Mode mou et fluctuations critique dans les transitions de phase successives de KNb03

HAL Id: tel-01775690

https://hal.univ-lorraine.fr/tel-01775690

Submitted on 24 Apr 2018

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Mode mou et fluctuations critique dans les transitions de phase successives de KNb03

Marc Fontana

To cite this version:

Marc Fontana. Mode mou et fluctuations critique dans les transitions de phase successives de KNb03.

Physique [physics]. Université Paul Verlaine - Metz, 1985. Français. �NNT : 1985METZ015S�. �tel- 01775690�

AVERTISSEMENT

Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la communauté universitaire élargie.

Il est soumis à la propriété intellectuelle de l'auteur. Ceci implique une obligation de citation et de référencement lors de l’utilisation de ce document.

D'autre part, toute contrefaçon, plagiat, reproduction illicite encourt une poursuite pénale.

Contact : ddoc-theses-contact@univ-lorraine.fr

LIENS

Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122. 4

Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 335.2- L 335.10 http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php

http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm

SlnL

v v t _

THESE

présentêe à

L ' U N I V E R S I T E D E M E T Z p o u r o b t e n i r l e g r a d e d e

D O C T E U R E S S C I E N C E S P H Y S I Q U E S p a r

MARC FONTANA

M a î t r e - A s s i s t a n t à I ' I . U . T . d e M e t z

M O D E M O U E T F L U C T U A T I O N S C R I T I O U E S D A N S L E S T R A N S I T I O N S D E P H A S E S U C C E S S I V E S D E K N b O 3

S o u t e n u e l e 1 1 i u i l l e t 1 9 8 5 d e v a n t l a C q n m i s s i o n d ' E x a m e n M M . le s P r o f e s s e u r s A . A U T H I E R , P r é s i d e n t

H . B I L Z , W . K R E S S ,

K . A . M i j L L E R , R a P P o r t e u r J . L A J Z E R O W I C Z , R a P P o r t e u r M . C E R T I E R ,

C. CARABATOS, RaPPorteur

BIBLIOTHEQU C UruI VT RS ITNIRC

?FraL?s i

The- mo,st uninte.LtigLb.Le thing about tl'te wont-d i thal ^.t i iwte'L(igib.Le.

A . E l N S T E I N

H ntg\ epeu'se

\ / l n 0 q - a a" /\ûa- Ju{'{q' Jaxa-ry

1] /v\CI- ^rnù-e, t, i 0o N".i,,.i.eur-o de //lo4^- P-exL '

L e t r a v a i l r a p p o r t é d a n s c e m é m o i r e d e t h è s e a é t é e f f e c t u é a u L a b o r a t o j - r e d e G é n i e P h y s i q u e ( J e u n e E q u i p e C . N . R . S . n o 9 5 t g l o / C ' L ' O ' E ' S ' ) d e I ' U n i v e r s i t é d e l " I e L z , s o u s I a d i r e c t i o n d e M o n s i e u r l e P r o f e s s e u r C . C A R A B A T O S ' A t o u t m o m e n t M o n s i e u r C A R A B A T O S m ' a p r o d i g u é s o n e x p é r i e n c e e t s e s c o n s e i l s - . . i ^ ^ ^ r ^ + ; ^ h ^ à I e r e m e r c i e r v i v e m e n t d e I ' a i d e e t d e I a c o n f i a n c e q u ' i I

d V I S Y > . U Ë L I E I I J

m ' a t o u j o u r s t e m o i g n é e s d a n s I ' e l a b o r a t i o n d e c e t t e t h è s e .

L a s o u t e n a n c e d e c e t t e t h è s e a é t é r e n d u e p o s s i b l e g r â c e à I ' a c c o r d d e M E S S i C U T S IE S P T O f E S S E U T S A . A U T H I E R , H . B I L Z ' W . K P E S S ' K ' A ' M Û L L E R ' J ' L A J Z E R O W I C Z I M . C E R T I E R , q u i o n t p u s e r e n d r e d i s p o n i b t e s m a l g r e l e u r s n o m b r e u s e s o c c u p a t i o n s '

J e s u i s r e c o n n a i s s a n t à M o n s i e u r A ' A U T H I E R ' P r o f e s s e u r à I ' U n i v e r s i t e p a r i s V I d e m e f a i r e I ' h o n n e u r d e s ' i n t ê r e s s e r à c e t r a v a i l e t d e p r é s i d e r l e i r r r v - , T r e x n r i m e m a g r a t i t u d e à l ' é g a r d d e M o n s i e u r J . L A J Z E R O W I C Z , P x o t e s s e u r à I ' U n i v e r s i t é d , e G r e n o b l e e t à l 4 o n s i e u r K . A . M Û L L E R , P r o f e s s e u r à I ' I B M d e Z û r i c h d ' a v o i r a c c e p t é I a t â c h e i n g r a t e d e r a p p o r t e u r . J ' a d r e s s e m e s s i n c è r e s r e m e r c i e - m e n t s à M e s s i e u r s H . B T L I , P r o f e s s e u r à l ' I n s t i t u t M a x ' P l a n c k d e s t u t t g a r t ' à

M . C E R T I E R , p r o f e s s e u r à I ' U n i v e r s i t é d e M e t z e t à W . K R E S S , C h e r c h e u r à I ' I n s t i ' t u t I . l a x p l a n c k d e S t u t t q a r t d . ' a v o i r b i e n v o u f u j u g e r c e t r a v a i l .

J e s u i s p a r t i c u l i è r e m e n t f i e r d e l a p a r t i c i p a t i o n a u j u r y d e

M e s s i e u r s l e s p r o f e s s e u r s H . B r L z e t K . A . u u r , l e n v e n u s d e l ' é t r a n g e r q u i o n t t o u s d e u x c o n t r i b u é d e m a n i è r e d é t e r m i n a n t e à l a c o m p r é h e n s i o n d u m é c a n i s m e d e s t r a n -

s i t i o n s d e p h a s e s t r u c t u r a l e s . J ' e s p è r e m e m o n t r e r d i g n e d e l a c o n f i a n c e q u r a i n s i i I s m e t é m o i g n e n t .

C e t r a v a i l n ' a u r a i t p u ê t r e m e n é à b i e n s a n s I a c o l l a b o r a t i o n p r é c i e u s e e t a m i c a l e d , e F . G E R V A I S e t J . L . S E R V O I N d u C . N . R . S - d ' O r l é a n s , d e W . K L E E M A N N e t F . J . S C H Â F E R d e I ' U n i v e r s i t é d e D u i s b u r g ( R . f . a . ) , a i n s i q u e d e G . D o L L I N G d u C e n t r e n u c l é a i r e d e C h a l k R i v e r ( C a n a d a ) . J e l e s r e m e r c i e d e m ' a v o i r f a i t b e n é f i c i e r d e l e u r e x p é r i e n c e e t c o m p é t e n c e s .

J e s u i s d ' a u t r e p a r t r e c o n n a i s s a n t à G . M E T R A T d e I ' U n i v e r s i t é d e L y o n d e m ' a v o i r f o u r n i g r a c i e u s e m e n t l e s é c h a n t i l l o n s u t i l i s é s l o r s d e c e t t e é t u d e .

