Comparaison des facteurs duaux des isocristaux surconvergents

Comparaison des foncteurs duaux des isocristaux surconvergents

DANIELCARO(*)

ABSTRACT- LetV be a mixed characteristic complete discrete valuation ring,Xa

smooth formal scheme overV,XKits generic fiber (as rigid analytic space), sp : XK!Xthe morphism of specialization,Xits special fiber,Za divisor inXandE an isocrystal onXnZoverconvergent alongZ. We writeD^y_X(^yZ)Qfor the `weak completion' of the sheaf of differential operators on X with overconvergent singularities along Z. We prove the compatible with Frobenius isomorphism D^y_Z(OX(^yZ)Q)O_X(^yZ)_Qsp(E^_)!~ D^y_Z(sp(E)), whereE^_is the dual ofEandD^y_Zis theD^y_X(^yZ)Q-linear dual.

Introduction.

Afin de construire une cateÂgorie de coefficients p-adiques stables par les six opeÂrations de Grothendieck, Berthelot a eu l'ideÂe d'eÂlaborer une theÂoriep-adique de la theÂorie algeÂbrique des ``coefficients de de Rham'' en caracteÂristique 0, i.e., celle des D-modules arithmeÂtiques (voir [Ber02]).

D'autre part, Mebkhout et Narvaez ont entrepris l'eÂtude des coefficientsp- adiques ([MNM90]), par des meÂthodes voisines, reposant sur une sorte de compleÂtion faible du faisceau des opeÂrateurs diffeÂrentiels sur les scheÂmas faiblement formels, ces objets geÂomeÂtriques ayant eÂte eÂtudieÂs et deÂve- loppeÂs par Meredith ([Mer72]). Dans le cas geÂneÂral, ces deux constructions ne sont pas comparables. NeÂanmoins, (lorsque le diviseur de Cartier est ample) Noot-Huyghe (voir [NH03]) a prouve un treÁs utile theÂoreÁme de comparaison (nous nous en servirons par exemple dans [Carb]). Quoique

(*) Indirizzo dell'A.: Department of Mathematical Sciences, South Road, Durham DH1 3LE, United Kingdom; E-mail: daniel.caro@durham.ac.uk

L'auteur a beÂneÂficie du soutien de l'Universite de Sydney ainsi que de celui du reÂseau europeÂen TMR Arithmetic Algebraic Geometry (contrat numeÂro UE MRTN-CT-2003-504917).

ces deux constructions soient diffeÂrentes, elles apparaissent compleÂmen- taires (cela sera techniquement mis en exergue dans [Carb]).

Cet article s'inseÁre dans l'eÂtude de la stabilite par cinq des six opeÂra- tions de Grothendieck de l'holonomie ou de la surholonomie ([Cara]) desD- modules arithmeÂtiques; nous allons expliquer pourquoi et comment.

SoientV un anneau de valuation discreÁte d'ineÂgales caracteÂristiques (0;p),XunV-scheÂma formel propre et lisse,Xsa fibre speÂciale etZun diviseur de X,X_K sa fibre geÂneÂrique (en tant qu'espace analytique ri- gide) et sp : X_K!X le morphisme de speÂcialisation (qui est un mor- phisme de sites anneleÂs). Berthelot a construit (voir [Ber96, 4.2.5]) le faisceau des opeÂrateurs diffeÂrentiels de niveau fini, aÁ singulariteÂs surconvergentes le long de Z, qu'il noteD^y_X(^yZ)_Q(ouD^y_X;Q(^yZ)). Celui-ci a speÂcialement eÂte concËu afin d'interpreÂter en terme de D-modules ari- thmeÂtiques la notion d'isocristaux surconvergents. En effet, Berthelot a prouve que le foncteur sp induit un foncteur pleinement fideÁle de la cateÂgorie des isocristaux surXnZsurconvergent le long deZdans celle desD^y_X(^yZ)_Q-modules coheÂrents ([Ber96, 4.4.5 et 4.4.12]). Dans un pro- chain travail ([Carb]), nous eÂtablirons que certains complexes de D- modules arithmeÂtiques (par exemple surholonomes) se deÂvissent en isocristaux surconvergents, ce qui correspondra aÁ l'analogue p-adique de la deÂcomposition au dessus d'une stratification d'un faisceau con- structible en faisceaux lisses. En d'autres termes, l'eÂtude des proprieÂteÂs de stabilite (notamment par produit tensoriel interne ou externe) de la surholonomie (et sans-doute de l'holonomie) devrait se ramener par deÂvissage aÁ celle des isocristaux surconvergents. Or, via le theÂoreÁme de monodromie geÂneÂriquement fini ou eÂtale de Tsuzuki ([Tsu02]), valable pour lesF-isocristaux uniteÂs, on parvient, en pratiquant de la descente propre, geÂneÂriquement finie et eÂtale, aÁ prouver la coheÂrence ([Car04a]), l'holonomie ([Car04c]) ou la surholonomie ([Cara]) de ces derniers. Les deux ingreÂdients techniques fondamentaux sont l'existence du mor- phisme trace de Virrion ([Vir04]) puis l'interpreÂtation en terme de D- modules arithmeÂtiques du dual d'un isocristal surconvergent. En effet, le foncteur dual permet d'obtenir une fleÁche en sens inverse de celle que l'on obtient via le morphisme trace (on prouve ensuite que la composeÂe des deux fleÁches est geÂneÂriquement un isomorphisme). Le but de cet article est de deÂmontrer cette interpreÂtation, i.e., pour tout isocristalE surXnZ, surconvergent le long deZ, la formuleD^y_Zsp(E)!~ sp(E^_), ouÁD^y_ZdeÂsigne le dualD^y_X(^yZ)_Q-lineÂaire etE^_et le dual deE. Enfin, pour obtenir la compatibilite aÁ Frobenius de ce dernier, nous ajouterons aÁ sp(E^_) le twist D^y_Z(O_X(^yZ)_Q). Cela constitue un analogue p-adique de

l'isomorphisme similaire en caracteÂristique nulle de Berthelot. Le lec- teur trouvera une preuve de cette dernieÁre dans l'appendice «Berthelot's comparison theorem on O_X- vs. D_X-linear duals» du livre d'Andre et Baldassarri [AB01].

