Le12Avril2007, durée2 heures Médian
Médian
La précision et la clarté de la rédaction seront prises en compte dans l'attribution de la note.
Le barème est donné à titre indicatif. Une feuille A4 manuscrite est autorisée pour l'épreuve.
Exercice 1
Montrer que la famille de vecteurs deR4,F ={
1 2 3 4
,
1
−1
−1 1
,
1 0 1 0
,
0 1 0 1
} forme une base
deR4. Calculer les coordonnées de du vecteurv=
1 0 0 0
dans cette base. 6 points
Exercice 2
SoitF l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à trois qui s'annulent en 0 et1, c'est à dire :
F ={P ∈R3[X], tel queP(0) = 0, P(1) = 0}
.
1. Montrer queF est un sous-espace vectoriel deR3[X].
2. SoitP =a+bX+cX2+dX3 un élément de P, montrer que a= 0 et d =−b−c. En déduire que tout élément de F peut s'écrire P =b(X−X3) +c(X2−X3). Donner une famille génératrice deF.
3. Montrer que{X−X3, X2−X3} est une base de F. Quelle est la dimension de F? 7 points Exercice 3
Soitf :R2→R2 l'application dénie par f(x, y) = (−√23x−12y;−12x+√23y).
1. Vérier quef est bien une application linéaire et donner la matrice correspondant àf dans la base canonique deR2,e1=
µ 1 0
¶ ,e2=
µ 0 1
¶
2. SoitA= Ã
−√23 −12
−12 √23
! .
a. Calculer det(A), que pouvez-vous en déduire sur les dimensions deker(f) etIm(f)? b. Calculer A2, en déduire quef◦f =idR2.
3. Soientv1= µ 1
√2 3 2
¶
etv2=
µ −√23
1 2
¶
deux vecteurs deR2. Montrer que {v1, v2}est une base deR2. Écrire la matrice de l'application f dans la base{v1, v2}.
4. En vous aidant d'un dessin, sur lequel vous représentereze1, e1, v1, v2 et l'imagef(u)d'un vecteuru=xv1+yv2, expliquez le sens géométrique de l'application linéaire f. Expliquez alors géométriquement le résultat de la question2b.
7 points
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Le12Avril2007, durée2heures Correction succinte
Correction succinte
Exercice 1
1. On prouve d'arbord que la famille est libre en montrant que :
λ1
1 2 3 4
+λ2
1
−1
−1 1
+λ3
1 0 1 0
+λ4
0 1 0 1
=
0 0 0 0
⇒λ1=λ2=λ3=λ4= 0.
[1,5]
On en déduit queF est une famille libre de4 éléments dansR4. Or dimR4= 4, et on sait qu'une famille libre de 4 éléments dans un espace de dimentions4 est une base. Donc F
est une base. [1,5]
2. Pour calculer les coordonnées dev=
1 0 0 0
dans la baseF on résout :
λ1
1 2 3 4
+λ2
1
−1
−1 1
+λ3
1 0 1 0
+λ4
0 1 0 1
=
1 0 0 0
.
Un simple calcul aboutit àλ1=−1/4, λ2= 1/4, λ3= 1, λ4= 3/4 [3]
Remarque. Pour cette question qui n'était que calculatoire vous pouvez vérier facilement votre calcul :
−1 4
1 2 3 4
+1 4
1
−1
−1 1
+
1 0 1 0
+3 4
0 1 0 1
=
1 0 0 0
.
Exercice 2
1. Montrons que F est un sous-espace vectoriel deR3[X] :
a. F est bien inclus dansR3[X] etF 6=∅. En eet P = 0 le polynôme nul vérie bien P(0) = 0et P(1) = 0 donc appartient àF.
b. SoientP etQ deux éléments deF. Montrons que P+Q∈F :(P+Q)(0) =P(0) + Q(0) = 0 + 0| {z }
carP∈F,Q∈F
= 0 et (P +Q)(1) = P(1) +Q(1) = 0 + 0| {z }
carP∈F,Q∈F
= 0 Donc P+Q∈F.
c. Soit λ ∈ R et P ∈ F. Alors (λP)(0) = λP(0) = λ×0, car P ∈ F et (λP)(1) = λP(1) =λ×0, carP ∈F
ConclusionF est un sous-espace vectoriel deR3[X]. [2]
2. P = a+bX+cX2+dX3 ∈ F.P(0) = 0 ⇒ a= 0 et P(1) = 0 ⇒ b+c+d = 0, donc P =a+bX+cX2+dX3= 0 +bX+cX2−(b+c)X3=b(X−X3) +c(X2−X3). Ce calcul montre que tout polynôme deF peut s'écrire sous la forme λ1(X−X3) +λ2(X2−X3). La famille {X−X3, X2−X3} est donc une famille génératrice deF. [2]
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3. Montrons que{X−X3, X2−X3} est une base :
λ1(X −X3) +λ2(X2−X3) = 0 ⇔ λ1X+λ2X2−(λ1+λ2)X3 = 0. Or un polynôme est nul si et seulement si tous ses coecients sont nuls. Donc λ1 = λ2 = 0. La fa- mille est libre. D'après 2. la famille est aussi génératrice de F, donc c'est une base de
F (libre+génératrice). On en déduitdim(F) = 2. [2]
Exercice 3
1. Ici il s'agit de vérier par le calcul que f(x1, y1) +f(x2, y2)) = f((x1+x2, y1+y2) et λf(x1, x2) =f(λx1, λx2). On calcule ensuite f(1,0) = (−√23,−12) etf(0,1) = (−12,√23).
La matrice représentantf est doncA= Ã
−√23 −12
−12 √23
!
. [2]
2. a. det(A) =−1, donc le noyau def est réduit à l'élément neutre ⇒dim(Ker(f)) = 0.
Donc dim(Im(f)) = 2 puisquedim(Ker(f)) +dim(Im(f)) =dim(R2) = 2. [1]
b. A2= µ1 0
0 1
¶
, orA2 représente l'application linéairef◦f doncf◦f =idR2. [1]
3. On montre que{v1, v2}est une base en montrant que c'est une famille libre à deux éléments dansR2. Pour écriref dans la base{v1, v2}, il faut calculer f(v1) etf(v2) dans la base {v1, v1}. Ce qui donne : f(v1) = v2 et f(v2) = v1 (faites le calcul). Donc la matrice représentantf dans la base{v1, v2} est :
M{v1,v2}(f) = µ0 1
1 0
¶
[2]
4. Géométriquement l'application transforme un point de coordonnées (x, y) dans la base {v1, v2} en un point de coordonnées (y, x)dans cette même base. Il s'agit donc d'une sy- métrie d'axe∆où∆ est la droite passant parOest de vecteur directeurv1+v2. Lorsqu'on applique deux fois une symétrie axiale on revient au point de départ ce qui conrme le
résultat de la question2b. [2]
e1 v2
∆
M(x, y) M0(y, x)
v1 e2
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