Contribution aux théories du pouvoir d'arrêt des solides pour des particules chargées relativistes

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Submitted on 1 Jan 1983

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Contribution aux théories du pouvoir d’arrêt des solides pour des particules chargées relativistes

J.-Ph. Pérez

To cite this version:

J.-Ph. Pérez. Contribution aux théories du pouvoir d’arrêt des solides pour des particules chargées

relativistes. Journal de Physique, 1983, 44 (6), pp.699-705. �10.1051/jphys:01983004406069900�. �jpa-

00209649�

Contribution aux théories du pouvoir ^{d’arrêt des solides}

pour des particules chargées relativistes

J.-Ph. Pérez

Laboratoire d’Optique Electronique ^{du CNRS} (*),

29, ^{rue Jeanne} Marvig, ^B.P. 4347, 31055 Toulouse Cedex, ^France (Reçu ^le 12 juillet 1982, révisé le 21 janvier ^1983, accepté ^{le 21} février 1983)

Résumé. - Dans cette contribution aux théories du pouvoir ^d’arrêt des solides pour des particules chargées rapides,

on se propose d’étudier successivement l’influence de la création des plasmons, ^celle de la limitation angulaire ^en microscopie électronique ^{et celle de} l’épaisseur de l’échantillon. L’auteur est conduit à rappeler ^les hypothèses qui

sont à la base des formules bien connues du pouvoir ^{d’arrêt et} à comparer la validité des théories de Bethe ^et de Landau.

Abstract.

In this contribution to the theories of the stopping power of solids for fast particles, the influences of

plasmon création, angular limitation in electron microscopy ^and specimen ^{thickness are} considered. The author

specifies ^the assumptions ^{which are} the foundations of the well known formulae of the stopping power of materials and compares the validity of Bethe and Landau theories.

Classification

Physics ^Abstracts

07.80

34.80D - 41.80D - 72.10

71.45G

1. Introduction.

Les pertes d’energie ^des particules, ^a la traversee de la

matiere, ^{ont ete} largement ^etudiees par Bethe [1], qui ^est l’origine ^d’une expression ^{bien connue du} pouvoir ^{d’arret des} matériaux, ^et par Landau [2]

qui ^a etabli, ^a partir ^d’une equation ^de transport, ^une fonction universelle caract6risant la distribution des pertes d’energie ^des particules rapides. Beaucoup d’autres auteurs ont propose ^des ameliorations de ces

theories ou des interpretations diff6rentes. Ainsi Fano [3] ^a soulign6 ^la difference entre les excitations

longitudinales ^et transversales alors _que Bischel et

Uehling [4] ^ont introduit des facteurs correctifs relies

aux excitations des niveaux atomiques profonds.

Inokuti est a Forigine ^d’une synthese interessante dans son article «a revisited Bethe theory ^» [5]

complete plus ^tard par ^un addendum [6]. ^{Cet auteur}

a considere aussi le pouvoir ^{d7arrEt d’un} plasma ^{en se} referant aux travaux de Tsytovich [7] ^{et de Gould} [8-10].

Blunck et Leisegang ^ont etudie 1’influence des contri- butions des excitations atomiques a 1’ordre deux [11];

(*) Laboratoire associe a rUniversit6 Paul Sabatier,

Toulouse III.

certains desaccords entre les valeurs experimentales

et th6oriques ^{de la} largeur ^{totale a mi-hauteur} (FWHM) ^ont conduit des auteurs [12-14] ^{a 6tudier}

1’influence des ordres plus ^{6lev6s. Dans toutes ces} theories, ^{il n’est} g6n6ralement ^{tenu aucun compte de}

la creation de plasmons ^{dans les solides.}

Le but de cet article est d’evaluer finfluence des

plasmons ^{sur le} pouvoir ^{d’arret selon une voie micro-} scopique suggeree par Humphreys [15] diff6rente de

celle, di6lectrique, de Ritchie et Howie [16], ^de Ashley

et al. [17], ^{et de} Tung ^{et al.} [ 18]. ^Nous etudions ensuite 1’influence de la limitation angulaire ^{due a fouverture}

dans un microscope 6lectronique ^{et celle de} l’épaisseur

de l’échantillon. Ce demier point ^{est examine en se}

referant a la theorie de Landau. En preliminaire,

nous rappelons les formules g6n6ralement connues,

en explicitant ^les différentes hypotheses, ^{et ce, dans le}

cas des ions et des electrons afin de souligner ^{les ana-} logies ^{et les} differences entre ces deux types ^’de parti-

cules. Nous nous limitons au cas des particules qui ^ne

sont pas ultrarelativistes (le facteur relativiste est de l’ordre de quelques unites), ^{et donc aux seules} pertes

d’energie par excitations des electrons atomiques, ^ce qui permet ^{d’exclure le} Bremsstrahlung, ^{reffet Ceren-}

kov et l’effet de densite.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01983004406069900

700

2. Rappel ^{de la} theorie du pouvoir ^d’arrit pour les ^ions

et les electrons.

