Université de Caen EM51
UFR Sciences 2012-2013
L3 Maths 1
ersemestre
Espaces métriques Devoir maison
à rendre pour le lundi 5 novembre
On considère l'espace métrique I = [0, 1] , muni de la distance usuelle. On note E = C
b(I, R ) l'espace des fonctions continues bornées de I dans R. On munit E des normes
N
∞(f ) = sup
t∈I
|f(t)| et N
1(f ) = Z
10
|f (t)|dt.
Soit (f
n)
n∈Nune suite de fonctions avec f
n∈ E pour tout n, et f ∈ E. Alors :
on dit que (f
n)
nconverge simplement vers f si lim
n→∞f
n(x) = f(x) pour tout x ∈ I ; on dit que (f
n)
nconverge uniformément vers f si
∀ > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N ∀t ∈ I |f
n(t) − f (t)| ≤ , ce qui équivaut au fait que (f
n)
nconverge vers f au sens de la norme N
∞; on dit que (f
n)
nconverge vers f en moyenne si
n→∞
lim Z
10
|f
n(t) − f (t)|dt = 0, c'est-à-dire si (f
n)
nconverge vers f au sens de la norme N
1.
En pratique l'utilisation des normes N
1, N
∞permet de simplier et clarier la rédaction des raisonnements concernant la convergence uniforme et la convergence en moyenne. On rappelle à ce propos qu'une suite de vecteur (v
n)
nconverge vers v au sens d'une norme N si et seulement si lim
n→∞N (v
n− v) = 0 . Exercice.
1. Montrer que pour toute f ∈ E et tout x ∈ I on a |f (x)| ≤ N
∞(f ) .
En déduire que si (f
n)
nconverge uniformément vers f , alors (f
n)
nconverge simplement vers f . 2. Montrer qu'on a N
1(f) ≤ N
∞(f ) pour toute f ∈ E .
En déduire que si (f
n)
nconverge uniformément vers f , alors (f
n)
nconverge vers f en moyenne.
3. Pour tout n on dénit une fonction f
n∈ E en posant f
n(t) = t
n−1sin(πt
n) . a. Montrer que (f
n)
nconverge simplement vers la fonction nulle.
b. Montrer que (f
n)
nconverge en moyenne vers la fonction nulle.
c. Montrer que (f
n)
nne converge pas uniformément vers la fonction nulle.
On pourra rechercher le point t ∈ I où sin(πt
n) atteint son maximum.
d. La suite (f
n)
npeut-elle converger uniformément vers une autre fonction que la fonction nulle ? 4. On considère l'application linéaire suivante :
ψ : E → R , f 7→
Z
1 0sin(t)f ( √ t)dt.
a. Montrer que ψ est bornée relativement à N
∞.
En déduire que si (f
n)
nconverge uniformément vers f , alors
n→∞
lim Z
10
