Théorème (Règle de l’Hôpital) Soit f et g telles que la limite lim

(1)

Dérivation – Calculs

Théorème (Règle de l’Hôpital) Soit f et g telles que la limite lim

x→x

0

f (x )

g (x ) est une forme indéterminée ( ⁰ ₀ ou ^∞ _∞ ).

Alors si lim

x→x

0

f ⁰ (x )

g ⁰ (x ) existe on a

x→x lim

0

f (x )

g (x ) = lim

x→x

0

f ⁰ (x ) g ⁰ (x )

Exemple

On retrouve grâce à la règle de l’Hôpital la limite :

x→0 lim

1 − cos(x )

x ² = 1

2 .

(2)

Dérivation – Monotonie

Théorème (Dérivée et monotonie)

Soit I un intervalle de R et f dérivable sur I .

I f est croissante sur I si et seulement si f ⁰ est positive ou nulle sur I . Autrement dit :

”∀x ∈ I , ∀y ∈ I , [x ≤ y ⇒ f (x ) ≤ f (y )]” ⇔ ”∀x ∈ I , f ⁰ (x ) ≥ 0”

I Si f ⁰ est strictement positive sur I (sauf en un nombre fini de points) alors f est strictement croissante sur I :

”∀x ∈ I , f ⁰ (x ) > 0” ⇒ ”∀x ∈ I , ∀y ∈ I , [x < y ⇒ f (x ) < f (y )]”

I f est décroissante sur I si et seulement si la f ⁰ ≤ 0 sur I .

I Si f ⁰ < 0 sur I (sauf en un nombre fini de points) alors f est strictement décroissante sur I .

I f est constante sur I si et seulement si f ⁰ est nulle sur I .

(3)

Dérivation – Monotonie

Exemple

Les fonctions ln et exp sont strictement croissantes sur leur ensemble de définition.

Remarque

Attention, les hypothèses du Théorème précédent sont précises : en particulier, le fait que les résultats sont énoncés sur un intervalle est important. Par exemple, si on considère la fonction inverse

f : x 7→ ¹ _x définie sur R ^∗ , alors il ne faut pas oublier que R ^∗ n’est

pas un intervalle !

(4)

Dérivation – Monotonie

Théorème (Composition et monotonie) Soit f et g deux fonctions.

Si g est croissante sur f (I ), alors

I si f est croissante sur I alors g ◦ f est croissante sur I

I si f est décroissante sur I alors g ◦ f est décroissante sur I Sig est décroissante sur f (I ), alors

I si f est croissante sur I alors g ◦ f est décroissante sur I

I si f est décroissante sur I alors g ◦ f est croissante sur I

Exemple

On note P la pression d’un gaz et T sa température. Si la fonction

ln(P ) est une fonction croissante de T , alors P est une fonction

croissante de T .

(5)

Tableau de variations

Le tableau de variations de f indique :

I le signe de la dérivée f ⁰ (indiqué par + ou −),

I le sens de variations de la fonction f (“croissant” et

“décroissant” étant symbolisés par les flèches % et &),

I les valeurs de f au(x) point(s) où la dérivée f ⁰ s’annule,

I les limites éventuelles en −∞, +∞ et en les points où f n’est pas définie.

Exemple

Tableau de variations de la fonction x 7→ x + ln((x + 1) ² − 1)

(examen juin 2016).

(6)

Extrema locaux et globaux

Définition

Soit I un intervalle de R , c un réel dans I et f une fonction.

I f atteint son minimum sur I au point c si f (x ) ≥ f (c ) pour tout x ∈ I ; dans ce cas le minimum de f sur I vaut f (c ).

I f atteint son maximum sur I au point c si f (x ) ≤ f (c) pour tout x ∈ I ; dans ce cas le maximum de f sur I vaut f (c ).

Lorsque I est l’ensemble de définition de f , on parle de minimum (ou maximum) global de f , sinon on parle de minimum (ou maximum) local de f .

Le terme extremum (au pluriel extrema) recouvre toutes ces

notions.

