CONCEPTION ET MODELISATION D'UN NANOCAPTEUR DE MASSE PAR DETECTION PIEZORESISTIVE

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CONCEPTION ET MODELISATION D’UN NANOCAPTEUR DE MASSE PAR DETECTION

PIEZORESISTIVE

Sébastien Labarthe

To cite this version:

Sébastien Labarthe. CONCEPTION ET MODELISATION D’UN NANOCAPTEUR DE MASSE PAR DETECTION PIEZORESISTIVE. Physique [physics]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2010. Français. �tel-00533197�

Universite de Grenoble

Le 15 octobre 2010,

Th` ese en vue de l’obtention du diplˆ ome de

docteur en physique, specialite nanophysique

pr´ epar´ ee au Laboratoire des Composants Micro Syst` emes du CEA- LETI et dans l’´ equipe optique champ proche du CNRS-Institut N´ eel ` a Grenoble

Conception et mod´elisation d’un nanocapteur de masse par d´etection

pi´ezor´esistive

S´ ebastien Labarthe

———–

Directeur de th` ese : Fabio Pistolesi Co-encadrant : Laurent Duraffourg

Membres du jury :

Enrico Rubiola Pr´ esident du jury\Rapporteur

Liviu Nicu Rapporteur

Michael L. Roukes Examinateur

Hermann Sellier Examinateur

Fabio Pistolesi Examinateur

Laurent Duraffourg Examinateur

Remerciements

Je remercie tous ceux qui ont contribu´ e, de pr` es ou de loin, ` a ce travail. Chacun se reconnaitra. D´ esol´ e pour ceux qui auraient souhait´ e voir leur nom apparaitre mais je sais qu’ils me comprendront. En effet, quand on sait que le papier est fabriqu´ e ` a partir d’arbres et que la liste de remerciements aurait pris plusieurs pages, on ne peut s’empˆ echer de repenser au vieux dicton,

CELUI QUI ABATTRA LE DER-

NIER ARBRE SERA AUSSI LE DER-

NIER HOMME.

Table des mati` eres

Remerciements 2

1 Introduction 6

2 Pi´ ezor´ esistivit´ e, consid´ erations g´ en´ erales 8

2.1 D´ eformations et contraintes . . . . 9

2.1.1 Tenseur de d´ eformations . . . . 9

2.1.2 Tenseur de contraintes . . . . 10

2.1.3 Relation entre contraintes et d´ eformations . . . . 11

2.2 Coefficients pi´ ezor´ esistifs . . . . 12

2.2.1 Relation entre r´ esistivit´ e et contraintes . . . . 12

2.2.2 Mesure des coefficients pi´ ezor´ esistifs, cas du silicum . . . . 13

2.2.3 Coefficients pi´ ezor´ esistifs selon une direction quelconque . . . . . 14

2.3 Origines physiques de la pi´ ezor´ esistivit´ e . . . . 17

2.3.1 Structure de bandes dans du silicium non contraint . . . . 18

2.3.2 Transport ´ electrique dans du silicium non contraint . . . . 24

2.3.3 Structure de bandes dans du silicium contraint . . . . 27

2.3.4 Transport dans du silicium contraint . . . . 32

3 Conception des designs 40 3.1 Principe de d´ etection par r´ esonance . . . . 40

3.2 Dimensionnement . . . . 42

3.2.1 Actionnement du NEMS . . . . 47

3.2.2 D´ etection du NEMS . . . . 48

4 Mod´ elisation 53

4.1 Propri´ et´ es m´ ecaniques du NEMS . . . . 53

4.1.1 Modes propres du r´ esonateur . . . . 53

4.1.2 Mod` ele ´ equivalent du r´ esonateur . . . . 57

4.1.3 Contrainte dans les jauges pi´ ezor´ esistives . . . . 58

4.2 Bruits . . . . 61

4.2.1 Fluctuations thermom´ ecaniques . . . . 61

4.2.2 Bruit de Johnson Nyquist . . . . 62

4.2.3 Bruit ´ electronique . . . . 65

4.2.4 Bruits en 1/f . . . . 65

4.3 Analyse automatique . . . . 67

4.3.1 Description du NEMS . . . . 68

4.3.2 Auto-oscillation du NEMS . . . . 69

4.3.3 Bruits en boucle ferm´ ee . . . . 71

4.4 R´ esolution . . . . 73

4.4.1 Jigue de phase . . . . 73

4.4.2 R´ esolution en fr´ equence . . . . 75

4.4.3 R´ esolution en masse . . . . 76

5 Comparatif avec une architecture de d´ etection capacitive 79 5.1 Etude de l’architecture capacitive . . . . 80

5.1.1 Conversion capacitive . . . . 80

5.1.2 Etage d’amplification . . . . 81

5.1.3 Mise en auto-oscillation . . . . 82

5.2 Comparatif des performances pi´ ezor´ esistives et capacitives . . . . 83

5.2.1 Mise en auto-oscillation . . . . 84

5.2.2 R´ esolution des capteurs . . . . 86

6 Effets des non lin´ earit´ es 88 6.1 Actionnement ´ electrostatique . . . . 89

6.2 Non lin´ earit´ e et bruits en 1/f . . . . 91

7 Conclusion 94 A Etude de l’actionnement du NEMS sans n´ egliger la r´ esistance du r´ esonateur 96 A.1 Effet de la r´ esistance situ´ ee en regard de l’´ electrode . . . . 96

A.2 Effet de la r´ esistance provenant du reste de la poutre . . . . 98

B Calcul de la fonction d’autocorr´ elation de l’amplitude d’un bruit blanc

sur une bande localis´ ee 100

Resum´ e 102

Chapitre 1 Introduction

Avec les progr` es technologiques, il devient possible de fabriquer des objets aux di- mensions toujours plus r´ eduites. La r´ eduction des dimensions d’un objet peut modifier radicalement ses propri´ et´ es physiques si bien que celui-ci doit ˆ etre avant tout consid´ er´ e comme un nouvel objet plutˆ ot qu’une simple miniaturisation de son ain´ e. Ce nouvel ob- jet peut aussi bien offrir des performances accrues sur un param` etre physique recherch´ e qu’offrir de nouvelles fonctionalit´ es via des effets physiques masqu´ es auparavant dans les ´ echelles de dimensions consid´ er´ ees.

