Sur l'holonomie de D-modules arithmétiques associés à des F-isocristaux surconvergents sur des courbes lisses

HAL Id: hal-00144347

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Preprint submitted on 4 Jul 2007

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Sur l’holonomie de D-modules arithmétiques associés à des F-isocristaux surconvergents sur des courbes lisses

Christine Huyghe, Fabien Trihan

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Christine Huyghe, Fabien Trihan. Sur l’holonomie de D-modules arithmétiques associés à des F-

isocristaux surconvergents sur des courbes lisses. 2007. �hal-00144347v3�

hal-00144347, version 3 - 4 Jul 2007

Sur l’holonomie de D-modules arithm´etiques associ´es

`

a des F -isocristaux surconvergents sur des courbes lisses

Christine Noot-Huyghe et Fabien Trihan ^∗

R´ esum´ e

Nous montrons que le D-module arithm´etique associ´e ` a un F-isocristal sur- convergent sur une courbe lisse est holonome. Nous montrons d’abord que les F-isocristaux unipotents sont des D-modules holonomes en utilisant le fait que de tels F -isocristaux proviennent de F -isocristaux logarithmiques. Nous d´eduisons le cas g´en´eral du th´eor`eme de r´eduction semi-stable pour les F -isocristaux sur les courbes de Matsuda-Trihan qui repose sur le th´eor`eme de monodromie p-adique d´emontr´e ind´ependamment par Andr´e, Kedlaya et Mebkhout.

Abstract

We show that the arithmetic D-module associated to an overconvergent F - isocrystal over a smooth curve is holonomic. We first prove that unipotent F - isocrystals are holonomic D-module by using the fact that such F -isocrystals come from logarithmic F -isocrystals. We deduce the general case from the semi-stable reduction theorem for F -isocrystals over curves of Matsuda-Trihan which relies on the p-adic monodromy theorem independently proved by Andr´e, Kedlaya and Mebkhout.

Introduction

Dans [9], Caro montre que le D-module arithm´etique associ´e `a un F -isocristal sur- convergent sur une courbe lisse est holonome. Nous proposons de fournir une seconde preuve de ce r´esultat. Notre d´emonstration diff`ere de celle de [9] sur les points suivants : La preuve de Caro repose sur une caract´erisation des F -isocristaux surconvergents due

`a Berthelot. Nous proposons une preuve qui ne fait pas appel `a ce r´esultat.

Notre preuve repose en effet sur des r´esultats pr´ec´edents du second auteur concernant les F -isocristaux surconvergents unipotents. En particulier, il est d´emontr´e dans [22]

que tout F -isocristal unipotent sur une courbe lisse provient d’un F -log cristal sur la compactification. Nous sommes alors en mesure de d´ecrire le foncteur qui associe `a tout F -log cristal un F -isocristal surconvergent sur le lieu o` u la log structure devient triviale (cf [20]) de mani`ere explicite en terme de D-modules arithm´etiques. Le fait que le prolongement logarithmique de l’isocristal soit muni d’un Frobenius implique

∗

Pour cette collaboration, les deux auteurs ont b´en´efici´e du soutien du Fond National de Recherche

Scientifique (Belgique), ainsi que de l’IRMA, laboratoire de math´ematiques de l’Universit´e Louis Pasteur

(Strasbourg). Ce travail a b´en´efici´e en outre du soutien du r´eseau europ´een de recherche Arithmetic Al-

gebraic Geometry de la Communaut´e Europ´eenne (Programme FP6, contrat MRTN-CT2003-504917).

automatiquement l’´egalit´e entre la cohomologie de ces deux coefficients et permet de simplifier la preuve de [9] o` u la structure de Frobenius sur le log cristal n’est pas utilis´ee.

Pour g´en´eraliser ce r´esultat aux F -isocristaux surconvergents, nous utilisons le th´eor`eme de r´eduction semi-stable des F -isocristaux surconvergents dans le cas des courbes dˆ u `a Matsuda-Trihan ([22]). Notons que ce r´esultat repose essentiellement sur le th´eor`eme de monodromie p-adique d´emontr´e ind´ependamment par Kedlaya ([19]), Mebkhout ([23]), Andr´e ([1]). Techniquement, nous g´en´eralisons au cas des D-modules arithm´etiques coh´erents `a pˆoles surconvergents, un r´esultat ant´erieur de Tsuzuki pour les images directes et inverses d’isocristaux surconvergents par un mor- phisme g´en´eriquement ´etale. En particulier, on construit un morphisme trace dans ce contexte.

Nous terminons par examiner la caract´erisation des isocristaux surconvergents de Berthelot sous sa forme locale et globale et montrons comment cette derni`ere permet de d´emontrer la conjecture D de Berthelot, achevant ainsi la d´emonstration de la stabilit´e des D-modules arithm´etiques sur des courbes lisses par les six op´erations cohomologiques de Grothendieck `a l’aide des travaux de Caro ([8], [9], [10], [11]).

Nous tenons enfin `a remercier Pierre Berthelot pour ses pr´ecisions et corrections concernant la partie 4, ainsi que le r´ef´er´e pour ses judicieuses remarques.

