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INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

MASTER M2 RECHERCHE INFORMATIQUE UE : Cognition et Connaissance

Rapport écrit de l’exposé METHODE DEMPSTER-SHAFER

Etudiant: Guy Richard SAMEDY

(2)

1- Introduction

Le degré de certitude ou de croyance pour l’avènement ou la réalisation de certains phénomènes (tels que : la pluie, les catastrophe naturelle), les difficultés de la reconnaissance d’objets dans le domaine de la télédétection soulèvent des interrogations qui sont résolues de nos jours par des modèles mathématiques de croyances. Parmi eux, nous pouvons citer : le Bayesian, Model Upper and Lower Probabilities (UPL), Evidentiary Value Model (EVM), La Probabilité des Propositions modales et autre. Des tous les modèles connus de nos jours, l’utilisation de l’un ou de l’autre pour une situation (ou dans un domaine d’application) dépend d’un choix judicieux suivant le mode d’application.

Ainsi pour une distribution de probabilité avec valeurs connues on utilisera le Bayesian, pour distribution avec des quelques valeurs connues o utilisera l’ULP, pour une distribution qui n’est pas connue on utilise le TBM.

Aussi la théorie Dempster (966-1968), complétée par les propositions Shafer en 1974, a donné naissance à un modèle mathématique de croyance connue sur le nom de la théorie de l’evidence. Cette théorie est un modèle d’inférence statistique qui généralise l’inférence Bayésienne et qui connaît des applications diverse tels que :

 Années 80 : IA, modélisation des incertitudes dans les systèmes experts

 Années 90 : fusion d’informations (télédétection, identification de cibles, imagerie, médicale, …)

Elle permet de représenter explicitement, à partir d’outils mathématiques, l’incertitude liée aux connaissances (tels que l’avis des experts sur le degré plausibilité ou de croyance que la pluie tombera dans 5 jours). Par cette méthode l’on peut modéliser le degré de croyance, notion « de croyance » qui se révéler particulièrement efficace lors de la combinaison de différents points de vue. Connue pour son efficacité dans de multiples applications tels que : la classification d'images, prise de décision, nous donnons comme objectif de présenter la théorie de Dempster-Shafer à travers ses principaux termes fondamentaux, afin de permettre d’en saisir le sens.

2- Les fondamentaux de la Théorie de Dempster-Shafer

Dans cette théorie probabiliste introduit par Dempster, à travers ses fonctions de probabilité inférieure et probabilité supérieure auxquelles Shafer attribue respectivement la fonction de croyance et la fonction de plausibilité, l’on prend en compte l’extension de la théorie des probabilités subjectives. Les applications ne concernes que des ensembles de définition discrets au niveau credal et pignistic. Se basant sur une distribution de masse d'évidence m définie sur l'ensemble des propositions Ω (espace de mondes possibles de cardinal fini), elle associe des degrés croyance et de plausibilité à des parties de A (groupe de propositions ou d’informations) de Ω.

(3)

2.1- La fonction de croyance et la fonction de plausibilité

La fonction de croyance ou de plausibilité est une fonction qui, pour une information ou proposition émise ou déduite d’une analyse, permet d’attribuer des degrés de croyance ou de plausibilité comprise entre 0 et 1.

Soit Ω un ensemble d’hypothèses {H1,H2, . . . ,Hn} mutuellement exclusives, appelé cadre de discernement. L’ensemble des parties A de Ω est noté 2.

Si on définie la fonction m : 2

[0 1] une distribution d’évidence sur les parties Ω (ou la partition de Ω), alors A

m(A) représente la distribution d’évidence sur la partie A.

o m(A) est la confiance portée strictement dans A sans que celle-ci puisse être répartie sur les hypothèses qui la composent.

o A est un élément focal si m(A)

0

Dans le cas où pour m : 2

[0 1] les deux conditions suivantes sont remplies : m(Ø)= 0 et

( )1

i A

Ai

m , il est appelé fonction de masse sur Ω.

La fonction de croyance Bel(A) (croyance que la vérité est dans A) est par conséquent la somme des masses des propositions incluses dans A. Elle est définie par la formule suivante : Bel(A)=

A B

i

i

B m( )

La fonction de plausibilité Pl(A) (la plausibilité que la vérité est dans A) est la somme de des masses des propositions dont l'intersection avec A n'est pas nulle, elle est donnée par la formule : Pl(A)=

Bi A

Bi

m( ).