Ces nouveaux objets viennent alors enrichir la

boite ` a outils

des concepteurs de syst` emes. Cependant, l’int´ egration de ceux-ci ne se fait pas sans heurts. Se situant par d´ efinition ` a la pointe des connaissances technologiques, ces objets ne peuvent ˆ etre manipul´ es avec l’aisance de leurs ain´ es, eux-mˆ emes d´ ej` a int´ egr´ es dans des proc´ ed´ es technologiques hautement complexes. Le concepteur doit respecter cette dynamique im- pos´ ee par la technologie. Il doit donc penser cette int´ egration de mani` ere progressive en commen¸cant par imaginer des architectures de faible complexit´ e technologique. Le fonc- tionnement des syst` emes doit ˆ etre lui aussi repens´ e. En effet, si certaines performances peuvent s’accroitrent avec la miniaturisation, d’autres peuvent se d´ egrader.

L’objet de ce travail est la r´ ealisation d’un capteur ` a l’´ echelle nanom´ etrique. A l’´ echelle microm´ etrique, la plupart des capteurs d´ eja op´ erationnels dans le commerce utilisent une d´ etection de signal en mesurant une variation de capacit´ e. Ce mode de d´ etection doit ˆ etre remis en cause avec la miniaturisation. Ce travail a pour objet d’envi- sager parmi les alternatives possibles ` a la variation capacitive la d´ etection pi´ ezor´ esistive.

Il sera effectu´ e sur l’exemple du capteur de masse, celui-ci ´ etant consid´ er´ e comme pro-

metteur ` a l’´ echelle nanom´ etrique. En effet, la r´ eduction des dimensions de l’´ el´ ement

sensible du capteur diminue sa masse. Lorsqu’une masse ` a mesurer va venir s’accr´ eter sur celui-ci, la variation relative de masse sera d’autant plus grande et donc plus facile

`

a d´ etecter. La possibilit´ e de d´ etecter des masses toujours plus petites offre ainsi des perspectives accrues en spectrom´ etrie de masse.

Ce travail s’inscrit dans le cadre d’un partenariat entre le CEA-LETI

et l’uni- versit´ e CALTECH

. Cot´ e CEA-LETI, un programme Carnot a assign´ e sp´ ecifiquement deux personnes dans le projet de r´ ealisation d’un capteur ` a l’´ echelle nanom´ etrique. Une premi` ere personne, dont ce travail est le fruit, a ´ et´ e d´ edi´ ee ` a la conception et au dimen- sionnement d’un dispositif ` a d´ etection pi´ ezor´ esistive, puis ` a la mod´ elisation des aspects th´ eoriques n´ ecessaires ` a la pr´ ediction des performances du capteur. Une deuxi` eme per- sonne s’est par ailleurs occup´ ee de la mise en œuvre exp´ erimentale pour caract´ eriser le dispositif. La fabrication technologique du dispositif s’est faite en interne par les ´ equipes du CEA-LETI. Bien que les phases de fabrication et de conception ont ´ et´ e men´ ees de concert afin d’assurer la compatibilit´ e entre les proc´ ed´ es technologiques et les objectifs de conception, la phase de fabrication ne sera pas trait´ ee ici. En effet, ce travail ´ etant d´ edi´ e aux aspects th´ eoriques du projet, ni la partie fabrication ni la partie de mise en œuvre exp´ erimentale ne seront d´ evelopp´ ees. Seuls les r´ esultats permettant de refaire le lien avec la th´ eorie seront utilis´ es.

La d´ emarche adopt´ ee pour la r´ ealisation de ce travail est la suivante. Le Chapitre 2 consiste ` a ´ etudier le ph´ enom` ene de la pi´ ezor´ esistivit´ e, avec, entre autres, les propri´ et´ es dues ` a l’anisotropie cristalline, l’influence des dopants et de la temp´ erature. Dans le Cha- pitre 3, les contraintes technologiques seront envisag´ ees afin de proposer un dispositif de d´ etection pi´ ezor´ esistive ` a l’´ echelle nanom´ etrique. Pour connaitre ses performances, une mod´ elisation du syst` eme doit ˆ etre effectu´ ee. Ce travail propose dans le Chapitre 4 une mod´ elisation th´ eorique lin´ eaire conduisant ` a des r´ esultats analytiques. Par rapport ` a une mod´ elisation par simulation informatique, cette mod´ elisation a l’avantage, outre la rapi- dit´ e d’´ ex´ ecution des calculs, de d´ egager une compr´ ehension globale du fonctionnement du dispositif, ainsi que de l’influence des param` etres pertinents sur les performances. Une fois cette compr´ ehension acquise, la comparaison avec la d´ etection capacitive pourra ˆ etre effectu´ ee au Chapitre 5. Enfin, les limites du mod` ele lin´ eaire seront revues dans le chapitre 6 en regardant les influences des non lin´ earit´ es.

1. Laboratoire d’Electronique et Technologies de l’Information du CEA de Grenoble.

2. Universit´e technique de Californie.

Chapitre 2

Pi´ ezor´ esistivit´ e, consid´ erations g´ en´ erales

La pi´ ezor´ esistivit´ e est la propri´ et´ e qu’a un mat´ eriau de voir sa r´ esistance ´ electrique changer lorsque celui-ci est soumis ` a des efforts m´ ecaniques. De mani` ere g´ en´ erale, aussi bien les m´ etaux que les semiconducteurs poss` edent des propri´ et´ es pi´ ezor´ esistives. Pour illustrer ceci, consid´ erons un mat´ eriau soumis ` a une d´ eformation selon sa longueur (Fi- gure 2.1).

