de Doctorat de l’Universit´e de Limoges

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TH` ESE

de Doctorat de l’Universit´e de Limoges

Spécialité Mathématiques et Applications

pr´esent´ee par

Abdelkader Necer

Suites r´ ecurrentes lin´ eaires et s´ eries formelles en plusieurs variables

Directeur de th`ese : Guy Robin

Soutenue le 17 d´ecembre 1998 devant le Jury compos´e de :

Rapporteur D. Barsky Universit´e de Paris 13

Rapporteur G. Christol Universit´e de Paris 6

Examinateur T. Berger Universit´e de Limoges

Examinateur G. Rhin Universit´e de Metz

Examinateur G. Robin Universit´e de Limoges

Examinateur A. Salinier Universit´e de Limoges

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algébriques des suites récurrentes linéaires à coefficients constants ou polynomiaux sur des modules sur des anneaux commutatifs unitaires. D’abord, nous étendons aux anneaux de Fatou (ou complètement intégralement clos), un résultat concernant les familles de suites récurrentes linéaires annulées par un idéal de type fini de l’anneau des polynômes.

Ensuite, nous établissons, par des moyens élémentaires d’algèbre commutative, que les ensembles de suites récurrentes linéaires sur des modules sont stables par décimation et emboˆıtement et que si les suites sont à valeurs dans une algèbre alors la stabilité, pour la produit de Hadamard, est assurée. Nous caractérisons également dans cette partie les anneaux dans lesquels les suites récurrentes linéaires sont les suites périodiques et nous montrons que sur ces anneaux l’étude de certaines suites récurrentes linéaires à coefficients polynomiaux se ramène à celle des suites récurrentes linéaires à coefficients constants.

La deuxième partie de ce travail a pour objet l’étude des propriétés, liées essentiellement au produit de Hadamard, des multi-suites récurrentes linéaires et des séries rationnelles en plusieurs variables. Nous donnons quelques caractérisations des séries reconnaissables et nous nous intéressons à l’analogue de la conjecture de Pisot sur le quotient de Hadamard dans le cas de plusieurs variables.

Abstract : We are interested, in the first part of this work, in algebraic properties of linear recurring sequences with constant or polynomial coefficients over modules over commutative and unitary rings. In particular, we extend a result about families of sequences annihilated by a finitely generated ideal of polynomials over the ring of rational integer to the completely integrally closed rings. We show that the module of linear recurring sequences is invariant by entrelacment and decimation (or extraction) and, in the case when the sequences are in a algebra, then we rediscover, by elementary methods, that the set of linear recurring sequences over commytative rings is closed under the Hadamard product. We caracterize also the rings on which every linear recurring sequence has a pe- riod and show that on those rings the study of certainP-recursive sequences is equivalent to the study of linear recurring sequences.

In the second part of this work we study some properties of multi-sequences and rational series in several variables. We give some caracterizations of recognized series and we obtain some partial ansewrs to the Pisot conjecture of Hadamard quotient in several variables.

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Remerciements

Mes remerciements vont d’abord à G. Robin qui m’a convaincu de (re)commencer mes études doctorales. Il m’a beaucoup encouragé et a su m’écouter lors de la préparation de cette thèse.

J’exprime ma gratitude la plus sincère à D. Barsky et G. Christol qui m’ont fait l’honneur d’accepter la tâche d’être rapporteurs. Je les remercie également pour leur soutien et l’amitié qu’ils m’ont prodigués depuis longtemps.

L’intérêt de T. Berger pour mon travail, sa diponibilité et son amitié me touchent beaucoup.

Il a accepté d’être le président du jury. J’en suis honoré.

Je remercie sincèrement G. Rhin d’avoir accepté de faire partie du jury ainsi que pour son accueil chaleureux à l’université de Metz.

Mes remerciements vont également à A. Salinier pour son invitation à Limoges, sa gentillesse et sa participation au jury.

Merci à B. Benzaghou qui le premier m’a initié à la recherche en Mathématiques.

A J.-P. B´ezivin pour son aide pr´ecieuse et ses conseils judicieux.

A J.-P. Allouche pour son amiti´e et toutes les enrichissantes discussions que nous avons eues.

A Dominique et Marie pour leur générosité, leur hospitalité et leurs encouragements.

A tous les collègues du département de Mathématiques de l’université de Limoges. Par leur sérieux, leur disponiblité et leur joie de vivre ils ont su instaurer, avec beaucoup d’intelligence, d’agréables conditions de travail au sein du département.

A M. Guerletin, N. Tchefranoff et Y. Pinol. Leur d´evouement n’a d’´egal que leur gentillesse et leur bonne humeur.

Qu’il me soit permis de saluer ici mes proches et mes amis. La présence chaleureuse de certains parmi eux et le soutien, qui ignore les distances, des autres, à des moments pas toujours faciles, m’ont beaucoup aidé.

