La Symétrie axiale

La Symétrie axiale

Chapitre : 3

Fait par : Ahmed barahna

Rappel :

∆ la médiatrice du segment 𝐴𝐵

Définition 1 :

La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu.

Propriété 1:

Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant à ses extrémités.

On a le point M appartient à (∆) la médiatrice du segment 𝐴𝐵

Alors MA = MB

Exemple :

Propriété 2:

Si un point est équidistant à les extrémités d'un segment alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.

Exemple :

On a MA = MB

Alors M appartient à la médiatrice du segment 𝐴𝐵

Activité 1

1) En utilisant le quadrillage du cahier , reproduire la figure ci-dessous Et construire par rapport à (d) la symétrique de la figure

2) déterminer le symétrique du point A par rapport à la droite (d) ,

Solution:

1 ) (𝐹₁) est la symétrique de (𝐹₂) par rapport à (d).

La droite (d) est la médiatrice du Segment On dit que A’ est le symétrique de A par rapport à (d)

(𝐹₁)

(𝐹₂) (𝐹₁)

  AA '

2 )

définition2 :

On dit que le point A’ est le symétrique du point A par rapport à une droite (d) si la droite (d) est la médiatrice du segment *AA’+.

Exemple:

• On dit que A’ est le symétrique du point A par rapport à la droite (Δ)

• Ou bien A est le symétrique du point A’ par rapport à la droite (Δ)

• Ou bien A’ et A sont symétriques par rapport à la droite (Δ)

• La droite (Δ) est appelée l’axe de symétrie

• Le symétrique du point M par rapport à la droite (Δ) est lui-même donc on dit que M est invariant

l’axe de symétrie

Activité 2

Soit 𝐴𝐵 un segment tel que AB = 4cm , et (Δ) une droite dans le plan

1) Construire A’ et B’ les symétriques respectifs de point A et B par rapport à (Δ) 2) Soit M un point appartient au segment 𝐴𝐵 , construire M’ le symétrique

de M Par rapport à (Δ)

3) En déduire le symétrique du segment 𝐴𝐵 par rapport à (Δ) 4) Comparer les distances AB et A’B’

5) Tracer la droite (AB) ,puis en déduire la symétrique de la droite (AB) par rapport à (Δ)

6)

Tracer la demi- droite 𝐴𝐵) ,puis en déduire la symétrique de la demi- droite 𝐴𝐵)

par rapport à (Δ)

Solution:

3) Le segment 𝐴′𝐵′ 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑠𝑦𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡 𝐴𝐵 Par rapport à (Δ) .

AB = A’B’

1) 2)

Propriété 3:

Le symétrique d’un segment par rapport à une droite est un segment de même longueur.

On dit que la symétrique axiale conserve les longueurs

Exemple:

Démonstration :

On a par rapport à (d) : M’ le symétrique de M N’ le symétrique de N Donc le segment

𝑀

𝑁′ 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑠𝑦𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑀𝑁 par rapport à (d)

Alors MN = M’N’’

5)

la symétrique de la droite (AB)

par rapport à (d) est la droite (A’B’)

Propriété 2:

Le symétrique d’une droite par rapport à une droite est une droite

exemple

On a la symétrique de la droite (AB) par rapport à (Δ) est la droite (A’B’)

Propriété 3:

la symétrie axiale conserve l’alignement des points.

exemple

On a par rapport à (d) :

• A’ le symétrique de A

• B’ le symétrique de B

• M’ le symétrique de M

Puisque les points A , B et M sont alignés alors les points A’ , B’ et M’ sont alignés

6)

la demi- droite 𝐴^′𝐵′) est la symétrique de la demi- droite 𝐴𝐵) par rapport à (d)

Propriété 4:

Le symétrique d’une demi-droite d’origine A par rapport à une droite est une demi-droite d’origine A’ symétrique de A .

Exemple :

la demi- droite 𝐴^′𝐵′)𝑒𝑠𝑡 la symétrique de la demi- droite 𝐴𝐵) par rapport à (Δ).

Activité 3

On considère la figure ci-dessous

1) Construire par rapport à (d) B’ le symétrique de B

A’ le symétrique de A C’ le symétrique de C M’ le symétrique de M

2) En déduire le symétrique d’angle 𝐴𝐵𝐶 par apport à (d) 3) Comparer la mesure des angles 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴^′𝐵′𝐶′

Solution:

2) le symétrique d’angle 𝐴𝐵𝐶 par rapport à (d) est l’angle 𝐴′𝐵′𝐶′

1)

𝐴𝐵𝐶 = 𝐴^′𝐵^′𝐶^′

Propriété 5:

Le symétrique d’un angle par rapport à une droite est un angle de même mesure .

On dit que la symétrique axiale conserve les mesures des angles

Exemple :

• On a par rapport à (d) N’ le symétrique de N M’ le symétrique de M P’ le symétrique de P

• Donc le symétrique d’angle 𝑀𝑁𝑃 par rapport à (d) est l’angle 𝑀^′𝑁^′𝑃′

• Alors 𝑀𝑁𝑃 = 𝑀^′𝑁^′𝑃′= 50°

50°

Activité 4

On considère la figure ci-dessous

1) Construire par rapport à (d) :

• I’ le symétrique de I

• A’ le symétrique de A

• B’ le symétrique de B

2) Comparer les distances I’A’ et I’B’

3) En déduire le symétrique du cercle

C( ^{I; r )}

par apport à (d)

Solution

2) le cercle C’(

C( ^{I; r )}

par apport à (d)

1)

Propriété 6 :

le symétrique du cercle C( I; r ) par rapport à une droite est le cercle C’( I’; r’ ) de même rayon , tel que le point I’ est le symétrique du point I .

Exemple 1 :

C’( I’; r’ ) C( I; r )

• On dit que la symétrique axiale conserve les surfaces

Exemple 2 :

C( O; r )

• le symétrique du cercle C( O; r ) par rapport à (d) est lui même

Donc la droite (d) est appelée l’axe de symétrie de la figure (F) .

( F)

(F)

Exemple 3 :

• La droite (AC) est l’axe de symétrie de la figure (F)

(F)