1 Notations-G´ en´ eralit´ es

1.1 Notations et Rappels

Soit k un corps parfait de caract´eristique p, W son anneau des vecteurs de Witt, K = F rac(W ), S = Spf W , S

= specW/p

W. Soient X /S un sch´ema formel propre et lisse de dimension relative N, Z un diviseur `a croisements normaux relatif de X et U := X \Z . On notera respectivement X , Z et U leur r´eduction modulo p. Ces sch´emas sont naturellement munis d’une log-structure : nous notons ainsi X

(resp. Z

) le log- sch´ema de sch´ema sous-ja¸cent X (resp. Z ) et dont la log-structure est induite par Z (resp. par la log-structure inverse de celle de X

) de sorte qu’on obtient un diagramme commutatif de log-sch´emas

Z

→ Z

u

↓ ↓ u

X

→ X

. Notons X

/S

la r´eduction mod p

de X

/W .

L’immersion diagonale de X

se factorise en

X

֒ → X

(1) → X

×

X

o` u la premi`ere fl`eche est une immersion ferm´ee exacte (cf [17]). Suivant [25], on note alors P

i (m)

(resp. P

) le faisceau des parties principales de niveau m et d’ordre n de l’immersion ferm´ee exacte

X

֒ → X

(1)

(resp. le faisceau des parties principales de niveau m et d’ordre n de l’immersion ferm´ee X

֒ → X

(1)). Ils sont tous deux munis d’une structure de O

-module. On note D

X_i^#,n

(resp. D

i ,n

) son O

-module dual. Ce faisceau est appel´e le faisceau des op´erateurs

diff´erentiels de niveau m et d’ordre n (resp. le faisceau des op´erateurs diff´erentiels d’ordre n) sur X

. On note

D

X_i^#

:= [

n

D

X_i^#,n

(resp. D

i

:= [

n

D

i ,n

), D b

:= lim ←− D

i

(resp. D b

:= lim ←− D

i

) et finalement D

:= S

m

D b

(⊂ D b

). On montre de mani`ere analogue `a [3], 3.6 la coh´erence du faisceau D

.

On dispose ´egalement des faisceaux d’op´erateurs diff´erentiels classiques D

et D b

d´efinis dans [3]. De plus, la fl`eche π : X

→ X induit un morphisme canonique injectif de faisceaux d’alg`ebres de O

-alg`ebres

D

→ D

.

Dans le cas d’un diviseur `a croisements normaux, Montagnon montre dans le chapitre 5 de [25] que les faisceaux D

X_i^#

sont de dimension cohomologique finie. En proc´edant comme en 4.4 de [5], on en d´eduit que les faisceaux D b

et D

sont de dimension cohomologique finie.

Nous aurons aussi besoin du faisceau D

(

Z), qui est une version `a coefficients surconvergents du faisceau D

et dont nous rappelons bri`evement la d´efinition. Soient V un ouvert affine ⊂ X , V

la fibre sp´eciale de cet ouvert, t une ´equation locale de Z sur V. On introduit le coefficient

B

= O

(T ) .

t

T − p , puis

D

(Z) = B

⊗

D

,

et les faisceaux compl´et´es B b

et D b

(Z). Passons `a la limite inductive sur m : on d´efinit

O

(

Z) = lim −→

m

B b

et D

(

Z) = lim −→

m

D b

(Z),

o` u si F est une faisceau quelconque, on notera F

pour F ⊗ Q. Les faisceaux consid´er´es sont des faisceaux d’alg`ebres coh´erents. On voit facilement que les faisceaux O

(

Z) et D

(

Z) ne d´ependent que de la r´eduction mod p du diviseur Z not´ee Z et du sous-sch´ema r´eduit Z

, ce qui justifie la notation.

Si F est un faisceau de O

-modules, on pose F ˜ = O

(

Z) ⊗

F . On dispose de morphismes canoniques

O

֒ → O

(

Z) et D

֒ → D

(

Z ).

Nous noterons ´egalement res, le foncteur qui `a tout D

(

Z)-module associe sa structure canonique de D

-module via le morphisme canonique pr´ec´edent.

Nous adopterons le formalisme des images directes et inverses au sens des D-modules

arithm´etiques introduits dans [6]. Soient X et X

des sch´emas formels lisses sur S, f :

X

→ X un morphisme, d = dimX

− dimX , U

⊂ X

le compl´ementaire d’un diviseur

Z

, U le compl´ementaire d’un diviseur Z de X , tel que f (U

) ⊂ U. On peut supposer pour les constructions que l’on a un morphisme de faisceaux d’alg`ebres f

B

→ B

, qui induit (1.1.3 de [9]) pour tout i des morphismes f

B

→ B

i

. On construit `a partir de l`a les faisceaux

D

i→Xi

(Z

) = B

⊗

i

D

i→Xi

, D b

(Z

) = lim ←−

i

D

i→Xi

(Z

), o` u D

i→Xi

est introduit en 2.2 de [6], et D

i←X_i^′

(Z

) = B

⊗

i

D

i←X_i^′

, D b

(Z

) = lim ←−

i

D

i←X_i^′

(Z

), o` u D

i

est introduit en 2.2 de [6]. On pose aussi D

(

Z

) = lim −→

m

D b

(Z

), D

(

Z

) = lim −→

m

D b

(Z

).

Soit E un faisceau de D

(

Z)-modules coh´erents, on d´efinit ˜ f

E comme dans 4.3.3 de [6]. Soit E

un faisceau de D

(

Z

)-modules coh´erents, on d´efinit ˜ f

E

comme dans 4.3.6 de [6]. Les versions sans diviseur (i.e Z et Z

sont vides) de ces foncteurs sont respectivement not´es f

E

et f

E .

