Théorème de Keller-Liverani et forte ergodicité.

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Preprint submitted on 21 Nov 2010

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To cite this version:

Déborah Ferré. Théorème de Keller-Liverani et forte ergodicité.. 2010. �hal-00538107�

D.FERRE

novembre 2010

Cette note est extraite de mon rapport de thèse, thèse dirigée par Loïc HERVE et James LEDOUX

. Elle regroupe, détaille et parfois simplie des énoncés et arguments présentés dans des articles diérents, voire des arguments non publiés (conservation du rang, travail avec une semi norme).

Table des matières

1 Théorème de Keller-Liverani 2

1.1 Hypothèse C

(0) et théorème de perturbations d'opérateurs de Keller-Liverani. 3 1.2 Vitesse de convergence dans le théorème de Keller-Liverani. . . . 8 1.3 Remarque. . . . 10

2 Forte ergodicité. 11

2.1 Dénition de projecteurs et quelques lemmes. . . . 14 2.2 Rang des projecteurs. . . . 15 2.3 Cas particulier : rg(Π) = 1 . . . . 17

Soit (B, k·k

) un espace de Banach. On note L(B) l'espace des applications linéaires continues de B dans B . On note par le même symbole k·k

la norme sur B et la norme associée sur L(B) . On désigne par Id l'élement identité de L(B). On note B

:= L(B, C ) le dual topologique de B .

∗INSA IRMAR, UMR-CNRS 6625. Institut National des Sciences Appliquées de Rennes, 20, Avenue des Buttes de Cöesmes CS 14315, 35043 Rennes Cedex, France. Deborah.Ferre@insa-rennes.fr

1. INSA IRMAR, UMR-CNRS 6625. Institut National des Sciences Appliquées de Rennes, 20, Avenue des Buttes de Cöesmes CS 14315, 35043 Rennes Cedex, France. Loic.Herve@insa-rennes.fr et James.Ledoux@insa- rennes.fr

1

Soit Q un élément de L(B) . On note σ(Q

) son spectre, ρ(Q

) son ensemble résolvant, r(Q

) son rayon spectral et r

(Q

) son rayon spectral essentiel. De plus, le rayon spectral vérie

r(Q

) = lim

n

kQ

k

1 n

B

= inf

n

kQ

k

1 n

B

= max{|λ|; λ ∈ σ(Q

)} (1) et le rayon spectral essentiel (formule de Nussbaum)

r

(Q

) = lim

n

inf{kQ

− V k

1 n

B

; V opérateur compact sur B}

. (2)

Soit ( B, e k · k

Be

) un autre espace normé tel que B s'injecte continûment dans B e : B , → B e . On note pour tout Q ∈ L(B)

kQk

= sup{kQf k

Be

; f ∈ B, kf k

≤ 1}.

On considère une famille (Q(t); t ∈ I

) d'opérateurs linéaires sur B et B e avec I

un voisinage réel de 0 . On note Q := Q(0) l'opérateur non perturbé.

On s'intéresse dans ce qui suit à l'existence de l'inverse dans L(B) de l'application z − Q(t) :=

z Id − Q(t) pour z dans C, que l'on note (sous réserve d'existence) :

R(z) := (z − Q)

la résolvante de l'opérateur non perturbé et R

(z) := (z − Q(t))

la résolvante de l'opérateur perturbé .

Par ailleurs, on désigne le disque fermé de C centré en c et de rayon r par D(c, r) := {z ∈ C ; |z − c| ≤ r} et le disque ouvert par D(c, r) := {z ∈ C ; |z − c| < r} .

Enn, pour tout x réel positif, dxe désigne l'entier immédiatement supérieur à x.

1 Théorème de Keller-Liverani

Cette étude se fera plus particulièrement sur les compacts D

pour κ , ρ , r , réels stricte- ment positifs, avec D

déni par :

D

:=

z ∈ C ; |z| ≥ κ, d z, σ(Q

)

≥ ρ, |z| ≤ r . (3)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ....

... ....

... ....

r

• 0

κ • ρ

• ρ

• ρ

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

...

...

...

...

Représentation de D

.

1.1 Hypothèse C

(0) et théorème de perturbations d'opérateurs de Keller- Liverani.

On rappelle que l'on considère (B, k · k

) un espace de Banach et ( B, e k · k

eB

) un autre espace normé tels que B s'injecte continûment dans B e : B , → B e , ainsi qu'une famille (Q(t); t ∈ I

) d'opérateurs linéaires sur B et B e avec I

un voisinage réel de 0.

