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Images directes III: F-isocristaux surconvergents

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(1)

HAL Id: hal-00425922

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00425922

Preprint submitted on 22 Oct 2009

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Images directes III: F-isocristaux surconvergents

Jean-Yves Etesse

To cite this version:

Jean-Yves Etesse. Images directes III: F-isocristaux surconvergents. 2009. �hal-00425922�

(2)

Images directes III : F-isocristaux surconvergents

Jean-Yves ETESSE

1

Sommaire

Introduction 1. Frobenius 2. Cas relevable 3. Cas propre et lisse 4. Cas fini ´etale 5. Cas plongeable

1(CNRS - Institut de Math´ematique, Universit´e de Rennes 1, Campus de Beaulieu - 35042 RENNES Cedex France)

E-mail : Jean-Yves.Etesse@univ-rennes1.fr

(3)

esum´e

Cet article est le troisi`eme d’une s´erie de trois articles consacr´es aux images directes d’isocristaux : ici nous consid´erons des isocristaux surconver- gents avec structure de Frobenius.

Pour un morphisme propre et lisse relevable nous ´etablissons la surconver- gence des images directes, grˆace `a des rel`evements du Frobenius et au premier article. Ce r´esultat r´epond partiellement `a une conjecture de Berthelot sur la surconvergence des images directes des F-isocristaux surconvergents par un morphisme propre et lisse.

Abstract

This article is the third one of a series of three articles devoted to direct images of isocrystals : here we consider overconvergent isocrystals with Fro- benius structure.

For a liftable proper smooth morphism we establish the overconvergence of direct images, owing to the first article and the existence of lifts of Fro- benius. This result partially answers a conjecture of Berthelot on the over- convergence of direct images of overconvergent F-isocrystals under a proper smooth morphism.

2000 Mathematics Subject Classification : 13B35, 13B40, 13J10, 14D15, 14F20, 14F30, 14G22.

Mots cl´es : alg`ebres de Monsky-Washnitzer, sch´emas formels, espaces ri- gides analytiques, F- isocristaux surconvergents, cohomologie rigide, images directes.

Key words : Monsky-Washnitzer algebras, formal schemes, rigid analytic spaces, overconvergent F- isocrystals, rigid cohomology, direct images.

(4)

Introduction

Cet article est le troisi`eme d’une s´erie de trois articles consacr´es aux images directes d’isocristaux. Ici on ´etudie les images directes desF-isocristaux dans le cadre«surconvergent». Par rapport `a [Et 7] ([Et 5, chap II]) on ajoute donc une structure de Frobenius : tout le probl`eme est d’obtenir de «bons» rel`evements du Frobenius.

Soient V un anneau de valuation discr`ete complet, de corps r´esiduel k =V/mde caract´eristiquep >0, de corps des fractionsK de caract´eristique 0 et d’indice de ramification e, et S un k-sch´ema affine et lisse. Sur la base S, la question du rel`evement du Frobenius est r´esolue par le diagramme (1.2.4), qu’il s’agit ensuite de «tirer en haut» par le morphisme propre et lisse f :X S.

Dans le cas o`u f est relevable, on arrive `a effectuer en parrall`ele des rel`evements du Frobenius et des bons choix de compactifications. D’o`u le th´eor`eme de surconvergence des images directes dans le cas relevable [th´eo (2.1)] : le point cl´e est de montrer que le Frobenius, sur les images directes surconvergentes, est un isomorphisme ; par le th´eor`eme de changement de base on est ramen´e `a la mˆeme propri´et´e dans le cas convergent vue dans [Et 8, (3.3.1)] ou [Et 5, chap III, (3.3.1)]. Dans le cas o`u f est projectif lisse relevable, ouX intersection compl`ete relative dans des espaces projectifs sur S, abord´es au §3, ou fini ´etale au §4, on construit comme dans [Et 7, §3]

ou [Et 5, chap II, §3] des foncteurs Rifrig∗ sur la cat´egorie des F-isocristaux surconvergents [th´eor`emes (3.1) et (4.1)].

Lorsque f est propre et lisse et que de plus

(i) ou bienf est g´en´eriquement projectif relevable,

(ii) ou bien f est g´en´eriquement projectif et X est intersection compl`ete relative dans des espaces projectifs sur S,

on utilise les r´esultats de [Et 8] : on est ainsi amen´e `a supposer k parfait, e6p1 et `a se restreindre `a des F-isocristaux plats. Grˆace aux propri´et´es de descente ´etale des F-isocristaux surconvergents de [Et 4] et `a la pleine fid´elit´e du foncteur d’oubli de la cat´egorie surconvergente vers la cat´egorie convergente, ´etablie par Kedlaya [Ked 2], on prouve encore la surconvergence des images directes [th´eo (3.2)].