Pour fixer les id´ees, donnons des descriptions en coordonn´ee locale, sur une courbe, des faisceaux intervenants, sous nos hypoth`eses que Z est un diviseur `a croisements normaux de X.

1.2 Descriptions en coordonn´ ee locale

Soit X une courbe. Pla¸cons-nous sur un ouvert V de X , muni d’une coordonn´ee t, telle que Z T

V = V (t). Les symboles a

et a

qui suivent d´esignent des ´el´ements de Γ(V , O

), que l’on munit de la norme spectrale. On note ∂ la d´eriv´ee partielle par rapport `a t, et, comme d’habitude, ∂

= ∂

/k!. Nous avons alors les descriptions suivantes des faisceaux introduits ci-dessus

Γ(V , D

) = ( X

k∈N

a

∂

| ∃C > 0, η < 1 tels que |a

|

< Cη

)

,

Γ(V , D

(

Z)) = ( X

l,k∈N

a

t

∂

| ∃C > 0, η < 1 tels que |a

|

< Cη

)

. Notons enfin

∂

= 1

k! (t∂)(t∂ − 1)(t∂ − 2) · · · (t∂ − k + 1).

Alors, d’apr`es 2.3 C de [25], on a Γ(V, D

) =

( X

k∈N

a

∂

| ∃C > 0, η < 1 tels que |a

|

< Cη

)

.

1.3 Morphisme trace pour les D -modules arithm´ etiques ` a co- efficients surconvergents

On consid`ere ici X et X

des sch´emas formels lisses sur S, f : X

→ X un morphisme fini, de degr´e g´en´erique ´egal `a d, U

= f

(U), U le compl´ementaire d’un diviseur Z de X , tel qu’on ait un diagramme commutatif

U

→ X

g ↓ ↓ f

U → X

,

o` u la restriction g de f `a U

est finie et ´etale. On consid`ere la r´eduction mod p de ces sch´emas et de ce diagramme ainsi que f

l’homomorphisme induit par f : X

→ X. Dans un contexte analogue, Tsuzuki construit l’image directe et inverse par f

d’isocristaux surconvergents sur U et U

. On donne ici des r´esultats analogues pour l’image inverse par f des D

(

Z )-modules coh´erents et l’image directe des D

(

Z

)-modules coh´erents.

Comme Z

= f

(Z ), on peut supposer que B b

= f

B b

, pour faire les constructions d’images directes (resp. inverses) des D

(

Z

)-modules (resp. des D

(

Z ) modules) comme en 7 de [16]. Dans la section 7 de [16], on consid`ere la cas particulier o` u g est un isomorphisme. On explique ici ce qu’il faut ajouter aux consid´erations de [16] pour obtenir le cas consid´er´e ici. Partons du lemme crucial suivant (7.2.3 de [16]).

Lemme 1.3.1. (i) Il existe un isomorphisme canonique de D

(

Z

)-modules `a gauche

D

(

Z

) → D

(

Z

).

On obtient ainsi un morphisme canonique injectif de faisceaux de f

O

-alg`ebres f

D

(

Z) ֒ → D

(

Z

).

(ii) Il existe un isomorphisme canonique de D

(

Z

)-modules `a droite D

(

Z

) → D

(

Z

).

D´ emonstration. La premi`ere partie de (i) est exactement 7.2.3 de [16], avec des hypoth`eses plus faibles. Nous expliquerons ci-dessous pourquoi l’´enonc´e est vrai dans notre cas.

Justifions la deuxi`eme partie du (i). On dispose d’un morphisme f

D

(

Z)- lin´eaire `a droite f

D

(

Z) → f

D

(

Z

), qui envoie P sur 1 ⊗ P . Grˆace au (i) du lemme, cela donne un morphisme D

(

Z)-lin´eaire `a droite de D

(

Z) vers D

(

Z

). Il suffit de voir en restriction `a l’ouvert U que c’est un morphisme de faisceaux d’alg`ebres, ce qui est clair car dans ce cas le morphisme consid´er´e est un isomorphisme de faisceaux d’alg`ebres. Cela compl`ete la premi`ere assertion qui ne figure pas stricto sensu dans [16].

Pour le (ii), on proc`ede comme pr´ec´edemment et on utilise l’isomorphisme de trans- position qui suit et qui identifie les deux faisceaux de O

-alg`ebres (1.3.4 de [5])

D

(

Z

) ≃ ω ˜

⊗

D

(

Z

) ⊗

ω ˜

,

o` u ω

est le faisceau inversible des diff´erentielles de rang maximal sur X

.

R´esumons la construction de la partie 7 de [16]. En r´ealit´e, on suppose dans cette partie 7 de [16] que f induit un isomorphisme f

U ≃ U , mais on utilise seulement le fait qu’un certain d´eterminant jacobien est inversible en restriction `a U

, de sorte que seule l’hypoth`ese que f

est ´etale intervient. Plus pr´ecis´ement, on constate, grˆace `a un lemme de g´eom´etrie rigide, que pour m assez grand on a un isomorphisme d’espaces tangents

J : B b

⊗

T

→

f

B b

⊗

T

. Soit j

l’homomorphisme canonique

j

: D b

(Z

) → f

D b

(Z).

Comme ce morphisme devient un isomorphisme en restriction `a U , j

est injectif.

On utilise J pour construire, `a partir d’un m assez grand, une suite croissante d’entiers u

(u

≥ m) et des injections continues pour la topologie p-adique

i

: f

D b

(Z )֒ → D b

(Z

), telles que i

◦ j

est l’injection canonique

D b

(Z

) ֒ → D b

(Z

).