Hypothèse C

(0)

(Q(t); t ∈ I

) est une famille d'opérateurs linéaires continus sur B (c'est-à-dire ∀t ∈ I

, Q(t) ∈ L(B) ) et telle que Q ∈ L( B) e , qui vérie :

(H1) Il existe des constantes c

> 0, κ

> 0 et M > 0 telles que, pour tous t ∈ I

, f ∈ B et n ∈ IN on ait

kQ(t)

f k

≤ c

κ

kf k

+ c

M

kf k

Be

. (H2) ∆(t) := kQ(t) − Qk

→

0 .

L'inégalité écrite dans la condition (H1) est appelée inégalité de Doeblin-Fortet, en lien avec le théorème de Ionescu-Tulcea et Marinescu (cf. [Hen93]). On notera que (H1) implique que (Q(t); t ∈ I

) est une famille d'opérateurs linéaires continus sur B . On notera aussi que la condition (H2) est plus faible que la condition de continuité en t = 0 des opérateurs {Q(t); t ∈ I

} sur B nécessaire au théorème classique des perturbations [DS58].

Théorème 1. Sous l'hypothèse C

(0) , pour tous κ , ρ et r tels que κ > κ

, ρ > 0 et r > 0 , il existe un voisinage I e

⊆ I

de 0 tel que les opérateurs R

(z) := (z − Q(t))

soient bien dénis dans L(B) pour tous z ∈ D

et t ∈ I e

, et l'on a de plus :

sup{k(z − Q(t))

k

; z ∈ D

, t ∈ I e

} < +∞ (4) sup{k(z − Q(t))

− (z − Q)

k

Be

; z ∈ D

} →

Ie0

0. (5)

Comme B , → B e par hypothèse, on dénit pour ce qui suit la constante α > 0 par

∀f ∈ B, kf k

Be

≤ α kfk

, (6)

et comme Q ∈ L( B), on dénit également la constante e e c > 0 telle que e c := sup{kQfk

Be

; f ∈ B, e kf k

Be

≤ 1}. (7)

Remarque 1. Le théorème 1 est en fait vérié sur

z ∈ C ; |z| ≥ κ, d z, σ(Q

)

≥ ρ et non pas seulement sur D

.

En eet, sur {z ∈ C ; |z| > r(Q(t)

)} , z−Q(t) est inversible d'inverse R

(z) = P

n≥0

z

Q(t)

(série de Von Neumann). Or par l'inégalité de Doeblin-Fortet (H1), il existe d := c

(1+ α) > 0 , avec α > 0 déni par (6), telle que pour tous n ∈ IN et t ∈ I

, on ait kQ(t)

k

≤ d max(κ

, M)

. En particulier r(Q(t)

) = lim

kQ(t)

k

1 n

B

≤ max(κ

, M ) . Soit ε > 0 . On a ainsi pour tout z ∈ C, |z| ≥ max(κ

, M ) + ε :

k(z − Q(t))

k

≤ X

n≥0

|z|

kQ(t)

k

≤ d

|z|

X

n≥0

max(κ

, M )

|z|

ce qui permet d'obtenir (cf. (4)) : sup{k(z − Q(t))

k

; |z| ≥ max(κ

, M ) + ε, t ∈ I

} < +∞ . De plus,

(z − Q(t))

− (z − Q)

= X

n≥0

z

[Q(t)

− Q

] = X

n≥0

z

n−1

X

i=0

Q

[Q(t) − Q]Q(t)

,

ce qui implique en considérant les normes k(z − Q(t))

− (z − Q)

k

≤ X

n≥0

|z|

∆(t)d

n−1

X

i=0

e c

max(κ

, M )

= ∆(t) d

|z|

X

n≥0

n

max(κ

, M, e c)

|z|

ce qui permet d'obtenir (cf. (5)) :

sup{k(z − Q(t))

− (z − Q)

k

Be

; |z| ≥ max(κ

, M, e c) + ε} →

0.

Remarque 2. On peut ne considérer qu'une semi norme sur B e , et supposer qu'il existe une constante e c ≥ 0 telle que (7) soit vériée.

Preuve du théorème 1. La preuve suivante est une synthèse de [KL99, Liv04] (voir aussi [Bal00], th. 3.8). Soient κ , ρ et r xés vériant les conditions du théorème. Par dénition du spectre et de D

, l'opérateur R(z) = (z − Q)

est bien déni dans L(B) pour tout z ∈ D

. De plus D

est compact dans C, et par continuité de L 7→ L

sur les inversibles de L(B) , l'application z 7→ R(z) est continue sur D

. Ceci permet de dénir

H = H

:= sup

kR(z)k

; z ∈ D

< +∞. (8) On utilisera les inégalités suivantes pour tout t ∈ I

qui découlent de (H1) :

kQ(t)k

≤ c et kQ(t) − Qk

≤ 2c, avec c := c

κ

+ c

M α, (9) avec α déni en (6). On rappelle que l'on a déni par ailleurs e c en (7).