Dans le§5, o`ufest suppos´e seulement plongeable, on proc`ede diff´eremment : comme il n’y a plus de rel`evements globaux du Frobenius comme pr´ec´edemment

(5)

on utilise la fonctorialit´e des images directes pour construire un morphisme de Frobenius ; il reste alors `a prouver que c’est un isomorphisme. Par un r´esultat de Berthelot il suffit de voir que tel est le cas dans la cat´egorie convergente : le th´eor`eme de changement de base et un r´esultat de Bosch- untzer-Remmert [B-G-R] nous ram`ene `a le v´erifier aux points ferm´es de S, pour lesquels l’assertion est connue [Et 8, (3.3.1.18)] ou [Et 5, chap III, (3.3.1.18)]. Pour f plongeable on a ainsi des foncteurs images directes sur la cat´egorie desF-isocristaux surconvergents [th´eo (5.2)].

1. Frobenius

1.1.On fixe dans ce paragraphe 1 un entieraN; on poseq =pa. Pour tout k-sch´ema S on notera FS le Frobenius de S induit par la puissance q sur le faisceau OS.

On fixe un rel`evement σ :V → V de la puissance q sur k `a la mani`ere de [Et 4, I, 1.1].

Si S est lisse sur k et e 6 p1, on notera Fa-Isoc(S/K)plat la sous- cat´egorie pleine de Fa-Isoc(S/K) form´e des objets dont l’image par le fonc- teur d’oubli

Fa-Isoc(S/K)−→Fa-Isoc(S/K)

est dansFa-Isoc(S/K)plat (cf [Et 8, 3.1] ou [Et 5, chap III, 3.1]).

1.2. Soit S un k-sch´ema affine et lisse. En utilisant les notations du [Et 6, th´eo (3.1.3) (3)] ou [Et 5, chap I, th´eo (3.4)(3)] il existe uneV-alg`ebre lisse A telle que Spec Arel`eve S et un V-morphisme fini ψ relevant le Frobenius FS, s’ins´erant dans un diagramme commutatif `a carr´es cart´esiens

(1.2.1)

Spec BT //

ψT

Spec B  jZ //

ψ

Z

ψ

Spec AT //Spec A  jZ //Z

o`u les j sont des immersions ouvertes, ψ est fini,ψT est fini et plat, et Z est un V-sch´ema propre, normal.

(6)

Soit ˆA le s´epar´e compl´et´e m-adique de A : c’est aussi le s´epar´e compl´et´e de AT, et on a un isomorphisme [Et 6, th´eo (3.1.3) (2) (i)] ou [Et 5, chap I, th´eo (3.4)(2)(i)]

BT AT AˆBˆ Aˆ

tel que dans le diagramme commutatif `a carr´es cart´esiens

(1.2.2) Spec Aˆ //

ϕPPPPPPP((

PP PP P

ρB

))

Spec BˆT //

ψˆT

Spec B  jZ //

ψ

Z

ψ

Spec ˆAT =SpecˆA ρA //Spec A  j

Z

//Z

ϕ est un rel`evement de FS.

Le morphisme diagonalSpecAˆ−→SpecAˆ×V SpecAˆest une immersion ferm´ee, donc Spec Aˆ est isomorphe `a son image sch´ematique ˆ∆ par ce mor- phisme. Consid´erons l’image sch´ematique de ˆ∆ par le morphisme compos´e

Spec Aˆ ×V Spec Aˆ ։

ρ=ρA×ρB

Spec A×V Spec B ֒−→

jZ×jZ′=jZ ×V Z ; notons ∆ (resp. Z′′) l’image sch´ematique de ˆ∆ (resp. de ∆) par ρA ×ρB

(resp. par jZ ×jZ). L’immersion ouverte j induit une immersion ouverte jZ′′ : ∆ ֒Z′′ [EGA I, (5.4.4)].

Montrons que ρ( ˆ∆) = ∆. Quitte `a d´ecomposer la V-alg`ebre lisse (donc normale) A en somme de ses composantes connexes, on peut supposer A int`egre, donc int´egralement clos : ainsi ˆA est int´egralement clos [Et 6, prop (1.6) (4) (iv)] ou [Et 5, chap I, prop (1.6) (4) (iv)]. Soit I l’id´eal de ˆAV Aˆ d´efinissant ˆ∆ =Spec( ˆA⊗VA/I) : comme ˆˆ Aest int`egre,Iest un id´eal premier.