(7)

Extrema locaux et globaux

Extrema locaux et dérivée

Si f atteint un minimum (ou maximum) local en c alors f ⁰ (c ) = 0.

En particulier, la tangente au graphe de f au point (c , f (c)) est une droite horizontale.

Exemple

On reprend la fonction x 7→ x + ln((x + 1) ² − 1) (examen juin 2016).

Exemple

La fonction exponentielle n’a ni minimum ni maximum global sur R .

(8)

Extrema locaux et globaux

Extrema locaux et dérivée

Si f atteint un minimum (ou maximum) local en c alors f ⁰ (c ) = 0.

En particulier, la tangente au graphe de f au point (c , f (c)) est une droite horizontale.

Exemple

On reprend la fonction x 7→ x + ln((x + 1) ² − 1) (examen juin 2016).

Exemple

La fonction exponentielle n’a ni minimum ni maximum global sur R .

(9)

Extrema locaux et globaux

Extrema locaux et dérivée

Si f atteint un minimum (ou maximum) local en c alors f ⁰ (c ) = 0.

En particulier, la tangente au graphe de f au point (c , f (c)) est une droite horizontale.

Exemple

On reprend la fonction x 7→ x + ln((x + 1) ² − 1) (examen juin 2016).

Exemple

La fonction exponentielle n’a ni minimum ni maximum global sur R .

(10)

Convexité, concavité, points d’inflexion

Définition

f est convexe sur l’intervalle I si sa dérivée est croissante sur I . f est concave sur I si sa dérivée est décroissante sur I .

Remarque

f est convexe sur I si et seulement si −f est concave sur I .

Théorème (Convexité / concavité et position graphe / tangente)

Soit f une fonction numérique dérivable sur I alors

I si f est convexe sur I , alors le graphe de f est au-dessus de toutes ses tangentes sur I ,

I si f est concave sur I , alors le graphe de f est au-dessous de

toutes ses tangentes sur I .

(11)

Convexité, concavité, points d’inflexion

Exemple

La fonction exponentielle est convexe sur R , la fonction logarithme népérien est concave sur R ^∗ ₊ .

Définition

Si la dérivée f ⁰ est dérivable sur I on dit que f est deux fois dérivable sur I . On note alors f ⁰⁰ la dérivée de f ⁰ , et on l’appelle dérivée seconde de f sur I .

Exemple

Les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont deux fois

dérivables.

(12)

Convexité, concavité, points d’inflexion

Théorème (Convexité / concavité et dérivée seconde)

I f est convexe sur I si et seulement si f ⁰⁰ est positive sur I ,

I f est concave sur I si et seulement si f ⁰⁰ est négative sur I .

Exemple

La fonction f : x 7→ x ² est convexe sur R .

Définition

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I , un point x ₀ de I est appelé point d’inflexion de f si sa dérivée seconde f ⁰⁰ change de signe au point x ₀ .

Exemple

On considère la fonction sinus sin : x 7→ sin(x ) sur [0, 2π].

(13)

Convexité, concavité, points d’inflexion

Théorème (Convexité / concavité et dérivée seconde)

I f est convexe sur I si et seulement si f ⁰⁰ est positive sur I ,

I f est concave sur I si et seulement si f ⁰⁰ est négative sur I .

Exemple

La fonction f : x 7→ x ² est convexe sur R .

Définition

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I , un point x ₀ de I est appelé point d’inflexion de f si sa dérivée seconde f ⁰⁰ change de signe au point x ₀ .

Exemple

On considère la fonction sinus sin : x 7→ sin(x ) sur [0, 2π].

(14)

Tracé du graphe d’une fonction

Etapes pour le tracé du graphe de f

I limites de f aux bords de son domaine de définition ;

I asymptotes de f en −∞ et +∞ ;

I calcul de la dérivée f ⁰ , tableau de variations de f , extrema ;

I calcul de la dérivée seconde f ⁰⁰ , intervalles sur lesquels f est convexe ou concave, points d’inflexion.

I Tracé du graphe de f : asymptotes, tangentes horizontales aux extrema, tangentes aux points d’inflexion.

