Exercice 6

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Exercice 6 « Fonction Exponentielle »

Exercice 6

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par:

 

₂^{2 2 2}

2 5 2

x

x x

f x e

e e

 

  et

 

^C sa courbe représentative dans un repère

Orthonormé



^{O; i ; j}



^.

1- Déterminer D l'ensemble de définition de f, et étudier la parité de f.

2- Étudier les variations de f.

3- a. Donner une équation de la tangente à

 

^C au point d'abscisse 0.

b. Déterminer les branches infinies de

 

^{C .}

c. Tracer la courbe

 

^{C .}

Correction Exercice 6

 

₂^{2 2 2}

2 5 2

x

x x

f x e

e e

 

  1 ) Déterminons D:

On a:x  D x IR et e2 ^2x5e^x 2 0

On pose t e^x avect0 ; l’équation: 2e^2x5e^x 2 0 devient : 2t²  5t 2 0 Résolvons dans IR, l'équation 2t²  5t 2 0

Le discriminant de cette équation est: 9 ,et ses solutions sont: ₁ 1

t 2 et t₂ 2

Donc : 1

2 2

x x

x  D x IR ; e  et e 

1

ln ln2

 x IR ; x 2 et x

Donc: ^{ln1 ln1; ln2}



^ln2



2 2

D  ;      ; D 2) Etudions la parte de f:

Soit xD , on a: x D et

 

₂^{2 2 2}

2 5 2



 

  

 

x

x x

f x e

e e



^{2 2 2}



²

 



x x

e e



^{2 5 ex2e2x}



^e2x

 

2 2

2 2

2 5 2

  

 

 

x

x x

e

e e

f x Donc f est une fonction impaire.

2) Etudions les variations de f

Puisque f est une fonction impaire, alors il suffit de l'étudier sur Ensemble:



^{0 ln2;}

 

^{ ln2;}



www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Calcul des limites

Tableau de signe de ^{f x}

 

x 0 ln2 

2e2^x5e^x2 - + Soit x



^{0 ln2;}

 

^{ ln2;}



^{, on a :}

∎ Calculons:

 

 

ln 2

lim_

x

f x

 

 

_{ } 2

l l 2

2

n 2 n

2 2

l 2

lim 5

im_{ } 2

 

  

 ^x  

x

x x x

e

e e

f x

(Car

  2 ln 2

lim 2_ 5 2 0^

 ^x ^x 

x

e e et

 ⁿ 2 l 2

6 lim 2_ 2

 ^x 

x

e )

Donc:

 

 

ln 2

lim_

  

x

f x

∎ Calculons:

 

 

ln 2

lim_

x

f x

Soit x



^{0 ln2;}

 

^{ ln2;}



^,

on a :

 

 

  ²

l l 2

2

n 2 n

2 2

l 2

lim 5

im_{ } 2

 

  

 ^x  

x

x x x

e

e e

f x (Car

  2 ln 2

lim 2_ 5 2 0^

 ^x ^x 

x

e e et

 ⁿ 2 l 2

6 lim 2_ 2

 ^x 

x

e )

Donc:

 

 

ln 2

lim_

  

x

f x

∎ Calculons: _x^lim_ ^{f x}

 

Soit x



^{0 ln2;}

 

^{ ln2;}



^{, on a :}

  

²



²

lim li 2

m 2

 



    ^{x x}

x x

f x e e



^{2 5 ex2e2x}



^e2x

 

 

2 2

2 2 1

i 2 5 l m 2





  

 

  

x

x x

x

e

e e (Car lim_ ^2 0

x

e x et lim_ ^ 0

x

e x )

Donc: _x^lim_ ^{f x}

 

^1

∎ Calculons: ^f

 

^x

La fonction f est dérivable en tout point de son ensemble de définition car c'est le quotient de deux fonctions dérivables

Soit xD , on a:

 

₂^{2 2 2}

2 5 2

 

 

     

x

x x

f x e

e e

    

 

²

2 2 2 2

2

2 2

4 2 5 2 2 2 4 5

2 5 2

4 2

    

  

 

x x x x x x

x x

x x

e e e e e e

e e

e e 4e^2x5e^x  2 4e^2x  4e^2x2e^2x

 

²

2 2

2

2 4 2 5 2 5

2 5 2

     

 

x x x x

x x

e e e e

e e

 

 

 

2

2

3 3 2

2

2 2

20 10 16 10

2 5 2

2 5 8 5

2 5 2

   

  

  

  

x x x x

x x

x x x

x x

e e e e

e e

e e e

e e

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Donc :



^{ x D}

    

 

²

2 2

2 5 8 5

2 5 2

  

 

 

x x x

x x

e e e

f x

e e

Le signe de ^f

 

^x est celui de



^{5e2x8ex 5}



On poseX e^x , et on obtient:

5 2 8 5 5 8 5

 e ^x e^x   X  X

Le discriminant de l'équation : 5X8X 5 0 est négatif.

donc: 5X8X 5 0

D'ou:



^{ x D}



^{; 5e2x8ex 5 0}

Donc :



^{ x D}



^f

 

^{x 0}

Alors f est strictement décroissante sur chacun des intervalles de D.

f est une fonction impaire donc elle conserve la monotonie et inverse les limites Tableau de variations de f

x  1

ln2 ln2 

 

f x - - -

 

f x

-1  

  1 3) a. Equation de la tangente au point d'abscisse 0:

On a: ^f

 

^{0 0 et f}

 

^{0  4} ; donc l'équation de la tangente est: y 4x

b. On a: ∎_x^lim_ ^{f x}

 

^1 donc la droite d'équation y1est une asymptote horizontale à (C) au voisinage de .

∎_x^lim_ ^{f x}

 

^{ 1}donc la droite d'équation y 1est une asymptote horizontale à (C) au voisinage de.

On a:

 

 

ln 2

lim_

  

x

f x et

 

 

ln 2

lim_

  

x

f x donc(C) admet une asymptote verticale d'équation:

 

ln 2 x . On a:

 

1 ln2

lim_

 

 

 



 

x

f x et

 

1 ln2

lim_

 

 

 



 

x

f x donc(C) admet une asymptote verticale d'équation:

 

ln 2 x .

c. Construction Graphique