Merci `a Djahida. Elle a su m’aider `a aller de l’avant avec beaucoup de patience et de courage.

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Table des mati` eres

Notations v

Introduction vii

1 Suites récurrentes linéaires sur un module et systèmes récursifs 1

1.1 D´efinitions et exemples . . . 2

1.2 R´esultats pr´eliminaires . . . 4

1.3 Familles de suites et anneaux de Fatou . . . 6

1.4 Syst`emes r´ecursifs . . . 9

1.5 Alg`ebre de Hadamard . . . 15

1.6 D´ecimation et emboˆıtement de suites . . . 17

1.7 Séries formelles et suites récurrentes linéaires . . . 20

2 Périodes et suites récurrentes linéaires à coefficients polynomiaux 23 2.1 Périodes de suites sur un module . . . 24

2.2 Anneaux localement finis et suites p´eriodiques . . . 26

2.3 Suites récurrentes linéaires à coefficients polynomiaux . . . 29

2.4 Syst`emes p´eriodiques . . . 32

2.4.1 Suites r´eguli`eres sur un corps commutatif . . . 35

2.4.2 Exemples . . . 36

3 Multi-suites récurrentes et séries rationnelles 39 3.1 Définitions et notations . . . 40

3.2 Caractérisations des k-suites récurrentes linéaires . . . . 43

3.3 S´eries rationnelles et s´eries reconnaissables . . . 48

3.3.1 Propri´et´es de base . . . 48

3.3.2 El´ements Hadamard-inversibles . . . .´ 56

4 Quotient de Hadamard 63 4.1 Rappels et énoncés des résultats . . . 64

4.2 D´emonstrations des r´esultats . . . 67

Bibliographie 75

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Notations

A Anneau commutatif unitaire

A[x1. . . , xk] Alg`ebre des polynˆomes en les variables commutativesx1. . . , xk

A[[x1. . . , xk]] Alg`ebre des s´eries formelles en les variables commutativesx1. . . , xk

Alk(A) Algèbre des séries algébriques en les variables commutatives x1. . . , xk

LM(f) Ensemble des suites surM annul´ees par f

LM(f) Ensemble des suites P-r´ecursives surM annul´ees par f

M Un A-module

Mh(A) Algèbre des matrices carrées d’ordreh sur A Mh,r(A) Algèbre des matrices h×r sur A

R Anneau unitaire (non commutatif)

Rk(A) Ensemble des séries rationnelles enk variables surA Rsk(A) Ensemble des séries semi-simples en k variables surA Rrk(A) Ensemble des séries reconnaissables enk variables surA S(M) Ensemble des suites à valeurs dans M

Sk(M) Ensemble des suites indexées par N^k à valeurs dans M Sp(M) Ensemble des suites périodiques à valeurs dansM

SPU(M) Ensemble des suites récurrentes linéaires à coefficients polynomiaux unitaires à valeurs dans M

SR(M) Ensemble des suites récurrentes linéaires à valeurs dansM SRk(M) Ensemble des k-suites récurrentes linéaires `a valeurs dans M δdu La suite (u(dn))_n_≥₀

Ed(u0, . . . , ud−1) Emboˆıtement des suites u0, . . . , ud−1

M ⊗AN Produit tensoriel sur A des modules M et N f¯g Produit de Hadamard des s´eries f et g f∗g Produit de Cauchy (usuel) des s´eriesf et g u¯v Produit de Hadamard des (multi)-suites u etv τ u La suite (nu(n))_n_≥₀

Xu La suite (u(n+ 1))_n_≥₀

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Introduction

Leur âge, leur richesse ainsi que la diversité de leurs champs d’application font des suites récurrentes linéaires un sujet tellement vaste et si riche en résultats qu’il faudrait plusieurs ou- vrages, en plus de ceux qui existent déjà, pour faire le tour de toutes leurs propriétés. On trouve dans [9] une très bonne introduction aux suites récurrentes linéaires ainsi qu’une bibliographie qui, jointe à celle qu’on trouve dans [20], intéressera certainement tous ceux qui voudront en savoir plus sur ce passionnant sujet. Notre principal intérêt ici est d’étudier quelques aspects de deux différentes généralisations de la notion de suite récurrente linéaire. La première est celle qui consiste à considérer des suites récurrentes linéaires à coefficients polynomiaux (ou suites P-récursives) sur des modules. La seconde généralisation, consiste, partant du constat que les termes d’une suite récurrente linéaire sur un corps sont des coefficients d’une série rationnelle,

`

a étudier les multi-suites formées des coefficients de séries rationnelles en plusieurs variables.