De plus, si ∂ est une section locale de T

, alors i

(1 ⊗ ∂) = J

(1 ⊗ ∂).

Remarquons que, avec nos hypoth`eses (U

= f

U et f est fini), ˜ f

pr´eserve la coh´erence (4.3.8 de [6]).

Le lemme permet de donner la description suivante de l’image directe d’un D

(

Z

)-module coh´erent (resp. de l’image inverse d’un D

(

Z )-module coh´erent).

Proposition 1.3.2.

(i) On a un isomorphisme canonique de D

(

Z )-modules `a droite D

(

Z

) ≃ f

D

(

Z ).

Soit E un D

(

Z)-module coh´erent. Alors il existe un isomorphisme canonique de D

(

Z

)-modules `a gauche

f ˜

E → D

(

Z

) ⊗

f

E .

Le module f ˜

E est concentr´e en degr´e 0 et est isomorphe comme O

-module `a f

E = O

⊗

f

E .

(ii) Soit E

un D

(

Z

)-module coh´erent, alors f ˜

E

≃ f

E

comme faisceau de O

(

Z )-modules.

On peut bien entendu donner une variante de cette proposition pour E ∈ D

(D

(

Z)) et E

∈ D

(D

(

Z

)).

D´ emonstration. Par d´efinition, on a

f

E = D

(

Z

) ⊗

X(^†Z)

f

E . D’apr`es le lemme pr´ec´edent, on a donc

f

E → D

(

Z

) ⊗

X(^†Z)

f

E .

On est donc ramen´e `a montrer que D

(

Z

) est plat comme f

D

(

Z )-module `a droite, et donc que D b

(Z

) est plat `a droite sur D b

(Z) pour m assez grand. Dans notre situation, on a B b

= f

B b

. La question de la platitude est locale sur X qu’on suppose donc affine et muni de coordonn´ees locales. Dans ce cas, l’alg`ebre B b

(X

) est finie sur B b

(X ) et D b

(Z) est une alg`ebre de Banach pour la norme associ´ee `a la topologie p-adique. Ainsi, le module

B b

(X

) ⊗

X,Q(X)

D b

(Z ),

est de type fini sur D b

(Z). Ce module est donc complet pour la norme quotient provenant de sa structure de module et qui d´efinit la topologie p-adique sur ce mod- ule. Ainsi, ce module s’identifie `a D b

(Z

). Pour m assez grand, le morphisme f

B b

→ B b

est fini et ´etale donc plat. On en d´eduit, pour X g´en´eral, un isomor- phisme canonique de f

D b

(Z)-modules `a droite

D b

(Z

) ≃ B b

⊗

f

D b

(Z).

Cela donne que D b

(Z

) est plat sur f

D b

(Z) et donc la platitude cherch´ee. De plus, comme B b

≃ f

B b

, on en d´eduit l’isomorphisme

D b

(Z

) ≃ O

⊗

f

D b

(Z).

En passant `a la limite inductive sur m, on trouve l’isomorphisme D

(

Z )-lin´eaire `a droite

D

(

Z

) ≃ f

D

(

Z), d’o` u l’ensemble des ´enonc´es du (i).

En passant `a la limite inductive sur m, et la deuxi`eme partie du (i). Au passage, on v´erifie que le faisceau d’alg`ebres O

(

Z

) est fini et ´etale (donc plat) sur O

(

Z).

Comme f est un morphisme fini, f

= Rf

. Par d´efinition, on a f

E

= Rf

D

(

Z

) ⊗

X ′(^†Z^′)

E

. L’´enonc´e (ii) suit donc directement du lemme pr´ec´edent.

Pr´ecisons l’action des op´erateurs diff´erentiels par ces op´erations cohomologiques.

Soient E un D

(

Z )-module coh´erent, e une section locale de E , ∂

une section locale du faisceau tangent T

. Alors, on a la description suivante de l’action de D

(

Z

) sur f

E

∂

· (1 ⊗ e) = J (1 ⊗ ∂

) · (1 ⊗ e).

Soient E

un D

(

Z

)-module coh´erent, V un ouvert affine de X , ∂ une section du faisceau tangent T

sur V, e

une section de f

E

(V ). Alors, on a la description suivante de l’action de D

(

Z) sur f

E

∂ · e

= J

(1 ⊗ ∂) · e

∈ f

(E )(V ).

Ces r´esultats nous permettent de construire un morphisme trace dans ce con-

texte. Commen¸cons par interpr´eter l’homomorphisme d’adjonction dans la cat´egorie

des D

(

Z )-modules coh´erents.

Proposition 1.3.3. Soit E un D

(

Z)-module coh´erent. L’homomorphisme d’adjonc- tion canonique ad : E → f

f

E est D

(

Z)-lin´eaire si on identifie f

f

E `a f ˜

f ˜

E .

D´ emonstration. On a par d´efinition ad(e) = 1 ⊗e. L’assertion est locale sur la base.

On peut donc supposer que X est affine, muni de coordonn´ees locales et que Z = V (h) avec h ∈ O

(X ). Comme ˜ f

est ˜ f

sont exacts, toute surjection D

(

Z)-lin´eaire D

(

Z)

→ E donne lieu `a une surjection D

(

Z)-lin´eaire f

f

D

(

Z ) → f

f

E . Il suffit finalement de v´erifier que l’adjonction est D

(

Z)-lin´eaire pour E = D

(

Z).