Enn, on utilisera dans cette preuve les inégalités suivantes pour z 6= 0 : Id = z

Q(t)

+ 1

z

n−1

X

i=0

z

Q(t)

(z − Q(t)) (10)

= z

Q(t)

+ 1

z (z − Q(t))

n−1

X

i=0

z

Q(t)

.

1) Existence de l'inverse de z − Q(t) pour |t| petit.

On démontre dans cette partie la continuité du spectre perturbé.

Proposition 1. Il existe un voisinage I e

⊆ I

de 0 tel que z − Q(t) soit inversible pour tous

z ∈ D

et t ∈ I e

.

Preuve de la proposition 1. On explicite ci-dessous l'inverse à droite de z − Q(t) (et donc la surjectivité de l'opérateur z − Q(t) ) pour tous z ∈ D

et t susamment petit de I

, puis son injectivité.

1)a) Inverse à droite (surjectivité). On rappelle que R(z) = (z − Q)

. Soit n ∈ IN , t ∈ I

et z ∈ D

. On a par l'égalité (10)

z − Q(t) 1

z

n−1

X

i=0

z

Q(t)

+ z

Q(t)

R(z)

= Id − z

Q(t)

Id − z − Q(t) R(z)

= Id − z

Q(t)

Q(t) − Q R(z).

Il sut de montrer que δ

(t) := kz

Q(t)

Q(t) − Q

R(z)k

< 1 pour un n susamment grand, n ≥ N

avec N

à déterminer et t ∈ I

susamment petit pour montrer l'existence de l'inverse à droite suivant :

I

(z) :=

1 z

Nd−1

X

i=0

z

Q(t)

+ z

Q(t)

R(z)

Id − z

Q(t)

Q(t) − Q R(z)

. (11) Soit h ∈ B . En utilisant (H1), puis (8) (9) et (H2), on obtient :

δ

(t) ≤ |z|

c

κ

k Q(t) − Q

R(z)hk

+ c

M

k Q(t) − Q

R(z)hk

Be

≤ κ

c

κ

2cHkhk

+ c

M

∆(t)Hkhk

≤ A( κ

κ )

khk

+ B

∆(t)khk

avec A = 2c

cH et B

= Hc

( M κ )

. Fixons maintenant N

≥ 0 tel que A(

)

<

, soit par exemple N

=

ln_κ^κ

1

, puis un voisinage g I

⊆ I

tel que B

∆(t) <

pour tout t ∈ g I

. On a alors la condition recherchée.

1)b) Injectivité. Dénissons les constantes suivantes, pour n ∈ IN : a := αHc

et b

:= αHc

M κ

+ 1 κ

n−1

X

i=0

e c κ

, (12)

a

:= 2c

( M

κ )

et a

:= 2 κ

N0−1

X

i=0

( c

κ )

(13)

avec N

∈ IN tel que c

(

)

≤

, soit par exemple N

=

ln_κ^κ

1

. Lemme 1. On a pour tous z ∈ D

, f ∈ B , et n ∈ IN ,

kR(z)f k

Be

≤ a( κ

κ )

kfk

+ b

kfk

eB

. Lemme 2. On a pour tous t ∈ I

, z ∈ D

et g ∈ B :

kgk

≤ a

kgk

eB

+ a

k(z − Q(t))gk

.

Ces deux lemmes permettent de démontrer le lemme suivant. Pour ce dernier, nous considérons un entier N

∈ IN tel que a

a2c(

)

≤

, soit par exemple N

=

ln_κ^κ

1

, puis un intervalle I g

⊂ I

tel que pour tout t ∈ I g

on ait a

b

∆(t) ≤

, où ∆(·) est la fonction de (H2).

Lemme 3. On a pour tous t ∈ g I

, z ∈ D

et h ∈ B : khk

≤ 2

a

b

α + a

a( κ

κ )

+ a

k(z − Q(t))hk

.

Preuve du lemme 3. En appliquant successivement le lemme 2 avec g = h , le lemme 1 avec f = (z − Q)h, et enn les inégalités suivantes (cf. (9), (H2) et (6))

k(z − Q)hk

≤ k(Q(t) − Q)hk

+

z − Q(t) h

≤ 2ckhk

+ k(z − Q(t))hk

k(z − Q)hk

Be

≤ k(Q(t) − Q)hk

Be

+

z − Q(t) h

Be

≤ ∆(t)khk

+ α k(z − Q(t))hk

on obtient

khk

≤ a

khk

eB

+ a

k(z − Q(t))hk

≤ a

a( κ

κ )

k(z − Q)hk

+ b

k(z − Q)hk

Be

+ a

k(z − Q(t))hk

≤ a

a( κ

κ )

2c + b

∆(t)

khk

+

a

b

α + a

a( κ

κ )

+ a

k(z − Q(t))hk

.