J e t i e n s à a s s u r e r m o n c o l l è g u e G . K U G E L d e m a p r o f o n d e r e c o n n a i s s a n c e e t d e m o n a m i t i ê . 1 l a b i e n v o u l u m ' a p p o r t e r S o n a i d e e t s e s p r é c i e u x e n c o u r a g e m e n c s ' m ê m e l o r s q u e s o n p r o p r e t r a v a i l l ' é I o i g n a i t d e c e c h a m p d ' a c t i v i t e s '

M e s r e m e r c r e m e n t s v o n t à t o u s m e s c o l l è g u e s d e l a b o r a t o i r e q u i m ' o n t e n t o u r é d e l e u r s y m p a t h i e e t q u i m ' o n t s u p p o r t é p e n d a n t c e t r a v a i l ' J e v o u d r a i s a s s o c i e r é g a l e m e n t à c e s r e m e r c i e m e n t s t o u t l e p e r s o n n e l a d m i n i s t r a t i f , t e c h n i q u e e t e n s e i g n a n t d e I ' I . U . T . . E n f i n , j e v o u d r a i s e x p r i m e r m a g r a t i t u d e à t o u s c e u x q u i m ' o n t a p p o r t é l e u r s c o n c o u r s l o r s d e l a r é a l i s a t i o n d e c e m é m o i r e , e n

p a r t i c u l i e r N . W E S T P H A L q u i a é I a b o r e l e s f i g u r e s e t M a d a m e B O M B A R D I E R q u i s r e s t a c q u i t t é e a v e c s o i n e t e f f i c a c i t é d e l a l o u r d e t â c h e d e d a c t y l o g r a p h i e '

A V A N T P R O P O S

L o r s d e l a r é d a c t i o n d e c e m é m o i r e , j e m e s u i s t r o u v é c o n f r o n t é à u n p r o b l è m e p r o p r e à t o u t a u t e u r d e t h è s e d ' E t a t . I l s ' a g i s s a i t e n e f f e t d e r a p p o r t e r d e l a m a n i è r e l a m o i n s o b s c u r e e t i n c o m p L è t e q u e p o s s i b l e , u n e n s e m b l e d e t r a v a u x d e r e c h e r c h e s u r u n s u j e t d o n n é ; e n l t o c c u r e n c e c e t t e é t u d e c o u v r e e n v i l o n c i n q a n n é e s d t i n v e s t i g a t i o n s ' t a n t e x p é r i m e n t a l e s q u e t h é o r i q u e s a p r è s m a t h è s e d e 3 e c y c l e .

J ' a i f a i t l e c h o i x d e r e n d r e c o m P t e e n d é t a i l d e 1 a t o t a l i t é d e s r é s u l t a t s e t d e l e u r i n t e r p r é t a t i o n ' a u r i s q u e d t a l l o u r d i r c e t o u v r a g e ' J ' a i e n e f f e t c o n s i d é r é q u e j e d e v a i s f o u r n i r t o u t e s l e s é t a p e s d e I ' a g e n - c e m e n t d e c e t r a v a i l e n i n c l u a n t l e s a s p e c t s m ê m e c o n t r a d i c t o i r e s o u l e s é 1 é m e n t s i n e x p l i q u é s a f i n d e p o u v o i r d a v a n t a g e e n d é b a t t r e . J ' a i a u s s i ' c r u

b o n d t e f f e c t u e r u n c e r t a i n n o m b r e d e r a p p e l s t h é o r i q u e s b i e n c o n n u s e n 1 e s a p p l i q u a n t à m o n é t u d e e t e n l e s d i s c u t a n t a u v u d e m e s r é s u l t a t s '

M a l g r é l e c h o i x c o n t e s t a b l e q u e j ' a i o p é r é , j e s o u h a i t e v i v e m e n t q u , e n d é p i t d e s a l o n g u e u r c e t r a v a i l c o n t r i b u e , m ê m e d e m a n i è r e l i m i t é e , à l a c o m p r é h e n s i o n d e s t r a n s i t i o n s d e p h a s e s t r u c t u r a l e s t d o m a i n e q u i e s t e n c o r e l o i n d t ê t r e c 1 o s .

J e d e m a n d e p a r a v a n c e e x c u s e a u l e c t e u r

TABLE DES MATIERES

C h a p i t r e I : I N T R O D U C T I O N

C h a p i t T e I I : E L E M E N T S T H E O R I Q U E S D E L A D Y N A M I Q U E D E S R E S E A U X C R I S T A L L I N S ) K

A . C r i s t a l d a n s 1 ' a p p r o x i m a t i o n h a r m o n i q u e B . C a s d u c r i s t a l a n h a r m o n i q u e

C . F o n c t i o n r é p o n s e d u r é s e a u c r i s t a l l i n D . M o d è 1 e s d e d y n a m i q u e c r i s t a l l i n e E . M o d è l e d e C o c h r a n e t d ' A n d e r s o n

C h a p i t T e I I I : S T R U C T U R E E T P R O P R I E T E S D E K N b O " D A N S S E S D I F F E R E N T E S P H A S E S

A . S t r u c t u r e d e K N b O , d a n s s e s d i f f é r e n t e s p h a s e s B . P r o p r i é t é s d e s y m é t r i e d e s m o d e s d e v i b r a t i o n C . L e p o i n t s u r K N b O ,

D . L a p r é p a r a t i o n d e s c r i s t a u x d e K N b O a

P a g e

I

7 9 1 6 2 8 3 4 4 9

6 5 6 6 7 1 7 2 7 5

C h a p i t r e I V : R E S U L T A T S E X P E R I M E N T A U X 8 2

A . R é s u l t a t s n e u t r o n i q u e s 8 3

t s . l l e s u r e s e t r é s u l t a t s d e d i f f u s i o n R a m a n 9 5 c . M e s u r e s e t r é s u l t a t s d e r é f l e c t i v i t é i n f r a r o u g e 1 2 7 D . C o m p a r a i s o n e t a n a l y s e d e s r é s u l t a t s s p e c t r o s c o p i q u e s 1 5 4 E . l ' l e s u r e s d e l a b i r é f r i n g e n c e e t d e f i n d i c e d e r é f r a c t i o n 1 1 9

C h a p i t r e V DYNMIQUE DE RESEAU DE KNbO3

A . D e s c r i p t i o n d u m o d è l e

B . R é s u l t a t s o b t e n u s p o u r K N b O "

1 8 8 1 8 9 205

* L e l e c t e u r a v e r È i p a s s e r a d i r e c t e m e n t a u c h a p i t r e I I I ( p . 6 5 )

C h A P i t T C V I : I N T E R P R E T A T I O N E T D I S C U S S I O N D E S R E S U L T A T S

A . C a l c u l d e s c h a r g e s e f f e c t i v e s e t d e l a p o l a r i s a t i o n s p o n t a n é e

P a g e

2 2 7

2 2 8 B . I n t e r p r é t a L i o n d e s r é s u l t a t s s p e c t r o s c o p r q u e s e t

m é c a n i s m e d e s t r a n s i t i o n s d e p h a s e 2 5 7

C . P r o p r i é t é s d i é l e c t r i q u e s e t t r a n s i t i o n s d e p h a s e 2 6 7 D . P i c c e n t r a l , a n h a r m o n i c i t é e t m é c a n i s m e d e s t r a n s i t i o n s 2 8 4 E . F l u c t u a t i o n s c o r r é l é e s e t e f f e t s p r é m o n i t o i r e s d e s

t r a n s i t i o n s 3 1 3

c h a p i t r e v I I : C O N C L U S I O N E T P E R S P E C T I V E S 343

B I B L I O G R A P H I E 3 4 9

- 1 -

- CHAPITRE I -

I N T R O D U C T I O N

A . N O T I O N S G E N E R A L E S .