L’image deAparρest donc l’ensemble des id´eaux premiers deAVB conte- nantρ(I) : c’est doncSpec(AVB/ρ˜−1(I)) o`u ˜ρ:A⊗VB A⊗ˆ VAˆinduitρ; comme c’est d´ej`a un sous-sch´ema ferm´e deSpec A×VSpec B, il est ´egal `a ∆.

En remarquant que ρn=ρ modmn+1 est l’identit´e, ρn induit un isomor- phisme

(7)

(Spec Aˆmod mn+1)−→( ˆ ∆ mod mn+1)−→

ρn

(∆ mod mn+1).

Notons alors S,Z,Z,Z′′ les sch´emas formels associ´es respectivement `a SpecA, Z, Zˆ , Z′′. Ce qui pr´ec`ede fournit un diagramme commutatif `a carr´e cart´esien

(1.2.3)

Z

Z′′  //

vZ′

vZ

OO

Z ×V Z

zzuuuuuuprojuuuu

proj

ddJJJ

JJJJJJJ

S/

jZ′′>>~~~~~~~~

4

jZ

GG 

jZ′ //

FS:= ˆϕ

Z

ψ=:Fˆ Z′

S  jZ //Z

o`u Z est propre sur V et normal et ˆψ est fini [Et 6, th´eo (3.1.3)(3)] ou [Et 5, chap I, th´eo (3.4) (3)] ; FS est un rel`evement fini et plat du Frobe- nius FS; jZ, jZ, jZ′′ sont des immersions ouvertes induites respectivement par jZ, jZ, jZ′′; i est l’immersion ferm´ee induite par l’immersion ferm´ee Z′′ ֒→ Z ×V Z; vZ, vZ sont des morphismes propres par composition de morphismes propres.

Avec les notations de [Et 7, (2.3.1)(2)] ou [Et 5, chap II, (2.3.1) (2)] soit Vλ =Spm Aλ : il existeλ0 >1 tel que, pour 1< λ6 λ0,Vλ est lisse surK; notonsWλ =FZ−1

K(Vλ) et Wλ′′ =v−1Z

K(Wλ).

Puisque (Vλ)λ d´ecrit un syst`eme fondamental de voisinages stricts de SK

dansZK, alors (Wλ)λ d´ecrit un syst`eme fondamental de voisinages stricts de SK dans ZK [Et 7, prop (2.1.2)] ou [ Et 5, chap II, prop (2.1.2)]. Comme vZ est ´etale au voisinage de S, il existe λ1 > 1 tel que pour tout λ, 1 <

λ6λ1 6λ0, on ait un isomorphisme Wλ′′ Wλ induit par vZ [B 3, (1.3.5)].

De mˆeme vZ qui est ´etale au voisinage de S, induit un isomorphisme entre un syst`eme fondamental de voisinages stricts de SK dans ZK′′ et un syst`eme fondamental de voisinages stricts de SK dans ZK : par composition il existe µ, 1 < µ6λ6λ1, et un morphisme fini Fλµ rendant cart´esien le carr´e

(8)

(1.2.4)

SK  //

FSK

Vµ Fλµ

SK  //Vλ

o`u les fl`eches horizontales sont des immersions ouvertes etVλ est lisse surK.

2. Cas relevable

Th´eor`eme (2.1). Soient S un k-sch´ema lisse et s´epar´e et f : X S un k-morphisme propre et lisse. On suppose qu’il existe un carr´e cart´esien deV- sch´emas formels

(2.1.1)

X  jX //

h

X

h

S  j

S

//S ,

de r´eduction mod m ´egale `a

(2.1.2)

X  jX //

f

X

f

S  j

S

//S ,

o`u S est propre sur V, h est propre, h est propre et lisse et les j sont des immersions ouvertes.

Soit E Fa-Isoc(X/K)etEˆ =E son image dansFa-Isoc(X/K). Alors, pour tout entier i>0

(1) Ei :=Rifrig(X/S, E)Fa-Isoc(S/K)

(2) Soient Eˆi = jS(Ei),Ei = Rifconv(X/S,E) et φEi : FS Ei Ei, φEi : FS Ei → Ei les isomorphismes de Frobenius. Le diagramme com- mutatif d’isomorphismes ci-dessous d´efinitφEˆi et permet les identifica- tions canoniques

(9)

jSEi) =φEˆi =φEi

jS FS Rifrig∗(X/S, E)

jSEi)//

jS Rifrig∗(X/S, E)

FS jS Rifrig∗(X/S, E)

φEiˆ

//

jS Rifrig∗(X/S, E)

FS Rifconv(X/S,E) φ

Ei

//Rifconv(X/S,E).

