Mouvement de particules chargées dans des champs électriques ou magnétiques.

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Sup PCSI1 - Exercices de physique Mouvement de particules chargées dans des champs électriques ou magnétiques

1 Mouvement de particules chargées dans des champs électriques ou magnétiques.

1. Une expérience relativiste au lycée ?

Un dispositif comporte un canon à électrons, propulsant des électrons (masse m = 9,1.10

^-31

kg, charge –e = 1,6.10

^-19

C) par une tension accélératrice de 5,0 kV. Le faisceau obtenu traverse une ampoule à vide où il interagit avec une plaque détectrice indiquant par fluorescence leur trajectoire.

a) Expliquer l’expérience présentée sur l’image.

b) L’expérience est reprise en imposant un champ magnétique uniforme dans la région de passage du faisceau, de module B = 8,46.10

^-3

T. Déterminer la valeur du rayon R de la trajectoire circulaire obtenue, en raisonnant sur les principes de la mécanique classique.

c) Quelle serait la tension accélératrice maximale pour rester sous la limite relativiste, définie par v <

0,1.c (avec c = 2,98.10

⁸

m.s

^-1

) ? Evaluer numériquement la vitesse des électrons pour une tension accélératrice de 5,0 kV dans le dispositif à partir de la théorie classique, puis par l’expression relativiste donnant l’énergie cinétique : E

c

= (γ – 1).mc².

Calculer la valeur du coefficient relativiste γ.

γ = 1

ට1 − ݒ²ܿ²

d) Dans la théorie relativiste, l’étude de la déflexion magnétique amène à des conclusions analogues, en remplaçant l’expression classique de la quantité de mouvement (p = mv) par l’expression p = γ.mv.

En déduire la valeur du rayon de la trajectoire et évaluer l’écart relatif qu’il présente par rapport à la valeur calculée en b).

Réponses : a) Déflexion par le champ magnétique de l’aimant sous l’action de la force magnétique. La trajectoire s’enroule autour des lignes de champ magnétique. b) R=mv/eB , avec v = (2eU/m)

^1/2

(voir cours).

R = 8,91 cm. c) v

class

= 4,19.10

⁷

m.s

^-1

; v

relat

= 4,16.10

⁷

m.s

^-1

. La limite v = 0,10.c est atteinte pour U = 2560 V. d) Ecart de 1%

2.

Cyclotron de Lawrence :

Un cyclotron est un accélérateur de particule utilisant l'action d'un champ électrique appliqué entre deux électrodes creuses en forme de "D" (nommées dees) et d'un champ magnétique uniforme.

Les particules chargées à accélérer sont introduites dans la région centrale du dispositif, avec une vitesse négligeable. Elles sortent par une fente périphérique ménagée dans l'une des électrodes, en ayant acquis une vitesse importante.

Le premier cyclotron fut construit en 1932 par Lawrence à Berkeley (Californie). L'appareil avait un rayon de 14 cm et communiquait à des protons une énergie de 1,2 MeV. La différence de potentiel était de 4000 V au moment du passage du faisceau entre les dees.

1°) a) Préciser qualitativement les rôles joués par chacun des

champs en argumentant votre réponse. En déduire une

(2)

2 justification de l'allure du mouvement des particules dans le dispositif.

b) Montrer que le champ électrique employé doit nécessairement évoluer dans le temps, en subissant une inversion de son sens, à une fréquence f

cy

que l'on exprimera.

2°) Quels étaient, pour le cyclotron de Lawrence : a) la vitesse maximum des protons ?

b) la tension accélératrice qu'il aurait fallu utiliser pour leur communiquer cette vitesse ? c) la fréquence du champ électrique accélérateur ?

d) Le nombre de tours décrits par les protons ? e) La valeur du champ magnétique employé ?

On précise la masse mp et le charge +e du proton : +e = +1,6.10-19 C et mp = 1,67.10-27 kg.

Réponses :

1°) a) Le champ magnétique amène une déflexion selon une trajectoire circulaire, le champ électrique accélère les ions à la traversée de l’espace entre les dees. La vitesse augmente à chaque traversée, et le rayon du demi- cercle parcouru dans le dee suivant augmente (R = mv/qB).Trajectoire en spirale. b) La tension accélératrice doit s’inverser à chaque demi-tour. f

cy

= eB/(2πm

p

).

2°) a) E

c

= 1,2 MeV donne v = 1,52.10

⁷

m.s

^-1

. b) U

acc

= 1,2.10

⁶

V. c) f

cy

= 17,2 MHz. d) 150 tours (2 accélérations par tour). e) B = 1,13 T.

3. Interactions entre particules chargées :

a) On envisage l'interaction entre deux particules chargées A, de charge q et B de masse m et de charge -q.

