Tst 03 - Fonction - Probabilité

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php 1

Test 03 - Terminale STG Mercatique 1h – calculatrice autorisée – Barème donné à titre indicatif

EXERCICE 1 (13 points)

4. Parmi les personnes qui lisent la presse écrite, quelle est la probabilité d’avoir la radio pour principale source d’information ?

5. Les évènements R et E sont ils indépendants ? Justifier votre réponse.

EXERCICE 2 (7 pts)

Dans une entreprise, le prix d’une tonne de matière première à l’année 1998 + x, exprimé en milliers d’euros, est donné par la fonction f définie sur [0 ;11] par ^{f x}^{( )}^{= + −}^x ^{10 5 ln}(^x⁺²)^.

On admet que la fonction f est dérivable sur cet intervalle et on note f ’ sa dérivée.

1. Donner un tableau de valeurs de la fonction f pour les valeurs entières de x comprises entre 0 et 11.

Les valeurs de la fonction seront arrondies à10⁻². 2. Montrer que '( ) ³

2 f x x

x

= −

+ puis étudier le sens de variation de f sur l’intervalle [0 ;11].

Les valeurs des extremums seront arrondies à10⁻².

3. Tracer la courbe représentant f dans un repère orthogonal, où 1cm représente deux années en abscisse et 2 cm représentent un millier d’euros en ordonnée.

4. Selon ce modèle, quel serait le prix d’une tonne de matière première au 1^er janvier 2005 ? A l’aide du graphique, déterminer en quelle année la tonne de matière première retrouvera son prix initial de 1998.

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Corrigé du test

EXERCICE 1 (12.5 pts)

1. D’après l’énoncé, on a ^p^T( )^E ⁼^40%⁼^0.4^et^p^R

( )

^E ^{= −}¹ ^p^R^{( )}^E ^{= −}^{1 0.6}⁼^0.4^.

2. Voici l’arbre pondéré associé à la situation :

3a. T∩E représente l’évènement « la personne lit la presse écrite et & pour principale source d’information la tv ».

D’après le cours p T( ∩E)= p T^{( )}×p ET^{( )}=^{0.35 0.4}× =^0.14.

3b. De même que précédemment, on a p R( ∩E)= p R^{( )}×pR^{( )}E =^{0.25 0.6}× =^0.15 et ( ) ^{( )} I^{( )} ^{0.4 0.75} ^0.3

p I∩E = p I ×p E = × = .

T, R et I formant une partition de l’univers, d’après la formule des probabilités totales on a

( ) ( ) ( )

( ) 0.14 0.15 0.3 0.59

p E = p T∩E +p I∩E +p R∩E = + + = . 4. D’après le cours _{( )} ( ) ^0.15 _0.254

( ) 0.59

E

p R E p R

p E

= ∩ = ≈ .

5. Puisque ^p^E^{( )}^R ^≠ ^{p R}( ), les évènements E et R ne sont pas indépendants.

EXERCICE 2 (7.5 pts)

Dans une entreprise, le prix d’une tonne de matière première à l’année 1998 + x, exprimé en milliers d’euros, est donné par la fonction f définie sur [0 ;11] par ^{f x}^{( )}^{= + −}^x ^{10 5 ln}(^x⁺²)^.

1. Voici un tableau de valeurs de la fonction f pour les valeurs entières de x comprises entre 0 et 11, où les valeurs de la fonction sont arrondies à10⁻².

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

f(x) 6.53 5.51 5.07 4.95 5.04 5.27 5.60 6.01 6.49 7.01 7.58 8.18

E

0.4

0.6

E E 0.75

0.25 0.25 R

I

0.4

E

0.6

T

0.35

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2. On sait que

(

^ln( )^u

)

^'⁼^u_u^'^donc

(

^ln(^x⁺^{2 '})

)

⁼ _x¹₊₂^et ^{f x}^{'( )}^{= −}¹ _x₊⁵₂ ⁼_x^x⁻₊³₂^.

Sur l’intervalle [0 ;11], x est positif donc x + 2 est positif et f ’(x) est du signe de x-3. On a alors :

3. Voici la courbe

4.

>Selon ce modèle, le prix d’une tonne de matière première au 1^er janvier 2005 est estimé par f(7) (car 1998 + 7 = 2005). On estime donc ce prix à 6,01 milliers d’euros soit 6010 €.

> Précisons en 1998, le prix de la tonne était d’environ f(0) = 6.53 milliers d’euros.

A l’aide des traits de construction sur le graphique, c’est au cours de l’année 2006 (x = 8) que le prix d’une tonne de matière première retrouvera son prix initial de 1998.

x 0 3 11

f ’(x) - 0 + 0 f (x)

6.53 ց

4.95 ր

8.18

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1 4 6 8

0 1

2

x y