D.Ferré1/8 Développementd’Edgeworthd’ordre1pourdesM-estimateursdanslecasdechaînesdeMarkovV-géométriquementergodiques. ChaînesdeMarkov V -géométriquementergodiques.Estimateur.Hypothèses.Théorème.Démonstrationduthéorème.Conclusion.

Développement d’Edgeworth d’ordre 1 pour des M-estimateurs dans le cas de chaînes de Markov

V-géométriquement ergodiques.

(Xn)n≥0chaîne de Markov homogène surE I Qθnoyau de transition

I πθprobabilitéQθ-invariante

V-géométrique ergodicité.

V :E→[1,+∞[t.q.

I sup

θ

π_θ(V)<+∞

I il existe0< κ <1t.q. sup

θ,|f|≤V

|IEx[f(X_n)]−π_θ(f)| ≤C κⁿV(x).

Exemple :système linéaire simpleXn=θXn−1+Wnavec I (Wn)ni.i.d.,IE[|W₁|^γ]<+∞, de densitéfW >0 I etθ dans un compact dans]−1,1[.

On pose

Qθ(x, dy) :=fW(y−θx)dy et V(x) := (|x|+ 1)^γ.

(Xn)n≥0chaîne de Markov homogène surE I Qθnoyau de transition

I πθprobabilitéQθ-invariante

V-géométrique ergodicité.

V :E→[1,+∞[t.q.

I sup

θ

π_θ(V)<+∞

I il existe0< κ <1t.q. sup

θ,|f|≤V

|IEx[f(X_n)]−π_θ(f)| ≤C κⁿV(x).

Exemple :système linéaire simpleXn=θXn−1+Wnavec I (Wn)ni.i.d.,IE[|W₁|^γ]<+∞, de densitéfW >0 I etθ dans un compact dans]−1,1[.

On pose

Qθ(x, dy) :=fW(y−θx)dy et V(x) := (|x|+ 1)^γ.

I µθloi initiale, avecsup_θµθ(V)<+∞

I α≡α(θ)paramètre d’intérêt (réel)

Mn(α) := 1 n

n X

k=1

F(α, Xk−1, Xk), oùF est à valeurs réelles.

α0unique t.q.

IEθ,π_θ h

F⁽¹⁾(α0, X0, X1)ⁱ= 0.

αˆnestimateur t.q.

αˆn= arg minMn(α)

Exemple.α=θetF(θ, x, y) :=−lnfW(y−θx)⇒estimateur du maximum de vraisemblance.

I M_n⁽¹⁾( ˆαn) = 0 I sup_θ,d>0P^θ,µθ

n|ˆαn−α0| ≥d^o=o(n⁻¹²).

I µθloi initiale, avecsup_θµθ(V)<+∞

I α≡α(θ)paramètre d’intérêt (réel)

Mn(α) := 1 n

n X

k=1

F(α, Xk−1, Xk), oùF est à valeurs réelles.

α0unique t.q.

IEθ,π_θ h

F⁽¹⁾(α0, X0, X1)ⁱ= 0.

αˆnestimateur t.q.

αˆn= arg minMn(α)

Exemple.α=θetF(θ, x, y) :=−lnfW(y−θx)⇒estimateur du maximum de vraisemblance.

I M_n⁽¹⁾( ˆαn) = 0 I sup_θ,d>0P^θ,µθ

n|ˆαn−α0| ≥d^o=o(n⁻¹²).

I µθloi initiale, avecsup_θµθ(V)<+∞

I α≡α(θ)paramètre d’intérêt (réel)

Mn(α) := 1 n

n X

k=1

F(α, Xk−1, Xk), oùF est à valeurs réelles.

α0unique t.q.

IEθ,π_θ h

F⁽¹⁾(α0, X0, X1)ⁱ= 0.

αˆnestimateur t.q.

αˆn= arg minMn(α)

Exemple.α=θetF(θ, x, y) :=−lnfW(y−θx)⇒estimateur du maximum de vraisemblance.

I M_n⁽¹⁾( ˆαn) = 0 I sup_θ,d>0P^θ,µθ

n|ˆαn−α0| ≥d^o=o(n⁻¹²).

I pourj= 2,3etη∈]0,1/2[

|F^(j)(α, x, y)−F^(j)(α⁰, x, y)| ≤C|α−α⁰| V(x) +V(y)^η I (D3) pour1≤j≤3 |F^(j)(α, x, y)|^3+ε≤C V(x) +V(y)

mj(θ) :=IEθ,π_θ

F^(j)(α0, X0, X1) (D3)⇒σj(θ)²:= limn1

nIEθ,µ_θ

Pn

k=1F^(j)(α0, X_k−1, Xk)−n mj(θ)²

.

I pourj= 1,2 infθσj(θ)>0 I infθm2(θ)>0

I condition de non-arithméticité.

I pourj= 2,3etη∈]0,1/2[

|F^(j)(α, x, y)−F^(j)(α⁰, x, y)| ≤C|α−α⁰| V(x) +V(y)^η I (D3) pour1≤j≤3 |F^(j)(α, x, y)|^3+ε≤C V(x) +V(y)

mj(θ) :=IEθ,π_θ

F^(j)(α0, X0, X1) (D3)⇒σj(θ)²:= limn1

nIEθ,µ_θ

Pn

k=1F^(j)(α0, X_k−1, Xk)−n mj(θ)²

.

I pourj= 1,2 infθσj(θ)>0 I infθm2(θ)>0

I condition de non-arithméticité.