Figure 2.1 – R´ esistance soumis ` a une d´ eformation dans le sens de sa longueur.

A partir de la loi d’Ohm R = ρ

, on peut calculer la variation de r´ esistance

∆R

R

=

+

−

,

=

+ (1 + 2ν)

, (2.1)

o` u ν = −

est le coefficient de Poisson du mat´ eriau. Dans cette derni` ere expression, nous voyons que la variation de r´ esistance due ` a la d´ eformation a deux origines. Elle provient d’une part du changement de g´ eom´ etrie du mat´ eriau (facteur 1 + 2ν) et d’autre part de la variation de r´ esistivit´ e (facteur

), engendr´ ee elle aussi par la d´ eformation.

Cette derni` ere est peu notable dans le cas des m´ etaux, leurs propri´ et´ es pi´ ezor´ esistives

sont essentiellement dues au changement de g´ eom´ etrie. Par exemple, pour de l’alumi-

nium, le facteur 1 + 2ν vaut 1, 68, ce qui correspond grosso modo ` a son facteur de jauge

total

. A l’inverse, la variation de r´ esistivit´ e est en g´ en´ eral pr´ edominante pour les semiconducteurs. A temp´ erature ambiante, un facteur de l’ordre de 100 est disponible pour du silicium dop´ e jusqu’` a 10

cm

, comme nous le verrons ` a la fin de ce chapitre.

Afin de profiter des propri´ et´ es particuli` eres des semiconducteurs en terme de pi´ ezor´ esistivit´ e, nous allons par la suite nous focaliser sur le cas du silicium

pour mener notre travail.

Celui-ci ´ etant anisotrope, nous allons ´ etudier ses propri´ et´ es en fonction de l’orientation cristalline, apr` es avoir d´ efini les notions m´ ecaniques de d´ eformations et contraintes, ` a l’origine du ph´ enom` ene pi´ ezor´ esistif. Nous nous attacherons ensuite ` a la compr´ ehension physique de ce ph` enom` ene.

2.1 D´ eformations et contraintes

Dans la th´ eorie de l’´ elasticit´ e [1], le formalisme math´ ematique utilis´ e pour d´ ecrire les ph´ enom` enes m´ ecaniques s’effectue sous forme de tenseurs.

2.1.1 Tenseur de d´ eformations

Lorsqu’un corps solide va se d´ eformer sous l’action de forces, il convient de rep´ erer le d´ eplacement d’un point situ´ e initialement ` a la position

r (de coordonn´ ees x

= x, x

= y, x

= z) pour se retrouver en position

→

r

(de coordonn´ ees x

, x

, x

) apr` es d´ eformation. A l’issue de cette d´ eformation, on peut d´ efinir le vecteur d´ eplacement

u dont les coordonn´ ees sont ´ egales ` a

u

= x

− x

, ∀i = 1, 2, 3.

Dans le cas de faibles d´ eformations

, on d´ efinit le tenseur de d´ eformation U par

U =











U

U

U

U

U

U

U

U

U











,

1. Le silicium est aussi appr´eciable pour son utilisation r´epandue en ´electronique, ce qui le rend directement compatible avec les proc´ed´es courants de fabrication ´electronique.

2. Nous nous pla¸cons dans les cas o`u les faibles d´eformations entrainent des faibles d´eplacements.

Dans la limite o`u les d´eplacementsuisont petits, on n´eglige tous les termes d’ordre sup´erieur comportant des produits de typeuiuj ou de leurs d´eriv´ees.

o` u les U

sont donn´ ees par

U

= 1 2 ( ∂u

∂x

+ ∂u

∂x

).

Ces expressions d´ eterminent la variation de l’´ el´ ement de longueur par suite de la d´ eformation du corps.

2.1.2 Tenseur de contraintes

Lorsque le corps va se d´ eformer, des forces vont prendre naissance ` a l’int´ erieur de celui-ci. Ce sont ces forces qui ram` eneront le solide ` a l’´ etat de repos initial d` es lors que cessera l’action ext´ erieure ` a l’origine de la d´ eformation. Toute l’information relative ` a ces forces internes est contenue dans le tenseur de contraintes

. Pour le d´ efinir, consid´ erons tout d’abord un ´ el´ ement de volume V du solide tel que donn´ e en Figure 2.2.

Figure 2.2 – El´ ement de volume V du solide.

On peut ´ ecrire la r´ esultante des forces exerc´ ees par l’environnement sur la portion V sous la forme

F dV

, o` u F

est la force par unit´ e de volume. Dans le rep` ere cart´ esien (O, x

, x

, x

), F

se d´ ecompose sous la forme F

=

F

x

.

On d´ efinit alors le tenseur de contraintes T tel que ses composantes T

satisfont la relation

F

=

k

∂T

∂x

= ∂T

∂x

+ ∂T

∂x

+ ∂T

∂x

.

3. Il ne faut pas cependant confondre le tenseur de contraintes avec le tenseur de contraintes internes, l’un ´etant l’oppos´e de l’autre.

On remarque que la composante F

s’´ ecrit comme la divergence d’un vecteur

→

T

, F

= div

→

T

, o` u les coordonn´ ees de

→

T

sont donn´ ees par la i

ligne du tenseur T . En orientant la surface d´ elimit´ ee par V selon la normale sortante, un ´ el´ ement de surface s’´ ecrit

→

dS=

dS

x

+dS

x

+dS

x

. Le th´ eor` eme de Green-Ostrogradsky nous donne alors

R

V

F

dV =

div

→

T

dV

=

T

.

→

dS

=

T

dS

.