11 est bien connu que le pouvoir ^d’arret des mat6riaux pour des particules ^{est donne par} 1’expression

ou En ^est 1’6nergie transferee ^{aux atomes} qui ^sont passes ^{de 1’etat} fondamental a un 6tat excit6 n et da.

la section efficace diff6rentielle associ6e a ^un tel transfert. Il est commode d’introduire la variable de Bethe, Q, ^{d6finie comme suit :}

ou hK * est la quantite ^{de mouvement} (ou ^moment lineaire) transferee a un electron de 1’atome cible au cours d’une collision elastique, ^{dans le} r6f6rentiel du centre de masse, et m la masse de 1’electron

(mcl = 0,511 MeV). ^Comme Q ^{est la norme d’un} quadri-vecteur, ^on a, dans le referentiel du Labo-

ratoire, ^en notant p ^et p’ les quantit6s ^{de mouvement}

avant et apres ^{la collision} particule ^incidente-

electron atomique », ^et hK la difference _{p -} p’ :

A la fois _pour les ions et les electrons, ^{nous devons} considerer deux domaines : le premier ^ou Q ^{est assez} petit (Q Qo) pour que l’on puisse negligee ^{dans la} collision, l’influence du _noyau et des autres 6lectrons de 1’atome, ^{et le second} (Q > Qo) ^pour lequel fenergie

transferee est plus grande que fenergie de liaison.

2.1 CONTRIBUTION DES FAIBLES VALEURS DE Q ^AU

POUVOIR D’ARRET.

La section efficace differentielle de collision est donnee par 1’expression ^{de Bethe} [1] :

dans laquelle Zi caracterise la charge ^{de la} particule incidente, fl

vlc ^est la vitesse de cette particule compar6e ^{a la vitesse de la} lumiere, Na ^{est le nombre}

d’atomes _par unite de volume, e2 - qf/4 neo ^avec

qe = 1,6 ^x 10-19 C, ^et ’1n(K) ^est le facteur de forme

atomique ^en relativite. Définissons, ^{comme Inokuti} [5],

1’element de matrice atomique 8n(K) ^{et le moment} dipolaire quadratique, Mn2 , ^par

ou _{ao -} 1i2/me2 ^{est le} rayon de l’atome de Bohr et Z le nombre d’électrons de l’atome cible. Lorsque Q ^est petit, ^{on a :}

Ry

me4/2 ^h2 designant 1’energie ^de Rydb.er-8.

En introduisant la force d’oscillateur fn = En I En 12jQ ^{et la} regle de sommation bien _connue,

on obtient :

Par consequent,

En tenant compte ^du potentiel moyen d’ionisation I, ^défini par 1’6quation

il vient finalement :

La limite d’integration sup6rieure Qo ne ^constitue qu’un intermediaire de calcul dont la valeur importe peu.

Quant a la limite inf6rieure Qrnin’ ^{on la trouve} aisement a partir ^de l’expression approchee ^de Q pour les faibles valeurs de 1’angle de diffusion 0 == (p, p’) :

Il convient de noter que, dans ce domaine des faibles valeurs de Q, la relativite n’intervient _que dans la valeur de la vitesse de la particule ^incidente.

2.2 CONTRIBUTION DES FORTES VALEURS DE Q ^{AU POUVOIR D’ARRET.} - ICI, 1’energie acquise par ^un electron

atomique ^{est bien} plus ^forte que ^son energie d’interaction avec le noyau ^et donc Q ~ En. ^Le probleme ^{se r6duit}

alors a ^un probleme de collision entre la particule ^{incidente et} 1’electron atomique. ^{Deux cas} doivent etre consi- deres suivant _que cette particule ^{est un ion ou un electron.}

Avec des ions, ^{on sait} que la section efficace diff6rentielle, ^{dans le} referentiel du Laboratoire, ^{est donnee}

par la formule de Mott [19] :

Il vient

avec Qmax - 2 y2 (Z ^MC2.

Comme Qo peut ^etre pris ^tres inf6rieur A Q.a,,,’il ^{en results} que

Avec des electrons, la section efficace diff6rentielle, ^{dans le} r6f6rentiel ^du Laboratoire, ^{est donn6e} par la formule de Moller [20] qui prend ^en compte ^{les effets} d’echange ^{et de} spin. ^{Elle s’ecrit :}

Par consequent,

ou Qmax = (y - 1) mc2/2. 11 convient de noter que le coefficient 1 j2 ^{est dû à} l’indiscemabilité des deux 6lectrons

en interaction.