D´emonstration. L’image inverse Fσ Ei par Frobenius s’obtient [B 3, (2.3.7)]

en appliquant le foncteur de changement de base σ : Isoc(S/K)−→Isoc(S(q)/K)

puis le foncteur image inverse par le Frobenius FS/k :SS(q).

Comme σ est fix´e on notera Fσ E =FS E. Il nous reste donc `a d´efinir l’iso- morphisme de Frobenius φEi deEi.

Quitte `a d´ecomposer S en somme de ses composantes connexes il suffit de d´efinir φEi sur chacune de ces composantes connexes. Soit Sα un ouvert affine d’une composante connexe S0 deS : comme le foncteur

Fa-Isoc(S0/K)−→Fa-Isoc(Sα/K)

est pleinement fid`ele [Et 4, th´eo 4], il suffit de d´efinir φEi sur Sα.

Soitjsα :Sα =Spec A0 ֒S l’immersion ouverte etAuneV-alg`ebre lisse relevant A0. D’apr`es (1.2.3) on a un diagramme commutatif de V-sch´emas formels de type fini, `a carr´e cart´esien

(10)

(2.1.3)

Sα

S′′α

vSα

??









vS α

Sα  j

S α

//)

jS′′

α

66m

mm mm mm mm mm mm mm mm mm +

jSα

99r

rr rr rr rr rr rr rr rr rr rr rr rr rr rr r

Fα

Sα

Fα

Sα  jSα //Sα

o`u Sα = SpfA,ˆ Sα est propre sur V, vS

α et vSα sont propres, Fα est un rel`evement fini et plat du Frobenius FSα de Sα, Fα est fini et les j sont des immersions ouvertes. Notons jTα : Tα := Sα×V S −→ Tα := Sα×V S l’immersion ouverte etuα :Tα −→ Sα, vα :Tα −→ S les projections ; soient Tα (resp.Tα) la r´eduction de Tα (resp. Tα) modmet ˜Sα l’image sch´ematique deSα plong´e diagonalement dansTα :

Sα  j

˜

// ˜Sα  iT α //

i˜

66Tα  iTα //Tα

jS˜α est une immersion ouverte et lesi des immersions ferm´ees. On a alors un diagramme commutatif `a carr´es verticaux cart´esiens

(11)

(2.1.4)

X

f

 jX //X

f

 iX //X

h

S  jS //S  iS //S Xα

fα

2

j

DD

 //X

f

 iX //

X

h

Sα  jα //

j

DD

S  iS //

id

DD

S

id

Xα  //

fα

id

X˜α  //

Yα

 //

DD

Yα

hα

DD

Sα  j

˜

//

id

DD

S˜α  //Tα  //

DD

Tα .

vα

DD

Ainsi on a une suite d’isomorphismes

jSαRifrig∗(X/S, E) ˜−→Rifαrig∗(Xα/S, jXαE) [[Et 7, th´eo (3.4.4)] ou [Et 5, chap II, th´eo(3.4.4)]]

(2.1.5) vαKRifαrig∗(Xα/S, jXαE) [B 3, (2.3.6), (2.3.2) (iv)]

˜

→Rifαrig∗(Xα/Tα, jXαE) [[Et 7, th´eo (3.4.4)]].

On est donc ramen´e `a construire un isomorphisme de Frobenius sur Rifαrig∗(Xα/Tα, jXαE)Isoc(Sα/K).

A partir du carr´e commutatif Tα 

jT α //

FTα:=Fα×1

Tα :=Sα×VS

Fα×1=:F

T

α

Tα 

jTα //Tα =Sα×V S , d´eduit de (2.1.3), et du carr´e cart´esien

(12)

Yα  //

hα

Yα

hα

Tα 

jTα //Tα ,

o`u les fl`eches j sont des immersions ouvertes, on forme les diagrammes com- mutatifs `a carr´es cart´esiens

(2.1.6)

Xα fα

//Yα

 //Yα

hα

 //Yα

hα

Xα(q/Sα) //

fα(q)

;;xxxxxxxxx

Yα  //

??

Yα

??

 //Yα

>>

~~

~~

~~

~~

Sα iα //Tα  iTα //Tα  jTα //Tα

Sα iα

//

F ;;

Tα 

iTα

//

F×1

??

Tα 

jT α

//

FTα

??