Avec n = N

et en vertu des conditions imposées ci-dessus sur N

et g I

, ceci démontre le

lemme 3. 2

Montrons maintenant les deux lemmes 1 et 2.

Preuve du lemme 1. Soient n ∈ IN , z ∈ D

. Par l'égalité (10) appliquée à R(z)f ∈ B pour t = 0 :

kR(z)f k

Be

≤ kR(z)(z

Q)

fk

eB

+ k 1 z

n−1

X

i=0

(z

Q)

fk

eB

. Or, pour tout g ∈ B , on a kR(z)gk

Be

≤ αkR(z)gk

≤ αHkgk

par dénition de H et α (cf. (8) et (6)), ce qui implique en appliquant cette dernière inégalité avec g = (z

Q)

f, puis (H1) :

kR(z)f k

Be

≤ αH k(z

Q)

f k

+ k 1 z

n−1

X

i=0

(z

Q)

f k

Be

≤ αH

c

( κ

κ )

kf k

+ c

( M κ )

kf k

Be

+ k 1

z

n−1

X

i=0

(z

Q)

f k

eB

,

ce qui termine la démonstration du lemme 1. 2

Preuve du lemme 2. Soient n ∈ IN , z ∈ D

, et t ∈ I

. De l'égalité (10), on déduit que l'on a pour tout g ∈ B :

kgk

≤ k z

Q(t)

gk

+ k 1 z

n−1

X

i=0

(z

Q(t))

(z − Q(t)) gk

≤

c

( κ

κ )

kgk

+ c

( M κ )

kgk

Be

+ k 1

z

n−1

X

i=0

(z

Q(t))

(z − Q(t)) gk

,

la seconde inégalité découlant de (H1). Alors, en vertu de la condition imposée à N

, 1

2 kgk

≤ c

( M

κ )

kgk

eB

+ k 1 z

N0−1

X

i=0

(z

Q(t))

(z − Q(t)) gk

,

ce qui démontre le lemme 2. 2

1)c) Inverse. Des points a) et b) ci-dessus, il vient que, pour t ∈ I e

:= g I

∩ g I

et z ∈ D

, l'opérateur z − Q(t) est bijectif donc inversible par le théorème de l'application ouverte, ce

qui termine la preuve de la proposition 1. 2

2) Preuve de (4).

On rappelle que l'on a posé R

(z) = z − Q(t)

. On vient de montrer que R

(z) est déni pour tous t ∈ I e

et z ∈ D

, il reste à majorer la norme kR

(z)f k

. En appliquant le lemme 3 à h = z − Q(t)

g (pour tout g ∈ B ), on obtient (4). 2

3) Preuve de (5).

Lemme 4. Pour tous n ∈ IN , t ∈ I e

, z ∈ D

et g ∈ B , on a kR(z) Q(t) − Q

gk

≤

2ac( κ

κ )

+ b

∆(t)

kgk

.

Preuve du lemme 4. Soient n ∈ IN , g ∈ B . Par le lemme 1 appliqué à Q(t) − Q)g , puis (9) et (H2) :

kR(z) Q(t) − Q gk

Be

≤ a( κ

κ )

k Q(t) − Q

gk

+ b

k Q(t) − Q gk

Be

≤ 2ac( κ

κ )

kgk

+ b

∆(t)kgk

.

qui est exactement l'inégalité voulue du lemme 4. 2

Nous pouvons maintenant démontrer (5). Soit f ∈ B . Il est facile de voir que R

(z) − R(z) = R(z) Q(t) − Q

R

(z). (14)

Par les lemmes 4 et 2 appliqués à g = R

(z)f , on a k(R

(z) − R(z))f k

Be

≤

2ac( κ

κ )

+ b

∆(t)

a

kR

(z)fk

eB

+ a

kf k

. Par ailleurs on a en utilisant les constantes H et α dénies dans (8) et (6) :

kR

(z)f k

Be

≤ kR(z)f k

Be

+ k(R

(z) − R(z))fk

Be

≤ αH kfk

+ k(R

(z) − R(z))f k

Be

, ce qui implique :

k(R

(z) −R(z))f k

Be

≤

2ac( κ

κ )

+ b

∆(t)

(a

αH +a

)kf k

+a

k(R

(z)−R(z))f k

Be

. (15) Soit 0 < ≤

. On xe N ∈ IN tel que 2ac(

)

≤

1

, soit par exemple N =

1

, puis I une restriction de I e

telle que pour tout t ∈ I on ait b

∆(t) ≤

1

. Alors pour tout t ∈ I : 1

2 k(R

(z) − R(z))f k

Be

≤

2ac( κ

κ )

+ b

∆(t)

(a

αH + a

)kfk

≤

a

(a

αH + a

)kf k

.

