  1- a) Montrer que lim g  x   . 1  ln x x2. x 0. b) Calculer xlim g ( x) . 1 2 2- a) Vérifier que :  x   0,    g( x)   3 x x b) Etudier le signe de g ( x) c) Calculer g(1) puis dresser le tableau de variation de g sur  0,   d) Déduire de ce tableau que :  g  x   0 sur  0,1  g  x   0 sur 1,  . Partie B : On considère la fonction f définie sur  0,   par : 1 f ( x)   x ln x ; et soit (C) sa courbe représentative dans un repère x orthonormé (o, i, j) .. 1- a) Montrer que lim f  x    et interpréter géométriquement le résultat. x 0. b) Calculer lim f  x  et xlim  x . f  x puis donner une interprétation x. géométrique au résultat. 2- a) Montrer que : f ( x)  g ( x) x  0,    b) Calculer f(1) puis dresser le tableau de variation de f sur  0,   x2  x2  3- On considère la fonction F définie sur  0,   par : F  x       1 ln x 4 2  Montrer que F est une primitive de f sur  0,  . 4-Le graphe ci-dessous (C) est la courbe de f et () est la droite d’équation y  Calculer l’aire de la partie hachurée .. x 2.

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