La première partie de ce travail (chapitres 1 et 2) est consacrée à l’étude de quelques propriétés algébriques des suites récurrentes linéaires à coefficients constants ou polynomiaux sur les modules sur un anneau commutatif unitaire. La seconde (chapitres 3 et 4) traite des multi- suites (k-suites) dont les séries génératrices sont des fractions rationnelles et surtout des multi- suites récurrentes linéaires qui constituent un cadre où beaucoup de résultats, connus dans l’étude classique des suites récurrentes linéaires, sont encore valides.

Chapitre 1

Soient A un anneau commutatif unitaire, M un A-module et S(M) le A-module des suites surM, c’est-à-dire leA-module des applications deNdansM. Grâce à l’application de décalage (le shift) qui à tout élément (u(n))n∈N de S(M) associe l’élément (u(n + 1))n∈N, que l’on identifie à la multiplication par l’indéterminée x, on munit de manière standard S(M) d’une structure deA[x]-module. Ceci permet de définirSR(M), leA[x]-module des suites récurrentes linéaires comme étant le sous-module du module de torsion de S(M) formé des éléments dont l’annulateur est un idéal cofini (ou encore un idéal contenant un polynôme deA[x] de coefficient dominant inversible).

On trouve dans Kurakin et al ([20]) un bon historique et une étude approfondie des suites récurrentes sur un module. En particulier, étant donné un idéal I de type fini de A[x], les auteurs se posent la question de savoir à quelles conditions le sous-module LM(I) des suites annulées par I n’est pas trivial. Ils donnent une réponse dans le cas où l’anneauA est l’anneau des entiers rationnels. Soit, par exemple,I =< p1, . . . , pr >oùr ∈N. Pour queL_Z(I) soit non trivial, il faut et il suffit que p1, . . . , pr aient une racine (un entier algébrique) commune dans Q, la clôture algébrique de Q.

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Dans ce chapitre on étend ce résultat aux anneaux de Fatou (ou complètement intégralement clos). L’apport le plus important dans ce chapitre est, cependant, de retrouver certains résultats connus dans le cas où A est un corps commutatif et liés à la stabilité de SR(M) pour les opérations d’emboˆıtement, de décimation et pour le produit de Hadamard (si on suppose que M est une A-algèbre associative, commutative et unitaire). Soient r un entier naturel positif et C(x) un élément de Mr(A[x]), l’algèbre des matrices d’ordre r à coefficients dans A[x]. En considérant le système C(x)U = V dans S(M^r), on montre que, si le déterminant de C(x) a un coefficient dominant inversible dans A (ce qui se traduit par le fait qu’un déterminant d’une matrice explicite à coefficients dans A est inversible dans A), alors les solutions sont dans SR(M^r). Ce résultat est ensuite appliqué pour prouver, par des méthodes élémentaires, la stabilité de l’ensemble des suites récurrentes linéaires sur un module par décimation, par emboˆıtement et, sur un anneau, pour le produit de Hadamard. On retrouve, par exemple, que certaines suites de vecteurs définies par des récurrences dont les coefficients sont des matrices sont en fait des suites récurrentes linéaires. Dans cette partie on a renoncé, volontairement, à utiliser l’écriture explicite du terme général des suites récurrentes linéaires et ce pour au moins deux raisons. C’est, d’abord, dans l’espoir que les méthodes utilisées pourraient servir à l’étude de suites dont on ne connaˆıt pas l’écriture du terme général, et ensuite, pour la raison, qui du reste implique la première, et qui réside dans la conviction que la récurrence, elle même, (( exprime beaucoup de propriétés de fa¸con bien plus simple qu’une formule opaque ))¹.

Chapitre 2

En pratique, par exemple dans la théorie des codes correcteurs d’erreurs ou la génération de nombres pseudo-aléatoires, on s’intéresse à une classe importante de suites récurrentes linéaires,

`

a savoir la classe des suites p´eriodiques sur un corps commutatif ou encore sur des espaces vectoriels et plus r´ecemment sur des modules.

Dans ce chapitre, après une étude sommaire du A[x]-moduleSp(M) des suites périodiques, on s’intéresse aux anneaux (et modules) dans lesquels toute suite récurrente linéaire est périodique.

On établit qu’un anneau A dans lequel toute suite récurrente linéaire est périodique est un anneau localement fini, c’est-à-dire que tout sous-anneau de A de type fini sur le sous-anneau engendré par 1 est fini (ou encore dans l’anneau A les éléments réguliers sont des racines de l’unité dansA). Ces anneaux constituent en un sens une généralisation des algèbres associatives localement finies (sur des corps commutatifs). Des exemples de tels anneaux sont fournis par les anneaux finis, les sous-corps de la clôture algébrique d’un corps fini ou des produits finis de ces derniers anneaux.