L a c o m p r é h e n s i o n d e s p h é n o m è n e s c r i t i q u e s a s s o c i é s à I ' a p p a r i t i o n d e t r a n s i t i o n s d e p h a s e d a n s 1 e s c o m p o s é s s o l i d e s p r é s e n t e u n i n t é r ê t t o u - j o u r s r e n o u v e l é . P a r m i c e l l e s - c i l e s t r a n s i t i o n s d e p h a s e s t r u c t u r a l e s o c - c u p e n t u n e p l a c e i m p o r t a n t e ; e l l e s s o n t r e l i é e s à u n c h a n g e m e n t d e 1 a s t r u c t u r e d u r é s e a u c r i s t a l l i n e t p a r c o n s é q u e n t d e I a d i s p o s i t i o n d e s i o n s o u d e s m o l é c u 1 e s . O n d i s t i n g u e l e s t r a n s i t i o n s r e c o n s t r u c t i v e s p o u r l e s - q u e l l e s i l n ' e x i s t e a u c u n l i e n d e s y m é t r i e e n t r e d e u x p h a s e s e t l e s t r a n - s i t i o n s n o n r e c o n s t r u c t i v e s a s s o c i é e s à d e f a i b l e s d i s t o r s i o n s d e I a m a i ] l e p r o v o q u é e s p a r u n p h é n o m è n e p h y s i q u e p r é s e n t d a n s l a p h a s e m è r e . O n c o n s i - d è r e d e u x c a s e x t r ê m e s d u m é c a n i s m e t r a n s i t i o n n e l s e l o n l a n a t u r e d e c e p h é - n o m è n e :

- Ie mécanisme displacif p o u r l e q u e l 1 a n o u v e l l e p h a s e p r o v i e n t d u d é p l a c e - m e n t d e s i o n s d a n s l a m a i - I l e ;

- Ie mécanisme ordre,/désordre pour lequel la nouvelle phase trouve son ori- g i n e d a n s u n r é a r r a n g e m e n t d e s i o n s d a n s l a c e l l u l e .

O n d i s t i n g u e c e s d e u x m é c a n i s m e s e n f o n c t i o n d e l - a n a t u r e d u p a r a m è t r e d t o r - d r e n d e l a t r a n s i t i o n , q u i e s t u n e q u a n t i t é d o n t I a v a l e u r e s t n u l l e d a n s I a p h a s e m è r e d e h a u t e s y m é t r i e ( p h a s e h a u t e t e m p é r a t u r e , T t t " ) m a i s q u i p r e n d u n e v a f e u r f i n i e d i f f é r e n t e d e z é r o d a n s I a p h a s e b a s s e s y m é t r i e ( T < T c ) . D a n s I e p r e m i e r c a s , l e p a r a m è t r e d ' o r d r e c o r r e s p o n d à u n d é p l a c e m e n t d ' u n

i o n ( o u d e p l u s i e u r s ) p a r r a p p o r t a u x a u t r e s ; d a n s } e s e c o n d c a s , i l s e d é - f i n i t e n t e r m e s d e v a r i a t i o n d e I a p r o b a b i l i t é d e p r é s e n c e d ' u n i o n s u r p l u - s i e u r s s i t e s q u 1 s o n t é q u i v a l e n t s d a n s l a p h a s e m è r e .

O n p e u t r e p r é s e n t e r c e t t e d i s t i n c t i o n e n t r e l e s m é c a n i s m e s e x t r ê m e s à 1 ' a i d e d u p o t e n t i e l V ( Q ) d a n s l e q u e l s e m e u t u n a t o m e ( M ù l l e r t 9 8 1 b ) :

V ( 0 ) = a e , + b Q n

o ù a < O e t b > O s o n t d e s c o n s t a n t e s e t Q e s t I a c o o r d o n n é e r e l i é e a u p a r a -

F I G U R E 1 . 1 : R e p r é s e n t a t i o n a ) d a n s l e c a s b ) d a n s l e c a s

- 2 -

s c h é m a t i q u e d u p o t e n t i e l d r u n a t o m e d ' u n e t r a n s i t i o n d i s p l a c j . v e .

d ' u n e t r a n s i - t i o n o r d r e , / d é s o r d r e .

!FO

lll

- ? -

m è t r e d ' o r d r e .

C e p o t e n t i e l a n h a r m o n i q u e p r é s e n t e d e u x m i n i m a d e p a r t e t d ' a u t r e d ' u n m a x i - m u m ; l a d i f f é r e n c e é n e r g é t i q u e e n t r e u n m i n i m u m e t l e m a x i m u m e s t d e

 E = a 2 / 4 b . L e s s c h é m a s c o r r e s p o n d a n t a u x d e u x m é c a n i s m e s e x t r ê m e s s o n t r e p r o d u i t s s u r I a f i g u r e 1 . 1 .

D a n s I e c a s d , u n e t r a n s i t i o n d i s p l a c i v e , l a b a r r i è r e d e p o t e n t i e l À E e s t n e t t e m e n t i n f é r i e u r e à 1 , é n e r g i e t h e r m i q u e ( Â E < < k T c ) . D a n s I a p h a s e m è r e ' à h a u t e t e m p é r a t u r e , I ' a t o m e o s c i l l , e a u - d e s s u s d e l a b a r r i è r e e t l e p o t e n - t i e l e s t p r o c h e d ' u n p o t e n t i e l h a r m o n i q u e ; u n t e l p o t e n t i e l n e p e u t d o n n e r l i e u à u n e t r a n s i t i o n . L o r s q u e I a t e m p é r a t u r e d i m i n u e , l a c o n t r i b u t i o n a n h a r - m o n i q u e s , a c c r o i t a u v o i s i n a g e d e l a t r a n s i t i o n e t l e p o t e n t i e l a I a f o r m e p r é s e n t é e s u r l a f i g u r e 1 . 1 . a . A I a t r a n s i t i o n , 1 ' a t o m e c h o i s i t d e v i b r e r d a n s u n d e s d e u x m i n i m a ( Q * e t Q _ ) . S o n é t a t d ' é q u i l i b r e s r e s t d o n c d é p l a c é d e Q = O à Q o u Q . D a n s I e c a s d ' u n m é c a n i s m e d i s p l a c i f , l e m o u v e m e n t d e l - ' a t o m e s ' e f f e c t u e a v e c u n e f r é q u e n c e d e p l u s e n p l u s f a i b l e j u s q u ' a u p o i n t d e t r a n s i t i o n o ù i I d e v i - e n t s t a t i q u e ; o n p a r l e a l o r s d e m o d e m o u d e v i b r a - t i o n ( C o c h r a n l - 9 6 0 , A n d e r s o n 1 9 6 0 ) . A u - d e s s o u s d e I a t r a n s i t i o n , l a f r é q u e n c e de ce phonon augmente à nouveau-

