Extensions séparables, extensions normales (TD3)
FIMFA Algèbre 2 (Tony Ly), Mars 2012
Exercice 1
Trouver une innité d'extensions intermédiaires entreFp(Xp, Yp) etFp(X, Y). Exercice 2
SoitK ⊆Lune extension nie de corps. Pour toutx ∈L, on note mx l'endomorphisme K-linéaire y 7→ xy de L et on dénit la trace de x sur K par TrL/K(x) = Tr(mx). On vient de dénir une applicationK-linéaireTrL/K :L→K.
a) Evaluer la trace surRde l'élément a+ib∈C.
b) DéterminerTrL/K(x) pourx∈K. SoitL⊆M une extension nie de corps.
c) Montrer que l'on a TrM/K = TrL/K◦TrM/L.
d) Soitx∈L. ExprimerTrL/K(x)en fonction des coecients du polynôme minimalPx dexsur K.
On supposeK ⊆Lnon séparable.
e) Montrer queTrL/K est identiquement nulle.
On suppose à présentK ⊆L séparable.
f) Montrer queTrL/K n'est pas identiquement nulle.
g) Montrer que B : (x, y) 7→ TrL/K(xy) est une forme K-bilinéaire symétrique non dégénérée sur L.
Exercice 3
SoientKun corps de caractéristiquep >0,K une clôture algébrique deKetKsla clôture séparable deK dansK.
a) Rappeler pourquoi Ks est bien dénie.
SoitP ∈K[X]un polynôme unitaire irréductible.
b) Montrer que P a une unique racine dans K si et seulement si il existe r ∈N et a∈K tels que P =Xpr−a.
SoitK⊆Lune extension algébrique. L'extensionK ⊆Lest dite purement inséparable si pour tout x∈L, il exister ∈Ntel que xpr ∈K.
c) Montrer que K ⊆L est purement inséparable si et seulement si il n'existe qu'un homomor- phisme de K-algèbres de L dansK.
d) Montrer queL est une extension purement inséparable deKs∩L.
On note Lrad le sous-corps de L constitué de tous les éléments x ∈ L tels qu'il existe r ∈ N avec xpr ∈K.
e) Montrer queK est une extension séparable deKrad. f) Est-ce vrai pourL(K etLrad?
Exercice 4 SoientK =Q(√
5)etL=Q(p 1 +√
5). Montrer que les extensionsQ⊆KetK ⊆Lsont normales, mais queQ⊆Lne l'est pas. Quelle est sa clôture normale dans Q?
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Exercice 5
Déterminer les groupes d'automorphismes suivants : AutR(C), AutQ(Q(√
2,√
3)), AutQ(Q(21/3)), AutQ(R).
Exercice 6
Soientn≥1un entier etp≥2 un nombre premier.
a) Montrer quen divise l'ordre de tout sous-groupe transitif deSn. b) Montrer qu'un p-cycle et une transposition engendrent toujoursSp. c) En déduire le groupe de Galois du polynômeX5−4X+ 2∈Q[X]. Exercice 7
Soit n ≥ 1 un entier. Soient F ⊆ E une extension galoisienne (ie. normale et séparable) nie, de base {1, x1, . . . , xn−1}. En particulier le groupe G = Gal(E/F) est d'ordre n et le corps xe EG={e∈E | ∀g∈G, ge=e} est exactementF.
a) Montrer que les éléments deGsont linéairement indépendants.
SoitV un espace vectoriel surE, muni d'une action semi-linéaire deG. On dénit son sous-F-espace vectoriel desG-invariantsVG={v∈V | ∀g∈G, gv =v}.
b) Vérier que l'applicationE-linéaireVG⊗FE−→η V canonique est compatible à l'action deG. c) Montrer queη est un isomorphisme.
Exercice 8 (Cyclotomie sur Q)
Soientn≥1un entier etµnl'ensemble des racines primitivesn-èmes de l'unité dansC. On noteΦn
len-ème polynôme cyclotomique, c'est-à-dire le polynôme unitaire de C[X]dont les racines sont les éléments deµn.
a) Calculer le degré deΦn. b) Montrer l'égalité Xn−1 =Q
d|nΦd et en déduire que Φn est à coecients entiers.
c) Montrer que le corps de rupture deΦn est égal à son corps de décomposition.
Soientξ ∈µn etf son polynôme minimal surQ. Soith ∈Z[X]vériant Xn−1 =f h. Soientp un nombre premier ne divisant pasnetg le polynôme minimal deξp.
On supposef 6=g.
d) Montrer les divisibilitésg|h etf(X)|g(Xp).
e) Etablir une contradiction, et en déduire l'irréductibilité de Φn. f) Déterminer le groupe de Galois de Q(ξ)sur Q.
Exercice 9
On se propose d'établir deux résultats qui utilisent les polynômes cyclotomiques sur Q.
a) Montrer que tout sous-groupe G de GLn(Q) dont tous les éléments sont d'ordre ni est d'exposant ni.
Le second résultat est ce qui est appelé le théorème de Dirichlet faible. SoientP ∈Z[X]r Zetn≥1 un entier.
b) Montrer que l'ensemble {d∈N| ∃n∈N, d|P(n)} est inni.
c) Montrer qu'il existe une innité de nombres premiers congrus à1 modulon.
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