On s’intéresse ensuite au sous-module SPU(M) de S(M) formé des suites récurrentes linéaires

`

a coefficients polynomiaux unitaires c’est-`a-dire, les suites u deM telles que : P0(n)u(n+h) +· · ·+Ph(n)u(n) = 0 ∀n ∈N,

où h est dans N^∗ et, pour tout i ∈ {0, . . . , h}, Pi est dans A[x] ; avec, pour tout n ∈ N, l’élément P0(n) inversible dans A. On montre en particulier que SPU(A) est une A-algèbre pour le produit de Hadamard et que les suites récurrentes linéaires à coefficients polynomiaux

1. D. Ferrand dans [16]

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unitaires sont, sous certaines conditions, périodiques et que le calcul de leur période se ramène au calcul de la période d’une suite récurrente linéaire.

Chapitre 3

Dans ce chapitre on se place, pour k dans N^∗, dans Sk(M), le A-module des multi-suites

`

a valeurs dans M et on présente quelques concepts fondamentaux et résultats de base des k-suites récurrentes linéaires. Ce sont les suites indexées par N^k et dont l’annulateur dans A[x1, . . . , xk] contient des polynômes unitaires de la forme q1(x1), . . . , qk(xk). On étudie, là encore sans recourir à la formule explicite du terme géneral, les propriétés liées au produit de Hadamard, à l’emboˆıtement et à l’opération inverse et on retrouve des résultats concernant les périodes de ces suites. On montre, en particulier, que les valeurs des k-suites récurrentes linéaires sont grosso-modo les valeurs prises par les itérés d’endomorphismes de modules et qu’une k-suite u deS(A) est linéaire si et seulement si elle vérifie :

u(n1, . . . , nk) = X

(i₁,...,i_k)∈F

vi₁(n1)· · ·vi_k(nk), ∀(n1, . . . , nk)∈N^k, o`uF est un sous-ensemble fini deN^k.

Dans une seconde partie de ce chapitre, on s’intéresse d’abord aux séries génératrices des suites deSk(A) et surtout aux séries rationnelles et on établit la correspondance entrek-suites récurrentes linéaires et séries reconnaissables. Ensuite, dans le cas oùAest un corps commutatif, on montre que les éléments Hadamard-inversibles de l’algèbre des séries reconnaissables sont les emboˆıtements de séries super-géométriques. Ce qui se traduit sur les k-suites récurrentes linéaires par : une k-suite récurrente linéaire u est Hadamard-inversible si et seulement si il existed dans N^∗ et une extension algébrique L deA tels que

u(dn1+i1, . . . , dnk+ik) =ci₁,...,i_kαⁿ_i₁¹· · ·αⁿ_i_k^k, ∀(n1, . . . , nk)∈N^k, o`u

∀(i1, . . . , ik)∈N^k, ci₁,...,i_k ∈L^∗ et (αⁿ_i₁¹. . . αⁿ_i_k^k)∈L^∗^k. Chapitre 4

Le dernier chapitre a pour objet l’étude du problème du quotient de Hadamard. Soient K un corps commutatif de caractéristique nulle et B un sous-anneau deK de type fini sur Z. Soient f etg deux séries rationnelles àk variables surK (k∈N^∗). On suppose que les coefficients du quotient de Hadamard h def etg sont dans B. La série h est-elle alors rationnelle?

Dans le cas d’une variable, le théorème de van der Poorten fournit une réponse affirmative à cette question (voir [34]). Si k >1 on donne suivant une idée de J.-P. Bézivin, des réponses à cette question dans les cas suivants :

– la série f est rationnelle et la série g est une série (reconnaissable) dont les coefficients sont des produits de suites récurrentes linéaires,

– la sérief est reconnaissable etgest une série reconnaissable dont les coefficients sont les valeurs surN^k d’un polynôme.

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On généralise également, au cas de plusieurs variables, le théorème de Bézivin de la version approchée de la conjecture de Pisot ([5]) : si les coefficients de la série h sont décomposés en une somme d’éléments entiers et d’éléments dont la croissance est géométrique, alors la série dont les coefficients sont entiers est rationnelle.

Note.— La dernière partie du deuxième chapitre et le dernier chapitre ont déjà été publiés, voir [22] et [23].

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Chapitre 1

Suites r´ ecurrentes lin´ eaires sur un module et syst` emes r´ ecursifs

Après la définition et l’étude de certaines propriétés algébriques des suites récurrentes linéaires sur des anneaux commutatifs, nous démontrons, dans une première partie de ce chapitre, des résultats qui généralisent ceux plus connus dans le cas de corps commutatifs. Nous caractéri- sons, en particulier, les suites récurrentes linéaires sur un module en termes d’endomorphisme de modules (proposition 1.2.1 et son corollaire) et nous généralisons un résultat concernant les familles de suites récurrentes linéaires surZaux anneaux de Fatou (proposition 1.3.4). Il s’agit de savoir à quelle condition l’ensemble des suites annulées par un idéal de type fini de l’algèbre des polynômes est non trivial.