Or, dans ce cas, l’adjonction correspond `a l’homomorphisme de faisceaux d’alg`ebres D

(

Z) ֒ → f

(D

(

Z

)). Cela donne la lin´earit´e de l’adjonction.

Proposition 1.3.4. Soit E un D

(

Z)-module coh´erent. Alors il existe un morphisme trace tr : f

f

E → E qui est D

(

Z)-lin´eaire si on identifie f

f

E `a f ˜

f ˜

E . De plus, l’homomorphisme compos´e

E →

f ˜

f ˜

E → E

, est ´egal `a d · Id

.

D´ emonstration. Pour m assez grand, on a un morphisme fini ´etale f

B b

→ B b

qui permet de d´efinir un morphisme trace B b

-lin´eaire

t

: f

B b

→ B b

. Identifions

f

O

(

Z

) ≃ f

B b

⊗

X,Q

O

(

Z).

En ´etendant les scalaires, on dispose ainsi d’un morphisme trace O

(

Z)-lin´eaire t = t

⊗Id

: f

O

(

Z

) → O

(

Z). Soit E un D

(

Z )-module coh´erent. Comme f est fini, on peut identifier

f

O

(

Z

) ⊗

f

E

≃ f

O

(

Z

)

⊗

E .

Le morphisme t ⊗ Id

d´efinit alors un morphisme O

(

Z )-lin´eaire f

f

E → E. Il reste `a v´erifier que la fl`eche obtenue est D

(

Z)-lin´eaire. Par le mˆeme argument que pr´ec´edemment, on se ram`ene au cas o` u E = D

(

Z). Dans ce cas, la structure de D

(

Z )-module de f

(D

(

Z

)) est donn´ee par l’homomorphisme de faisceaux d’alg`ebres D

(

Z) ֒ → f

(D

(

Z

)) et la trace qui est ´egale `a t⊗Id

X,Q(^†Z)

est D

(

Z)- lin´eaire.

1.4 Quelques r´ esultats de compatibilit´ e.

On consid`ere dans cette partie un sch´ema formel X lisse sur S, muni d’un diviseur

relatif Z , ainsi que les faisceaux D

et D

(

Z). On montre ici des r´esultats de com-

patibilit´e entre l’image inverse et l’image directe au sens des D

-modules et au sens des

F -isocristaux surconvergents. On commence par l’image inverse et un ´enonc´e (1.5.4 de

[15]) que nous reproduisons ici car il n’a pas ´et´e publi´e et est souvent cit´e. Soient X et

X

des sch´emas formels lisses sur S, f : X

→ X un morphisme, d = dimX

− dimX ,

U

⊂ X

le compl´ementaire d’un diviseur Z

, U le compl´ementaire d’un diviseur Z de X ,

tel que f (U

) ⊂ U. On note f

le morphisme induit par f au niveau des fibres sp´eciales,

f

: X

→ X.

Soit E un isocristal surconvergent sur U le long de X\Z. Son image directe par sp´ecialisation sp

E sur X est un D

(

Z)-module coh´erent. On note f

E l’image in- verse de E comme isocristal surconvergent sur U

. On a alors le th´eor`eme de comparaison suivant

Proposition 1.4.1. Il existe un isomorphisme canonique de D

(

Z

)-modules `a gauche

sp

f

E →

f ˜

(sp

E)[−d].

En particulier, ˜ f

(sp

E)[−d] est un D

(

Z

)-module coh´erent.

Terminons maintenant par un ´enonc´e de comparaison des images directes en tant que D

-module et en tant qu’isocristal surconvergent sous les hypoth`eses de la sous-section pr´ec´edente, i.e. f est fini, g´en´eriquement ´etale sur un ouvert U . On consultera 5. de [27]

pour les descriptions de l’image directe et inverse par f

des isocristaux surconvergents dans ce contexte.

Proposition 1.4.2. Soit E

un F -isocristal surconvergent sur U

(le long de Z

). Alors on a un isomorphisme canonique

sp

f

E

→ f ˜

(sp

E

).

D´ emonstration. Posons E

= sp

E

. C’est un D

(

Z

)-module coh´erent. Il r´esulte de [27], 5.1.2 et de 1.3.2 que ces deux modules s’identifient `a f

E

comme O

(

Z)- modules. Nous sommes donc ramen´es `a montrer que l’action de D

(

Z ) est identique sur ces deux modules. La question est locale sur X , qu’on peut supposer affine, lisse, muni de coordonn´ees locales x

, . . . , x

, et tel que Z = V (h) avec h ∈ O

(X ). Comme f

E

est un O

(

Z )-module localement projectif, on a une injection f

E

(X ) ⊂ f

E

(U ).

On a une injection analogue pour D

(

Z). Il suffit donc de v´erifier que l’action de D

(

Z) est la mˆeme sur sp

f

E

et sur ˜ f

E

, en restriction `a U . Comme f est fini et ´etale au-dessus de U , l’action de D

est obtenue sur chacun de ces deux modules en prenant l’image directe de la P D-stratification d´efinissant la connexion sur E

. Ainsi l’action des d´erivations est identique sur sp

f

E

(U ) et sur ˜ f

E

(U ), qui s’identifient tous les deux `a f

E

(U ). L’action des op´erateurs

∂

= q

! k

! ∂

,

o` u q

est le quotient de la division euclidienne de k

par p

, est donc aussi identique.