On communique à B, située à une distance d de A à l'instant initial, une vitesse initiale v

_o

, de direction radiale par rapport à A. Exprimer la valeur v

o

minimale pour que B échappe à l'interaction avec A.

b) On envisage maintenant une particule B', de masse m et de charge +q, projetée en direction de A avec une vitesse initiale v

o

, B' étant initialement à une distance d de A. Montrer qu'il est impossible que B', supposée ponctuelle, rencontre A. Calculer la distance minimale d'approche des deux particules.

Réponses : a) v

o

² > q²/(2πε

o

md) ; b) 1/d

m

= (1/d) + (2πε

o

mv

o

²/q²).

4. Expérience de Tonomura.

L’équipe du professeur Tonomura a pu réaliser en 1989 une expérience d’interférence entre des électrons ayant traversé un système de fentes, analogue à l’expérience classique des fentes de Young.

Ce travail a démontré expérimentalement, une fois de plus, la validité de la dualité ondes-corpuscules pour les électrons (ondes de matière), les électrons étant émis dans des conditions où ils traversaient individuellement le système interférentiel. L’enregistrement s’est fait par l’accumulation progressive d’un très grand nombre de détections d’électrons sur la surface du capteur (jusqu’à 140.000).

a) Dans cette expérience, les électrons étaient accélérés par une tension U = 150 kV. Quelle serait la vitesse v prévue pour ces particules en employant la mécanique classique ?

Le résultat obtenu montre qu’il faut recourir à une étude relativiste. On précise qu’en ce cas l’énergie cinétique

d’une particule de masse m répond à : E

c

= (γ – 1).mc² où γ est le coefficient relativiste γ = (1-v²/c²)

^-1/2

.

Déterminer la valeur exacte de la vitesse atteinte.

(3)

3 On donne : m = 9,11.10

^-31

kg ; q = -e = -1,6.10

^-19

C ; c = 2,98.10

⁸

m.s

^-1

.

b) Le flux d’électron correspond à un courant électrique d’intensité I = 1,6.10

^-16

A et la distance entre la source d’électrons et le détecteur est D = 1,50 m. Conclure quant au fait que les électrons ne peuvent pas interférer entre eux durant l’expérience.

c) A partir de la relation de de Broglie, déterminer la longueur d’onde λ de l’onde de matière associée. On précise que pour une particule relativiste, la quantité de mouvement est p = γ.mv.

d) Le système étant assimilé à un système de deux fentes séparées de a = 1 µm, et le détecteur étant placé à une distance L de l’ordre de 0,5 m, donner un ordre de grandeur de l’interfrange qui serait obtenu sur la figure d’interférences se formant sur le capteur.

(En fait, l’expérience comportait en outre un dispositif amenant un grossissement de 2000).

Réponses :

a) v = 1,30.10

⁸

m.s

^-1

; par le calcul relativiste v = 1,23.10

⁸

m.s

^-1

. b) I = δQ/dt = 1,6.10

^-16

A ; représente 1 électron par ms. La distance D est parcourue en D/v = 1,2.10

^-8

s. c) p = γmv et λ = h/p = 5,3.10

^-12

m. d) i = λ.L/a = 2,7 µm.

5. Particule chargée dans des champs croisés, filtre de Wien :

1. Une particule de masse m, de charge électrique q est introduite sans vitesse initiale à l'origine O d'un référentiel galiléen (O, x, y, z). Dans l'espace règnent un champ électrostatique E

ur

et un champ magnétique B ur

uniformes et constants, portés respectivement par les axes (Oy) et (Oz). Déterminer la trajectoire.

2. La particule est lancée avec une vitesse initiale de module v

o

perpendiculaire aux champs électrique et magnétique, dans le sens des x croissants. Pour quelle valeur particulière v

c

de v

o

la particule va-t-elle décrire une trajectoire rectiligne confondue avec (Ox) ? Expliquer comment ce dispositif peut servir de filtre de vitesse.

Réponses : 1. Appliquer la R.F.D. que l'on intègre. (On peut introduire la variable complexe

r

= x + jy ou procéder en intégrant une des équations et en injectant le résultat dans l’autre).

En posant ω = qB/m : x = (E/B)t - (E/ ω _B).sin ω t et y = (E/ ω _B)(1-cos ω _t) (cycloïde).

2. La condition :

ܧሬԦ + ݒԦ ∧ ܤሬԦ = ቀݍ

݉ቁ݀ݒԦ

݀ݐ = 0ሬԦ

amène v = E/B.

6. Particules chargées dans des champs parallèles :

Dans l'espace rapporté à un repère galiléen (O, x, y, z) sont établis le champ électrique E = Ee

_y

ur uur

et le champ magnétique B = Be

_y

ur uur

, colinéaires. Une particule de masse m et de charge q est introduite en O avec le vecteur

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4 vitesse v

_o

= v e

_o _x

uur uur

. Décrire la trajectoire. Pendant quelle durée l'étude conduite en mécanique classique reste-t- elle valide ?

Réponses : Appliquer la R.F.D. que l'on projette. En notant ω = qB/m on trouve d'abord x

.

= - ω _{z + a ; y}

^.

= qEt/m et z

.