Cet article est compose de deux parties:

Soient SunZ(p)-scheÂma (resp. unV-scheÂma formel dont mO_Xest un ideÂal de deÂfinition) muni d'unm-PD-ideÂal quasi-coheÂrent (resp. coheÂrent) (a,b,a),X unS-scheÂma lisse (resp.S-scheÂma formel lisse). Soit en outre uneO_X-algeÁbre,B_X, munie d'une structure compatible deD^(m)_X -module.

Dans la premieÁre partie de ce travail, nous geÂneÂralisons d'abord la notion dem-PD-stratification en ``remplacËant'' le faisceauO_X parB_X. De telles m-PD-stratifications seront dites relatives aÁ BX. Cette extension apparaõÃt naturellement dans la deÂfinition, sur la cateÂgorie des B_XOX D^(m)_X -modules, des bifoncteurs _BX etHom_BX( ; ). Ceux-ci seront utiliseÂs dans la preuve du reÂsultat principal de cet article, i.e., la formuleD^y_Zsp(E)!~ sp(E^_). Puis, nous deÂcrivons, au moyen desm-PD- stratifications relatives aÁ BX, l'extension des coefficients de l'anneau op- eÂrateurs diffeÂrentiels, les images inverses et, lorsque X est un scheÂma, l'eÂleÂvation du niveau par Frobenius. Nous veÂrifions enfin la commutation aÁ Frobenius de certains foncteurs ou bifoncteurs, notamment _BX et Hom_BX( ; ).

Dans la deuxieÁme partie, nous prouvons laD^(m)_X -lineÂarite et la compa- tibilite aÁ Frobenius de quelques isomorphismes canoniques, la plupart faisant exclusivement intervenir les bifoncteurs _BX etHom_BX( ; ) (par exemple les isomorphismes de Cartan), voire _BXO

XD^(m)_X et Hom_BXO

XD^(m)_X ( ; ). Ces isomorphismes nous permettent ensuite d'eÂtablir la relation D^y_Zsp(E)!~ sp(E^_). Nous utilisons cet isomorphisme dans [Carc, 3.3.3] afin de veÂrifier que les complexes pseudo-coheÂrents dont les espaces de cohomologie sont associeÂs aÁ des isocristaux surconvergents satisfont la formuleLˆP. Enfin, afin d'obtenir la compatibilite aÁ Frobe- nius deD^y_Zsp(E)!~ sp(E^_), on fait intervenir le twistD^y_Z(O_X(^yZ)_Q. En effet, l'isomorphisme canonique D^y_Z(O_X(^yZ)_Q)! O~ _X(^yZ)_Q ne paraõÃt pas compatible aÁ Frobenius (voir la remarque 2.3.2). On eÂtablit alors que l'on dispose de l'isomorphisme D^y_Z(OX(^yZ)Q)_OX(^y_Z)Qsp(E^_)!~ D^y_Z(sp(E)) compatible aÁ Frobenius.

Ce travail est en grande partie issu de ma theÁse. Je remercie B. Le Stum pour son soutien constant durant celle-ci et P. Berthelot pour le seÂminaire ouÁ la formule analogue en caracteÂristique 0 eÂtait utiliseÂe et pour ses preÂcisions concernant ce passage.

Conventions.

SoientD,D⁰deux anneaux (objets d'un topos). Nous dirons queEest un (D;D⁰)-bimodule (resp. bimodule aÁ gauche, resp. bimodule aÁ droite) siEest muni de deux structures compatibles de D-module aÁ gauche (resp. aÁ gauche, resp. aÁ droite) etD⁰-module aÁ droite (resp. aÁ gauche, resp. aÁ droite).

Si DˆD⁰, nous dirons simplement D-bimodules (resp. bimodules aÁ gauche, resp. aÁ droite). Si cela n'est pas preÂciseÂ, unD-module est unD- module aÁ gauche. Enfin, siEest un faisceau en groupe,E_QsignifieE _ZQ.

1. PD-stratifications de niveaumrelatives aÁBX.

La lettreV deÂsignera un anneau de valuations discreÁtes, d'ideÂal ma- ximalm, de corps reÂsiduel parfaitkde caracteÂristiquep>0 et de corps de fractionsKde caracteÂristique 0.

1.1 ±DeÂfinitions.

NOTATIONS1.1.1. On deÂsigne parmun entier positif. SoientSunZ_(p)- scheÂma (resp. unV-scheÂma formel dont mO_X est un ideÂal de deÂfinition) muni d'un m-PD-ideÂal quasi-coheÂrent (resp. coheÂrent) (a,b,a),X un S- scheÂma lisse (resp. S-scheÂma formel lisse), I l'ideÂal de l'immersion dia- gonale de X et d_X (ou d) la dimension de Krull de X. On rappelle que commeXestS-plat, lam-PD-structure deSs'eÂtend aÁX.

SoientAetBdeux faisceaux d'anneaux. Siest l'un des symboles;,‡, , ou b ,D(A) deÂsigne la cateÂgorie deÂriveÂe des complexes deA-modules aÁ gauche veÂrifiant les conditions correspondantes d'annulation des faisceaux de cohomologie. Lorsque l'on souhaitera preÂciser entre droite et gauche, on notera alors D(^gA) ou D(A^d). ConformeÂment aux notations et deÂfi- nitions de [sga71, 4.8, 5.2], on deÂsignera par D^b_coh(A) (resp. Dtdf(A), Dparf(A)) la sous-cateÂgorie pleine de D(A) dont les objets sont les com- plexes aÁ cohomologie coheÂrente et borneÂe (resp. les complexes de Tor-di- mensions finies, les complexes parfaits). On noteraD_(:;parf)(A;B) (resp.

D_(:;tdf)(A;B)) la sous cateÂgorie pleine deD(A;B) formeÂe des complexes

parfaits aÁ droite (resp. de Tor-dimension finie aÁ droite). De meÃme en mettant le point aÁ droite et en remplacËant ``droite'' par ``gauche'' etc. Enfin, nous deÂsignerons parD_qc(A) la sous-cateÂgorie pleine deD(A) formeÂe des complexes dont les faisceaux de cohomologie sontA-quasi-coheÂrents.