Comme f

(E

)(U ) est p-adiquement complet, cela donne que l’action de D b

(U ) est la mˆeme et en passant `a la limite inductive sur m, on voit que l’action de D

est la mˆeme sur sp

f

E

et sur ˜ f

E

au-dessus de U . Cela montre la proposition.

Dans toute la suite de cet article, nous reprenons les notations de 1.1 et supposons de plus que X est de dimension relative 1 sur S.

2 Holonomie des F-isocristaux unipotents

Nous montrons tout d’abord comment d´emontrer l’holonomie des modules

diff´erentiels associ´es `a des F -isocristaux surconvergents unipotents. Si A est un faisceau

de O

-alg`ebres, on note comme d’habitude D

(A) pour ∗ ∈ {b, −} la cat´egorie d´eriv´ee des complexes de A-modules `a cohomologie born´ee si ∗ = b et concentr´ee en degr´es n´egatifs si ∗ = −.

2.1 Images directes de D -modules logarithmiques

Nous pouvons aussi construire de mani`ere analogue `a [6],4.3.7.1 l’image directe π

: D

(D

) → D

(D

)

E

7→ D

⊗

E

,

o` u D

est obtenu par passage `a la limite en la variable i et m du faisceau : D

Xi←X_i^#

= ω

⊗

D

⊗

ω

i

,

o` u (ω

)

est l’inverse du faisceau inversible ω

des diff´erentielles sur X

. On a le lemme suivant.

Lemme 2.2. (i) Le foncteur π

est un foncteur de D

(D

) vers D

(D

).

(ii) Soit E un D

-module coh´erent. Alors il existe un isomorphisme canonique dans D

(D

(

Z))

D

(

Z) ⊗

E ≃ D

(

Z) ⊗

X,Q

π

E , ces deux complexes ´etant concentr´es en degr´e 0.

D´ emonstration. Comme D

est de dimension cohomologique finie, il suffit, par d´evissage, de montrer que π

(D

) ∈ D

(D

). Le faisceau D

n’est autre que D

, vu comme D

× D

-bimodule. On a donc

π

D

= ω

⊗

D

⊗

ω

.

Or, comme D

-module `a gauche, ce faisceau est isomorphe au D

-module `a gauche coh´erent et induit

D

⊗

(ω

⊗

ω

),

(o` u la structure de D

-module `a gauche vient de celle de D

). En effet, ces diff´erents faisceaux sont isomorphes comme O

-modules. Il suffit de v´erifier en restriction `a U , qu’ils sont isomorphes comme D

-modules `a gauche, ce qui provient de l’isomorphisme de transposition de 1.3.4 de [5]. Cela ach`eve le (i).

Pour la seconde assertion, la fl`eche ω

→ ω

induit un morphisme apr`es tensorisa- tion par O

(

Z ), qui est un isomorphisme sur U et est donc un isomorphisme puisque l’extension O

(

Z) ֒ → j

O

est fid`element plate par [3], 4.3.7.1.

Il existe un morphisme canonique de D

(

Z) × D

-bi-modules D

(

Z) ⊗

X,Q

D

→ ω ˜

⊗

D

(

Z) ⊗

ω ˜

,

le deuxi`eme module ´etant muni de la structure de D

-module `a droite provenant de

la structure gauche de D

(

Z) tordue par ˜ ω

et de la structure de D

(

Z )-module

`a gauche de D

(

Z)-module, provenant de la structure de D

(

Z)-module `a droite, tordue par ˜ ω

. Cette fl`eche est un isomorphisme en restriction `a U . Cette fl`eche est donc un isomorphisme de D

(

Z)-modules `a gauche. On v´erifie en restriction `a U , que cet isomorphisme est aussi D

-lin´eaire `a droite, si bien que l’isomorphisme est D

-lin´eaire `a droite. En tensorisant `a droite, sur D

, par E , on en d´eduit un isomorphisme dans D

(D

(

Z ))

D

(

Z) ⊗

X,Q

D

⊗

E ≃ ω ˜

⊗

D

(

Z) ⊗

ω ˜

⊗

E . On a une fl`eche canonique

D

(

Z) → ω ˜

⊗

D

(

Z) ⊗

ω ˜

,

envoyant 1 sur s ⊗ 1 ⊗ s

, o` u s est une section locale de ˜ ω

et s

la section duale de ˜ ω

. Cette fl`eche est un isomorphisme bi-D

(

Z )-lin´eaire en restriction `a U (de nouveau grˆace `a 1.3.4 de [5]), ce qui donne le fait que c’est un isomorphisme bi- D

(

Z)×D

- lin´eaire et donne la formule du (ii) du lemme, puisque D

(

Z) est plat sur D

. En restriction `a U , la log-structure devient triviale et le faisceau π

E s’identifie `a E comme D

-module. Pour i ≤ −1, les faisceaux de cohomologie

D

(

Z) ⊗

X,Q

H

(π

E )

sont des D

(

Z)-modules coh´erents nuls en restriction `a U , donc nuls, ce qui donne le (ii).

2.3. Soit E

un F -isocristal surconvergent sur U . On notera ˜ D

(.) (resp. D

(.)) le foncteur qui associe `a E

sa structure de canonique de D

(

Z )- ( resp. D

)-module (cf [2],4). Avec ces notations, nous avons l’isomorphisme de foncteurs :

D

(.) ≃ res ◦ D ˜

(.).

Supposons `a pr´esent que E

soit unipotent. Soient E le log-isocristal sur X

muni d’une structure de Frobenius non-d´eg´en´er´e lui correspondant d’apr`es [22] et E

= D

(E

).

