Sommes et sommes directes

Sommes et sommes directes

¦ On revient ici sur trois notions très liées : les sommes de sous-espace vectoriels, les sommes di- rectes et les sous-espaces supplémentaires.

¦ Eest unK-espace vectoriel etFetGsont des sous-espaces vectoriels deE. Que désigne la notationF+G? On note :

F+G=©

x∈E| ∃(y,z)∈F×G,x=y+zª

Autrement dit,F+G est l’ensemble des éléments de E qui peuvent s’écrire comme somme d’un vecteur deFet d’un vecteur deG. On dit queF+Gest la somme des sous-espacesFetG,F+Gest un sous-espace vectoriel deE(c’est le plus petit sous-espace deEcontenant à la foisFetGau sens suivant : siH est un sous-espace deEtel queF ⊂H etG⊂H, alorsF+G⊂H). On pourra retenir que siF=Vect(u1, . . . ,up) etG=Vect(v1, . . . ,vq), alorsF+G=Vect(u1, . . . ,up,v1, . . . ,vq).

Comment démontrer queF+G=E? Il suffit de démontrer que tout vecteurx∈E peut s’écrire comme somme d’un élément deFet d’un élément deG.

Remarque.SiHest également un sous-espace vectoriel deE, pour démontrer queF+G=H, il faut d’abord démontrer queF⊂HetG⊂H, ensuite on démontre que tout élément deHpeut s’écrire

comme somme d’un élément deFet d’un élément deG.

Qu’est-ce qu’une somme directe ? On dit que la sommeF+Gest directe lorsque pour toutx∈ F+G, il existe un unique couple (y,z)∈F×Gtel quex=y+z. Lorsque c’est le cas, la somme est notéeF⊕G. Ceci permet de réaliser des identifications : si la sommeF+Gest directe et siy+z=y⁰+z⁰ avecy,y⁰∈Fetz,z⁰∈G, alorsy=y⁰etz=z⁰.

Quand dit-on queF etGsont des sous-espaces supplémentaires ? On dit que F et G sont des sous-espaces supplémentaires de E lorsque la sommeF+G est directe et est égale à E. On note alors E = F⊕G. Ceci signifie que tout vecteur de E se décompose de manière unique comme somme d’un vecteur deF et d’un vecteur deG. Plus précisément, six ∈E, alors il existe un unique couple (y,z)∈F×G tel quex=y+z. On dit que y est le projeté de x sur Fparallèlement àGetzest le projeté dexsurGparallèlement àF. Il faut retenir la représentation graphique ci-contre.

x z

y F

G

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Comment démontrer queE=F⊕G? Il y a beaucoup de manières de procéder. On utilisera sou- vent l’une des méthodes suivantes :

• Considérerx∈Eet démontrer qu’il existe un unique couple (y,z)∈F×Gtel quex=y+z;

• SiEest de dimension finie, considérerB1base deF,B2base deGet démontrer la la réunion deB1etB2est une base deE.

Pour la première méthode, on utilise souvent un raisonnement par analyse et synthèse que l’on présente (ou rappelle) dans l’exemple suivant.

Exemple. DansMn(K), on considère les sous-espaces vectorielsFetGdéfinis par : F=©

M∈Mn(K⁾|M^>=Mª

; G=©

M∈Mn(K⁾|M^>= −Mª

Démontrer queF⊕G=Mn(K) (on admet queFetGsont des sous-espaces vectoriels deMn(K)).

ÞOn va faire un raisonnement par analyse et synthèse. Dans la partie analyse, on considère un élé- ment deMn(K^{) eton suppose}qu’il peut s’écrire comme somme d’un élément deFet d’un élément deG. On cherche alors à déterminer l’expression de ces deux éléments. Ceci permet (en général) de démontrer que si la décomposition existe, alors elle est unique. Dans la partie synthèse, on reprend les éléments obtenus et on vérifie qu’ils appartiennent bien àF etG respectivement et que leur somme est égale à l’élément donc on est parti.Analyse.SoitM∈Mn(K) etsupposonsqu’il existe A∈FetB∈Gtelles que :

M=A+B (∗)

Comme les hypothèses que l’on a surA etBfont intervenir les transposées, on applique la trans- posée à l’égalité ci-dessus. On obtient alorsM^>=(A+B)^>et comme la transposition est linéaire : M^>=A^>+B^>. CommeA^>=AetB^>= −B, on en déduit :

M^>=A−B (**)

En ajoutant et en retranchant les égalités (∗) et (∗∗), on obtient :

M+M^>=2A; M−M^>=2B et on en déduit :

A=M+M^>

2 ; B=M−M^>

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On en déduit en particulier quesi la décomposition M en somme d’un élément de F et d’un élément de G existe,alors cette décomposition est unique.Synthèse.SoitM∈Mn(K^{),on pose :}

A=M+M^>

2 ; B=M−M^>

2 On a alors clairementA+B=Met de plus, par linéarité de la transposition :

A^>=M^>+(M^>)^>

2 =M^>+M

2 =A

B^>=M^>−(M^>)^>

2 =M^>−M

2 = −B

Par conséquent,A ∈F etB∈G. Ceci montre que toute matriceM ∈Mn(K) peut s’écrire comme somme d’un élément deF et d’un élément deG. D’après ce qui précède, cette décomposition est

unique. Par conséquentMn(K⁾=F⊕G.

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