Dans la seconde partie du chapitre, nous nous intéressons aux systèmes récursifs que nous appliquerons pour démontrer des propriétés de stabilité. Nous généralisons, dans le théorème 1.4.1 et son corollaire 1.4.1, les résultats obtenus, dans le cas particulier où l’anneau de base est R, par B. Zay dans [36] au cas d’un anneau commutatif unitaire et à des systèmes non homogènes. Ces résultats sont ensuite appliqués pour retrouver, sans passer par l’algèbre uni- verselle d’un polynôme et sans utiliser le produit tensoriel, la stabilité du module des suites récurrentes linéaires sur un module par décimation et emboˆıtement (voir la proposition 1.6.2 et le corollaire 1.6.1). Nous retrouvons, également, dans le théorème 1.5.1, le résultat obtenu dans [11] et qui établit la stabilité, pour le produit de Hadamard, de l’ensemble des suites récurrentes linéaires, sur un anneau commutatif unitaire.

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1.1 D´ efinitions et exemples

Dans ce chapitre, on notera A un anneau commutatif unitaire d’élément neutre 1. Son groupe des éléments inversibles sera notéU(A) et M désignera un module surA.

On notera S(M) l’ensemble des suites `a valeurs dans M. Un élément u de S(M) sera noté (u(n))n≥0.

On désignera par P, l’algèbre A[X] des polynˆomes à coefficients dans A. Pour d∈N, p(X) = Pd

i=0piXⁱ ∈ P, u= (u(n))∈S, et pour toutn ∈N, on pose (p(X)u)(n) =

Xd i=0

piu(n+i).

Muni de l’addition usuelle des suites et de cette multiplication par les scalaires, not´eepu,S(M) a alors une structure deP-module qui prolonge celle de A-module.

Soit u∈S(M). On d´esigne parIu l’id´eal annulateur deu dans P. i.e., Iu ={p∈ P ; pu= 0}.

D´efinitions

Soit u∈S(M). On dit que u est une suite récurrente linéaire (sur M) si Iu contient un poly- nôme unitaire.

L’idéal Iu est alors appelé idéal caractéristique de u et les polynômes unitaires de Iu des po- lynômes caractéristiques de u.

Un polynôme caractéritique de degré minimal d est appelé polynôme minimal de u. On dit alors que la suite u est de longueur (ou d’ordre) d.

Notation

L’ensemble des suites récurrentes linéaires sur M sera notéSR(M).

Proposition 1.1.1 ([20]) Soient A un anneau commutatif unitaire et M un A-module.

a) L’ensemble SR(M) des suites r´ecurrentes lin´eaires sur M est un P-module.

b) Soit u ∈ S(M). Pour que u soit une suite r´ecurrente lin´eaire il faut et il suffit que son annulateur Iu dans P soit cofini (ou encore que le A-module Pu soit de type fini).

Preuve

Le a) est évident. Montrons le b). Soit u= (un)n≥0 une suite à valeurs dans M. Si la suite u est récurrente linéaire alors l’idéal Iu est cofini : le quotient de P par Iu est un A-module de type fini. En effet, siIu contient par exemple le polynômep(X) =X^h+ah−1X^h⁻¹+· · ·+ah de P, alors le module quotient P/Iu est une image homomorphe de P/pP qui est unA-module de type fini.

Inversement, siIu est cofini alors la suiteuest une suite récurrente linéaire. En effet, supposons que P/Iu soit engendré par g1 +Iu, . . . , gs +Iu où s ∈ N et g1, . . . , gs sont dans P. Soit

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d= max1≤sdeg(gi). la famille (Xⁱ+Iu)₀_≤_i_≤_d est alors une famille génératrice de P/Iu et par conséquent, pour n ≥d, il existea0, . . . , ad dans A tels que :

Xⁿ+Iu = Xd

j=0

aj(X^j+Iu).

Ce qui signifie que le polynˆome unitaireXⁿ−Pd

j=0ajX^j est dansIu. 2

Remarques

1. Dans la définition d’une suite récurrente linéaire sur M, on peut remplacer, sans perte de généralité, polynôme unitaire par polynôme ayant un coefficient dominant inversible dans A.

La proposition précédente est une traduction du fait qu’un idéal deP est cofini si et seulement s’il contient un polynôme unitaire ou, ce qui revient au même, un polynôme dont le coefficient dominant est inversible.

2- Si on suppose que A est un corps et que M = A, on retrouve la définition classique des suites récurrentes linéaires sur des corps commutatifs (voir [21] ou [9]).

3- Contrairement au cas où A est un corps, une suite récurrente linéaire sur M peut posséder plusieurs polynômes minimaux unitaires. Soit A un anneau commutatif unitaire dans lequel on peut trouver un élément idempotent a différent de 1. La suite u de S(A) donnée par : u(n) = a, ∀n∈N a pour polynômes minimauxX−1 et X−a.