Rappelons que la restriction de E `a l’ouvert U (o` u la log-structure devient triviale) n’est autre que le F -isocristal convergent associ´e `a E

par simple restriction au tube de U. Sous nos hypoth`eses, E correspond de mani`ere analogue `a [5], 4.6.3 `a la donn´ee d’un O

-module coh´erent E := sp

E muni d’une structure de F -D

-module.

L’´enonc´e suivant permet de calculer la cohomologie de E et E

.

Lemme 2.4. Nous conservons les hypoth`eses et notations pr´ec´edentes. Soit f : X → Spf W le morphisme structural de X /W . Alors

(i) Pour tout isocristal E

surconvergent sur U , on a f

(E

) ≃ RΓ

(U/K, E

)[1].

(ii) Pour tout cristal E sur X

/W , on a

f

(π

(E )) ≃ RΓ

(X

/W, E)[1] ⊗ K

D´ emonstration. La premi`ere assertion r´esulte de [6], 4.3.6.3 et de [2], 4.1.7. Passons

`a la deuxi`eme. Remarquons d’abord que (f

◦ π

)E ≃ f

E . En effet, le terme de gauche est ´egal `a

ω

⊗

D

, et donc `a

ω

⊗

X,Q

D

puisque D

est un D

-module `a gauche plat d’apr`es la d´emonstration de 2.2, soit encore `a ω

⊗

X,Q

D

⊗

(ω

⊗

ω

), c’est-`a-dire finalement `a ω

. On v´erifie en restriction `a U que cet isomorphisme est un isomorphisme de O

× D

-bi-modules.

Comme le faisceau D

co¨ıncide avec ω

comme O

×D

-bi-module, cela donne l’assertion. Il reste `a calculer f

E . Pour cela, on utilise la r´esolution D

-lin´eaire `a droite de ω

par le complexe de de Rham suivant dont les termes sont plac´es en degr´es

−1 et 0

0 → D

→ ω

⊗

D

→ 0,

et qui est d´efini localement par P 7→ dt/t⊗∂

, en reprenant les notations de 1.2. Remar- quons qu’une section locale P de D

peut se mettre sous la forme P = P

k∈N

∂

b

tels qu’il existe C > 0, η < 1 tels que |b

| < Cη

. Posons Q = X

k≥1

∂

k + 1 b

,

dont on v´erifie que Q est une section locale de D

. Alors P se d´ecompose P = b

+

∂

Q, ce qui montre que le complexe pr´ec´edent est quasi-isomorphe `a ω

plac´e en degr´e 0. Cela permet de v´erifier que f

E s’identifie au complexe de de Rham logarithmique de E d´ecal´e de 1 et donc `a RΓ

(X

/W, E)[1] ⊗ K, d’apr`es 4.1.1 de [20].

Th´ eor` eme 2.5. Soit E un log-isocristal sur X

muni d’une structure de Frobenius non-d´eg´en´er´e et notons E

, le F -isocristal surconvergent le long de X\U associ´e `a E dans [20]. Alors D

(E

) a une structure de F -D

-module coh´erent.

D´ emonstration. L’isocristal E correspond `a la donn´ee d’un O

-module `a connex- ion `a pˆoles logarithmiques que nous noterons E

et E := sp

E `a celle d’un O

-module coh´erent muni d’une structure de F -D

-module. L’image de ce module `a connexion par le foncteur de [20] est sp

(j

E

). Sa structure de D

(

Z)-module coh´erent est

D ˜

(E

) ≃ D

(

Z) ⊗

X#,Q

E .

Pour voir ceci, il suffit d’apr`es [3], 4.3.12 de trouver un homomorphisme de D

(

Z)- modules coh´erents entre ces deux modules qui soit un isomorphisme lorsqu’on le restreint

`a U . Ce morphisme est construit de la mani`ere suivante : On a une fl`eche canonique (cf [4], 1.2.1) :

E → D ˜

(E

) qui induit apr`es extension des scalaires une fl`eche

D

(

Z) ⊗

X#

E → D

(

Z) ⊗

X#,Q

D ˜

(E

)

o` u ˜ D

(E

) est consid´er´e comme un D

-module. Enfin on compose cette fl`eche avec la fl`eche canonique

D

(

Z) ⊗

X#

D ˜

(E

) → D ˜

(E

)

pour obtenir la fl`eche souhait´ee. Par le (ii) du lemme 2.2, on a donc ˜ D

(E

) ≃ D

(

Z) ⊗

X,Q

π

E et on d´eduit de [6], 5.3.6, et en particulier de la description qui y est donn´ee du foncteur Rj

j

(j : U → X est l’immersion ouverte canonique), un triangle distingu´e

RΓ

(π

E ) → π

E → D

(E

),

o` u RΓ

est le foncteur d´efini dans [6], 4.4.4. Comme π

E est dans D

(D

), pour montrer que D

(E

) est D

-coh´erent, il suffit de montrer que RΓ

(π

E ) est dans D

(D

). On a en fait beaucoup mieux :

Lemme 2.5.1. Le complexe RΓ

(π

E ) est quasi-isomorphe au complexe nul.

D´ emonstration. En appliquant le foncteur f

au triangle distingu´e pr´ec´edent, on obtient grˆace au 2.4, le triangle distingu´e

f

R Γ

(π

E ) → R Γ

(X

/W, E) → R Γ

(U/K, E

).