D a n s I e c a s d , u n e t r a n s i t i o n o r d r e / d é s o r d r e , p u i s q u e  E > > k T c ( f i g u r e 1 ' 1 ' b ) l - ' a t o m e p e u t s a u t e r d ' u n p u i t s à I ' a u t r e . E n t r e d e u x s a u t s , l - ' a t o m e v i b r e a u t o u r d ' u n e p o s i t i o n d e q u a s i - é q u i l i b r e d a n s u n d e s d e u x p u i t s ' D a n s l a p h a -

se haute température les posi-tions Q* et Q- correspondant aux deux minima

s o n t s t r i c t e m e n t é q u i v a l e n t e s . P a r c o n t r e . à l a t r a n s i t i o n ' u n e p o s i t i o n d e - v i e n t s t a t i s t i q u e m e n t p J - u s p r o b a b l e q u e I ' a u t r e ; I a s t r u c t u r e d e v i e n t p l u s o r d o n n é e . L a d u r é e d e v i e t d t u n a t o m e d a n s u n p u i t s o u u n s i t e d o n n é p e r m e t d e c a r a c t é r i s e r u n e t r a n s i t i o n d e c e t y p e . A I ' a p p r o c h e d e l a t r a n - s i t i o n c e t e m p s r a u g m e n t e j u s q u ' à d e v e n i r i n f i n i d a n s 1 a p h a s e o r d o n n é e ' L a d i s t i n c t i o n e n t r e c e s d e u x m é c a n i s m e s t r a n s i t i o n n e l s n ' e s t p a s t o u j o u r s a i s é e . E n p a r t i c u l i e r , o n r e m a r q u e q u e l o r s q u e I a f r é q u e n c e d u m o d e m o u e s t t r è s f a i b l e , I ' a m p l i t u d e d e v i b r a t i o n p e u t ê t r e d u m ê m e o r d r e d e g r a n d e u r

( O . f  ) q u e I e s a u t d e r e l a x a t i o n i m p l i q u é d a n s u n m é c a n i s m e o r d r e / d é s o r d r e ' L a s é p a r a t i o n e n t r e l e s d e u x d e s c r i p t i o n s e s t a l o r s u n i q u e m e n t q u a l i t a t i v e '

- 4 -

B . I N T E R E T D E K N b O

D a n s c e travai], n o u s c o n s i d é r o n s la famirre des composés oxy_

g é n é s de formule ABO, à structure p e r o v s k i t e ( C a T i O a ) , présentant une tran_

s j - t i o n d e p h a s e de type distorsif. c e s t r a n s i t i o n s i m p r i q u e n t u n e t r a n s r a - t i o n d e s i o n s p r o v o q u é e par un mode mou au centre de ra zone de Brirlouin ; p a r s u i t e , c e t t e t r a n s f o r m a t i o n s ' e f f e c t u e s a n s m u r t j - p l i c a t i o n d e r a m a i l r e é l é m e n t a i r e ' c e s c r i s t a u x A B o a lrésentent s o u v e n t u n i n t é r ê t t e c h n o r o g i q u e e n r a i s o n d e r e u r s p r o p r i é t é s p y r o é J - e c t r i q u e s , p i é z o é l e c t r i q u e s , f e * o é l e c - t r i q u e s e t s u r t o u t é l _ e c t r o _ o p t i q u e s .

L r é t u d e e x p o s é e dans ce mémoire porte sur -l-e niobate de potassium KNboa gui p o s s è d e q u a t r e phases successives : cubique, quadrati-que, o r t h o r h o m b i q u e e t r h o m b o é d r l q u e ; c e c r i s t a l s u b i t d o n c u n e t r a n s i t i o n p a r a é r e c t r i q u e - f e r r o - é l e c t r i q u e e t d e u x t r a n s i - t i o n s e n t r e d e u x p h a s e s femoélectriques. K N b o , e s t d o n c u n c o m p o s é approprié pour tester Ia validité d ' u n c e r t a i n n o m b r e d e t h é o r i e s c o n c e r n a n t l e s t r a n s i t i o n s d e p h a s e s t r u c t u r a r e s : m o d e m o u , m é c a - n i s m e d i s p l a c i f o u o r d r e , / d é s o r d r e , t h é o r i e d e L a n d a u p o u r le comportement c r i t i q u e , e f f e t s p r é m o n i t o i r e s d e s t r a n s i t i o n s , p a r t i c u l a r i t é d r u n e t r a n s i - t i o n F E - F E p a r r a p p o r t à u n e t r a n s i - t i o n p E - F E . . . Le choi.x s'est porté s u r K N b o 3 c a r trois d e s q u a t r e p h a s e s sont en principe d i s p o n i b l e s s o u s l a f - o r m e d ' é c h a n t i f l o n s

m o n o d o m a i n e s , m o y e n n a n t u n c e r t a i n nombre de précautions.

P o u r r e t i t a n a t e d e b a r y u m , B a T i o a , eui présente ra même séquence de transi- t j - o n s , s e u l e s r e s s t r u c t u r e s c u b i q u e e t q u a d r a t i q u e s o n t e f f e c t i v e m e n t ac- c e s s i b l - e s p o u r u n e t e f l - e é t u d e . Quant à KTaoa et srTj-or, les cristaux r e s t e n t p a r a é l e c t r i q u e s j u s q u ' à O K . E n f i - n l e t i t a n a t e d e p l o m b n e s u b i t q u e I a t r a n - s i t i o n c u b i q u e - q u a d r a t i q u e ( l ' e x i s t e n c e d ' u n e p h a s e s u p p l é m e n t a j _ r e e s t a c t u e l - I e m e n t 1 ' o b j e t d e c o n t r o v e r s e s ) .

- 5 -

C . O B J E T E T P L A N D E N O Î R E M E M O I R E .