Tα

FT α

>>

~~

~~

~~

~~

(o`uiα etiTα sont des immersions ferm´ees), et

(2.1.7)

Xα

fα

 j˜ //X˜α

f˜α

//Yα

hα

Xα(q/Sα)  //

fα(q)

πxxxxxxxxx;;

X˜α //

f˜α

>>~~~~~~~~

Yα

hα

==zzzzzzzz

Sα  j˜ //S˜α  i˜ //Tα

Sα 

jS˜ α

//

F <<

S˜α  i

S˜ α

//

F˜α

??

Tα .

FT α

=={

{{ {{ {{ {

D’apr`es [Et 7, th´eo (3.4.4)] ou [Et 5, chap II, th´eo (3.4.4)] on a un iso- morphisme

(13)

(2.1.8) FSαRifα rig(Xα/Tα, jXαE) ˜→Rifα(q)rig(Xα(q/Sα)/Tα, πXα jXαE).

Notons vTα := vSα ×1S : T′′α = S′′α ×V S → Tα = Sα×V S et vT

α :=

vS

α ×1S : T′′α = S′′α×V S → Tα = Sα ×V S; de (2.1.3) on d´eduit un dia- gramme commutatif

Tα

Sα //Tα 

jT′′

α //

v

jT

αSSSSSSSSSSS)) SS

SS SS SS SS S (

jTα

55k

kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk

k T′′α

vT α

?

??

??

??

vTα

??~

~~

~~

~~

~

Tα

o`u les j sont des immersions ouvertes etSα → Tα une immersion.

On a un diagramme commutatif dont les carr´es verticaux sont cart´esiens, de mˆeme que le carr´e horizontal 1en bas `a droite

(2.1.9)

X(q/Sα)

fα(q)

 //X˜α

f˜α

//Yα

hα

X(q/Sα)  //

fα(q)

iduuuuuuu uu uu

uu uu uu uu uu

u X˜α′′ //

f˜α′′

??~~~~~~~~

Y′′α

h′′α

=={{{{{{{{{

Sα  jS˜α //S˜α 

iS˜

α //Tα

Sα  j

S˜′′

α

//

id

u u u u u u

u u uu

u u S˜α′′  i

S˜′′

α

//

??

1

T′′α .

vT α

=={

{{ {{ {{ {

D’apr`es [Et 7, (3.4.4)] ou [Et 5, chap II, (3.4.4)], vTαK induit un isomor- phisme

(2.1.10) Rifα(q)rig(Xα(q/Sα)/Tα, πXαjXαE) ˜→Rifα(q)rig(X(q/Sα)/T′′α, πXαjXαE) : en effet on peut appliquer [loc.cit.] car le morphisme proprevTα, ´etant ´etale au voisinage deSα, il induit [B 3, (1.3.5)] un isomorphisme entre un voisinage

(14)

strict de ]Sα[T′′

α dans T′′αK et un voisinage strict de ]Sα[T

α dans TαK.

Notons T′′α la r´eduction de T′′α modm, vTα la r´eduction devTα modm et ˜Sα′′′

l’adh´erence sch´ematique deSα dansT′′α; on a un diagramme commutatif o`u les carr´es 1 et 2 sont cart´esiens

(2.1.11)

S˜α′′ o

i′′

>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>

S˜α′′′ q

i′′′

""

FF FF FF FF F -

i

;;w

ww ww ww ww w

vT−1

α( ˜Sα)  //

v˜

1

T′′α  //

vT α

2

T′′α

vTα

Sα 

j˜

//4

jS˜′′′

α

GG

S˜α 

iT α //Tα  //Tα

o`u les j (resp. les i) sont des immersions ouvertes (resp. ferm´ees). Posons vα =vS˜α i′′′.

Soit ˜fα′′′ : ˜Xα′′′ S˜α′′′ l’image inverse de ˜fα′′ : ˜Xα′′ S˜α′′ par i : ˜Sα′′′ ֒S˜α′′. On a un diagramme commutatif

(2.1.12)

X(q/Sα)  //

fα(q)

X˜α′′′  //

f˜α′′′

Y′′α h′′α

Sα  jS˜

′′′α

// ˜S′′′α

iT

 iS˜

′′′α

//T′′α

vT ′′

α

Sα  j˜ // ˜Sα  i˜ //Tα

o`u les j (resp. les i) sont des immersions ouvertes (resp. ferm´ees). Comme vTα est ´etale au voisinage deSα et quevα est propre on d´eduit de [B 3, th´eo (1.3.5)] quevTαK induit un isomorphisme entre un voisinage strict de ]Sα[T′′

α

dans ] ˜Sα′′′[T′′

α et un voisinage strict de ]Sα[Tα dans ] ˜Sα[Tα. Par suite [Et 7, th´eo (3.4.4)]vTαK induit un isomorphisme

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