REMARQUE1.1.2. Les liens qui existent entre ces cateÂgories sont les suivants.

D'apreÁs [sga71, I.5.8.1], pour qu'un complexe soit parfait, il faut et il suffit qu'il soit pseudo-coheÂrent (confeÁre [sga71, I.2.15]) et localement de Tor-dimension finie. Or, si Xest quasi-compact, un complexe est locale- ment de Tor-dimension finie si et seulement s'il est de Tor-dimension finie. De plus, lorsqueAest un faisceau d'anneaux coheÂrent, un complexe deA-modules borne infeÂrieurement est pseudo-coheÂrent si et seulement s'il est aÁ cohomologie coheÂrente ([sga71, I.3.5]). Si A est un faisceau d'anneaux coheÂrent et si X est quasi-compact, il en deÂrive Dparf(A)ˆ

ˆD^b_coh(A)\D_tdf(A).

Enfin, lorsque le faisceau A est de dimension cohomologique finie, il deÂcoule de [sga71, I.5.9] l'eÂgaliteÂD_qc(A)ˆD_qc;tdf(A). Si le faisceauAest un faisceau coheÂrent, de dimension cohomologique finie et siXest quasi- compact, on obtient la relationDparf(A)ˆD^b_coh(A).

1.1.3. Maintenant, rappelons la construction (que nous eÂtendrons) des op- eÂrateurs diffeÂrentiels de niveau m. D'abord, signalons que pour une eÂtude approfondie des PD-structures partielles de niveau m sur un ideÂal et des enveloppes aÁ puissances diviseÂes partielles, on renvoie aÁ [Ber96, 1.3 et 1.4] ou aÁ [LSQ97, 1.3]. NotonsP_X=S;(m)l'enveloppe aÁ puissances diviseÂes partielles de niveaumdu couple (O_XSX,I), etI sonm-PD-ideÂal canonique. On notera I^fng la filtration m-PD-adique associeÂe puis Pⁿ_X=S;(m) :ˆ P_X=S;(m)=I^fn‡1g le faisceau des parties principales de niveau m et d'ordre n. Ce faisceau aÁ une description locale treÁs simple. En effet, soientt1;. . .;t_ddes coordonneÂes lo- cales au voisinage Ux d'un point x2X, @1;. . .; @_d les deÂrivations corre- spondantes ett_i:ˆ1t_i t_i1. On note aussi

t^fkgˆt^fk₁ ^1g t^fk_d^dg et@^hkiˆ@₁^hk1i @^hk_d^di: (1:1:3:1)

Le faisceauPⁿ_X=S;(m) est alors unOX-module libre au dessus deUxde base lest^fkgpourP

ik_in. De plus, les projections gauche et droite canoniques p₀etp₁: XX!Xfournissent respectivement (confeÁre [Ber96, 2.1.4]) deux homomorphismesdⁿ₀etdⁿ₁:O_X ! Pⁿ_X=S;(m), dont chacun munitPⁿ_X=S;(m) d'une structure deO_X-algeÁbre. La structure induite pardⁿ₀ (resp.dⁿ₁) est appeleÂe structuregauche(resp.droite).

On deÂfinit ensuite lefaisceau des opeÂrateurs diffeÂrentiels de niveau m et d'ordrensurXrelativement aÁScomme eÂtant le dualO_X-lineÂaire pour la structure gauche du faisceau des parties principalesPⁿ_X=S;(m) :

D^(m)_X=S;nˆ Hom_OX(Pⁿ_X=S;(m);O_X):

Pourn⁰nvariable, les surjectionsPⁿ_X=S;(m)⁰ ! Pⁿ_X=S;(m)permettent de deÂfinir lefaisceau des opeÂrateurs diffeÂrentiels de niveau men posant

D^(m)_X=Sˆ [_n2ND^(m)_X=S;n:

Par la suite, sauf indication express du contraire, le scheÂma de baseS sera fixeÂ, et nous omettrons alors d'eÂcrire l'indiceSdans les notations.

1.1.4. Dans la section [Ber96, 2.3], Berthelot deÂfinit lesm-PD-stratifica- tions et montre (confeÁre [Ber96, 2.3.2]) qu'une structure deD^(m)_X=S-module aÁ gauche prolongeant une structure de O_X-module est eÂquivalente aÁ celle d'unem-PD-stratification.

UneOX-algeÁbre commutativeBX est munie d'une structure de D^(m)_X - module aÁ gauchecompatibleaÁ sa structure deO_X-algeÁbre signifie que la structure de O_X-module sous-jacente aÁ la structure de D^(m)_X -module est celle qu'induit la structure deO_X-algeÁbre, et que les isomorphismese^B_n^X : Pⁿ_X(m)OX BX! B~ XOX Pⁿ_X(m) de la m-PD-stratification correspondante sont des isomorphismes dePⁿ_X(m)-algeÁbres.

1.1.5. FixonsB_X uneO_X-algeÁbre commutative munie d'une structure de D^(m)_X -module aÁ gauche compatible aÁ sa structure deOX-algeÁbre. Nous allons maintenantgeÂneÂraliserla notion dem-PD-stratification en ``remplacËant'' le faisceauO_X parB_X.