Exemple

Tracé du graphe de la fonction Gaussienne f : x 7→ e ^−x

²

.

Théorème (Règle de l’Hôpital) Soit f et g telles que la limite lim

Dérivation – Calculs

Théorème (Règle de l’Hôpital) Soit f et g telles que la limite lim

x→x

f (x )

g (x ) est une forme indéterminée ( 0 0 ou ∞ ∞ ).

Alors si lim

x→x

f 0 (x )

g 0 (x ) existe on a

x→x lim

f (x )

g (x ) = lim

x→x

f 0 (x ) g 0 (x )

Exemple

On retrouve grâce à la règle de l’Hôpital la limite :

x→0 lim

1 − cos(x )

x 2 = 1

2 .

Dérivation – Monotonie

Théorème (Dérivée et monotonie)

Soit I un intervalle de R et f dérivable sur I .

I f est croissante sur I si et seulement si f 0 est positive ou nulle sur I . Autrement dit :

”∀x ∈ I , ∀y ∈ I , [x ≤ y ⇒ f (x ) ≤ f (y )]” ⇔ ”∀x ∈ I , f 0 (x ) ≥ 0”

I Si f 0 est strictement positive sur I (sauf en un nombre fini de points) alors f est strictement croissante sur I :

”∀x ∈ I , f 0 (x ) > 0” ⇒ ”∀x ∈ I , ∀y ∈ I , [x < y ⇒ f (x ) < f (y )]”

I f est décroissante sur I si et seulement si la f 0 ≤ 0 sur I .

I Si f 0 < 0 sur I (sauf en un nombre fini de points) alors f est strictement décroissante sur I .

I f est constante sur I si et seulement si f 0 est nulle sur I .

Dérivation – Monotonie

Exemple

Les fonctions ln et exp sont strictement croissantes sur leur ensemble de définition.

Remarque

Attention, les hypothèses du Théorème précédent sont précises : en particulier, le fait que les résultats sont énoncés sur un intervalle est important. Par exemple, si on considère la fonction inverse

f : x 7→ 1 x définie sur R ∗ , alors il ne faut pas oublier que R ∗ n’est

pas un intervalle !

Dérivation – Monotonie

Théorème (Composition et monotonie) Soit f et g deux fonctions.

Si g est croissante sur f (I ), alors

I si f est croissante sur I alors g ◦ f est croissante sur I

I si f est décroissante sur I alors g ◦ f est décroissante sur I Sig est décroissante sur f (I ), alors

I si f est croissante sur I alors g ◦ f est décroissante sur I

I si f est décroissante sur I alors g ◦ f est croissante sur I

Exemple

On note P la pression d’un gaz et T sa température. Si la fonction

ln(P ) est une fonction croissante de T , alors P est une fonction

croissante de T .

Tableau de variations

Le tableau de variations de f indique :

I le signe de la dérivée f 0 (indiqué par + ou −),

I le sens de variations de la fonction f (“croissant” et

“décroissant” étant symbolisés par les flèches % et &),

I les valeurs de f au(x) point(s) où la dérivée f 0 s’annule,

I les limites éventuelles en −∞, +∞ et en les points où f n’est pas définie.

Exemple

Tableau de variations de la fonction x 7→ x + ln((x + 1) 2 − 1)

(examen juin 2016).

Extrema locaux et globaux

Définition

Soit I un intervalle de R , c un réel dans I et f une fonction.

I f atteint son minimum sur I au point c si f (x ) ≥ f (c ) pour tout x ∈ I ; dans ce cas le minimum de f sur I vaut f (c ).

I f atteint son maximum sur I au point c si f (x ) ≤ f (c) pour tout x ∈ I ; dans ce cas le maximum de f sur I vaut f (c ).

Lorsque I est l’ensemble de définition de f , on parle de minimum (ou maximum) global de f , sinon on parle de minimum (ou maximum) local de f .

Le terme extremum (au pluriel extrema) recouvre toutes ces

notions.