D a n s n o t r e t r a v a i l o n s e p r o p o s e d ' e f f e c t u e r u n l i e n e n t r e I a d y - n a m i q u e d e s m o d e s d e v i b r a t i o n e t d e s f l u c t u a t i o n s d e p o s i t i o n d e s i o n s a v e c l e m é c a n i s m e d e d é c l e n c h e m e n t d e s t r a n s i t i o n s d e p h a s e s u c c e s s i v e s p r é s e n t é e s p a r K N b o a . N o u s t e n t o n s a i n s i d e c o m p r e n d r e I ' o r i g i n e d e s p r o p r i é t é s s t r u c - t u r a l e s , f e r r o é I e c t r i q u e s e t d i é l e c t r i q u e s d e c e c o m p o s é . C e t t e é t u d e n é c e s - s i t e u n c e r t a t n n o m b r e d ' i n v e s t i g a t i o n s t a n t e x p é r i m e n t a l e s q u e t h é o r i q u e s a v e c 1 a m j - s e a u p o l - n t d e m o d è l e s s e m i - - p h é n o m é n o l o g i q u e s '

S i I ' o n e x c e p t e 1 e c h a p i t r e i n t r o d u c t i f , l e m é m o i r e d e c e t r a v a i l c o m p o r t e 6 C h a p i t r e s e t 4 A n n e x e s . D a n s I e c h a p i t r e I I ' n o u s r a p p e l o n s u n e n s e m b l e d e f o n d e m e n t s t h é o r i q u e s c o n c e r n a n t 1 a d y n a m i q u e d e s r é s e a u x c r i s t a l l i n s ' q u i s e r o n t u t i l i s é s e t d i s c u t é s t o u t a u l o n g d u m é m o i r e . C e l o n g c h a p i t r e p e r m e t à n o t r e a v i s d ' é v i t e r d ' i m p o r t a n t s r a p p e l s d a n s I a d e s c r i p t i o n e t l a d i s c u s - s i o n d e n o s r é s u l t a t s . E n p a r t i c u l i e r ' n o u s p r é s e n t o n s d a n s c e c h a p i t r e I e m o d è ] e d e C o c h r a n - A n d e r s o n q u i i n d i q u e l e l i e n e n t r e I e d é c l e n c h e m e n t d e I a t r a n s i t i o n d e p h a s e , I ' e x i s t e n c e d ' u n p h o n o n m o u , I e s p r o p r i - é t é s f e r r o é l e c - t r i . q u e s e t d i é I e c t r i q u e s e t c e r t a i n e s v a r i a t i o n s d e s c h a r g e s e f f e c t i v e s o u d e s p o l a r i s a b i l i t é s d e s i o n s . C e r n o d è I e s u g g è r e e n g r a n d e p a r t i e l a p r o c è d u r e s u i v i e p o u r l ' é t u d e d e K N b O a .

D a n s I e c h a p j - t r e I I I e t l e s A n n e x e s A e t B q u i s ' y r a p p o r t e n t ' n o u s a b o r d o n s I ' é t u d e p r o p r e m e n t d i t e d e K N b O a . N o u s p r é s e n t o n s l e s p r i n c i p a l e s p r o p r i é t é s s t r u c t u r a l e s d e K N b O 3 d a n s s e s d i v e r s e s p h a s e s e t n o u s i n d i q u o n s b r i è v e m e n t l e s m é t h o d e s d e p r é p a r a t i o n d e s é c h a n t i l l o n s u t i l i s é s d a n s I e c h a p i t r e I I I ' L e s d i f f é r e n t e s p h a s e s d e K N b o , s o n t c o n f o r m e s a u x p r é v i s i o n s t i r é e s d e l a t h é o r i e d e L a n d a u e t d é c r i t e s d a n s I t A n n e x e A . P o u r c h a q u e s t r u c t u r e ' n o u s d é d u j - s o n s l e s p r o p r i é t é s d e s y m é t r i e d e s m o d e s d e v i b r a t i o n à I ' a i d e d e l a t h é o r j - e d e s g r o u p e s , I t e n s e m b l e d e s r é s u l t a t s e s t r e p o r t é d a n s I ' A n n e x e B ' N o u s d é c r i v o n s l e s r é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x q u e n o u s a v o n s o b t e n u s d a n s I e c h a - p i t r e I V . D e n o m b r e u s e s m e s u r e s d e s p e c t r o s c o p i e d e s m o d e s d e v i b r a t i o n p o u r

l e s q u a t r e p h a s e s o n t é t é e f f e c t u é e s d a n s u n l a r g e d o m a i n e d e t e m p é r a t u r e ( 1 O O < T < I 2 O O K ) , à I a f o i s p a r d i f f u s i o n i n é l a s t i q u e d e n e u t r o n s , d i f - f u s i o n R a m a n e t r é f l e c t i v i t é i n f r a r o u g e . Q u e r q u e s m e s u r e s o p t i q u e s ( b i r é f r i n - g e n c e e t i n d i c e d e r é f r a c t i o n ) o n t é g a l e m e n t é t é r é a l i s é e s .

D a n s l e c h a p i t r e V n o u s p r é s e n t o n s l e s m o d è l e s d e l a c o q u i l l e q u e n o u s a v o n s m i s a u p o i n t p o u r K N b o a a i n s i q u e l e s r é s u l t a t s o b t e n u s d a n s I a p h a s e c u b i - q u e e n f o n c t i o n d e l a t e m p é r a t u r e e t d a n s I a p h a s e q u a d r a t i q u e ' L a c o n s t r u c - t i o n d e I a m a t r i c e d e s i n t e r a c t i o n s à c o u r t e p o r t é e e s t f o u r n i e d a n s l t A n n e x e C '

- 6 -

L e c h a p i t r e V I e s t c o n s a c r é à I ' i n t e r p r é t a t i o n d e s r é s u l t a t s e n r e l a t i o n a v e c l - e m é c a n i s m e des transitions d e p h a s e . L e s c o m p o r t e m e n t s en température d e n o m b r e u s e s q u a n t i t é s t e l - l e s q u e l e s c h a r g e s e f f e c t i v e s , 1 a p o l a r i s a t i o n s p o n t a n é e , l a f r é q u e n c e e t I ' a m o r t i s s e m e n t d u m o d e m o u , I a c o n s t a n t e d i é l e c - t r i q u e . . . , s o n t s u c c e s s i v e m e n t c o n f r o n t é s a u x d e u x m é c a n i s m e s e x t r ê m e s ( a i s - p l a c i f e t o r d r e / d é s o r . d r e ) . L e s c o n t r a d i c t i o n s q u i e n d é c o u l e n t a b o u t i s s e n t à l a p r o p o s i t i o n d ' u n m o d è l e i n t e r m é d i a i r e , e u i p e r m e t d ' e x p l i q u e r é g a l e m e n t c e r t a i n e s m a n i f e s t a t i o n s p r é r n o n i t o i r e s d e I t é t a t f e r r o é I e c t r i q u e . N o u s u t i - l i s o n s p o u r c e l a certains a s p e c t s d e l a t h é o r i e d e s f l u c t u a t i o n s q u i e s t r e - p o r t é e d a n s l r A n n e x e D .

E n f i n , d a n s I e c h a p i t r e V I I , a p r è s a v o i r r é s u m é l e s p r i n c i p a u x r é s u l t a t s e t i n t e r p r é t a t i o n s o b t e n u s , n o u s d o n n o n s q u e l q u e s é l é m e n t s de comparaison avec d ' a u t r e s c o m p o s é s A B O . .