On notera par la suitePeⁿ_X(m)le faisceau dePⁿ_X(m)-algeÁbreB_XOXPⁿ_X(m). Le morphisme canoniqued~ⁿ₀ :B_X ! B_XOXPⁿ_X(m)munit le faisceauPeⁿ_X(m) d'une structure de BX-algeÁbre, que l'on appellera structure gauche. De plus, le morphisme deBX-algeÁbres

d~ⁿ₁ : B_X ! Pⁿ_X(m)OXB_X ^e!^BnX B_XOX Pⁿ_X(m)

induit une deuxieÁme structure deBX-algeÁbre surPeⁿ_X(m), que l'on appellera structuredroite. Or, comme lese^B_n^X sont des isomorphismes de Pⁿ_X(m)-al- geÁbres, on obtient le diagramme commutatif de gauche suivant qui im- plique le diagramme cocarteÂsien de droite:

(1:1:5:1)

1.1.6. Pour tout couple d'entiers positifs, n et n⁰, le faisceau Pⁿ_X(m)OX Pⁿ_X(m)⁰ posseÁde trois structures deOX-algeÁbres. La structure de O_X-algeÁbre dePⁿ_X(m)OXPⁿ_X(m)⁰ provenant de la structure gauche dePⁿ_X(m) sera appeleÂe structure gauche, celle provenant de la structure ``produit tensoriel'' sera deÂnommeÂe structure ducentreet enfin celle deÂcoulant de la structure droite dePⁿ_X(m)⁰ sera dite structuredroite. On notera alorsd^n;n₀ ⁰, d^n;n₁ ⁰, d^n;n₂ ⁰ les morphismes d'anneaux OX ! Pⁿ_X(m)OXPⁿ_X(m)⁰ correspon- dants.

On notera d^n;n_(m)⁰ : P^n‡n_X(m)⁰ ! Pⁿ_X(m)OX Pⁿ_X(m)⁰ le morphisme deÂfini dans [Ber96, 2.1.3]. Il reÂsulte d'un calcul en coordonneÂes locales que ce mor- phisme estO_X-lineÂaire pour les structures gauches et droites respectives, i.e.,d^n;n_(m)⁰d^n‡n₀ ⁰ ˆd^n;n₀ ⁰etd^n;n_(m)⁰d^n‡n₁ ⁰ˆd^n;n₂ ⁰. On eÂcrira aussiq^n;n₀ ⁰ etq^n;n₁ ⁰ : P^n‡n_X(m)⁰ ! Pⁿ_X(m)OX Pⁿ_X(m)⁰ les homomorphismes naturels deÂfinis en [Ber96, 2.3.1]. Le morphismeq^n;n₀ ⁰ estO_X-lineÂaire pour la structure gauche (resp.

droite) de P^n‡n_X(m)⁰ et la structure gauche (resp. du centre) de Pⁿ_X(m)OX Pⁿ_X(m)⁰ . Enfin, le morphismeq^n;n₁ ⁰ est O_X-lineÂaire pour la struc- ture gauche (resp. droite) deP^n‡n_X(m)⁰ et la structure du centre (resp. droite) dePⁿ_X(m)OX Pⁿ_X(m)⁰ .

1.1.7. Le faisceauBXOX(Pⁿ_X(m)OXPⁿ_X(m)⁰ ) se calcule en prenant, pour le produit tensoriel de gauche, la structure gauche de Pⁿ_X(m)OX Pⁿ_X(m)⁰ et, pour celui de droite, la structure droite dePⁿ_X(m) et la structure gauche de Pⁿ_X(m)⁰ .

De meÃme, munissons B_{X OX} (Pⁿ_X(m)OXPⁿ_X(m)⁰ ) de trois structures canoniques deBX-algeÁbres. D'abord, la structuregaucheest induite par le morphisme canonique d~₀^n;n0 : BX ! BXOX Pⁿ_X(m)OXPⁿ_X(m)⁰ . Ensuite, la structuredroitese construit de la manieÁre suivante:

~d₂^n;n0 :B_X ! Pⁿ_X(m)OX Pⁿ_X(m)⁰ OXB_X ^d !

n;n0 (m) (e^B_n‡n^X0)

B_XOX Pⁿ_X(m)OX Pⁿ_X(m)⁰ : (1:1:7:1)

Enfin, on deÂfinit la structure ducentrevia le morphisme deBX-algeÁbres

~d₁^n;n0 :BX ! Pⁿ_X(m)OX BXOXPⁿ_X(m)^{0 q} !

n;n00 (e^B_n‡n^X₀)

BXOX Pⁿ_X(m)OX Pⁿ_X(m)⁰ : 1.1.8. On a BXOX (Pⁿ_X(m)OXPⁿ_X(m)⁰ )!~ (BXOXPⁿ_X(m))OX Pⁿ_X(m)⁰ . Or, graÃce au diagramme de gauche de 1.1.5.1, le faisceau (B_XOX Pⁿ_X(m))_OX Pⁿ_X(m)⁰ se calcule via la structure de O_X-algeÁbre de B_XOX Pⁿ_X(m) induite par sa structure droite deB_X-algeÁbre. Il en deÂcoule

l'isomorphisme BX OX (Pⁿ_X(m)OXPⁿ_X(m)⁰ )!~ Peⁿ_X(m)BXPeⁿ_X(m)⁰ (pour calcu- ler le terme de droite, on utilise la structure droite dePeⁿ_X(m)dePeⁿ_X(m)et la structure gauche dePeⁿ_X(m)⁰ ). On munitPeⁿ_X(m)BX Peⁿ_X(m)⁰ , de manieÁre analo- gue aÁ (Pⁿ_X(m)OXPⁿ_X(m)⁰ ), de structures gauche, du centre et droite deB_X- algeÁbres.

1.1.9. L'isomorphisme B_X OX (Pⁿ_X(m)OXPⁿ_X(m)⁰ )!~ Peⁿ_X(m)BXPeⁿ_X(m)⁰ est un morphisme deB_X-algeÁbres pour les structures de gauche, du centre et de droite respectives. Par exemple, veÂrifions-le pour celle de droite. Dans le diagramme commutatif suivant,

(1:1:9:1)

ouÁ l'on a omis d'inscrire les indices ``X'' ou ``X(m)'', celle dePeⁿ_X(m)BX Peⁿ_X(m)⁰ provient du morphisme compose du haut. GraÃce aÁ la condition de cocycle ([Ber96, 2.3.1.1]) (en remarquant que Ide^B_n0 ˆq^n;n₁ ⁰(e^B_n‡n^X 0) et e^B_nIdˆ

ˆq^n;n₀ ⁰(e^B_n‡n^X 0)), ~d₂^n;n0 correspond au chemin de 1.1.9.1 passant par le bas.

D'ouÁ le reÂsultat.

