On consid`ere le probl`eme de Dirichlet : (P

Facult´e des Sciences et Techniques - TOURS Ann´ee 2007-2008 Module UEL1/O1 : Analyse Num´erique des EDP’S (I).

EXAMEN FINAL (Dur´ee 3h)

I. Equations elliptiques. On consid`ere le probl`eme de Dirichlet : (P)











−u⁰⁰+xu⁰ + 1 2− x²

4

!

u=f dans (0,1) u(0) =u(1) = 0.

o`uf est une fonction de classe C² sur [0,1].

1. En introduisant v = uexp−^x₄², calculer une solution explicite de (P). En d´eduire que u est de classeC⁴.

On consid`ere maintenant le probl`eme variationnel : (P’)







Trouver u∈H₀¹(]0,1[) tel que : J(u) = min

v∈H₀¹(]0,1[)

J(v), o`u :

J(v) = 1 2

Z 1 0

exp −t² 2

! "

(v⁰(t))²−tv⁰(t)v(t) + t²

4(v(t))²

#

dt−

Z 1 0

exp −t² 2

!

f(t)v(t)dt .

2.Montrer que la solution u de (P) est aussi solution de (P’). (On montrera d’abord que J(u) ≤J(u+h) pour tout h ∈C₀¹(]0,1[) puis on donnera, en une phrase, les arguments qui montrent que cette in´egalit´e reste vraie pour tout h ∈H₀¹(]0,1[), sans chercher `a les justifier pr´ecis´ement.)

3. sans utiliser le changement de variable de la question 1, prouver que, si v, w∈C²(]0,1[)∩C(]0,1[) sont des fonctions satisfaisant :

−v⁰⁰+xv⁰+ 1 2− x²

4

!

v ≤g dans ]0,1[,

−w⁰⁰+xw⁰+ 1 2 −x²

4

!

w≥h dans ]0,1[, v(0)≤w(0) , v(1)≤w(1) ,

o`ug, h∈C([0,1]), alors :

max[0,1] (v−w)≤4 max

[0,1] (g−h) .

1

4. En d´eduire que ||u||∞ ≤4||f||∞.

Pour r´esoudre (P), on consid`ere une grille uniforme :x_j =j∆x pourj = 0,· · ·, N+ 1 avec ∆x= _N+1¹ et le sch´ema d’approximation num´erique :

−(u_j+1+uj−1−2u_j)

(∆x)² +x_ju_j+1−uj−1

2∆x + 1

2− x²_j 4

!

u_j =f_j ,

o`u u_j est une approximation de u(x_j) (avec la convention habituelle u₀ = u_N+1 = 0) et f_j =f(x_j).

5. Dire rapidement pourquoi ce sch´ema est consistant et donner son ordre.

6. Montrer que ce sch´ema est monotone si ∆x est suffisamment petit. En d´eduire que, pour de tels ∆x, si (v_j)_j, (w_j)_j, (g_j)_j, (h_j)_j satisfont :

−(v_j+1+vj−1−2v_j)

(∆x)² +x_jv_j+1−vj−1

∆x

1 2 − x²_j

4

!

v_j ≤g_j

−(w_j+1+wj−1−2w_j)

(∆x)² +x_jw_j+1−wj−1

∆x

1 2− x²_j

4

!

w_j ≥h_j alors :

maxj (v_j −w_j)≤4 max

j (g_j −h_j).

7. Sans faire tous les calculs mais en d´ecrivant simplement les ´etapes, expliquer alors pourquoi on a, pour la solution (u_j)_j du sch´ema :

maxj |u_j−u(x_j)|=O((∆x)²). II. Equation de transport

Pour l’´equation de transport :

∂u

∂t + ∂u

∂x = 0 dans IR×(0, T), on consid`ere le sch´ema d’approximation num´erique :

uⁿ⁺¹_j =uⁿ_j −θλ(uⁿ_j+1−uⁿ_j)−(1−θ)λ(uⁿ_j −uⁿ_j−1), o`uλ = ∆t

∆x et θ∈IR est un param`etre d´ependant du sch´ema choisi.

(i) Donner des conditions sur θ pour que ce sch´ema soit consistant et pr´eciser son ordre.

(ii) D´eterminer les conditions que doivent satisfaireλ etθ pour que le sch´ema soit stable.

(Indications : on pourra tout exprimer en fonction deX = sin²(k∆x

2 )∈[0,1] et remarquer que la propri´et´e aX +b ≥ 0 pour tout X ∈ [0,1] est ´equivalente `a b ≥ 0 et a+b ≥ 0, conditions obtenues en faisant X = 0 et X = 1.) On v´erifiera que la condition obtenue surθ implique qu’il faut privil´egier la partie d´ecentr´e arri`ere du sch´ema.)

2