2 Energie cinétique d’un point matériel

PCSI Physique

Fiche Méca3 : Energie en mécanique

1 Définitions

Lapuissance P−→

F,<(M, t)reçue à l’instanttpar le point matérielM en mouvement dans le référentiel

<de la part de la force−→

F(M, t)_< s’écrit :

P−→

F,<(M, t) =−→

F(M, t)_<• −→v(M, t)_<

Letravail élémentaire δW−→F,<(M, t)reçu à l’instanttpar le point matérielM en mouvement dans le référentiel<de la part de la force−→

F(M, t)_< pendant la durée dt(cad au cours du déplacementd−−→

OM) s’écrit :

δW−→

F,<(M, t) =P−→

F,<(M, t)×dt=−→

F(M, t)_<•d−−→

OM Le travail (global) W

M1−→ΓM2,<(−→

F) reçu par le point matériel M en mouvement dans le référentiel <

d’un pointM₁ à un pointM₂ le long du contour(Γ)de la part de la force−→F s’écrit :

WM1−→ΓM2,<(−→ F) =

Z _t2

t1

P−→

F,<(M, t)×dt= Z _M2

M1

−

→F(M, t)_<•d−−→

OM

2 Energie cinétique d’un point matériel

L’énergie cinétique E_C(M, t)_< du point matérielM(m) en mouvement dans le référentiel<s’écrit :

E_C(M, t)_< = 1

2m−→v²(M, t)_< = 1 2

−

→p²(M, t)_<

m Théorème de l’énergie cinétique dans < galiléen :

Pour un point matérielM en mouvement dans le référentiel<galiléen, d’un pointM₁ à un point M₂ le long du contour(Γ), soumis à la résultante des forces −→

F_ext : E_C(M₂)_<−E_C(M₁)_< =W

M1−→Γ^M2,<(−→F_ext)

(EF)

Pour un déplacement élémentaire du point matérielM ce théorème s’écrit : dE_C(M, t)_< =δW−→

Fext,<(M, t) Théorème de la puissance cinétique dans < galiléen :

Pour un point matérielM en mouvement dans le référentiel<galiléen, soumis à la résultante des forces −→F_ext(M, t)_< :

dE_C(M, t)_<

dt =P−→Fext,<(M, t)

(EDF)

3 Energie potentielle d’un système

Un champ de force −→F_C(M, t)_< est unchamp de force conservative si il existe une fonction scalaire E_P(M, t)_<, appeléeénergie potentielle ou potentiel telle que :

dE_P(M, t)_< =−−→F_C(M, t)_<•d−−→OM

(EF)

On dit alors que la force −→

F_C(M, t)_< dérive de l’énergie potentielle E_P(M, t)_< dont l’origine est à préciser.

1

PCSI Physique Pour un champ de force conservative−→

F_C(M, t)_< :

W_M1→M2,<(−→

F_C) =−[E_P(M₂)−E_P(M₁)]

(EF)

Remarque : C’est une autre définition d’un champ de forces conservatives : le travailW

M1−→Γ^M2,<(−→F_C) reçu par un point matériel M en mouvement dans le référentiel< d’un pointM₁ à un point M₂ de la part de la force−→

F_C ne dépend pas du trajet(Γ)effectivement emprunté.

Exemples d’énergies potentielles: (ED)

Energie potentielle de pesanteur : E_Pp(M) =mgz si E_Pp(z= 0) = 0 et siOz↑.

Energie potentielle élastique : E_Pe(M) = ¹₂k(l−l₀)² siE_Pe(l=l₀) = 0.

Energie potentielle d’interaction gravitationnelle : E_P(M) =−^Gmm_r ⁰ siE_P(r→ ∞) = 0.

3.1 Positions d’équilibre lors d’un mouvement à un degré de liberté

Lors du mouvement à un degré de liberté (x ici) d’un point matériel dans un champ de forces conservatives dont la résultante dérive de l’énergie potentielleE_P(x)(et/ou éventuellement de forces qui ne lui fournissent pas de travail) :

x_e position d’équilibre⇐⇒ x_e extremum local deE_P(x) ⇐⇒ (^dE_dx^P)_x=xe = 0

x_e position d’équilibre stable⇔ x_e minimum deE_P(x) ,puits de potentiel ⇔(^d_dx^2E2^P)_x=xe >0 x_eposition d’équilibre instable⇔x_emaximum deE_P(x),barrière de potentiel⇔(^d_dx^2E2^P)_x=xe <0

(EDF)

3.2 Petites oscillations autour d’une position d’équilibre stable

Lors du mouvement à un degré de liberté (x ici) d’un point matériel M dans un champ de forces conservatives dont la résultante dérive de l’énergie potentielleE_P(x)(et/ou éventuellement de forces qui ne lui fournissent pas de travail) donc pour lequelE_m =cste. Si le point M est écartélégère- ment de sa position d’équilibrestablex_e telle que ^d_dx^2E2^P)_x=xe =k >0, alors :

E_P(x) =E_P(x_e) + 1

2k(x−x_e)², F_C,x= −dE_P(x)

dx =−k(x−x_e) et il adopte alors un mouvement modélisable par celui d’un oscillateur harmonique.

(ED)

4 Energie mécanique d’un système

L’énergie mécanique E_m(M, t)_< du point matérielM(m) en mouvement dans le référentiel<s’écrit :

E_m(M, t)_< =E_C(M, t)_<+E_P(M, t)_<

Théorème de l’énergie mécanique dans < galiléen (ou bilan d’énergie mécanique) : Pour un point matérielM en mouvement dans le référentiel<galiléen, d’un pointM₁ à un point M₂le long du contour(Γ), soumis à la résultante des forces NON CONSERVATIVES−→F_{N C}(M, t)_<:

E_m(M₂)_<−E_m(M₁)_<=W

M1−→Γ^M2,<(−→ F_{N C})

(EDF)

Théorème que l’on peut écrire aussi :

dE_m(M, t)_<

dt =P−→

FN C,<(M, t)

Intégrale première du mouvement : Pour un point matériel soumis uniquement à des forces conservatives et/ou à des forces qui ne lui fournissent pas de travail, l’énergie mécanique est une constante du mouvement.

E_m =E_C(M, t) +E_P(M, t) =cste est alors uneintégrale première du mouvement.

(EDF)

Les positions accessibles àM au cours du mouvement sont ensuite données parE_m≥E_P(M, t)_< (F)

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