3 – Combinaison d’information avec la théorie de l’évidence

La théorie de Dempster-Shafer permet de combiner des informations issues de source différente, car d’après Shafer, si deux fonctions de croyance sont définie sur un même cadre de discernement alors ce cadre de discernement distingue l’interaction pertinente entre deux informations. De ce fait les informations doivent être définie sur un même cadre de discernement de façon que l’on puisse en déduire leur somme orthogonale suivant la règle de combinaison Dempster. Cette somme est toujours une fonction de croyance et prend en compte l’influence de toutes les autres. Cette règle peut s’énoncer comme suit :

(4)

Soit m1 et m2 deux jeux de masses associes aux fonctions de croyance Bel1 et Bel2

respectivement, sur le meme cadre de discernement Ω.. On note Bel = Bel1*Bel2 la somme orthogonale de Bel1 et Bel2, et A1,A2, . . . ,Al les éléments focaux de Bel1 ainsi que B1,B2, . . . ,Bn ceux de Bel2.

De ce fait :

Si

  A

i

B

j m1(Ai)m2(Bj)< 1 alors la fonction Bel : 2Θ

[0 1] est définie par :

Bel(Ø)= 0 et Bel( C )=

j

i j i

B A

j i

C B A

j i

B m A m

B m A m

) ( ) ( 1

) ( ) (

2 1

2 1

Il est à noter que cette règle de combinaison de combinaison donne lieu à des propriétés de symétrie, d’associativité, d’élément neutre. Elle permet aussi de combiner des fonctions bayesiennes pour créer d’autres fonctions bayesiennes et donne aussi lieu à la règle de conditionnement.

Règle de conditionnement répond à la définition : Soit Bel (A/B) la croyance en A sachant B, alors :

Bel(B/A)

(Bel 1B) (A)

   

A

B A B i

A B

A i

i i

A m

A m

( )

) (

Bel(B/A)=

) (

) 1 (

) ( 1

) ( ) (

B Pl

B C Pl C

Bel

C Bel C

A

Bel A

B B

B

4- Synthèses

La théorie de l’évidence, à partir des mathématiques probabilistes, présente un cadre formel de raisonnement dans l'incertain, un modèle qui permet de modéliser la connaissance. Car à travers les fonctions de croyance qui sont des outils de mesure de la probabilité subjective, l’on peut évaluer le degré de vérité d’une affirmation, d’un avis d’expert. Avec l’introduction des masses d’évidence, des cœfficients d’affaiblissement de ces masses et aux moyens de la règle de combinaison elle permet de traité l’information au point d’aboutir à sa fiabilité. Ce qui aide grandement dans la prise de décision, ou dans d’autres domaines (tel que la télédétection).

(5)

Toutefois, certains analystes et utilisateurs (tels que F. Voorbraak, H. Hyburg) relèvent des difficultés d’application de cette théorie en raison : « de la sensibilité de la méthode de combinaison sur les petites valeur de masses de croyance, des grands temps de calcul qu’elle demande en comparaison aux autre méthodes, de l’absence de sémantique claire, de la difficulté à suivre une méthode systématique et quelque peu générique ».

Néanmoins d’autres analystes et utilisateurs [(tels que LAURENT LARDON .al, 2004), (N.

Zlatoff . al)] voient en elle, une théorie qui permet de raisonner dans l'incertain avec des degrés de croyance qui est suffisamment général pour englober les approches probabiliste classique et possibiliste, de comparer des vues, de fusionner des critère afin de traiter les informations qui peuvent provenir de différents sources, de différents domaine.

Tenant compte de toutes informations, il est conseiller à un utilisateur d’analyser de façon judicieuse la portée de cette théorie dans le domaine d’application dont il veut en faire usage.

Bibliographie

1- E. LEFEVRE, O. COLOT, P. VANNOORENBERGHE, D. DE BRUCQ : Contribution des mesures d'information à la modélisation crédibiliste de connaissances (Laboratoire Percepiion Systèmes Information (PSI], UPRES EA 2 120, Université/lNSA de Rouen)

2- Thierry DENOEUX, présentation PowerPoint (25/06/200)

3- Bracker Holger et Hillion A : Utilisation de la théorie de Dempster/Shafer pour la classification d'images satellitaires à l'aide de données multisources et multitemporelles (Application of the Dempster/Shafer theory for satellite image classification using multisource and multitemporal data)

4- N. Zlatoff, B. Tellez, A. Baskurt : Groupement perceptuel pour la reconnaissance d’objets

5- Arnaud DUPUIS, Pascal VASSEUR, Josselin HARP :DÉTECTION D’OBJETS BASÉE SUR UNE APPROCHE MULTIPRIMITIVES « C.R.E.A. - Centre de Robotique d’Electrotechnique et d’Automatique ».

6- Site :

(http://www.cert.fr/dcsd/THESES/fabiani/manuscrit_fabiani/node336.html#SECTI

Références

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