- 7 -

- CHAPITRE II -

E L E M E N T S T H E O R I Q U E S D E

L A D Y N A M I Q U E D E S R E S E A U X C R I S T A L L I N S

I N T R O D U C T I O N .

c e c h a p j _ t r e e s t c o n s a c r é à d e s r a p p e l s t h é o r i q u e s c o n c e r n a n t l a d y n a m i q u e d e r é s e a u d e s c r i - s t a u x . L e s n o t i o n s q u i y s o n t r e p o r t é e s s e r o n t u t i . l i s é e s t o u t a u l o n g d e c e m é m o i r e ' t a n t p o u r 1 ' a n a l y s e d e s r é - s u l - t a t s e x p é r i m e n t a u x q u e p o u r l e u r e x p l o i t a t i o n à l - ' a i d e d e m o d è f e s t h é o - r i q u e s .

I 1 n o u s a s e m b l é i n t é r e s s a n t d e r a p p e l e r i c i l e s f o n d e m e n t s d e I a d y n a m i q u e c r i s t a l l i n e d a n s l e s a p p r o x i m a t i o n s h a r m o n l q u e s ( S A ) e t a n h a r m o n i q u e ( $ B ) , I a f o r m e d e l a f o n c t i o n r é p o n s e d u ' c r i s t a l d a n s c h a - q u e c a s ( S C ) a i n s i q u e l a c o n s t r u c t i o n d e s c o n s t a n t e s d e f o r c e d a n s l e s m o d è L e s s e m j - - p h é n o m é n o l o g i q u e s G n ) . C e s é I é m e n t s s e r o n t d i s c u t é s p l u s l o j . n à l a l u m i è r e d e n o s r é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x e t d e n o s c a l - c u l s '

E n f i n , n o u s d é c r i v o n s I e m o d è l e d ' A n d e r s o n - C o c h r a n a f i n d e m o n t r e r l e l i e n e n t r e I e s p r o p r i é t é s d y n a m i q u e s ( m o d e m o u ) ' I e s p r o p r i é - t é s d i é l e c t r i q u e s , l e s p r o p r i é t é s é l - e c t r o n i q u e s e t f e m é c a n i s m e d e s t r a n s i t i o n s d e p h a s e s t r u c t u r a l e s ( S E ) .

- 8 -

REFERENCES GENERALES

D U C H A P I T R E I I

H . B T L Z , B . G L I S S et W. HANKE l-974 dans "Dynamical Properties of Solids' V o l 1 ' é d i t é p a r G . K . H o r t o n e t A . A . M a r a d u d i n ( N o r t h - H o l l a n d , N e w Y o r k ) , p . 3 4 3 .

M . B O R N et K. HUANG 1954, "Dynarnical Theory of Crystal Latticesr' ( O x f o r d U n i v P r e s s ) .

P . B R U E S C H 1 9 8 2 : "phonons : Theory and Experiments r" (springer V e r r a g ) .

W . C O C H R A N 1 9 6 0 , A d v . p h y s . 9 , 3 A 7 .

W . C O C H R A N e t R . A . C O W L E Y L 9 6 7 , H a n d b u c h p h y s . I 5 / Z a , 5 9 .

R . A . C O W L E Y 1 9 6 3 , A d v . p h y s . I Z , 4 2 7 .

R - 4 . c o w L E Y , w . c o c H R A N , B . N . B R o c K H o u s E e t A . D . B . t l / o o D s 1 9 6 3 , p h y s . R e v . 1 3 1 , 1 O 3 O .

R . A . C O W L E Y 1 9 6 5 , P h i t . M a g . 1 1 , 6 7 3 .

R . A . C O W L E Y 1 9 6 8 , R e p . p r o g r . p h y s . 3 1 , I ? 3 .

E . N . E C O N O M O U 1 9 8 3 " G r e e r ' s F o n c t i o n s i n Q u a n t u m P h y s i c s " ( S p r i n g e r V e r l a g ) .

D . L A P L A Z E , A . M . V E R G N O U X e t C . B E N O I T I 9 7 j . , A n n . p h y s . 1 6 , l _ 0 5 .

A . A . M A R A D U D T N , E . w . M O N T R O L L e t G . H . r l / E r s s l - 9 6 3 , s o r i d s t a t e p h y s . s u p p r . 3 .

A . A - M A R A D U D I N 1 9 6 7 d a n s " F e r r o e l e c t r i c i t y " é d i t é p a r E . F . W e l l e r ( E l s e v i e r , A m s t e r d a m ) , p . 7 2 .

A . A . M A R A D U D T N 1 9 7 4 d a n s " D y n a m i c a r p r o p e r t i e s o f s o r i d s " , V o r . l , é d i t é p a r G . K . H o r t o n e t A - A . M a r a d u d i n ( N o r t h - H o r r a n d , N e w y o r k ) ,

n l

A ' D ' B ' w o o D s , w . c o c H R A N e t B . N . B R o c K H o u s E 1 9 6 0 , p h y s . R e v . 1 1 9 , 9 8 o .

- 9 -

A . C R I S T A L D A N S L ' A P P R O X I M A T I O N H A R M O N I Q U E .

4 . 1 . F o r m a l i s m e c l a s s i q u e .

O n c o n s i d è r e u n c r i s t a l s u p p o s é l i b r e d e t o u t e c o n t r a i n t e e t c o n s t i t u é d e N c e ] l u l e s é l é m e n t a i r e s . C h a c u n e d e c e s c e l l u l e s e s t u n p a r a l - I é r i p i p è d e d é f i n i p a r l e s v e c t e u r s d e t r a n s l a t i o n p r i m i t i v e â r , à r , ; 3 . L a p o s i t i o n d ' é q u i l i b r e d e I ' i o n r d a n s l a t . j - è m e c e l l u t e é l é m e n t a i r e e s t d o n n é e o a r l e v e c t e u r i

o ù I e d e L a

* , I , +

l l l = r O K

v e c t e u r i ( * ) I . i è m e c e l l u l e

( 1 ) + r ^{( K J}

e s t d é f i n i d a n s e s t r a p p o r t é à

( 2 . L )

I a c e I I u I e I = O e t l e v e c t e u r ? t f l u n e o r i g i n e q u e l c o n q u e .

r ( 1 ) = 1 1

S o u s I ' e f f e t d e I ' a g i t a t i o n o o s i t i - o n d ' é o u i l i b r e e t l e u r

T -

t h e r m i q u e , I e s a t o m e s p o s i t i o n i n s t a n t a n é e

1 K

( 2 . 2 )

vibrent autour de leur

est fournie Par :

( 2 . 3 )

d é p l a c e m e n t d e I ' a t o m e ( o = x r y r z )

( 2 . 4 )

"r- * ^{' l a + l}

z z J â r = o l t t " à o

rli

\ + , I . o u u i l e s E l e

r f rr K

( / a p r u s r e u r s

K

v e c t e u r d é p l a c e m e n t . E n f a i t ' l e c o m p o s a n t e s s e l o n l e s d i r e c t i o n s

' l

. . I . , I . .