Cette dernière inégalité prouve la propriété (5). 2

1.2 Vitesse de convergence dans le théorème de Keller-Liverani.

La vitesse de convergence dans (5) peut être explicitée en fonction de ∆(t) , la fonction dénie dans (H2).

Corollaire 1. Sous l'hypothèse C

(0) page 3 et et que Q est quasi-compact de rayon spectral essentiel tel que r

(Q

) ≤ κ

, pour tous κ, ρ et r tels que e κ < κ < r(Q) avec e κ déni par

e κ := max(κ

, κ

),

ρ > 0 et r > 0 , on dénit la constante suivante (fonction de κ , ρ et r ) :

D := 2C(a

αH + a

), (16)

avec C := 2αHc

c +αHc

κ

+

, d := P

i≥0

κ ec

< +∞ bien dénie, et avec a

et a

dénis en (13), α en (6), et H en (8).

Alors la constante

η := ln

1

ln

1

(17) est bien dénie, vérie 0 < η < 1 et il existe une restriction I e

⊆ I e

, avec I e

déni dans le théorème 1 tel que l'on ait que pour tout t ∈ I e

:

sup

k(z − Q(t))

− (z − Q)

k

Be

; z ∈ D

≤ D∆(t)

. (18)

Preuve du corollaire 1 . Pour démontrer ce corollaire, il sut de majorer les termes fonction de n de l'inégalité (15).

Lemme 5. La constante η vérie 0 < η < 1 , et pour tout n ∈ IN , on a b

≤ (αHc

M

κ + d κ )

max( e c, M ) κ

.

Preuve du lemme 5 . La constante e c dénie en (7) vérie

e c > κ. (19)

En eet, soit λ ∈ σ(Q) , |λ| > κ (donc |λ| > κ

≥ r

(Q

) ), alors il existe φ 6= 0 ∈ B telle que Qφ = λφ . Or kφk

Be

6= 0 (sinon par (H1), on aurait kφk

= kλ

Q

φk

≤ c

kφk

→

0 , ce qui impliquerait que φ = 0), et donc on a (19). Ceci implique que 0 < η < 1 et d :=

X

i≥0

κ e c

< +∞ ,

n−1

X

i=0

e c κ

≤ d

e c κ

. Ceci permet de majorer b

, avec b

dénie en (12).

2

On considère une restriction I e

de I e

telle que l'on ait pour tout t ∈ I e

: 0 < ∆(t) < 1 . On pose l'application n(·) de I e

dans IN , dénie comme suit :

n(t) :=

&

ln ∆(t) ln

'

. (20)

Lemme 6. On a pour tout t ∈ I e

:

( κ

κ )

≤ ∆(t)

(21)

et

max( e c, M ) κ

≤ 1

∆(t)

. (22)

Preuve du lemme 6 . Tout d'abord, n(t) ≥ ln ∆(t)

ln

κ1<κ

⇒ ( κ

κ )

≤ exp

ln ∆(t)

ln

ln κ

κ

ce qui montre (21) par dénition (17) de η . Par ailleurs, n(t) − 1 ≤ ln ∆(t)

ln

ec,M)

κ<ec

par (19)

⇒

max( e c, M ) κ

≤ exp

ln ∆(t) ln

ec,M)

ln max( e c, M ) κ

et donc

max( e c, M ) κ

≤ exp

− ln ∆(t) ln

ln

1

= exp − ln ∆(t)(1 − η)

, ce qui

montre (22). 2

Alors, avec la constante C dénie par C := 2αHc

c + αHc

+

, l'inégalité (15) devient avec n = n(t) , grâce à la majoration de b

et au lemme 6 :

k(R

(z) − R(z))f k

Be

≤

2αHc

c∆(t)

+ αHc

M κ + d

κ 1

∆(t)

∆(t)

×

(a

αH + a

)kfk

+ a

k(R

(z) − R(z))f k

Be

= C∆(t)

(a

αH + a

)kf k

+ a

k(R

(z) − R(z))fk

eB

.

Soit I e

une restriction de I e

telle que pour tout t ∈ I e

, Ca

∆(t)

≤

, alors pour tout t ∈ I e

: k(R

(z) − R(z))f k

Be

≤ 2C∆(t)

(a

αH + a

)kf k

,

ce qui donne (18) par dénition de D . 2

1.3 Remarque.

Le théorème de Keller-Liverani peut s'appliquer non plus seulement en 0 , mais plus générale- ment en un point quelconque t

de I

. On dénit tout d'abord

D

(t

) :=

z ∈ C; |z| ≥ κ, d z, σ(Q(t

)

)

≥ ρ, |z| ≤ r . (23) Hypothèse C

(0)

(Q(t); t ∈ I

) est une famille d'opérateurs linéaires continus sur B , et telle que Q(t

) ∈ L( B) e , qui vérie :

(H1) Il existe des constantes c

> 0 , κ

> 0 et M > 0 telles que, pour tout t ∈ I

, pour tout f ∈ B et pour tout n ∈ IN on ait

kQ(t)

f k

≤ c

κ

kf k

+ c

M

kf k

Be

. (H2) kQ(t) − Q(t

)k

→

0 .