4- La multiplication par X n’est autre que l’opération de décalage (le shift) qui à la suite u(n)n≥0 associe la suite u(n+ 1)n≥0. Dire que u est une suite récurrente linéaire de polynôme minimal p(X) =X^h−a1X^h⁻¹− · · · −ah ∈ P, revient à dire que la suiteu est définie par ses premiers termes u0, . . . , uh−1 et la relation

u(n+h) = a1u(n+h−1) +· · ·+ahu(n), ∀n ∈N. (1.1) Exemples

1- La suite récurrente la plus célèbre et sans doute la plus ancienne est la suite de Fibonacci.

Elle est `a valeurs dans Zet est d´efinie par :

u(0) = 0 u(1) = 1 et u(n+ 2) =u(n+ 1) +u(n) ∀n ∈N. Le polynˆome minimal deu dans Z[X] est le polynˆome X²−X−1.

2- La suite congruente (en anglais, congruent sequence) utilisée dans la génération de nombres pseudo-aléatoires à cause de ses bonnes propriétés de distribution est une suite récurrente linéaire. On peut la définir sur un A-module quelconque M par :

∀n∈N, u(n+ 1) =au(n) +x o`u (u(0), x)∈M², et a ∈A.

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Le polynôme (X−1)(X−a) est un polynôme caractéristique de u

Les suites ((arithmétiques)) et((géométriques)) surM sont obtenues à partir de la suite uen prenant respectivement a = 1 et x = 0. En pratique on prend pour M des produits de Z/lZ oùl ∈N (voir par exemple [25]), ce qui explique l’appellation de ces suites.

3- Soient M un A-module de type fini, φ un endomorphisme de M (φ ∈ EndA(M)) et x un

élément arbitraire deM. Soit u= (u(n))n≥0 l’élément de S(M) défini par : u(0) =x et u(n+ 1) =φ(u(n)) ∀n ≥0.

La suiteuest une suite récurrente linéaire surM. En effet, commeM est de type fini,φvérifie, une équation de la forme :

φ^h−a1φ^h⁻¹− · · · −ah

où h ∈ N et (a1, . . . , ah) ∈ A^h (voir par exemple [2]). Ce qui montre que le polynôme X^h−a1X^h⁻¹ − · · · −ah de A[X] est un polynˆome caractéristique de u.

4. Soit A un anneau commutatif unitaire. Soit s ∈ N, p1(X), . . . , ps(X) des polynômes sur A et soit α1, . . . , αs des éléments de A. Pour n ∈ Z, on identifie n et n·1 et on considère dans S(A) la suite V = (vn)n∈N donnée par :

vn = Xs

i=1

pi(n)αⁿ_i, ∀n ∈N.

On sait que la suite V est une suite récurrente linéaire sur A, si A est un corps (voir [9]). En fait, même si A n’est pas un corps, c’est encore une suite récurrente linéaire sur A (considéré comme A-module) au sens de la définition ci-dessus. En effet, comme l’ensemble des suites récurrentes linéaires sur A est un A-module, pour montrer que V est une suite récurrente li- néaire, il suffit de le faire pour la suite V telle que vn = n^kαⁿ,∀n ∈ N. Or cette suite est une suite récurrente linéaire de polynôme caractéristique (X−α)^k+1.

5- Le A-module des suites récurrente linéaires sur M est un sous-module de Tors_P(S(M)), le sous P-module de torsion duP-moduleS(M). Il est en général, contrairement au cas oùAest un corps, strictement contenu dans celui ci. Pour s’en convaincre, il suffit de prendre A = Z, M le quotient deZ[Xi, i∈N] par l’idéal J =<2Xi+1−Xi, i∈N>etu= (u(n))n∈N où, pour tout n dans N, u(n) désigne la classe de Xn modulo J. On a alorsu∈Tors_Z[X](S(M)) car

Ann_Z[X](u) = (2X−1)Z[X]

mais u n’est pas une suite r´ecurrente lin´eaire (u /∈SR(M)).

1.2 R´ esultats pr´ eliminaires

L’exemple 3 ci-dessus est un cas particulier du résultat suivant qui montre qu’en fait les suites récurrentes linéaires sur un module sont grosso-modo les valeurs prises par les itérés d’endomorphismes de modules de type fini. Commen¸cons d’abord par la

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Remarque 1.2.1 Soit u = (u(n))n≥0 un élément de SR(M) de polynôme caractéristique p(X) = X^h − a1X^h⁻¹ − · · · −ah ∈ P. La suite u est en fait à valeurs dans un A-module M0 de type fini sur A. En effet, grâce à l’égalité 1.1 on voit que, pour tout n dans N, u(n) ∈ M0 =Au(0) +· · ·+Au(h−1). Plus précisemment, soit B le sous anneau de A engendré par les coefficients de p(X). On a alors

u(n)∈Bu(0) +· · ·+Bu(h−1) ∀n∈N.