Comme E est muni d’un Frobenius non-d´eg´en´er´e, les endomorphismes r´esidus de sa connexion ont pour seule valeur propre 0 (voir [26], preuve du th´eor`eme 2.5) et donc par [20], 4.2 (ii), la deuxi`eme fl`eche du triangle est un quasi-isomorphisme et ainsi f

RΓ

(π

E ) est quasi-isomorphe au complexe nul. Comme RΓ

≃ ⊕

RΓ

par [4], 2.4 (ii), nous pouvons supposer que Z est un point ferm´e u : x ֒ → X. De plus, on a alors par [6], 4.4.5 un isomorphisme de foncteurs

RΓ

≃ u

u

.

Le foncteur compos´e (f u)

est le foncteur restriction de la cat´egorie des K

-espaces vectoriels dans celle des K-espaces vectoriel, o` u K

= F rac(W (k(x))/K est une ex- tension finie. Comme (f u)

u

(π

E ) = 0, il en est donc de mˆeme pour u

(π

E ) et pour u

u

(π

E )

On d´eduit du lemme pr´ec´edent que

π

(E ) ≃ D

(E

)

et ainsi D

(E

) est coh´erent. De plus, π

(E ) est concentr´e en degr´e 0.

Corollaire 2.6. D

(E

) est holonome.

D´ emonstration. D’apr`es [6], 5.3.5, il suffit de montrer qu’il existe un ouvert non- vide de X tel que la restriction de D

(E

) `a cet ouvert soit le D-module arithm´etique associ´e `a un F -isocristal convergent. C’est bien le cas ici puisque, par fonctorialit´e des constructions la restriction de D

(E

) `a U n’est autre que le D-module arithm´etique associ´e au F -isocristal convergent induit par la restriction de E

au tube de U .

3 Cas g´ en´ eral

Soient une courbe propre, lisse int`egre connexe X/k, D un diviseur `a croisement

normaux de X et U := X \ D. Soit E

un F -isocristal surconvergent sur U . Comme il

a ´et´e d´emontr´e dans [22], cet isocristal devient unipotent apr`es un ´eventuel changement

de bases par un morphisme fini sur X et ´etale sur U . Nous allons alors montrer que

D

(E

) est un D

-module coh´erent. Ceci r´esultera du cas unipotent ainsi que de 1.3.4.

Proposition 3.1. Soit E

un F -isocristal surconvergent sur U . Alors D

(E

) a une structure de D

-module holonome.

D´ emonstration . D’apr`es [6], p.70, exemple (i), il suffit de montrer que D

(E

) est D-coh´erent. D’apr`es [22], il existe un recouvrement fini et plat f

: X

→ X, ´etale au- dessus du U , tel que E

= f

(E

) soit unipotent. D’apr`es [13], 8.3 on peut choisir un rel`evement X

de X

tel que le carr´e commutatif

U

→ U

↓ ↓

X

→ X se rel`eve en un carr´e

U

→ U

j

↓ ↓ j

X

→ X

,

o` u la fl`eche f est finie et plate et la fl`eche g est bien ´etale puisque c’est le cas de la fl`eche U

→ U par le principe d’invariance topologique des morphismes ´etales ([24], 3.23). Posons E = D

(E

) et E

= f

E . Comme f est plat, on d´eduit de 2.1.3 de [8] que E

= res◦ f ˜

D ˜

(E

). On peut aussi d´eduire de 2.1.6 de [8] que f

(E

) = res◦ f ˜

f ˜

D ˜

(E

).

Le module ˜ f

D ˜

(E

) s’identifie `a ˜ D(f

(E

)) d’apr`es le r´esultat rappel´e en 1.4.1. Le module E

est donc D

-coh´erent d’apr`es 2.5.

Finalement, le diagramme obtenu en 1.3.4 donne un diagramme de D

-modules E →

f

f

E → E

,

et la compos´ee de l’application trace avec l’adjonction est ´egale `a la multiplication par d, le degr´e g´en´erique de f . En particulier, l’application 1/d · tr fournit un scindage de ad et permet d’identifier E `a un facteur direct de f

f

E , comme D

-module. Le module f

E est D

-coh´erent. La coh´erence est pr´eserv´ee par f

, car f est propre (4.3.8 de [6]). On en d´eduit que E est un D

-module coh´erent.

4 Sur la conjecture D de Berthelot

Nous souhaitons ´etudier le rapport entre la proposition pr´ec´edente et la conjecture (D) de Berthelot. Rappelons tout d’abord celle-ci :

Conjecture 4.1.

([6], 5.3.6) Si E

est un F -D

(

Z )-module coh´erent dont la restriction `a U est holonome, alors res(E

) est un F -D

-module holonome.

Dans [9], 4.3.5 la preuve de la conjecture (D) est r´eduite (dans le cas des courbes) au resultat suivant de Berthelot dont la d´emonstration devrait apparaitre dans [7] : Proposition 4.1.1. Si E

est un F -D

(

Z)-module coh´erent dont la restriction `a U est un F -isocristal convergent sur U , alors E

est en fait surconvergent.

Nous rappelons au lecteur la d´emonstration de la conjecture (D) dans le cas des courbes lisse et en profitons pour pr´eciser l’un des arguments de Caro (plus pr´ecis´ement son recours `a [3], 4.3.12).

Th´ eor` eme 4.2. Nous conservons les hypoth`eses et notations pr´ec´edentes. Soit E

un

F -D

(

Z)-module coh´erent dont la restriction `a U est holonome. Alors E

un F -D

-

module holonome.