= [ r * ( * - ) , u , (

" ) , u " ( * ) I

( r )

L ' é n e r g i e c i n é t i q u e d u c r i s t a ) - p e u t s ' é c r i r e :

+

r + u

+ rè"

u

. , 1 . m u U

K o K

o ù m e s t I a m a s s e d e I ' a t o m e ( * )

K K

D ' a u t r e p a r t , I ' é n e r g i e p o t e n t i e l l e Q p e u t ê t r e p o s i t i o n s i n s t a n t a n é e s d e t o u s l e s a t o m e s :

F l l +

O K u

0 = 0 [ , f r_{t K '}

é c r i t e e n f o n c t i o n d e s

- 1 0 -

P o u r d e f a i b r e s d é p r a c e m e n t s ti tr-l,o peut être développée en une série d e T a y l o r :

Q = 0 O * 0 1 + 0 , + . . . . ( 2 . s )

D a n s l - e c a d r e d e I ' a p p r o x i m a t i o n h a r m o n i q u e , I e s t e r m e s d r o r d r e 3 e t c e u x d ' o r d r e s u p é r i e u r s o n t n é g l i g é s d a n s c e d é v e l _ o p p e m e n t .

0 o e s t 1 ' é n e r g i e p o t e n t i e l l e s t a t i q u e d u c r i s t a l ; e l l e e s t p a r c o n s é q u e n t i n d é p e n d a n t e d e s d é p l a c e r n e n t s . p a r Ia suj_te, on posera oO = O.

L e s a u t r e s termes du dével-oppement sont donnés par 1es relations s u i v a n t e s :

t r - =

a ? o * " ( t " l , r o ( 1 " ) _{( 2 . 6 )}

1 r . l l | . l . l I

0 . . = + - _{2 2} _ L ô ( , - ) r r ( t ) , , ( - )

1 r c ' a B ' K K " - c ' K i u U ( * r / ( 2 ' 6 t )

f t r ' B o ù :

( 2 . 7 )

r r ' ) = [ * t

I , 2 . 7 , )

oos(;,,=[mJ"

o ù l - ' i n d i c e 0 s i g n i f i e q u e t e s d é r i v é e s s o n t é v a l - u é e s p o u r l e s p o s i t i o n s d ' é q u i l - i b r e d e s a t o m e s .

P a r d é f i n i t i o n d e l ' é q u i l i b r e , 0 o ( 1 , = O e t 0 1 = O .

P a r s u i t e , d a n s I ' a p p r o x i m a t i o n h a r m o n i q u e , 1 e p o t e n t i e l s r é c r i t s o u s I a f o r m e s i m p l i f i é e s u i v a n t e :

= * . à o r u r l .r,I '" ( lr ,rt"r, ) ( 2 . 8 )

f t r t B

' l

- 0 c B - ( ; I t- ' ) r e p r é s e n t e I a f o r c e q u i s ' e x e r c e d a n s l a d i r e c t i o n e s u r I a t o r n e ( : ) l o r s q u e r - ' a t o m e ( r , ' ) e s t dépracé dans ra direction B d,une l o n g u e u r u n i - t é .

L ' i n v a r i a n c e p a r t r a n s r a t i - o n d u c r i s t a l _ i m p o s e r a c o n d i t i o n :

a

o " r 1 " r = [

3

c

o

u ^{t r ' t}

K

o o s ( 1 1 , , = - . à : o a B , l l , ) ( 2 . e )

- 1 1 -

o ù t ' i n d i q u e q u e l a s o m m e e s t e f f e c t u é e s u r t o u s l e s t e r m e s e x c e p t é

I r = 1 , K t = K

L e s c o n s t a n t e s d e f o r c e 0 o , j o u i s s e n t d ' a u t r e s p r o p r i é t é s u t i l e s p o u r l a s i m p l i f i c a t i o n d e l ' é c r i t u r e d e I ' h a m i l t o n i e n d u c r i s t a l e t d e s é q u a t i o n s d e m o u v e m e n t d e s a t o m e s .

A i n s i o n a I a r e l a t i o n :

, l I r , r t l .

o o 3 ( *

" ' /

= t 6 o ( . ' * i

S i l a t r a n s l a t i o n p r i m i t i v e d u c r i s t a f

( 2 . 1 0 )

i ( * ) = t t à t * ^ r â , * t 3 . 3

o ù m . e s t u n e n t i e r , d é p r a c e 1 ' a t o m e t t " l

" r , ( t : t ) e t I ' a t o m e t r | < l l . " ( r : i ^ )

^ n h ô r r l - 6 a n i n a v r r P v u

o o r ( ï * t * l ^ , = o o e ( r " l l ,

P a r s u i t e , I e s c o n s t a n t e s d e f o r c e ( d u 2 è m e o r d r e ) n e d é p e n d e n t q u e d e 1 a d i f f é r e n c e L e n t r e I ' e t I ( L = I ' - 1 ) p u i s q u e .

, l f

"

/ o l ' - I , ^ , 1 - r ' 0 ' l

Q o B ( *

" ' /

= 0 o B ( . K r ) = Q o B \ . K t /

( 2. r-l- ) . o L .

= 0 o B ( "

* , )

D a n s I t a p p r o x i m a t i o n h a r m o n i q u e , I t h a m i l t o n i e n d u c r i s t a l s ' é c r i t s o u s l a forme :

n o = * r?" '" ùo tt"l. *,I. t . u ( l l l l ' o t . l l , . , u t l l l

' t < ' B

( 2 . r 2 ) D ' o ù l ' o n o b t i e n t l e s é q u a t i o n s d e m o u v e m e n t :

r s , r r t ' , l t '

r " û o ( : ) = - L , + , g 0 o g ( . ' - " , )

u u ( i , ) ( 2 ' 1 3 )

L a d o u b l e p é r i o d i c i t é s p a t i a l e e t t e m p o r e l l e d u r é s e a u s u g g è r e q u e l e s

o u :

- 1 2 -

é q u a t i o n s d e m o u v e m e n t a d m e t t e n t p o u r s o l u t i o n s p a g e a n t a v e c I e v e c t e u r d ' o n d e d .

d e s o n d e s p l a n e s s e p r o -

( 2 . 1 4 )

2 l I n

2 . 1 - 3 , o n o b t i e n t :

( " ' / â ) ( 2 . r - s )

( 2 . 1 _ 6 )

, l ' 1 1

, _ - - - ; _ - - - 1 )

o K t

( N r ) / ,

+ , f .

e x p I i q r ( - ) - r , r ( q ) 1 ;^{. K}

r , r ' ( e ) e o ( " / d ) = À

B ( A ) e o (

" / ô ) *

C . C . i n d i q u e q u e I ' o n c o n s i d è r e l e c o m p l e x e c o n j u g u é d u p r e m i e r t e r m e .

1 /

( t ' l m )-',

K

q = 2 f i / \+

o ù n e s t

0

1 ' é q u a t i o n

, d

l ' l ê

' r K t ' - B e s t u n f a c t e u r d e n o r m a l i s a t i o n

e s t I e v e c t e u r d ' o n d e à t r o i s c o m p o s a n t e s g =

0

u n n o m b r e e n t i e r c o m p r i s e n t r e O e t N - 1 . r r r ( q ) e s t l a f r é q u e n c e a n g u l a i r e .