I pourj= 2,3etη∈]0,1/2[

|F^(j)(α, x, y)−F^(j)(α⁰, x, y)| ≤C|α−α⁰| V(x) +V(y)^η I (D3) pour1≤j≤3 |F^(j)(α, x, y)|^3+ε≤C V(x) +V(y)

mj(θ) :=IEθ,π_θ

F^(j)(α0, X0, X1) (D3)⇒σj(θ)²:= limn1

nIEθ,µ_θ

Pn

k=1F^(j)(α0, X_k−1, Xk)−n mj(θ)²

.

I pourj= 1,2 infθσj(θ)>0 I infθm2(θ)>0

I condition de non-arithméticité.

N

fonction de répartition de la loi

sa densité.

Théorème.

Il existe un polynôme

t.q.

sup

θ,u

Pθ,µθ

√n

σ(θ)( ˆαn−α₀)≤u −N(u)−η(u)n⁻¹²A_θ(u)

=o(n⁻¹²),

avec

σ(θ) := σ1(θ) m₂(θ).

et

admet des coefficients uniformément bornés en

Sn(p) :=

n X

k=1

ξp(Xk−1, Xk).

HypothèseR(3).

Il existeV(0)⊂IRt.q.∀t∈ V(0)

IEθ[e^itSn(p)] =λθ,p(t)ⁿ(1 +lθ,p(t)) +rθ,p,n(t),

et pour`= 0, . . . ,3:

I sup_t∈V(0)sup_θ,pλ^{(`)</sup><sub>θ,p</sub>(t)<+∞ et sup<sub>t∈</sub>V(0)sup<sub>θ,p</sub>l<sup>(`)}_θ,p(t)<+∞, I sup_t∈V(0)supθ,p

r^(`)_θ,p,n(t)

=O(κⁿ).

Proposition.

Si|ξp(x, y)|^3+ε≤C V(x) +V(y)uniformément enp, alorsR(3)est vérifiée.

Sn(p) :=

n X

k=1

ξp(Xk−1, Xk).

HypothèseR(3).

Il existeV(0)⊂IRt.q.∀t∈ V(0)

IEθ[e^itSn(p)] =λθ,p(t)ⁿ(1 +lθ,p(t)) +rθ,p,n(t),

et pour`= 0, . . . ,3:

I sup_t∈V(0)sup_θ,pλ^{(`)</sup><sub>θ,p</sub>(t)<+∞ et sup<sub>t∈</sub>V(0)sup<sub>θ,p</sub>l<sup>(`)}_θ,p(t)<+∞, I sup_t∈V(0)supθ,p

r^(`)_θ,p,n(t)

=O(κⁿ).

Proposition.

Si|ξp(x, y)|^3+ε≤C V(x) +V(y)uniformément enp, alorsR(3)est vérifiée.

Hypothèse (N-A).

Pour tout compactK0⊂IR^∗, il existe0< ρ <1t.q.

sup

t∈K0

sup

θ,p

IEθ[e^itSn(p)]=O(ρⁿ).

Théorème : développement d’Edgeworth probabiliste d’ordre1.

R(3)et (N-A) vérifiées⇒il existeσθ,pet un polynômeAθ,pt.q.

sup

u,θ,p Pθ

Sn(p) σ_θ,p√

n≤u

!

− N(u)− 1

√nA_θ,p(u)η(u)

=o( 1

√n).

etA_θ,padmet des coefficients uniformément bornés en(θ, p).

Application :avec|u|<2√ lnnet F_n⁽¹⁾(α0, x, y)+σ(θ)

√nu F_n⁽²⁾(α0, x, y)−m2(θ)

! +(σ(θ)

√n)²u²

2 F_n⁽³⁾(α0, x, y)−m3(θ)

! .

Hypothèse (N-A).

Pour tout compactK0⊂IR^∗, il existe0< ρ <1t.q.

sup

t∈K0

sup

θ,p

IEθ[e^itSn(p)]=O(ρⁿ).

Théorème : développement d’Edgeworth probabiliste d’ordre1.

R(3)et (N-A) vérifiées⇒il existeσθ,pet un polynômeAθ,pt.q.

sup

u,θ,p Pθ

Sn(p) σ_θ,p√

n≤u

!

− N(u)− 1

√nA_θ,p(u)η(u)

=o( 1

√n).

etA_θ,padmet des coefficients uniformément bornés en(θ, p).

Application :avec|u|<2√ lnnet F_n⁽¹⁾(α0, x, y)+σ(θ)

√nu F_n⁽²⁾(α0, x, y)−m2(θ)

! +(σ(θ)

√n)²u²

2 F_n⁽³⁾(α0, x, y)−m3(θ)

! .

I ρ-mixing et modèle itératif lipschitzien I

ordre supérieur à

: condition de Cramér

Références :

[1] Ferré D. Développement d’Edgeworth d’ordre 1 pour des M-estimateurs dans le cas de chaînes de Markov V-géométriquement ergodiques. CRAS, 2010.

[2] Hervé L. and Pène F. The Nagaev method via the Keller-Liverani theorem. A paraître dans Bull. Soc. Math. Fr.

[3] Hervé L., Ledoux J. and Patilea V. A uniform Berry-Esseen theorem on M-estimators for geometrically ergodic Markov chains.

[4] Meyn S. P. and Tweedie R. L. Markov chains and stochastic stability. Springer Verlag, 1993.

[5] Pfanzagl J. Asymptotic expansions related to minimum contrast estimators.

Ann. Statist., 1973.