Corollaire 2. Sous l'hypothèse C

(0) , pour tous κ , ρ et r tels que κ > κ

, ρ > 0 et r > 0 , il existe un voisinage I e

⊆ I

de t

tel que les opérateurs R

(z) := (z − Q(t))

soient bien dénis dans L(B) pour tous z ∈ D

(t

) et t ∈ I e

, et l'on a de plus :

sup{k(z − Q(t))

k

; z ∈ D

(t

), t ∈ I e

} < +∞

sup{k(z − Q(t))

− (z − Q(t

))

k

Be

; z ∈ D

(t

)} →

0,t∈Ie0

0.

Remarque 3. L'existence des opérateurs R

(z) pour tout z dans D

(t

) donnée par le

corollaire ci-dessus implique directement l'inclusion dans [D(0, κ

) ∪ σ(Q(t

)

)] des points

d'accumulation (quand t → t

, t ∈ I

) des valeurs spectrales σ(Q(t)

) .

Il existe une application de ce corollaire utile pour vérier la condition de non-arithméticité.

On commence par énoncer des hypothèses nécessaires à la proposition ci-dessous. On dénit ci-dessous l'hypothèse e C(0) .

Hypothèse e C(0) .

(Q(t); t ∈ IR) est une famille d'opérateurs linéaires continus sur B et B e . De plus, il existe des fonctions 0 < κ

< 1 , 0 < κ

< 1 , c

> 0 et M > 0 dénies sur IR

telles que ∀t

∈ IR

, il existe un voisinage I

(t

) de t

tel que l'on ait :

(H0) ∀t ∈ I

(t

) , Q(t) est quasi-compact tel que r

(Q(t)

) ≤ κ

(t

) . (H1) ∀t ∈ I

(t

) , f ∈ B et n ∈ IN , on a

kQ(t)

f k

≤ c

(t

)κ

(t

)

kf k

+ c

(t

)M (t

)

kf k

Be

. (H2) kQ(t) − Q(t

)k

→

0 .

Proposition 2. Sous l'hypothèse C(0) e , et si ∀t 6= 0 , r Q(t)

< 1 , alors on a pour tout compact K

⊂ IR

r

:= sup

r Q(t)

; t ∈ K

< 1. (24)

De plus, il existe ρ

∈ [0, 1[ tel que

∀ρ ∈]ρ

, 1[, sup

k (z − Q(t))

k

; t ∈ K

, |z| = ρ

< +∞. (25) Preuve de la proposition 2. La preuve a été écrite dans [HP09] (lemme 12.3.). La proposition se démontre à l'aide du théorème de Keller-Liverani. On considère un compact K

dans IR

. Montrons tout d'abord par l'absurde que (24) est vérié : on suppose que r

≥ 1 . Par hypothèse, r

= 1 . Il existe une suite (τ

)

de K

telle que l'on ait lim

r(Q(τ

)

) = 1 . Par compacité, on peut supposer que (τ

)

est convergente. Soit τ = lim

τ

. Comme τ ∈ K

, τ 6= 0 . On peut aussi supposer que pour tout k ≥ 1 , τ

∈ I

(τ ) et r(Q(τ

)

) > κ

(τ ) . Pour tout k ≥ 1 , il existe λ

une valeur spectrale de Q(τ

) telle que |λ

| = r(Q(τ

)

) , λ

∈ D(0, 1) . Par compacité, on peut supposer que (λ

)

est convergente. Soit λ = lim

λ

, |λ| = 1 . De la remarque 3 précédente, on a que λ ∈ [D(0, κ

(τ )) ∪ σ(Q(τ )

)] , avec κ

(τ ) < 1 , et donc λ ∈ σ(Q(τ )

) . Or par hypothèse, r(Q(τ )

) < 1 , ce qui termine de montrer la contradiction et donc (24).

Soit ρ

:= r

< 1 par ce qui précède, et soit ρ ∈]ρ

, 1[ . Comme ∀t ∈ K

, r(Q(t)

) ≤ r

< ρ , et comme K

est compact, par le théorème de Keller-Liverani (corollaire 2 précédent) et la propriété de Borel-Lebesgue, on a sup{k(z − Q(t))

k

; t ∈ K

, |z| = ρ} < +∞ , ce qui

termine de montrer (25). 2

2 Forte ergodicité.

On s'intéresse par la suite au cas particulier de la forte ergodicité dénie ci-dessous :

(ERG sur B ) Il existe Π un projecteur non nul de rang ni et des constantes c

> 0 et

0 < κ

< 1 tels que pour tout n ∈ IN on ait kQ

− Πk

≤ c

κ

.