Ce dernier r´ esultat s’interpr` ete de la fa¸con suivante. Si l’on s’int` eresse par exemple ` a

R

V

F

dV , composante de la force exerc´ ee sur V dans la direction x ~

, on peut d´ ecomposer celle-ci en trois termes. Le premier terme,

1

T

dS

, correspond ` a la force exerc´ ee sur la surface S

, donc une force de compression ou de traction normale ` a la surface. Les deux autres termes,

T

dS

et

T

dS

, sont des forces exerc´ ees dans les plans des surfaces. Elles tendent ` a d´ eplacer les ´ el´ ements de surface de mani` ere parall` ele les uns par rapport aux autres. Ce sont des forces tangentielles appel´ ees forces de cisaillement.

Nous voyons ainsi que les termes diagonaux du tenseur T refl` etent les contraintes normales tandis que les termes non diagonaux concernent les contraintes de cisaillement.

2.1.3 Relation entre contraintes et d´ eformations

Le domaine de l’´ elasticit´ e s’int´ eresse aux d´ eformations d’un corps dans la limite o` u celles-ci sont faibles. Dans cette limite on montre [1] d’une part que les tenseurs T et U sont sym´ etriques mais aussi qu’il existe une relation de lin´ earit´ e entre eux. Cette relation est connue sous le nom de loi de Hooke. Dans le cas le plus g´ en´ eral elle s’´ ecrit

T

=

3

X

k=1 3

X

l=1

α

S

. (2.2)

Le tenseur α ´ etant un tenseur du quatri` eme rang, la manipulation de cette formule est malais´ ee. On proc` ede alors au changement de variable suivant. Pour le tenseur T , on note X

= T

, X

= T

, X

= T

, X

= T

, X

= T

et X

= T

. Ainsi T peut se r´ e´ ecrire

T =











X

X

X

X

X

X

X

X

X











.

De la mˆ eme mani` ere, on d´ efinit

= U

,

= U

,

= U

,

= 2U

,

= 2U

et

= 2U

et U s’´ ecrit alors

U =











/2

/2

/2

/2

/2

/2











.

En consid´ erant ` a la place des tenseurs des vecteurs ` a 6 ´ el´ ements X ~ et ~, l’´ equation (2.2) s’´ ecrit alors sous forme matricielle

X ~ = C~,

o` u le tenseur du quatri` eme rang α est remplac´ e par C, une matrice 6x6 .

2.2 Coefficients pi´ ezor´ esistifs

2.2.1 Relation entre r´ esistivit´ e et contraintes

Dans la limite des faibles d´ eformations, le champ ´ electrique E

, composante du champ dans la direction x ~

, est fonction des densit´ es de courant I

ainsi que des contraintes appliqu´ ees T

[2],

E

= E

(I

, T

) ∀j, k, l = 1, 2, 3.

Si l’on effectue un d´ eveloppement limit´ e autour d’un ´ etat d’origine 0, sans courants ni contraintes, on obtient

dE

=

j

dI

+

kl

dT

+

j∂Im

dI

dI

+

j∂Tkl

dI

dT

+

kl∂Tmn

dT

dT

+ ...

(2.3)

Dans cette derni` ere relation, la signification des termes aux d´ eriv´ ees partielles est la suivante.

j

= ρ

est le tenseur de r´ esistivit´ e ´ electrique,

kl

= d

est le tenseur pi´ ezo´ electrique inverse,

j∂Im

= ρ

est un tenseur de r´ esistivit´ e non lin´ eaire,

j∂Tkl

=

∂

∂Tkl

(

j

) = Π

est le tenseur de pi´ ezor´ esistivit´ e et

kl∂Tmn

= δ

est un tenseur pi´ ezo´ electrique non lin´ eaire. La relation (2.3) se r´ e´ ecrit alors sous la forme

dE

=

j

ρ

dI

+

kl

d

dT

+ 1 2

X

jm

ρ

dI

dI

+

jkl

Π

dI

dT

+ 1 2

X

klmn

δ

dT

dT

.

(2.4)

Dans de nombreux mat´ eriaux pi´ ezor´ esistifs, notamment dans le cas du silicium qui va nous int´ eresser dans la suite de cet ouvrage, cette relation se simplifie. Les consid´ erations de sym´ etrie du silicium imposent aux tenseurs de rang impairs d’ˆ etre nul [2] dans (2.4).

A partir de la relation diff´ erentielle (2.4), on peut donc ´ ecrire l’equation d’´ etat E

=

j

ρ

I

+

jkl

Π

T

I

. (2.5)

Cette ´ equation d’´ etat permet de calculer la r´ esistivit´ e sous contraintes ρ

(T ) = ∂E

∂I

= ρ

(0) +

kl

Π

T

.

La variation de r´ esistivit´ e par rapport ` a l’´ etat non contraint s’´ ecrit finalement ( δρ

ρ )

= ρ

(T ) − ρ

(0) ρ

(0) =

kl

π

T

, (2.6)

o` u π

= Π

/ρ

(0) est renormalis´ e par rapport ` a la r´ esistivit´ e non contrainte. π

s’exprime ainsi en P a

.

2.2.2 Mesure des coefficients pi´ ezor´ esistifs, cas du silicum

Nous avons vu dans la section pr´ ec´ edente que les tenseurs de r´ esistivit´ e et de contraintes sont reli´ es au moyen du tenseur de pi´ ezor´ esistivit´ e. Celui-ci ´ etant un tenseur de rang 4, on proc` ede au mˆ eme changement de variable qu’en section (2.1.3). Le tenseur peut alors s’´ ecrire au moyen d’une matrice 6x6. En tenant compte des propri´ et´ es de sym´ etrie du silicium cette matrice s’´ ecrit

π =































π

π

π

0 0 0 π

π

π

0 0 0 π

π

π

0 0 0

0 0 0 π

0 0

0 0 0 0 π

0

0 0 0 0 0 π































, (2.7)

dans le cas o` u les directions ( x ~

, x ~

, x ~

) co¨ıncident avec les orientations cristallines (100),

(010) et (001).