Apres integration ^et sommation, ^il vient,

avec

702

2.3 EXPRESSION DU POUVOIR D’ARRET.

Le pouvoir ^{d’arr8t est la somme} de deux contributions :

Pour des ions, il r6sulte des equations (5) ^et (8),

ce qui ^s’ecrit aussi,

Pour des electrons, ^la combinaison des equations (5) ^et (10) ^donne

En faisant ðmax

1 j2, ^{on retrouve} la formule de Bethe.

3. Influence des plasmons ^{dans le} pouvoir d’arrêt des solides.

Consid6rons des mat6riaux tels _que des solides dans lesquels ^{nous devons} prendre ^en compte, ^{outre les exci-} tations atomiques individuelles profondes ^et superficielles, les creations de plasmons. ^Pour etudier l’influence des plasmons, il convient de rappeler que la diffusion _par creation de plasmon n’interesse _que les electrons

atomiques p6riph6riques ^et qu’elle ^est caract6ris6e _par un vecteur d’onde de _coupure Kc. ^{11 est donc} possible

de prendre pour valeur Qo la quantite ^{n 2} K c 2/2 ^m.

Le pouvoir ^{d’arret se} pr6sente ^{alors sous} la forme de trois contributions : la premiere ^{relative aux fortes}

valeurs de Q et concemant tous les electrons atomiques, la seconde relative ^aux faibles valeurs de Q ^{et due aux} Zp ^electrons peripheriques ^{et la} troisieme dans la m8me _gamme des valeurs de Q que la seconde, mais relative aux

(Z - Zp) ^{electrons atomiques.}

Les premiere ^{et troisieme} contributions sont donn6es _par les equations (10) ^et (5) ^en remplaqant, ^dans

cette dernière equation, ^Z par Z - Zp. ^{Quant a la deuxieme, on 1’exprime ais6ment a partir du libre parcours}

moyen Àp de creation des plasmons.

En relativit6, Ap ^{est donne par} la relation [14, 21, 22]

dans laquelle _{wp =} (4 nNa Zp e2 jm)1/2 ^{est la} frequence angulaire ^du plasma d’electrons peripheriques.

Il en r6sulte _que

ce qui ^s’ccrit aussi,

Ainsi, ^la prise ^en compte de la creation de plasmons ^{conduit a un terme} supplementaire ^dans 1’expression ^du

pouvoir ^d’arret.

Le tableau I donne des valeurs caracteristiques ^du pouvoir ^{d’arret de} 1’aluminium, du carbone et du silicium pour des electrons. Les valeurs utilisées _pour le potentiel moyen d’ionisation sont celles proposees par le « sub- committee on penetration ^of charged particles ^» [23] : IAl ^{= 163} eV, Ic

^{78 eV,} Isi

172 eV. Nous _voyons que l’influence des plasmons, ^bien que faible, ^n’est pas n6gligeable lorsque 1’energie cinetique ^{des electrons}

incidents n’est _pas tres elevee. A titre d’exemple, ^{dans le cas de} l’aluminium, ^{cette influence est} de l’ordre de 10 % pour Ec

^{60 keV et se r6duit a 2} % pour E,

3 MeV. Les figures ^{1 a, b, c,} qui correspondent respecti-

vement a Faluminium, ^le carbone et le silicium, ^nous permettent ^{de chiffrer dans} chaque ^cas 1’influence des

plasmons lorsque 1’energie cin6tique augmente.

Tableau I.

Influence ^des plasmons ^et de la limitation

angulaire ^sur les valeurs théoriques ^du pouvoir ^d’arret de l’aluminium, du carbone et du silicium _pour des electrons.

[Influence ^of plasmons ^and angular limitation on the theoretical values of the stopping power of aluminium, carbon and silicon for electrons.]

Fig. 1. - Variation du pouvoir ^{d’arret de} F aluminium,

du carbone et du silicium en fonction de 1’energie cin6tique

des electrons incidents. (1) Pouvoir d’arret ^de Bethe;

(2) influence des plasmons; (3) influence de la limitation angulaire; (4) ^influence a la fois des plasmons’ ^{et de la}

limitation angulaire.

[Variation ^{of the} stopping power of aluminium, carbon and silicon as a function of the kinetic energy of incident elec- trons : (1) ^Bethe stopping power; (2) influence of plasmons;

(3) ^{influence of} angular limitation; (4) ^{influence of both}

plasmons ^and angular limitation.]