Remarque 4. L'hypothèse (ERG sur B ) est équivalente à l'existence d'un projecteur de rang ni Π tel que kQ

− Πk

→

0 .

En eet, l'implication directe est évidente. Supposons que kQ

− Πk

→

0 , et soit f ∈ B . Alors Q ◦ (Q

f) → Q ◦ (Πf) quand n → +∞ par continuité de Q , et donc Q ◦ (Πf ) = Πf par unicité de la limite. De même, Q

◦ (Qf ) → Π ◦ (Qf ), et donc Π ◦ (Qf ) = Πf . Donc

Q ◦ Π = Π et Π ◦ Q = Π. (26)

On suppose que kQ

− Πk

→

0 . Soit n

∈ IN tel que ρ := kQ

− Πk

< 1 . Pour tout n ∈ IN , on écrit n = n

p + b ∈ IN avec 0 ≤ b < n

et p ∈ IN . Alors, par (26), kQ

−Πk

= kQ

Q

−Πk

= kQ

Q

− Π

k

= kQ

(Q

− Π)

k

≤ ρ

≤

ρ

1 n0

. On pose donc c

:=

et κ

:= ρ

1

n0

, ce qui donne bien kQ

− Πk

≤ c

κ

.

Cette hypothèse (ERG sur B ) implique la quasi-compacité de Q, de rayon spectral essentiel r

(Q

) ≤ κ

, de rayon spectral r(Q

) = 1 et min

λ ∈ σ(Q

); |λ| > κ

= 1 , comme le montre la proposition suivante (on rappelle que dim(Π(B)) < ∞ par hypothèse).

Proposition 3. Sous l'hypothèse (ERG sur B ), σ(Q

) ⊂ [D(0, κ

) ∪ {1}] .

Preuve de la proposition 3. Comme Π est un projecteur, on a : B = Π(B) ⊕ Ker(Π). Or, par (26), Π(B) est stable par Q et Ker(Π) aussi. On en déduit facilement que

σ(Q

) ⊂

σ Q

∪ σ Q

.

Or on a σ(Q

) ⊂ D(0, κ

) . En eet : r(Q

) = lim

k Q

k

1 n

B

≤ κ

d'après l'hypothèse 3. De plus, l'égalité Q◦(Πf ) = Πf donne Q

= Id

avec dim(Π(B)) < +∞ ,

d'où σ(Q

) = {1} . 2

On applique alors le théorème de Keller-Liverani pour faire la remarque suivante. Sous C

(0) et sous (ERG sur B ), pour tout κ > e κ , avec e κ := max{κ

, κ

} , et pour tout ρ > 0 , il existe un voisinage I e

⊆ I

de 0 tel que le spectre σ(Q(t)

) de Q(t) pour t ∈ I e

soit contenu dans [D(0, κ) ∪ D(1, ρ)] . On ne considère donc désormais plus D

mais D

déni comme le complémentaire de [D(0, κ) ∪ D(1, ρ)] dans D(0, r) . Plus précisément, pour tous κ , ρ et r tels que κ > κ e , ρ > 0 et r > 0 , on pose

D

:= {z ∈ C ; |z| ≥ κ, |z − 1| ≥ ρ, |z| ≤ r}. (27) Par ailleurs pour tous κ , ρ et r tels que κ > κ e , ρ > 0 et r > 0 , on dénit Γ

= Γ

(ρ) le cercle orienté centré en z = 1 de rayon ρ , Γ

= Γ

(κ) le cercle orienté centré en z = 0 de rayon κ , et Γ = Γ(r) le cercle orienté centré en z = 0 de rayon r.

On impose

κ < 1 (et donc κ

< 1 et κ

< 1 ) et ρ < 1 − κ de telle sorte que les deux cercles Γ

et

Γ

aient une intersection vide

et r ≥ 1 + ρ de telle sorte que (Γ

∪ Γ

) ⊂ D(0, r) .

On représente ci-dessous D

sous ces conditions, ainsi que Γ

, Γ

et Γ .

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ....

r

• 0

κ •

1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ρ ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

...

...

...

...

Représentation de D

.

Hypothèse f C

(0)

(Q(t); t ∈ I

) est une famille d'opérateurs linéaires continus sur B (c'est-à-dire ∀t ∈ I

, Q(t) ∈ L(B) ) et telle que Q(0) ∈ L( B) e , qui vérie :

(ERG sur B ) Il existe Π un projecteur non nul de rang ni et des constantes c

> 0 et 0 < κ

< 1 tels que pour tout n ∈ IN on ait kQ

− Πk

≤ c

κ

.