En fait, si m désigne la caractéristique de A alors B = Z/mZ[a1, . . . , ah] et les valeurs de la suite u sont bien evidemment dans un B-module de type fini. Par exemple les valeurs d’une suite récurrente linéaire sur un corps commutatif K de caractéristique nulle (donc contenant une copie de Z) sont dans un sous-anneau de K, de type fini sur Z. La réciproque n’est pas vraie comme on le voit sur l’exemple de la suite suivante qui n’est pas récurrente linéaire :

0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0, . . . .

Proposition 1.2.1 SoientA un anneau commutatif unitaire,M unA-module etuun élément de S(M). Les assertions suivantes sont équivalentes :

i) u∈SR(M),

ii) il existe un A-module M¯, un endomorphisme φ de M¯, un ´el´ement v0 de M¯ et ψ un mor- phisme de A-modules de M¯ dans M tels que :

u(n) =ψ(φⁿ(v0)) ∀n∈N.

Preuve

1. Soient u ∈ S(M), p(X) = X^h−a1X^h⁻¹ − · · · −ah ∈ P un polynôme caractéristique de u et M0 le A-module Au(0) +· · ·+Au(h−1). On prendra pour ¯M leA-module M₀^h et pour φ l’endomorphisme de ¯M défini par :

φ(x1, . . . , xh) = (x2, x3, . . . , Xh

i=1

aixh+1−i), ∀(x1, . . . , xh)∈M .¯

Pour v0 = (u0, . . . , uh−1) et ψ la derni`ere projection de ¯M sur M0, on v´erifie qu’on a bien : u(n) = ψ(φⁿ(v0)),∀n ∈N.

2. Inversement, on sait d’apr`es l’exemple 3 ci-dessus que la suite (φⁿ(v0))n≥0 est dans SR( ¯M).

Il s’ensuit, grâce à la linéarité de ψ que u est dansSR(M). 2 Remarque

Si le polynôme caractéristique de la suite ua un coefficient constant qui est un élément inversible de A alors l’applicationφ est en fait un isomorphisme de ¯M dans ¯M.

(18)

Corollaire 1.2.1 Soit A un anneau commutatif unitaire. La donnée d’une suite récurrente linéaireusurA est équivalente à la donnée d’un entier positifh, d’une matriceQdansMh(A), d’un vecteur colonne v0 dans Mh,1(A), d’un vecteur ligne α∈M1,h tels que :

u(n) = αQⁿv0, ∀n∈N.

Preuve

C’est une simple traduction matricielle de la proposition précédente. Si la suite (u(n))n≥0 est une suite récurrente linéaire surAde polynôme caractéristiquep(X) =X^h−a1X^h⁻¹−· · ·−ah

alors la matrice Q n’est autre que la matrice compagnon dep(X) (ou de u) :

Q=







0 1 . . . 0 ... ... . .. ...

0 0 . . . 1 ah ah−1 . . . a1





 ;

le vecteur v0 est le vecteur initial, c’est-`a-dire le transpos´e du vecteur (u0, . . . , uh−1) et α = (1,0, . . . ,0).

Inversement, si u est une suite sur A vérifiant l’égalité ci-dessus alors le polynôme caractéris-

tique de Q est un polynˆome caract´eristique de u. 2

Remarque

Si on suppose que A est un corps on retrouve ainsi la proposition 1.1 obtenue par G. Hansel ([17]) dans la cas de suites r´ecurrentes sur un corps commutatif.

Corollaire 1.2.2 Soient A un anneau commutatif unitaire, M un A-module, r un entier po- sitif et V = (u1, . . . , ur) un élément du P-module S(M)^r. On suppose qu’il existe une matrice Q dans Mr(A) telle que XV = QV. Alors les suites u1, . . . , ur sont des suites récurrentes linéaires sur M de polynôme caractéristique det(XI−Q).

Preuve

Elle provient de l’´egalit´eV(n+ 1) =QV(n), ∀n ∈Net de la proposition ci-dessus. 2 Remarque

Ce corollaire est un cas particulier du théorème 1.4.1 sur les systèmes récursifs (voir section suivante).

1.3 Familles de suites et anneaux de Fatou

Soit P un sous-ensemble non vide de P. On désigne par LM(P) le sous ensemble de S(M) formé par toutes les suites annulées par P:

LM(P) = {u∈S(M) ; pu= 0, ∀p∈P}.

(19)

Proposition 1.3.1 ([20]) Soient A un anneau commutatif unitaire,M un A-module et P un sous-ensemble non vide de P. Alors, LM(P) est un sous-module du P-module S(M). De plus si l’idéal < P > engendré par P dans P est cofini alors LM(P) ⊂ SR(M). Inversement, si LM(P)⊂SR(M) alors < P > est contenu dans un idéal cofini.

