Sur une règle de M. Laguerre

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

C H . V ÉNARD

Sur une règle de M. Laguerre

Nouvelles annales de mathématiques 2

série, tome 19

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SUR UNE RÈGLE DE M. LAGUERRE;

PAR M. CH. VÉNARD,

Elève en Mathématiques spéciales au lycée de Rennes.

M. Laguerre a fait voir (même tome, p. 5o) qu'un nombre a est une limite supérieure des racines positives d'une équation ƒ ( x ) = o si la suite des nombres obtenus en formant le quotient et le reste de la division de f{x) par x — a ne présente que des permanences. Je dis que cette limite a est supérieure ou au moins égale à la limite fournie par la suite connue de Newton.

S o i e n t ^ , f\if** • • • -tfm-nfm '^{e s} coefficients du quo- tient et le reste de la division de

f[x)zrz Ao-r"⁷— . . . H- A„_,.r -+- A^m

par r — a. On sait qu'entre ces nombres on a les rela- tions

Jm—p aJm— p—\

f$ ~ -

( 2&2 )

Calculons les dérivées successives AeJ^m(a). On trouve facilement, en se servant des formules précédentes, que

J m - — J m -1 ~t~ Oj m^-i - r - . . .

I .

-i- c? 1

13)

et Ton est ainsi amené à poser

l rlw — en if u [p\

- c* V a"-p-'/, H- c;r,'

Je dis que cette loi est générale. Supposons—la vraie pour la jpième dérivée, et démontrons qu'elle est vraie pour la (p -f- i)i(>me. En calculant cette dérivée, on trouve

.. p

c'est-à-dire, en faisant la somme,

4- [(m - / . ) c ^ -â' -i-c;r•]«»-/>-ƒ„

et, comme

on a, en divisant par

~2 )

i . si. '6 . . . v m — 2 j (/// — i ; nm-l f

Sous ces formes, on voit que, si un nombre a rend posi- tifs les termes de la suiteƒ,„•,ƒ„_!, . . . , / i , ƒ0, ce nombre rendra aussi positifs les termes de la suite de la fonction et de ses dérivées fm^jnm^ • • -ï,Pm\ c'est-à-dire que la limite supérieure des racines positives de l'équation f(x) = o, limite fournie par la considération de la suite

de M. Laguerre, s'appliquera à la suite de Newton.

Réciproquement, la limite donnée par la suite de Newton rend-elle positifs les termes de la suite des fonc- tions fmifm-x-) • - •, fi,fo? En d'autres termes, les deux limites fournies par l'une et l'autre méthode sont-elles égales? Démontrons que, en général, il n'en est pas ainsi. Pour cela, calculons 1rs fonctions /m, /m_ i , . . ., f m--pi ftifo au moyen des formules établies plus haut. De

f

la dernière on tire fo==- !ï- Nous désignerons,

•' 1 . 2 . 0 . . . / / *

f {M) ^ ƒ"(/>)

pourabiéger, ———- par f'/"\ et en général ^

On trouve ainsi, en calculant de proche en proche,

ƒ __. f (m)

f ._ . f{rn—\) p m - 1 nfim) 'i J m Ka/n-2aJ m >

r f(m-2) nm~i f{m-\) , nm-\ ai f(m) J 2 —J m y^m . 3 UJ rn ^r- v^m_ %u J m i

et Ton démontre facilement que l'on a, en général,

f fiP) ÇP nfiP+\)_i_rP+\aï flP+î) -f- f"tt-l am—pf{m)

c

Sous ces formes, on voit que, si le nombre a rend posi- tives la fonction j 'm et ses dérivées, il ne s'ensuit pas né- cessairement que a rende positives les fonctions^, f\ i • • •*

f m pi • • • ->fm-\' Par exemple, si nous prenons la deuxième de ces fonctions, /i, qui est égale à Aoa -\- A,, par hypo-

thèse, ƒ r " = m V + A' , et / r > = — ^ î — sont

' ^ " ' i . 2 . . . ( m — i ) ^ / w i . 2 . . . m

positives; il ne résulte pas nécessairement que Aoa -+- A, soit positif.

Donc, en général, la limite supérieure des racines po- sitives d'une équation fournie par la règle de Newton est plus petite que la limite fournie par la règle de M. Laguerre.