Extrema locaux et globaux

Extrema locaux et dérivée

Si f atteint un minimum (ou maximum) local en c alors f 0 (c ) = 0.

En particulier, la tangente au graphe de f au point (c , f (c)) est une droite horizontale.

Exemple

On reprend la fonction x 7→ x + ln((x + 1) 2 − 1) (examen juin 2016).

Exemple

La fonction exponentielle n’a ni minimum ni maximum global sur R .

Extrema locaux et globaux

Extrema locaux et dérivée

Si f atteint un minimum (ou maximum) local en c alors f 0 (c ) = 0.

En particulier, la tangente au graphe de f au point (c , f (c)) est une droite horizontale.

Exemple

g (x ) est une forme indéterminée ( ⁰ ₀ ou ^∞ _∞ ).

f ⁰ (x )

g ⁰ (x ) existe on a

f ⁰ (x ) g ⁰ (x )

x ² = 1

I f est croissante sur I si et seulement si f ⁰ est positive ou nulle sur I . Autrement dit :

”∀x ∈ I , ∀y ∈ I , [x ≤ y ⇒ f (x ) ≤ f (y )]” ⇔ ”∀x ∈ I , f ⁰ (x ) ≥ 0”

I Si f ⁰ est strictement positive sur I (sauf en un nombre fini de points) alors f est strictement croissante sur I :

”∀x ∈ I , f ⁰ (x ) > 0” ⇒ ”∀x ∈ I , ∀y ∈ I , [x < y ⇒ f (x ) < f (y )]”

I f est décroissante sur I si et seulement si la f ⁰ ≤ 0 sur I .

I Si f ⁰ < 0 sur I (sauf en un nombre fini de points) alors f est strictement décroissante sur I .

I f est constante sur I si et seulement si f ⁰ est nulle sur I .

f : x 7→ ¹ _x définie sur R ^∗ , alors il ne faut pas oublier que R ^∗ n’est

I le signe de la dérivée f ⁰ (indiqué par + ou −),

I les valeurs de f au(x) point(s) où la dérivée f ⁰ s’annule,

Tableau de variations de la fonction x 7→ x + ln((x + 1) ² − 1)

Si f atteint un minimum (ou maximum) local en c alors f ⁰ (c ) = 0.

On reprend la fonction x 7→ x + ln((x + 1) ² − 1) (examen juin 2016).

Si f atteint un minimum (ou maximum) local en c alors f ⁰ (c ) = 0.

On reprend la fonction x 7→ x + ln((x + 1) ² − 1) (examen juin 2016).

Si f atteint un minimum (ou maximum) local en c alors f ⁰ (c ) = 0.

On reprend la fonction x 7→ x + ln((x + 1) ² − 1) (examen juin 2016).

La fonction exponentielle est convexe sur R , la fonction logarithme népérien est concave sur R ^∗ ₊ .

Si la dérivée f ⁰ est dérivable sur I on dit que f est deux fois dérivable sur I . On note alors f ⁰⁰ la dérivée de f ⁰ , et on l’appelle dérivée seconde de f sur I .

I f est convexe sur I si et seulement si f ⁰⁰ est positive sur I ,

I f est concave sur I si et seulement si f ⁰⁰ est négative sur I .

La fonction f : x 7→ x ² est convexe sur R .

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I , un point x ₀ de I est appelé point d’inflexion de f si sa dérivée seconde f ⁰⁰ change de signe au point x ₀ .

I f est convexe sur I si et seulement si f ⁰⁰ est positive sur I ,

I f est concave sur I si et seulement si f ⁰⁰ est négative sur I .

La fonction f : x 7→ x ² est convexe sur R .

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I , un point x ₀ de I est appelé point d’inflexion de f si sa dérivée seconde f ⁰⁰ change de signe au point x ₀ .

I calcul de la dérivée f ⁰ , tableau de variations de f , extrema ;

I calcul de la dérivée seconde f ⁰⁰ , intervalles sur lesquels f est convexe ou concave, points d’inflexion.

Tracé du graphe de la fonction Gaussienne f : x 7→ e ^−x