704

4. Influence de 1’angle d’ouverture sur le pouvoir d’arr6t dans une experience ^de microscopie electronique.

En microscopie electronique, ^Ie signal ^{associ6 aux electrons} ayant ^{subi des} collisions inelastiques ^{est collecte} principalement ^{dans un cone de} demi-angle d’ouverture 6max inferieur a 100 mrad. [13, 24]. ^{Une valeur} fr6quente

en microscopie 6lectronique a haute tension est 40 mrad. Par consequent, Qmax ^n’est pas egal ^a (y - 1) mc’/2

mais vaut approximativement [ 13] :

Il en r6sulte d’apres 1’equation (14) que le pouvoir d’arret, deduit d’une observation ^en microscopie 6lectronique,

est donne _par 1’expression :

Le tableau I et les courbes 3 et 4 des figures la, b, ^{c montrent} que l’influence de la limitation due a 1’angle

d’ouverture est tres importante puisqu’elle peut atteindre ⁴⁰ % de la valeur prevue par 1’equation (14).

5. Influence de 1’6paisseur ^de 1’echantillon. Pouvoir d’arrêt d’après la theorie de Landau.

La theorie de Bethe, prend ^en compte ^{le cas des forts} transferts d’energie (b.a,,

0,5) qui ^{ne se} produisent, d’apres ^{la loi} statistique ^de Poisson, que dans des echantillons sufhsamment epais. Aussi les valeurs du pouvoir

d’arret donnees _par la theorie de Bethe sont-elles g6n6ralement trop ^fortes lorsque 1’echantillon n’est _pas tres

epais, ^{comme c’est le cas en} microscopie electronique. ^{Il convient de} remplacer bmax par ^une valeur inferieure a 0,5 qui depend ^de Fepaisseur [25]. L’influence de Fepaisseur apparait naturellement dans la theorie de Landau [2].

Rappelons que la resolution de l’équation ^de transport, ^{dans ces} conditions, ^{aboutit a une} courbe uni- verselle f(A) ^{où À est un} parametre ^{sans dimension} qui depend ^{de la} particule, du materiau traverse et de son

epaisseur. ^{On en deduit aisement} la valeur la plus probable Àp ^{et la valeur} moyenne A. ^{et donc les} pertes d’energie Ep ^et E. correspondantes.

On a, par consequent,

ou 6min ^{est la valeur} moyenne de Qnin ^definie par 1’equation

Comme Qm;n

En /2 y2 p2 mc2, ^{il vient} d’apres (6),

Le terme num6rique 0,198, ^{different de celui} (0,37) de la theorie de Landau, provient ^d’une tabulation plus

recente de la courbe universelle f(A) propos6e par Borsch-Supan [26].

La relation entre Em ^et Ep ^est la suivante :

Finalement, 1’expression ^du pouvoir d’arr8t issue de la theorie de Landau est

Les courbes 1 et 2 de la figure 2, relatives a des echantillons d’aluminium de 3 J.1m d’epaisseur, ^montrent que la difference entre la theorie de Landau, qui prend ^en compte 1’epaisseur, ^et celle de Bethe est significative. ^Les

valeurs exp6rimentales ^{obtenues avec} des electrons incidents d’energie cin6tique ^{1 MeV} concordent de faqon

satisfaisante avec les previsions ^{de la theorie de Landau} [13].

Fig. ^2.

Comparaison ^{des theories de Bethe et Landau}

sur le pouvoir ^{d’arret d’un} echantillon d’aluminium de _{3 um}

d’epaisseur pour des electrons dont 1’energie cin6tique ^varie

entre 50 keV et 3 MeV.

[Comparison ^of Bethe and Landau theories on the stopping

power of a 3 um thick aluminium foil for electrons.]

6. Conclusion.

La theorie du pouvoir ^{d’arret des} materiaux pour des particules relativistes a ete r6examin6e, ^ce qui ^a permis

de souligner ^les diff6rentes approximations ^{et d’evaluer} successivement, l’influence des plasmons qui ^{est faible}

et negligeable ^{pour des} particules rapides, l’influence de la limitation de l’ouverture angulaire ^très marqu6e

en microscopie electronique, ^et enfin l’influence de l’épaisseur. L’approche, ^{d6duite de la theorie de Landau,}

pour laquelle 1’epaisseur ^est prise ^en compte ^donne des resultats plus conformes a 1’experience. Il convient de noter que la convergence d’accords lorsque l’on tient compte de la limitation angulaire ^{et de} l’épaisseur

de 1’echantillon n’est _pas surprenante puisque ^la limitation angulaire ^est particulierement efficace dans le cas

des 6chantillons les plus epais pour lesquels la diffusion angulaire ^{est la} plus ^forte.

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