Smith [3] fut le premier ` a mesurer ces coefficients. Il caract´ erisa le tenseur entier pour du silicium dop´ e p de r´ esistivit´ e 7, 8 Ω.cm. Cela donna

π =































6, 6 −1, 1 −1, 1 0 0 0

−1, 1 6, 6 −1, 1 0 0 0

−1, 1 −1, 1 6, 6 0 0 0

0 0 0 138, 1 0 0

0 0 0 0 138, 1 0

0 0 0 0 0 138, 1































x10

P a

.

Afin d’obtenir la meilleure transduction possible entre contraintes m´ ecaniques et va- riation de r´ esistivit´ e, il est fondamental dans la conception de dispositifs ` a d´ etection pi´ ezor´ esistive d’obtenir des valeurs ´ elev´ ees des coefficients pi´ ezor´ esistifs. Nous voyons sur cet exemple que contraindre une jauge de silicium dop´ e p dans la direction (100) n’offre pas une bonne transduction pour une d´ etection ni longitudinale (coefficient π

) ni transversale (coefficient π

). Le silicium ´ etant anisotrope, on peut se demander quelles directions peuvent s’av´ erer pertinentes pour assurer la meilleure transduction. C’est l’objet de la prochaine section.

2.2.3 Coefficients pi´ ezor´ esistifs selon une direction quelconque

Connaissant les coefficients du tenseur π dans le rep` ere (O, x

, x

, x

), on peut se demander quelles seraient les valeurs prises dans un rep` ere quelconque (O, x

, x

, x

), transform´ e du rep` ere initial par rotation suivant les angles d’Euler (Figure 2.3).

Ce calcul a ´ et´ e effectu´ e par Kanda [4]. En reprenant les notations de Dirac, la relation entre les vecteurs |x

> et |x

> se fait au moyen d’une matrice de passage P telle que

|x

>=

P

|x

>.

Commen¸cons par calculer le nouveau tenseur de contraintes T

en fonction de T . A ce stade, aucun tenseur de quatri` eme rang n’intervenant, il n’est pas utile d’effectuer de changement de variable sur T .

Tenseur de contraintes

T et T

´ etant des repr´ esentatives dans des bases diff´ erentes de la mˆ eme grandeur

physique, les forces surfaciques < x

|T

|x

> et < x

|T |x

> exerc´ ees sur un ´ el´ ement de

Figure 2.3 – Rotations du rep` ere initial suivant les angles d’Euler.

volume consid´ er´ e par son environnement sont identiques. Il vient T

=< x

|T |x

>,

=

< x

|P

T P

|x

>,

=

P

P

T

.

(2.8)

La matrice de passage P est issue de la compos´ ee de trois rotations, une rotation R

d’angle φ, R

d’angle θ et R

d’angle ψ, conform´ ement ` a la Figure 2.3. Elle s’´ ecrit donc P = R

R

R

avec

R

=











cosφ sinφ 0

−sinφ cosφ 0

0 0 1











,

R

=











cosθ 0 −sinθ

0 1 0

sinθ 0 cosθ











,

R

=











cosψ sinψ 0

−sinψ cosψ 0

0 0 1











.

En effectuant le produit R

R

R

, on trouve

P =











cosψcosθcosφ − sinψsinφ cosψcosθsinφ + sinψcosφ −cosψsinθ

−sinψcosθcosφ − cosψsinφ −sinψcosθsinφ + cosψcosφ sinψsinθ

sinθcosφ sinθsinφ cosθ











.

Si l’on ´ ecrit P sous la forme

P =











l

m

n

l

m

n

l

m

n











,

on s’aper¸coit que le calcul de l

+ m

+ n

donne 1. Ceci conduit ` a la propri´ et´ e (l

+ m

+ n

)

= l

+ m

+ n

+ 2l

m

+ 2l

n

+ 2m

n

,

= 1. (2.9)

Coefficients pi´ ezor´ esistifs

Pour calculer les coefficients pi´ ezor´ esistifs, il faut maintenant effectuer le changement de variables vu en section 2.1.3. Nous passons alors dans un espace ` a 6 dimensions o` u les vecteurs sont maintenant les ´ el´ ements du tenseur de contrainte |X

> ou |X

>

selon l’orientation spatiale consid´ er´ ee. Les tenseurs π

et π sont reli´ es par la relation

< X

|π

|X

>=< X

|π|X

> quelles que soient les valeurs de λ et µ variant de 1 ` a 6.

Calculons par exemple le coefficient longitudinal π

, celui-ci nous sera utile par la suite. En utilisant la relation (2.8) nous obtenons

|X

>= |T

>= l

|X

> +m

|X

> +n

|X

> +2m

n

|X

> +2l

n

|X

> +2l

m

|X

> . Nous en d´ eduisons

π

= < X

|π

l

|X

> +m

|X

> +n

|X

> +2m

n

|X

> +2l

n

|X

> +2l

m

|X

>

,

= l

(l

π

+ m

π

+ n

π

) + m

(l

π

+ m

π

+ n

π

) + . . .

. . . + n

(l

π

+ m

π

+ n

π

) + 4m

n

π

+ 4l

n

π

+ 4l

m

π

,

= (l

+ m

+ n

)π

+ (2l

m

+ 2l

n

+ 2m

n

)(π

+ 2π

),

= π

+ (2l

m

+ 2l

n

+ 2m

n

)(π

+ 2π

− π

),

(2.10)

o` u la propri´ et´ e (2.9) a ´ et´ e utilis´ ee pour obtenir le r´ esultat final.

Sur la base de ce r´ esultat, Kanda [4] a ´ etabli des abaques permettant d’obtenir la valeur de π

pour diff´ erentes configurations dans des cas de silicium dop´ e n et p. Pour du silicium dop´ e p, la direction qui maximise π

est la direction (111). Cependant, cette direction n’est pas accessible sur les wafers standards car ils sont orthogonaux

`

a la direction (001). La direction qui maximise π

devient alors la direction (110).