(H1) Il existe des constantes c

> 0 , 0 < κ

< 1 et M > 0 telles que, pour tous t ∈ I

, f ∈ B et n ∈ IN on ait

kQ(t)

f k

≤ c

κ

kf k

+ c

M

kf k

Be

. (H2) ∆(t) := kQ(t) − Qk

→

0 .

Corollaire 3. Sous l'hypothèse f C

(0) précédente, pour tous κ , ρ et r tels que

e κ < κ < 1, 0 < ρ < 1 − κ, et r ≥ 1 + ρ, (28) avec e κ déni par

e κ := max{κ

, κ

}, (29)

il existe un voisinage I e

⊆ I

de 0 tel que les opérateurs R

(z) := (z − Q(t))

soient bien dénis dans L(B) pour tous z ∈ D

et t ∈ I e

et en particulier R

(z) := (z − Q(t))

sont bien dénis sur Γ

, Γ

et Γ , et l'on a de plus :

sup{k(z − Q(t))

k

; z ∈ D

, t ∈ I e

} < +∞ (30) sup{k(z − Q(t))

− (z − Q)

k

; z ∈ D

} →

Ie0

0. (31)

Dans ce qui suit, on suppose désormais que l'hypothèse f C

(0) est vériée. On se xe κ , ρ et

r tels que (28) soit vériée, et on note I e

l'intervalle réel donné par le corollaire 3. Alors la

résolvante R

(z) est bien dénie pour tous t ∈ I e

et z ∈ Γ

∪ Γ

∪ Γ .

2.1 Dénition de projecteurs et quelques lemmes.

Soient les opérateurs dénis sur B pour tout t ∈ I e

et pour i = 0, 1 par : Π

(t) = 1

2iπ Z

Γi

R

(z) dz. (32)

Ces opérateurs sont des projecteurs qui vérient pour tout t ∈ I e

sur B :

Π

(t) + Π

(t) = Id et Π

(t)Π

(t) = Π

(t)Π

(t) = 0. (33) L'égalité (33) se montre facilement. Tout d'abord par analyticité de z 7→ R

(z) ∈ L(B) avec z tel que |z| ∈ / σ(Q(t)

) , on a Π

(t) + Π

(t) =

R

Γ

R

(z) dz . De plus, on a Π

(t) + Π

(t) =

R

Γ

P

k≥0

z

Q(t)

dz . Et par convergence uniforme de la série intégrée, Π

(t) + Π

(t) =

P

k≥0

Q(t)

R

Γ

z

dz

, ce qui démontre la première égalité de (33) par la formule intégrale de Cauchy. De plus, pour i, j ∈ {0, 1} , on a grâce à l'égalité résolvante R

(z)R

(z

) = R

(z) − R

(z

)

z

− z : Π

(t)Π

(t) =

1 2iπ

Z

Γi

R

(z) dz 1

2iπ Z

Γj

R

(z

) dz

= ( 1 2iπ )

Z

Γi

Z

Γj

R

(z)R

(z

) dzdz

= ( 1 2iπ )

Z

Γi

Z

Γj

R

(z)

z

− z dzdz

+ ( 1 2iπ )

Z

Γi

Z

Γj

R

(z

) z − z

dzdz

= ( 1 2iπ )

Z

Γi

R

(z) Z

Γj

1 z

− z dz

dz + ( 1 2iπ )

Z

Γj

R

(z

) Z

Γi

1 z − z

dz

dz

et l'on obtient les égalités souhaitées avec la formule intégrale de Cauchy.

Le projecteur que l'on vient de dénir vérie Π

(0) = Π , avec Π le projecteur déni dans (ERG), comme le montre le lemme suivant.

Lemme 7. On a Π

(0) = Π.

Preuve du lemme 7. Π

(0) est un projecteur tel que Π

(0) ◦ Π = Π ◦ Π

(0) = Π

R

Γ1

R(z) dz par dénition de Π

(0) . Or R(z) = (z−1)

sur Π(B) par (26), donc Π◦ Π

(0) = Π

R

Γ1

(z−

1)

dz = Π , ce qui implique que Π(B) = Π

(0)(B) . De plus, Ker(Π) ⊂ Ker(Π

(0)) . En eet, Ker(Π) est stable par Q et σ(Q

) ≤ κ

par (ERG), ce qui implique par dénition de Γ

que pour tout f ∈ Ker(Π) : Π

(0)f = 1

2iπ Z

Γ1

X

n≥0

z

Q

f

dz

= 1

2iπ X

n≥0

Q

f Z

Γ1

z

dz

= 0 par la formule intégrale de Cauchy .