En outre, ces structures gauche, du centre et droite sont compatibles avec celles deÂfinies sur Pⁿ_X(m)OX Pⁿ_X(m)⁰ , i.e., on a le diagramme suivant canonique cocarteÂsien

(1:1:9:2)

ouÁ les triples fleÁches du haut (resp. du bas) deÂsignent les morphismesd^n;n₀ ⁰, d^n;n₁ ⁰,d^n;n₂ ⁰ (resp. avec des tildes).

1.1.10. On introduit les homomorphismes deB_X-algeÁbres suivants

On beÂneÂficie du diagramme canonique cocarteÂsien:

(1:1:10:1)

ouÁ les triples fleÁches du haut (resp. du bas) deÂsignent les morphismesq^n;n₀ ⁰, q^n;n₁ ⁰,d^n;n_(m)⁰(resp. avec des tildes). En outre, ces homomorphismes veÂrifient les proprieÂteÂs analogues eÂnonceÂes ci-dessus sans les tildes. Par exemple, le morphismeed^n;n_(m)⁰estBX-lineÂaire pour les structures droites respectives. En effet, cela reÂsulte par construction de 1.1.7.1.

Enfin, on dispose du diagramme commutatif

(1:1:10:2)

En effet, le diagramme analogue ouÁ l'on a remplace ``Pe<sub>X(m)</sub>'' (resp. ``ed_(m)'') par ``P<sub>X</sub>'' (resp. ``d'' : notation standard de [Ber96, 2.1.3]) est commutatif.

Puis, par construction desm-PD-morphismes de la formed^n;n_(m)⁰(voir [Ber96, 2.1.3]), on en deÂduit la commutativite de 1.1.10.2. Pour finir, on remarque que le diagramme analogue aÁ 1.1.10.2, avec ``ed<sub>(m)</sub>'' remplace par ``qe₀'' (resp.

``qe₁''), n'est pas commutatif.

1.1.11. On noteraDe^(m)_X;n:ˆ Hom_BX(Peⁿ_X(m);B_X) le dual B_X-lineÂaire pour la structure gauche dePeⁿ_X(m). Pourn⁰n, les surjectionsPeⁿ_X⁰_(m)!Peⁿ_X(m)(car le foncteurB_XOX est exact aÁ droite) fournissent des injections

De^(m)_X;n,!De^(m)_X;n0:

On munit le faisceauDe^(m)_X :ˆ [n2NDe^(m)_X;nd'une structure d'anneau graÃce aux accouplements

De^(m)_X;nDe^(m)_X;n0!De^(m)_X;n‡n0

(1:1:11:1)

deÂfinis comme suit : si Pe2De^(m)_X;n,Pe⁰2De^(m)_X;n0, alors PePe⁰ est l'homomor- phisme composeÂ

Pe^n‡n_X(m)^{0 ~d}!

n;n0

(m) Peⁿ_X(m)BX Peⁿ_X(m)^{0 Id}!^P~0Peⁿ_X(m) !^P~ B_X:

(1:1:11:2)

Cette loi de composition est bienassociative: cela se veÂrifie par un calcul (en utilisant le diagramme commutatif 1.1.10.2).

1.1.12. Dans [Ber96, 2.3.5], Berthelot munit le faisceauB_XOXD^(m)_X d'une structure de BX-algeÁbre en deÂfinissant le produit P⁰⁰:ˆPP⁰ de P2 HomOX(Pⁿ_X(m);BX) et deP⁰2 HomOX(Pⁿ_X(m)⁰ ;BX) comme le compose P^n‡n_X(m)^{0 d}!

n;n0

(m) Pⁿ_X(m)OXPⁿ_X(m)^{0 IdP}!⁰Pⁿ_X(m)OXB_X ^e!^BnX B_XOX Pⁿ_X(m) ^IdP!

IdP! B_XOXB_X !^m B_X; ouÁmest la multiplication canonique deB_X.

Des isomorphismes canoniques deBX-algeÁbres

B_XOXD^(m)_X;n! Hom~ _OX(Pⁿ_X(m);B_X)! Hom~ _BX(Peⁿ_X(m);B_X)ˆDe^(m)_X;n; (1:1:12:1)

il s'en suit le suivantBXOX D^(m)_X !~ De^(m)_X :La proposition qui suit nous dit que ces deux structures deBX-algeÁbre sont compatibles.

PROPOSITION1.1.13. L'isomorphisme canoniqueB_XOX D^(m)_X !~ De^(m)_X , ouÁ le terme de droite (resp. de gauche) est muni de la structure deB_X- algeÁbre de1.1.12(resp.1.1.11), est un isomorphisme deBX-algeÁbres.

PREUVE. Notons u:ˆe^B_n^X(IdP⁰)d^n;n_(m)⁰ et ~u le morphisme B_XOX P^n‡n_X(m)⁰ ! B_XOXPⁿ_X(m) deÂduit par extension deu. Avec les nota- tions de 1.1.12, notons de plus Pe (resp. Pe⁰, Pe⁰⁰) l'opeÂrateur de HomBX(Peⁿ_X(m);BX) (resp.HomBX(Peⁿ_X(m)⁰ ;BX),HomBX(Pe^n‡n_X(m)⁰;BX)) associe aÁP (resp. P⁰, P⁰⁰) via les isomorphismes 1.1.12.1. Comme Peˆm(IdP), l'opeÂrateurPe⁰⁰est le composeÂ

Pe^n‡n_X(m)⁰ !^~u Peⁿ_X(m) !e_P BX:

D'apreÁs 1.1.11.2, il suffit de prouver l'eÂgaliteÂ~uˆ(IdPe⁰)ed^n;n_(m)⁰. Pour cela, veÂrifions-le localement: on supposeXmuni de coordonneÂes localest₁;. . .;t_d et on note alors @1;. . .; @d les deÂrivations correspondantes et tiˆ1 t_i t_i1. Pour tout k2N^d, on note jkj ˆP

k_i. Il reÂsulte alors de [Ber96, 2.1.3.1] la formule

d^n;n_(m)⁰(t^fkg)ˆ(t1‡1t)^fkgˆ X

jk⁰jn;jk⁰⁰jn⁰;k⁰‡k⁰⁰ˆk

k

k⁰ t^fk0gt^fk00g:

Commee^B_n^X est un morphisme dePⁿ_X(m)-algeÁbres, e^B_n^X(IdP⁰)(t^fk0gt^fk00g)ˆe^B_n^X(t^fk0gP⁰(t^fk00g))ˆ

ˆ(1t^fk0g)e^B_n^X(1P⁰(t^fk00g)):

On obtient ainsi:

~u(1t^fkg)ˆ X

jk⁰jn;jk⁰⁰jn⁰;k⁰‡k⁰⁰ˆk

k

k⁰ (1t^fk0g)e^B_n^X(1P⁰(t^fk00g)):

D'un autre coÃteÂ, en posant, pour toutk2N^d,et^fkg:ˆ1t^fkg, ed^n;n_(m)⁰(et^fkg)ˆ X

jk⁰jn;jk⁰⁰jn⁰;k⁰‡k⁰⁰ˆk

k

k⁰ et^fk0get^fk00g: On a la relation

(IdPe⁰)(et^fk0get^fk00g)ˆet^fk0gP⁰(t^fk00g);

le termeP⁰(t^fk00g) agissant suret^fk0gpour la structure droite deB_X-module de Peⁿ_X(m). Par deÂfinition, on a alors

et^fk0gP⁰(t^fk00g)ˆet^fk0ge^B_n^X(1P⁰(t^fk00g)):

Il en reÂsulte par lineÂarite la formule~uˆ(IdPe⁰)ed^n;n_(m)⁰. p NOTATIONS 1.1.14. Sit₁;. . .;t_d, sont des coordonneÂes locales au voi- sinage d'un point x2X, @₁;. . .; @_d les deÂrivations correspondantes, par abus de notation, on notera (confeÁre 1.1.3.1) t^fkg (resp.@^hki) aÁ la place de et^fkg (resp.@e^hki).

DEÂFINITION1.1.15. SoitEunB_X-module. Unem-PD-stratification(ou PD-stratification de niveau m) ~e sur E relativement aÁ (S;B_X) (ou re- lativement aÁBX si le scheÂma de base ne fait aucun doute) est la donneÂe d'une famille compatible d'isomorphismesPeⁿ_X(m)-lineÂaires

~e_n : Peⁿ_X(m)BX E! E ~ _BX Peⁿ_X(m);

ouÁ les produits tensoriels sont respectivement pris pour les structures droite et gauche dePeⁿ_X(m), ces isomorphismes eÂtant astreints aux conditions suivantes:

i)~e₀ˆId_E ;

ii)La condition de cocycle est valideÂe, i.e., pour tous n, n⁰, le dia-

gramme

est commutatif.

PROPOSITION 1.1.16. Soit B⁰_X une B_X-algeÁbre commutative munie d'une structure compatible deD^(m)_X -module aÁ gauche telle que BX! B⁰_X soit D^(m)_X -lineÂaire. Pour tout B⁰_X-module E, il y a eÂquivalence entre les donneÂes suivantes:

a)Une structure deB⁰_XOX D^(m)_X -module aÁ gauche surEprolongeant sa structure canonique deB⁰_X-module;

b)Une m-PD-stratification~e^0E ˆ(~e^0E_n)surErelative aÁB⁰_X.

Notons alors (~e^Bn^0X) la m-PD-stratification relative aÁ BX de B⁰_X. L es donneÂesa)etb)sont eÂquivalentes aÁ la suivante :

c)Une m-PD-stratification~e^E ˆ(~e^E_n)surE relative aÁB_X dont les iso- morphismes~e^E_n sont semi-lineÂaires par rapport aux isomorphismes~e^B_n^0X ; De plus, un homomorphisme B⁰_X-lineÂaire f:E ! F entre deux B⁰_XOX D^(m)_X -modules aÁ gauche estB⁰_XOX D^(m)_X -lineÂaire si et seulement s'il commute aux isomorphismes~e^E_n(resp.~e^0E_n). Le morphisme sera dit horizontal.

Enfin, en coordonneÂes locales, pour toute section x deE, on a la formule:

~e^0E_n(1x)ˆ X

jkjn

@^hkixt^fkg: (1:1:16:1)

PREUVE. Notons Peⁿ:ˆPeⁿ_X(m) et Pe⁰ⁿ :ˆ B⁰_XOX Pⁿ_X(m). On prouve l'eÂquivalence entrea) etc), en calquant la deÂmonstration de [Ber96, 2.3.2].

De plus, l'eÂquivalence entreb) etc) est aiseÂe : on deÂfinit une bijection entre les donneÂes (~e^E_n) et (~e^0E_n) via le diagramme commutatif suivant:

(1:1:16:2)

De plus, on veÂrifie par fonctorialite en E de 1.1.16.2, qu'un morphisme E ! F deB⁰_XOX D^(m)_X -modules aÁ gauche commute aux isomorphismes de la forme~e^E_nsi et seulement s'il commute aÁ ceux de la forme~e^0E_n. En outre, en proceÂdant comme pour [Ber96, 2.3.2], on eÂtablit d'abord que E ! F est B⁰_XOX D^(m)_X -lineÂaire si et seulement s'il commute aux stratifications~e^0E_n,

puis la formule 1.1.16.1. p

REMARQUE 1.1.17. Avec les notations de 1.1.16 et de sa preuve, si E ˆ B⁰_X, alors, via le diagramme 1.1.16.2 (en prenant aussi B_X ˆ O_X), les isomorphismes de lam-PD-stratification relative aÁO_X, noteÂse^B_n^0X, sont des isomorphismes de Pⁿ_X(m)-algeÁbres si et seulement si les~e^0B_n^0X sont des iso- morphismes de Pe⁰ⁿ-algeÁbres, si et seulement si les ~e^Bn^0X sont des iso- morphismes de Peⁿ-algeÁbres. Si on deÂfinit la notion de B_X-algeÁbres com- patibles aÁ sa structure de De^(m)_X -module en demandant que les iso- morphismes~e^B_n^0X soient des isomorphismes de Peⁿ-algeÁbres, cela revient aÁ reÂclamer que la structure deO_X-algeÁbre soit compatible aÁ sa structure de D^(m)_X -module (deÂfinition [Ber96, 2.3.4]).

