Le 22/06/2015 durée : 90 minutes
Final MTB
La présentation, la lisibilité et la qualité de la rédaction entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Le barème tient compte de la longueur de l’énoncé.
L’utilisation de la calculatrice est interdite. Aucun document n’est autorisé. Les exercices 1 et 2 seront rédigés des copies différentes.
Exercice 1 : Applications linéaires ( 14 points )
Soit C = (e1,e2,e3) la base canonique deR3.
Soit n= (a, b, c) un vecteur donné deR3 qui vérifiea+b+c= 1.
Soit f l’application définie sur R3, qui à tout vecteur u = (x, y, z) ∈R3, associe le vecteurf(u) défini par :f(u) =u−
x+y+z
n.
1. (a) Démontrer que f est un endomorphisme deR3.
(b) Calculer f(e1), f(e2), et f(e3) en fonction des réelsa, b etc.
(c) Donner la matriceA de l’endomorphismef dans la base canonique C deR3. 2. On désigne par ker f le noyau def et par Imf l’image de f.
(a) Calculer f(n), et en déduire quen appartient à kerf. (b) En déduire que le rang def est inférieur ou égal à 2.
3. (a) Montrer quef ◦f =f.
(b) Soity∈R3. Montrer l’équivalence y∈Imf ⇐⇒ f(y) =y.
(c) Montrer que les vecteurs (e1−e2) et (e2−e3) appartiennent àImf. (d) En déduire le rang def, ainsi qu’une base de Imf.
4. (a) Déterminer la dimension et une base du noyau def.
(b) Démontrer que kerf et Imf sont en somme directe, puis qu’ils sont supplé- mentaires dans R3.
En déduire que B=
e1−e2,e2−e3,n
est une base deR3. (c) Écrire la matriceA0 def dans la baseB.
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Exercice 2 : Fonctions de deux variables ( 9 points )
Soit f :
R×[0,+∞[ → R (x, y) 7→
(x2y+y(lny)2 siy6= 0
0 siy= 0
1. Montrer quef est continue sur son ensemble de définition.
2. SoitU =R×]0,+∞[.
On admettra pour la suite de l’exercice quef est de classe C2 surU. (a) Justifier queU est un ouvert deR2.
(b) Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 def sur U.
(c) Montrer quef admet deux points critiques surU qui sont(0,1), et 0,e−2 . (d) Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 def sur U.
(e) Calculer la matrice hessienne def aux points critiques.
(f) Montrer quef admet un unique extremum local sur U, et préciser la nature de cet extremum.
3. Déterminer les extrema globaux de f sur son ensemble de définition.
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