En appliquant (2.10) avec les valeurs de Smith [3] on trouve pour cette direction un coefficient longitudinal de 72 10

P a

. Pour du silicium dop´ e n, la direction (100) offre un coefficient ´ equivalent.

2.3 Origines physiques de la pi´ ezor´ esistivit´ e

Le syst` eme physique qui nous int` eresse est le silicium dans l’´ etat solide monocristal- lin. Dans l’´ etat de cristal, les atomes constitutifs du r´ eseau cristallin sont arrang´ es de mani` ere p´ eriodique dans une structure de type diamant (Figure 2.4).

Figure 2.4 – Structure cristalline du silicium.

La distance interatomique dans le r´ eseau joue un rˆ ole important dans les propri´ et´ es de transport ´ electrique du mat´ eriau. Pourtant, ` a cause des propri´ et´ es de sym´ etrie du silicium, la conductivit´ e ne d´ epend pas de l’orientation cristalline chez celui-ci. Cepen- dant, l’effet d’une contrainte m´ ecanique ´ etant de modifier les distances interatomiques, les propri´ et´ es de sym´ etrie se trouvent en g´ en´ eral bris´ ees. Cette brisure exhibe alors le caract` ere anisotropique du silicium en terme de conductivit´ e, dˆ u ` a la variation de la distance interatomique avec l’orientation cristalline. Cette grandeur va donc jouer un rˆ ole clef dans la compr´ ehension du ph´ enom` ene de pi´ ezor´ esistivit´ e.

Les premiers mod` eles de physique des solides, les mod` eles de Drude puis de Sommer-

feld, ne tiennent pas comptent dans leurs hypoth` eses fondamentales [5] de l’action du

r´ eseau cristallin sur les propri´ et´ es de transport. Ceux-ci ne sont donc pas pertinents pour aborder le ph´ enom` ene de pi´ ezor´ esistivit´ e. L’action du r´ eseau a ´ et´ e par la suite prise en compte pour conduire ` a la th´ eorie des bandes. Nous allons donc commencer par faire un rappel de celle-ci, ainsi que de la th´ eorie du transport ´ electronique dans du silicium non contraint. Nous envisagerons ensuite l’effet des contraintes m´ ecaniques sur la structure de bandes et sur les propri´ et´ es de transport.

2.3.1 Structure de bandes dans du silicium non contraint

Equation de Schr¨ odinger

A l’´ etat stationnaire, la fonction d’onde Ψ de notre syst` eme, compos´ e de noyaux de silicium et d’´ electrons, ob´ eit ` a l’´ equation de Schr¨ odinger

HΨ = EΨ.

L’Hamiltonien du syst` eme s’´ ecrit

H =

l

p

2M +

l<m

U (| R ~

− R ~

|) +

i

p

2m +

i<j

e

4π

|~ r

− r ~

| +

i,l

W (|~ r

− R ~

|), (2.11) o` u

les vecteurs R ~

, R ~

rep` erent les positions des noyaux et r ~

, r ~

les positions des

´ electrons.

M est la masse d’un noyau, m celle d’un ´ electron.

p²_l

2M

est l’´ energie cin´ etique du noyau l.

p²_i

2m

est l’´ energie cin´ etique de l’´ electron i.

U (| R ~

− R ~

|) repr´ esente le potentiel d’int´ eraction entre les noyaux l et m.

e²

4π0|~ri−r~j|

est le potentiel d’int´ eraction entre les ´ electrons i et j .

W (|~ r

− R ~

|) repr´ esente le potentiel d’int´ eraction entre l’´ electron i et le noyau l.

Pour tenter de r´ esoudre cette ´ equation extr` emement complexe, les approximations suivantes sont effectu´ ees.

4. Pour des raisons de simplicit´e, nous n´egligeons ici le couplage spin-orbite.

Approximations

L’approximation des liaisons fortes concerne essentiellement les ´ electrons de coeur de chaque atome. Dans l’´ etude de l’atome de silicium isol´ e, les ´ electrons de coeur sont situ´ es sur les orbitales pleines 1s

, 2s

et 2p

. Les fonctions d’onde de ces ´ electrons ´ etant localis´ ees autour du noyau, on peut penser qu’elles seront toujours pertinentes dans le cristal si leur localisation reste faible devant la distance interatomique. Du fait du non recouvrement des fonctions d’ondes entre deux atomes voisins, la description atomique reste encore appropri´ ee dans le cristal pour les ´ electrons de coeur. L’´ equation (2.11) se trouve alors modifi´ ee de la fa¸con suivante. Les indices l et m repr´ esentent non plus les noyaux mais des ions de charge Ze avec Z = 4 dans le cas du silicium. Les indices i et j ne repr´ esentent plus que les ´ electrons de valence.

On peut ´ ecrire les potentiels d’int´ eractions U et W sous la forme U (| R ~

− R ~

|) = Z

e

4π

| R ~

− R ~

| , W (|~ r

− R ~

|) = − Ze

4π

|~ r

− R ~

| .

Dans l’hypoth` ese o` u le d´ eplacement |δ ~ R| = | R− ~ R ~

| des ions autour de leurs positions d’´ equilibre R ~

est faible devant les distances ´ electrons-ions |~ r − R ~

|, on peut faire un d´ eveloppement limit´ e du potentiel W en n´ egligeant les termes d’ordres sup´ erieurs ` a 1.

Le calcul donne

W (|~ r

− R ~

|) = − Ze

4π

|~ r

− R ~

− δ ~ R

| = − Ze

4π

|~ r

− R ~

| − Ze

4π

|~ r

− R ~

|

(~ r

− R ~

) ·δ ~ R

. Le terme d’ordre 0 ne d´ epend plus de la position des ions, c’est un terme purement

´ electronique. Le terme d’ordre 1 est n´ eglig´ e dans le calcul de la structure de bandes, il est seulement pris en compte en tant que terme perturbatif dans le transport ´ electrique.