PROPOSITION1.1.18. SoientEetF deuxDe^(m)_X -modules aÁ gauche.

(i)Il existe sur le produit tensoriel E _BX F une unique structure de De^(m)_X -module aÁ gauche fonctorielle enEetFtelle que, pour tout systeÁme de coordonneÂes locales sur un ouvert UX, et tous k2N^d, x2G(U;E), y2G(U;F), on ait

@^hki(xy)ˆX

ik

k

i @^hiix@^{hk ii}y:

(1:1:18:1)

(ii)Il existe sur le faisceauHom_BX(E;F)une unique structure deDe^(m)_X - module aÁ gauche fonctorielle en E et F telle que, pour tout systeÁme de coordonneÂes locales sur un ouvert U X, et tous k2N^d, x2G(U;E),f: E_jU ! F_jU, on ait

(@^hkif)(x)ˆX

ik

( 1)^jij k

i @^{hk ii}(f(@^hiix)):

(1:1:18:2)

(iii)Si la structure deDe^(m)_X -module aÁ gauche deE(resp.F) se prolonge en une structure de De^(m)_X -bimodule alors la structure de De^(m)_X -module aÁ gauche de E BX F se prolonge en une structure de De^(m)_X -bimodule. La structure deDe^(m)_X -module aÁ gauche est la structure produit tensoriel. De meÃme, le faisceau Hom_BX(E;F) est muni d'une structure canonique de De^(m)_X -bimodule (resp.De^(m)_X -bimodule aÁ gauche). La structure gauche est la

structure interne. On a des reÂsultats analogues lorsqueE ouF sont des bimodules aÁ gauche.

PREUVE. On munit le faisceauE BX F de lam-PD stratification re- lative aÁB_X :~e^EF_n :ˆ~e^E_n~e^F_n. En utilisant la formule 1.1.16.1, on veÂrifie la formule 1.1.18.1.

De meÃme, modulo les isomorphismes canoniques (pour les deux structures deBX-algeÁbres dePeⁿ_X(m))

Peⁿ_X(m)BX Hom_BX(E;F)! Hom~ e_Pⁿ_X(m)(Peⁿ_X(m)BX E;Peⁿ_X(m)BX F);

on munitG:ˆ HomBX(E;F) d'unem-PD-structure relative aÁBXen posant e^G_n ˆ Home_Pⁿ_X(m)((e^E_n) ¹;e^F_n). On veÂrifie alors la formule 1.1.18.2 au moyen de 1.1.16.1.

La fonctorialite enEetFde ces structures deDe^(m)_X -modules reÂsulte par exemple des formules 1.1.18.1 et 1.1.18.2. Il deÂcoule de cette fonctorialite que la partie iii) est exacte (on peut aussi le prouver directement via les

formules 1.1.18.1 et 1.1.18.2). p

REMARQUE 1.1.19. La remarque [Car04b, 1.2.19] se geÂneÂralise: soit f :X!Y un morphisme de S-scheÂmas lisses (resp. V-scheÂmas formels lisses). De manieÁre analogue aÁ 1.1.15, on deÂfinit sur unf ¹B_Y-moduleEune m-PD-stratification comme eÂtant la donneÂe d'une famille compatible d'isomorphismesf ¹Peⁿ_Y(m)-lineÂaires

e^E_n : f ¹Peⁿ_Y(m)f ¹_BYE! E ~ _f ¹_BY f ¹Peⁿ_Y(m)

veÂrifiant deux conditions analogues aÁ 1.1.15. Comme pour 1.1.16, siEest un f ¹B_Y-module, il y a alors eÂquivalence entre la donneÂe d'une structure de f ¹De^(m)_Y -module aÁ gauche prolongeant sa structure def ¹BY-module et la donneÂe d'une m-PD-stratification. De plus, siE etF sont deux f ¹De^(m)_Y - modules aÁ gauche, on munit le produit tensoriel E _f ¹_BY F (resp.

Hom_f 1BY(E;F)) d'une structure def ¹De^(m)_Y -module aÁ gauche en prenant la stratificatione^E_nf 1P~ⁿ_Y(m) e^F_n (resp.Hom_f 1P~ⁿ_Y(m)((e^E_n) ¹;e^F_n)).

REMARQUE1.1.20. Les structures deDe^(m)_X -modules deÂfinies dans le corollaire ci-dessus, ne deÂpendent pas du niveaumchoisi. PreÂcisons ce que cela signifie. Donnons-nous m⁰m un couple d'entiers positifs et notons alors oub_m⁰_;m le foncteur oubli de la cateÂgorie desDe^(m)_X -modules vers celle desDe^(m_X⁰⁾-modules. SiEetFsont deuxDe^(m)_X -modules, on a alors

les eÂgaliteÂs

oubm⁰;m(E BX F)ˆoubm⁰;m(E)BXoubm⁰;m(F)

etoub_m⁰_;mHom_BX(E;F)ˆ Hom_BX(oub_m⁰_;mE; oub_m⁰_;mF):

En effet, cela reÂsulte des formules 1.1.18.1 et 1.1.18.2, ainsi que de la rela- tion [Ber96, 2.2.3.1].

1.1.21. Sif:A ! Best un homomorphisme de faisceaux d'anneaux, pour toutA-moduleM(resp.B-moduleN), on noteraf^[(M):ˆ HomA(B;M) (resp. f(N) deÂsigne N vu commeA-module). La convention est de tra- vailler dans les cateÂgories deÂriveÂes mais les foncteurs de la forme f^[que nous utiliseront seront exacts.

De manieÁre analogue aÁ [Ber00, 1.1], on deÂfinit les m-PD-costratifica- tions relativement aÁBX sur unBX-moduleM.

DEÂFINITION1.2.22. SoitMunB_X-module. Unem-PD-costratification surMrelativementaÁ (S;B_X) (ouB_Xsi le scheÂma de baseSne preÃte pas aÁ confusion) est la donneÂe d'une famillecompatibled'isomorphismesPeⁿ_X;(m)- lineÂaires

~e_n:Hom_BX(~dⁿ₀Peⁿ_X;(m);M)! Hom~ _BX(d~ⁿ₁Peⁿ_X;(m);M);

ceux-ci veÂrifiant les conditions suivantes:

1) ~e₀ˆId_M;

2) Pour tousn,n⁰, le diagramme

(1:1:22:1) est commutatif.

