Universit´ e du Littoral Cˆ ote d’Opale Probabilit´ es
L2 math´ ematiques
Ann´ ee 2020-2021 Fiche n◦1. Quelques notions pour les probabilit´ es.
1. Th´ eorie des ensembles Exercice 1. Posons A = [0, 2], B =]1, 4] et C = {1, 2}.
(1) D´ eterminer A ∪ B, A ∩ B, B ∩ C, B \ A, A × B.
(2) D´ eterminer P (C).
Exercice 2. Soit f : {a, b, c, d, e} → {a, b, c, d, e} la fonction d´ efinie par : f (a) = b, f (b) = c, f(c) = e, f (d) = b, f(e) = a.
(1) Posons A = {a, b, c, d}. D´ eterminer f(A).
(2) Posons B = {b, d}. D´ eterminer f
−1(B).
2. D´ enombrement Exercice 3. Une course oppose 20 concurrents, dont Emile.
(1) Combien y-a-t-il de podiums possibles ?
(2) Combien y-a-t-il de podiums possibles o` u Emile est premier ? (3) Combien y-a-t-il de podiums possibles dont Emile fait partie ?
(4) On souhaite r´ ecompenser les 3 premiers en leur offrant un prix identique ` a chacun. Combien y-a-t-il de distributions de r´ ecompenses possibles ?
Exercice 4. Un cadenas poss` ede un code ` a 3 chiffres, chacun des chiffres pouvant ˆ etre un chiffre de 1 ` a 9.
(1) Dans cette question, on s’autorise ` a ce que les chiffres puissent ´ eventuellement ˆ etre les mˆ emes.
(a) Combien y-a-t-il de codes possibles ?
(b) Combien y-a-t-il de codes se terminant par un chiffre pair ? (c) Combien y-a-t-il de codes contenant au moins un chiffre 4 ? (d) Combien y-a-t-il de codes contenant exactement un chiffre 4 ?
(2) Dans cette question on souhaite que le code comporte obligatoirement trois chiffres distincts.
(a) Combien y-a-t-il de codes possibles ?
(b) Combien y-a-t-il de codes se terminant par un chiffre impair ? (c) Combien y-a-t-il de codes comprenant le chiffre 6 ?
3. D´ enombrabilit´ e
Exercice 5. Soient E et F deux ensembles tels qu’il existe une injection i : E → F.
(1) Montrer que si F est d´ enombrable, alors E est d´ enombrable.
(2) Montrer que si E n’est pas d´ enombrable, alors F n’est pas d´ enombrable.
Exercice 6. Les ensembles suivants sont-ils d´ enombrables (resp. au plus d´ enombrables) : 2N? N×{1, 2, 3}? {1, 3, 6, 7}? R
R? M
4(R)? Q
3? P(Z)? P({1, 2, 3})? ( Q ∩[0, 1])∪{7, 8, 9}? {1, 2}
4?
1
4. S´ eries num´ eriques
Exercice 7. (1) Justifier que la s´ erie de terme g´ en´ eral
n(n+1)1converge et calculer la somme P
∞n=1 1 n(n+1)
.
(2) Soit x ∈ R. Pour quelles valeurs de x la s´ erie de terme g´ en´ eral x
nconverge ? Calculer, le cas ´ ech´ eant, la somme P
∞n=0
x
n.
2