Le calcul de la structure de bandes se fait donc en consid´ erant les ions fixes dans leur positions d’´ equilibre. Les int´ eractions ´ electron-ion sont cependant prises en compte par le terme d’ordre 0, terme auparavant n´ eglig´ e dans les mod` eles de Drude et de Sommerfeld.

Dans cette hypoth` ese, la fonction d’onde Ψ(~ r, ~ R) peut alors se d´ ecoupler sous la forme

Ψ(~ r, ~ R) = φ(~ r)Φ( R). ~

L’Hamiltonien non perturb´ e se divise en deux parties, une partie ´ electronique H

=

i

p

2m +

i<j

e

4π

|~ r

− r ~

| −

i,l

Ze

4π

|~ r

− R ~

| , et une partie ionique

H

=

l

p

2M +

l<m

U (| R ~

− R ~

|).

La solution de la partie ´ electronique conduit ` a la structure de bandes qui nous int´ eresse tandis que la partie ionique d´ ecrit la dynamique des vibrations du r´ eseau, connues aussi sous le nom de phonons. Malgr´ e le d´ ecouplage avec les phonons, l’Hamil- tonien ´ electronique reste un Hamiltonien ` a N corps tr` es complexe. Une nouvelle approxi- mation, l’approximation de ”Hartree”, consiste ` a remplacer les int´ eractions ´ electron-

´ electron par un potentiel de champ moyen V (~ r) dans lequel les ´ electrons se d´ eplacent ind´ ependamment les uns des autres. Une propri´ et´ e importante de ce potentiel est qu’il poss` ede la p´ eriodicit´ e du r´ eseau pour un cristal parfait

. Tout comme W qui poss` ede aussi la p´ eriodicit´ e du r´ eseau, V satisfait ` a la relation

V (~ r + G) = ~ V (~ r), pour tout vecteur G ~ du r´ eseau.

On peut donc ` a nouveau effectuer un d´ ecouplage de la fonction d’onde φ(~ r) =

i

φ

(~ r

),

o` u les φ

(~ r

) sont des fonctions d’ondes ` a un ´ electron. L’Hamiltonien de l’´ electron i s’´ ecrit finalement

H

= p

2m + V (~ r

) −

l

Ze

4π

|~ r

− R ~

| . Calcul de la structure de bandes

Nous avons vu que grˆ ace aux approximations de la section pr´ ec´ edente le probl` eme du cristal parfait se ram` ene ` a la r´ esolution d’une ´ equation de Schr¨ odinger ` a une particule du type

( p

2m + V

(~ r))φ = Eφ, (2.12)

5. Dans un cristal parfait, les ions sont agenc´es de mani`ere parfaitement p´eriodique aux noeuds d’un r´eseau de Bravais, en absence de toutes impuret´es.

o` u V

(~ r) = V (~ r) −

4π0|~r−R~0l|

poss` ede la p´ eriodicit´ e du r´ eseau. La grande difficult´ e r´ esidant dans cette ´ equation provient du potentiel effectif V . Celui-ci d´ epend en effet de la solution φ, ce qui rend le probl` eme auto-consistant et n´ ecessite un traitement math´ ematique num´ erique pour trouver une solution auto-coh´ erente

. Ce probl` eme mis

`

a part, le th´ eor` eme de ”Bloch” s’applique puisque V

a la p´ eriodicit´ e du r´ eseau. Les solutions propres de (2.12) sont alors de la forme

φ

(~ r) = e

u

(~ r), o` u u

(~ r) satisfait la relation

u

(~ r + G) = ~ u

(~ r), pour tout vecteur G ~ du r´ eseau.

Pour en revenir au probl` eme d’auto-consistance, diff´ erentes m´ ethodes peuvent en g´ en´ eral ˆ etre utilis´ ees [5] pour s’en affranchir. Citons la m´ ethode de l’approximation ~k · ~ p, particuli` erement utilis´ ee dans les probl` emes de pi´ ezor´ esistivit´ e dop´ e p [6]. L’approxima- tion ~k · ~ p consiste ` a d´ ecrire la structure de bandes en effectuant un d´ eveloppement en perturbation ` a partir du centre de la zone de Brillouin. Cette zone joue un rˆ ole important dans les propri´ et´ es de transport des trous car le maximum de la bande de valence est lui aussi situ´ e au centre. La premi` ere zone de Brillouin est repr´ esent´ ee en Figure 2.5. Dans cette figure, la direction ∆ relie le point Γ au point X de coordonn´ ees 2π/a

(1, 0, 0). La direction Λ relie le point Γ au point L de coordonn´ ees 2π/a

(1/2, 1/2, 1/2). La direction Σ relie le point Γ au point K de coordonn´ ees 2π/a

(3/4, 3/4, 0).

Calculons tout d’abord ~ pφ

(~ r),

~

pφ

(~ r) =

∇φ

(~ r),

=

∇(e

u

(~ r)),

= e

(¯ h~k + ~ p)u

(~ r).

Nous voyons donc que ~ pφ

(~ r) est un vecteur ` a trois composantes, la composante j s’´ ecrivant e

(¯ hk

+ p

)u

(~ r). A partir de ce r´ esultat, on peut calculer p

φ

(~ r) =

6. Une solution auto-coh´erente φ conduit `a un potentiel V et donc `a une ´equation (2.12) dont φ sera solution. Pour trouver cette solution, on part d’un potentielV₀ arbitrairement choisi puis on it`ere la r´esolution de (2.12) jusqu’`a converger vers la solution auto-coh´erente.

Figure 2.5 – Premi` ere zone de Brillouin du silicium.