B ( ô ) e s t I ' a m p l i t u d e d e I ' o n d e .

e ^ (r/q) représente la composante sel,ona du vecteur polarisation+

* "

e ( r , q ) , I e q u e l i n d i q u e l a d i r e c t i o n d e d é p l a c e m e n t d e s i o n s .

E n s u b s t i t u a n t l ' é q u a t i o n 2 . 1 4 d a n s

o ù l e s é l é m e n t s d e l - a m a t r i c e d y n a m i q u e D ( i ) s o n t d o n n é s p a r :

- (mr ^",)-% . : , o o s ( l ll ,

rl.ir -i rlr r I

Da B

' , _ y

( m K m K r J - e x p D (a B

. * o { t

t

q )

K K t '

ô r;

o u e n c o r e e n u t i l i s a n t L ' é o u a t i o n 2 . 1 1 :

+

1 _{t K} Q r -

K ' ' -

ô 1

a ^ ( , )

C É K K '

o B s2)

T

L a m a t r l c e l J ( q l é 1 é m e n t a i r e .

{ 1 it " ' )

(.) rl x

( 2 . L 7 ) { '

- r

exp r_ q r ( L )

e s t d e d i m e n s i o n 3 n o ù n e s t I e n o m b r e d ' a t o m e s p a r c e l l u l e

- 1 3 -

L ' é q u a t i o n 2 . 1 5 p e u t

r

/ t

s ' é c r i r e :

( * 4 . , ) - ô o B ô * " , ,

'rôrl

L a c o n d i t i o n p o u r q u e c e s y s t è m e d t é q u a t i o n s p o s s è d e d e s v i a l e s e s t q u e I e d é t e r m i n a n t d e s c o e f f i c i e n t s s ' a n n u l e

s o l u t i o n s n o n t r i -

I o"u (* ô*,)

" ( ô )

- o ( 2 . 1 - e )

L ' é q u a t i o n 2 . 1 - 9 e s t d e d e g r é 3 n e n , ' ( ô ) . L e s 3 n s o l u t i o n s p o u r c h a q u e v a l e u r d e { s o n t n o t é e s r : ( ô ) a v e c j = I , 2 ' . . . . 3 n .

+ . o r l ,

C o m m e la m a t r i c e D ( q ) e s t h e r m i t i q u e , I e s v a l e u r s p r o p r e s o r t q ) s o n t r é e l l e s d e t e l l e s o r t e q u e o * ( ô ) e s t s o i t r é e l s o i t p u r e m e n t i m a g i n a i r e . O n p e u t r é é c r i r e 1 ' é q u a t i o r , â . f S s o u s I a f o r m e :

+

, r ' ( o ' )

" o ( " /i , : l = Ju DoB {* q " ,

) u u ( " ' / d , i ) ( 2 . 2 o )

+

e ( K / Q r J / a v e c a = p o s a n t e s d u v e c t e u r l a v a l e u r p r o p r e 6 . 2

J

e t r = 1 , 2 . . . n r e p r é s e n t e l ' u n e d e s 3 n c o m - Ë t d , j ) o e l a m a t r i c e D ( i ) q " i c o r r e s p o n d à

O n p e u t é c r i r e c e t t e d e r n i è r e é q u a t i o n s o u s I a f o r m e m a t r i c i e l l e : 1 , 2 , 3

p r o p r e

( q ) .

+

e

( d , . ; ) =

" ( d )

facteur constant près. On k / â , j ) s a t i s f a s s e a u x r e l a -

s ' é c r i v e n t r e s p e c t i v e m e n t :

( 2 . 2 2 )

+

D ( q ' J ,

L e s c o m p o s a n t e s e ( r / ô , j ) s o n t d é f i n i e s à

û - ' -

p e u t c h o i s i r c e f a c t e u r d e t e l l e s o r t e q u e t i o n s d ' o r t h o n o r m a l i s a t i o n e t d e f e r m e t u r e

e o ( r z ô , . i 1

" o ( . / â , i l = o j j ,

e o { * / à , j ) e i ( r < ' / ô , i )

o ù l e s i g n e x d é s i g n e I e c o m p l e x e c o n j u g u é un

g

qui

K E

T

: J

- A-

Ë e ^{' K K I}

( * / ô , j ) e * ( r < / - d , l ) =

- 1 4 -

4.2. Igrlelr:lg_ggellrggg.

0 n p e u t d é f i n i - r a u I i e u d e s c o o r d o n n é e s l o c a l e s d e s d é p l a c e m e n t s

1

u ( - - ) , l - e s c o o r d o n n é e s n o r m a l e s p a r I a t r a n s f o r m a t i o n s u i v a n t e :

K

o ù L e s t l e L a g r a n g i e n , l - ' h a m i l t o n i e n s ' é c r i t e n c o r e :

o ( d , i ) = r v * % À ^%" e* (*/-â, i) x

( 2 . 2 3 ) r . * * , l ' , , I .

e x p l - 1 q r ( K ) l u ( " 1

o ù l e s i g n e * i n d i q u e q u e 1 ' o n p r e n d I e c o m p l e x e c o n j u g u é .

O n r e m a r q u e q u e l - e s c o o r d o n n é e s normales correspondent à un mouvement c o l l - e c t i f p u i s q u e 1 a s o m m e d a n s I ' é q u a t i o n 2 . 2 3 p o r t e s u r t o u t e s l e s c o o r - d o n n é e s l o c a l e s d e s d é p l a c e m e n t s a t o m i q u e s .

L ' h a m i l t o n i e n ( é q u a t i o n 2 . L 2 ) d e v i e n t :

H = r + o = +

À { t ô r d , i ) t ' * , r , ( d ) l a ( d , j ) l }

( 2 . 2 4 ) D ' a u t r e p a r t , s i o n d é f i n i t l e m o m e n t c o n j u g u é d e Q ( ô , j ) p " " :

^ z i \ a L a T

^ \ Y ' J '

a ô * ( d , j ) a ô - t i , ; = ô t ô ' : l

" 1 -

: { r p r â .

2 + ' + ' 2 '

H = -

c . J - . i ) l * d j ( q ) l Q ( q ' i ) l l ( 2 . 2 5 )

P a r s u i t e , 1 e s c o o r d o n n é e s n o r m a l e s s a t i s f o n t à l ' é q u a t i o n d e m o u v e m e n r d ' u n o s c i l l a t e u r h a r m o n i o u e :

+ +

( ô , j ) = o ( 2 . 2 6 )

Q ( q , j ) * , , r . ' ( q ) Q I

E n m é c a n i q u e q u a n t i q u e Q et P sont remplacés par leurs opérateurs corres- p o n d a n t s Q e t P = i h ' =

â Q

L e s o p é r a t e u r s d e c r é a t i o n e t d ' a n n i h i l a t i o n d ' u n p h o n o n p e u v e n t ê t r e d é - f i n i s à p a r t i r d e s o p é r a t e u r s Q e t P .