d’interpolation de Lagrange d’une liste (x

Universit´ e de Paris 7 tp04 : Interpolation M1MME 2011-2012 (F.Han

)

Exercice I: en xcas, interpolation

1) a) Programmez le polynˆ ome L

d’interpolation de Lagrange d’une liste (x

, y

)

par la formule de Lagrange (et non par les diff´ erences divis´ ees). On fera des boucles, et on n’utilisera pas les fonctions sum et product d’xcas. On retournera une forme d´ evelopp´ ee simplifi´ ee du polynˆ ome. ( Pr´ ef´ erez normal pour les calculs lourds)

2) a) Cr´ eez une fonction c(a,b,n) qui retourne la liste des a + k.(b − a) n

!

0≤k≤n

b) En utilisant par exemple la commande apply, cr´ eez la liste des [(c,f1(c)] lorsque c d´ ecrit la liste c(-5,5,3) o` u f

est d´ efinie par f

: x 7→ 1

x

+ 1

c) Calculez l’interpolation de Lagrange ` a 4 termes avec votre programme, et v´ erifiez avec la fonction xcas que c’est correct.

d) Assurez vous que xcas effectue ce calcul avec des rationnels exacts, et illustrez la diff´ erence de complexit´ e de ces deux m´ ethodes avec 41 points.

e) Illustrez maintenant la r´ epercussion des erreurs d’arrondis selon les 2 m´ ethodes. (On travaillera avec 15 chiffres car en dessous xcas travaille avec plus de chiffres qu’il n’en affiche). On affichera la norme 2 du vecteur des coefficients de la diff´ erence entre le calcul en flottants, et la valeur approch´ ee du calcul exact.

3) a) Repr´ esentez la fonction f

sur [−5, 5] ainsi que ses interpolations de Lagrange ` a n + 1 points

´

equir´ epartis dans cet intervalle, pour n ∈ {1, . . . , 30} (On travaillera en flottants). On pourra (en mode g´ eom´ etrie) faire apparaˆıtre un bouton avec la commande element et afficher le dessin correspondant ` a la valeur de n r´ egl´ ee par le bouton. (non r´ eglera le pas ` a 1)

b) Ajoutez sur le dessin les points d’interpolation en gros carr´ e rouge. On pourra utiliser le raccourci clavier pour obtenir les options graphiques. (il est rappel´ e dans le menu d´ eroulant)

c) Pensez vous qu’il y a une convergence, ou une convergence uniforme sur [−5, 5] ? 4) Recommencez avec f

: x 7→ sin(x) toujours sur [−5, 5].

5) Expliquez la diff´ erence de comportement en ´ etudiant les d´ eriv´ ees de f

1. http ://www.math.jussieu.fr/∼han/M1MME

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