P

j

p

φ

(~ r). On obtient

p

φ

(~ r) =

j

p

φ

(~ r),

=

¯ hk

e

(¯ hk

+ p

)u

(~ r) + e

(¯ hk

p

+ p

)u

(~ r),

=

e

(¯ h

k

+ 2¯ hk

p

+ p

)u

(~ r),

= e

(¯ h

k

+ 2¯ h~k · p ~ + p

)u

(~ r).

Ainsi, l’´ equation de Schr¨ odinger (2.12) se ram` ene ` a la r´ esolution de l’´ equation ( p

2m + V

(~ r) + h ¯

m ~k · ~ p)u

(~ r) = E

u

(~ r), (2.13) o` u E

= E −

. L’approximation ~k · ~ p consiste ` a r´ esoudre (2.13) en consid´ erant le terme

~k · p ~ comme une perturbation. On cherche dans un premier temps les solutions exactes de (2.13) en ~k = ~ 0, l’Hamiltonien au centre de la zone de Brillouin correspond alors ` a l’Hamiltonien non perturb´ e. Dans un deuxi` eme temps, on d´ eveloppe en pertur- bation les solutions pour les valeurs de ~k non nulles dans la base des solutions exactes pr´ ec´ edemment calcul´ ees.

Un calcul de structure de bande par la m´ ethode ~k · p ~ est donn´ e en Figure 2.6.

Sur cette figure, nous voyons que le sommet de la bande de valence est situ´ e au centre de la zone de Brillouin. Deux bandes convergent en ce point, elles sont donc d´ eg´ en´ er´ ees au sommet. On les appelle commun´ ement bande des trous lourd (HH pour

”Heavy Holes”) et bande des trous l´ egers (LH pour ”Light Holes”). Nous verrons dans la

Figure 2.6 – Structure de bandes obtenue par la m´ ethode ~k · ~ p, d’apr` es [7].

section suivante que la masse effective des porteurs est reli´ ee ` a la courbure de bande, la masse diminuant lorsque la courbure augmente. Il existe une troisi` eme bande, appel´ ee bande ”split-off”, situ´ ee ` a environ 44 meV du sommet. Ce d´ ecalage avec le sommet provient de l’int´ eraction spin-orbite.

Le minimum de la bande de conduction est situ´ e sur la direction ∆, ses coordonn´ ees sont environ 2π/a

(0, 85, 0, 0). De part la structure cubique du silicium, la direction ∆ poss` ede six directions ´ equivalentes. Il existe donc six minima de la bande de conduction, on dit que le silicium est un semi-conducteur multivall´ ee ` a 6 vall´ ees. Au voisinage d’un minimum localis´ e en ~k = k ~

, on peut faire un d´ eveloppement limit´ e de la relation de dispersion E(~k). La d´ eriv´ ee premi` ere s’annulant du fait du minimum, il vient

E(~k) = E( k ~

) + 1 2

∂E

∂k

|

(k

− k

)

+ 1 2

∂E

∂k

|

(k

− k

)

+ 1 2

∂E

∂k

|

(k

− k

)

. Ainsi, au voisinage des minima, les surfaces d’iso-´ energie sont des ellipso¨ıdes. Celles-ci sont repr´ esent´ ees sur la Figure 2.7.

Figure 2.7 – Repr´ esentation sch´ ematique des surfaces d’iso-´ energie aux voisinage des

6 minima de la bande de conduction.

Nous voyons que la variation d’´ energie de E(~k) n’est pas isotrope. Elle est plus rapide dans le plan perpendiculaire ` a la direction ∆ que suivant ∆.

2.3.2 Transport ´ electrique dans du silicium non contraint

Nous allons dans cette section ´ etudier le comportement de notre mat´ eriau lorsqu’il est soumis ` a un champ ´ electrique externe E. Cela permettra de calculer la conductivit´ ~ e du mat´ eriau en absence de contraintes m´ ecaniques. Cette expression permettra de voir l’´ evolution de la conductivit´ e lorsque celle-ci sera calcul´ ee dans la section suivante en pr´ esence de contraintes. Avant d’aborder les calculs de conductivit´ e, il est cependant n´ ecessaire d’appr´ ehender d’une part l’effet des collisions et d’autre part le mouvement entre deux collisions d’un ´ electron. Commen¸cons par ce dernier qui conduit au concept de masse effective.

Notion de masse effective

Nous avons vu ` a la section pr´ ec´ edente comment calculer la structure de bandes et aboutir ` a la relation de dispersion E

(~k) pour chaque bande n de notre mat´ eriau ` a l’´ equilibre. Cette relation, obtenue ` a l’´ equilibre thermodynamique, va s’av´ erer tr` es utile pour les calculs de transport hors ´ equilibre dans la mesure o` u l’on consid` ere qu’elle n’est pas affect´ ee par la perturbation du champ ´ electrique externe. En effet, cette re- lation contient toute l’information concernant les int´ eractions internes ´ electron-ion et

´ electron-´ electron ` a travers le potentiel cristallin V

dans l’´ equation (2.12). Il reste alors

`

a ajouter l’effet des forces externes F ~

. Ces forces peuvent s’´ etudier dans le cadre du mod` ele semi-classique. A condition de ne pas chercher ` a localiser un ´ electron sur une

´ echelle comparable ` a la distance interatomique, on consid` ere celui-ci comme une parti- cule classique en ce qui concerne l’action des forces externes. On peut alors appliquer la m´ ecanique classique pour connaitre le mouvement de chaque ´ electron entre deux collisions.

Si l’on associe ` a chaque ´ electron une position ~ r et un vecteur d’onde ~k, les ´ equations semi-classiques qui r´ egissent ce mouvement sont [5]

d~r

dt

= v

(~k) =

∇

E

(~k),

¯

h

= F ~

= −e ~ E (~ r, t).

A partir de ces ´ equations, on calcule le vecteur acc´ el´ eration ~a. En prenant comme no-

tations des coordonn´ ees dans l’espace des k (k

, k

, k

) ` a la place de (k

, k

, k

), cela