PROPOSITION 1.1.23. Soit B⁰_X une B_X-algeÁbre commutative munie d'une structure compatible deD^(m)_X -module aÁ gauche telle queB_X! B⁰_X soitD^(m)_X -lineÂaire. Pour toutB⁰_X-moduleM, il y a eÂquivalence entre les donneÂes suivantes:

a)Une structure deB⁰_X OX D^(m)_X -module aÁ droite surMprolongeant sa structure deB⁰_X-module;

b)Une m-PD-costratification(~e^M_n )relativement aÁBX surMtelle que les isomorphismes~e^M_n soient semi-lineÂaires par rapport aÁ(~e^Bn^0X) ¹;

c)Une m-PD-costratification(~e^0M_n )relativement aÁB⁰_X surM.

Un homomorphisme B⁰_X-lineÂaire entre deux B⁰_{X OX} D^(m)_X -modules aÁ droite est B⁰_{X OX} D^(m)_X -lineÂaire si et seulement s'il commute aux iso- morphismes~e^M_n (resp.~e^0M_n ).

PREUVE. Notons Peⁿ:ˆPeⁿ_X(m), Pe⁰ⁿ:ˆ B⁰_XOX Pⁿ_X(m), ~d⁰ⁿ₀ et ~d⁰ⁿ₁ les structures gauches et droites dePe⁰ⁿ.

L'eÂquivalence entrea) etc) se prouve de manieÁre identique aÁ celle de [Ber00, 1.1.4]. Pour celle entreb) etc), cela deÂrive de la correspondance entre les deuxm-PD-costratifications~e^M_n et~e^0M_n , qui se lit via le diagramme commutatif suivant:

(1:1:23:1)

ouÁ l'on a omis d'indiquer les indices ``X'' ou ``X; (m)''.

En outre, en calquant [Ber00, 1.1.4], on obtient la deuxieÁme partie de la

proposition. p

PROPOSITION1.1.24. SoientEunDe^(m)_X -module aÁ gauche,M,N deux De^(m)_X -modules aÁ droite.

(i)Il existe surM _BX E(resp.Hom_BX(E;M)) une unique structure de De^(m)_X -module aÁ droite fonctorielle enMetEtelle que, pour tout systeÁme de coordonneÂes locales sur un ouvert UX, et tous k2N^d, x2G(U;E), y2G(U;M)(resp.f:E_jU ! M_jU), on ait

(yx)@^hkiˆX

hk

( 1)^jhj k

h y@^{hk hi}@^hhix;

(1:1:24:1)

(f@^hki)(x)ˆX

hk

k

h f(@^hhix)@^{hk hi}: (1:1:24:2)

(ii)Il existe surHom_BX(N;M)une unique structure deDe^(m)_X -module aÁ gauche fonctorielle enN etMtelle que, pour tout systeÁme de coordonneÂes locales sur un ouvert UX, et tous k2N^d, z2G(U;N),c:N_jU ! M_jU, on ait

(@^hkic)(z)ˆX

hk

( 1)^{jk hj} k

h c(z@^hhi)@^{hk hi}: (1:1:24:3)

(iii)En outre, si la structure deDe^(m)_X -module aÁ droite deMse prolonge en une structure deDe^(m)_X -bimodule (resp. bimodule aÁ droite), alors les structures deDe^(m)_X -module aÁ droite deM BXEet deHomBX(E;M)se prolongent en des structures deDe^(m)_X -bimodule (resp bimodule aÁ droite). De plus, si la structure deDe^(m)_X -module aÁ droite deM(resp. deN) se prolonge en une structure de De^(m)_X -bimodule ou bimodule aÁ droite, alors la structure de De^(m)_X -module aÁ gauche deHom_BX(N;M)se prolonge en une structure deDe^(m)_X -bimodule ou bimodule aÁ droite (resp.De^(m)_X -bimodule aÁ gauche ou bimodule).

De meÃme, ces structures deD^(m)_X -module ne deÂpendent pas du niveau m.

PREUVE. Les formules de 1.1.24.1, 1.1.24.2 et 1.1.24.3 se prouvent de manieÁre analogue aÁ [Ber00, 1.1.7]. La fonctorialite enE,MouNse veÂrifient d'apreÁs ces formules. Il deÂrive de cette fonctorialite (ou aÁ nouveau graÃce aÁ 1.1.24.1, 1.1.24.2 et 1.1.24.3) la partieiii) de la proposition. p REMARQUE1.1.25. Soient Eun De^(m)_X -module aÁ gauche etMun De^(m)_X - module aÁ droite. Pour eÂviter les risques de confusions, on adoptera la convention suivante: la structure produit tensoriel deE _BX Mprovient de la structure deDe^(m)_X -module aÁ gauche deMtandis que celle deM _BXEse calcule via la structure deDe^(m)_X -module aÁ droite deM.

1.1.26. On construit alors, de manieÁre analogue aÁ [BGK⁺87, I.10], un fonc- teur:

RHomBX( ; ) : D(De^(m)_X )D^‡(De^(m)_X )!D(De^(m)_X );

celui-ci se calculant en prenant une reÂsolution droite par desDe^(m)_X -modules injectifs du complexe de droite. En effet, comme l'extensionB_X !De^(m)_X est plate, unDe^(m)_X -module injectif est aussi unB_X -module injectif.

De meÃme, puisqu'unDe^(m)_X -module plat est aussi unB_X -module plat, on construit le foncteur:

^L_BX : D (De^(m)_X )D (De^(m)_X )!D (De^(m)_X );

qui se calcule via une reÂsolution gauche, de l'un des deux termes, par des De^(m)_X -modules plats.

1.2 ±Extension des coefficients de l'anneau des opeÂrateurs diffeÂrentiels.

On garde les notations de la section 1.1 et on se donneB⁰_X uneB_X-al- geÁbre commutative munie d'une structure compatible de De^(m)_X -module aÁ gauche telle queB_X ! B⁰_X soitDe^(m)_X -lineÂaire.