Preuve

CommeLM(P) = LM(< P >) on peut supposer que P est un id´eal de P.

1. Il est facile de vérifier qu’un polynôme caractéristique d’une combinaisonP-linéaire de deux suites sur M est le produit des deux polynômes caractéristiques.

2. Supposons P cofini et soit p un polynôme unitaire dans P. Soit u un élément de LM(P).

On alors pu = 0 ou encore u ∈ SR(M). Inversement, supposons que LM(P) ⊂ SR(M) et montrons que P est contenu dans un id´eal cofini. Soit p ∈ P et u ∈ S(M) tel que pu = 0.

Comme u ∈ SR(M), soit pu un polynˆome minimal de u. La division euclidienne de p par pu

montre quepu divisep. Donc P est contenu dans l’idéal engendré par des polynômes minimaux

des ´el´ements de LM(P). 2

Remarques

1. On peut avoirLM(P)⊂SR(M) sans que l’idéal< P >soit cofini comme c’est affirmé dans [20]. Soit A=M =Z. Considérons l’idéal P de Z[X] engendré par 2X. On a

L_Z(I) = {(α,0,0, . . .)/ α∈Z}

= L_Z(J)

o`uJ est l’id´eal XZ[X]. On a bienL_Z(J)⊂SR(Z) et I non cofini.

2. Soient A un anneau commutatif unitaire, M un A-module etP un sous-ensemble non vide deP. Le sous-module LM(P) de S(M) peut être réduit à zéro. On a par exemple

L_Z(<2X−1>) = {0}.

On sait que sur un corps commutatif K tout sous-espace vectoriel deS(K) de dimension finie et stable par l’opération de décalage est formé de suites récurrentes linéaires surK. Le résultat suivant (qu’on trouve également dans [20]) en est une généralisation au cas de suites sur des modules.

Proposition 1.3.2 Soient A un anneau commutatif unitaire, M un A-module et E un sous- module du P-module S(M). Si on suppose que E est un A-module de type fini alors E est contenu dans SR(M).

Preuve

Soit r ∈ N et E = Au1+· · ·+Aur. Comme E est un P-module Xui ∈ E pour tout i dans {1, . . . , r} et donc il existe une matrice carr´ee Q dans Mr(A) telle que :

X



 u1

... ur



=Q



 u1

... ur



.

(20)

Le r´esultat est donc une cons´equence du corollaire 1.2.2. 2 Nous aurons besoin dans la suite de la proposition suivante.

Proposition 1.3.3 Soient A un anneau commutatif unitaire, M un A-module, h un entier positif et f un polynˆome unitaire de degr´e h dans P. Soit u∈LM(f). On a :

la suite u est complètement déterminée par son vecteur initial (u(0), . . . , u(h−1));

1. les suites u1, . . . , ur engendrent le A-module LM(f) si et seulement si les vecteurs initiaux des suites u1, . . . , ur engendrent le A-module M^h;

2. si le A-module M est de type fini alors LM(f) l’est aussi ; 3. le A-module LA(f) est un P-module cyclique.

Preuve

Elle est basée sur l’isomorphisme de A-modules entre LM(f) et M^h et qui à toute suite dans LM(f) associe son vecteur initial. Le générateur du P-module LA(f) est la suite basique (ou réponse impulsionnelle) sf ∈ LA(f) dont le vecteur initial est (0,0, . . . ,1). On trouvera dans [16] une preuve de ces résultats et dans [20] une généralisation du point 4 au cas deLM(f).2 Soit I un idéal non nul de P. On sait, comme le montre la remarque 2 ci-dessus, que LM(I) peut être nul. À quelles conditions ce sous module deS(M) n’est pas trivial? On trouve dans [20] une réponse à cette question dans le cas où A=M =Z. L’objet de la proposition (1.3.4) qui suit est de généraliser ce résultat aux anneaux de Fatou.

Définition 1.3.1 Soit A un anneau commutatif unitaire intègre de corps des fractions K. On dit que A est un anneau de Fatou lorsque la propriété suivante est satisfaite : si une u suite d’éléments de A vérifie une récurrence du type

u(n+h) +a1u(n+h−1) +· · ·+ahu(n) = 0, ∀n ∈N

où les coefficients a1, . . . ah sont dans K et où l’ordre h de la récurrence est minimal alors a1, . . . ah sont dans A.

Avec nos notations, un anneauA commutatif unitaire intègre de corps des fractions K est un anneau de Fatou si la propriété suivante est vérifiée : si une suite u ∈S(A) a pour polynˆome minimal pdans K[X] alors p∈A[X]. On encore, si u∈S(A) et u∈SR(K) alors u∈SR(A).

Définition 1.3.2 Soit A un anneau commutatif unitaire intègre de corps des fractions K. On dit que A est un anneau complètement intégralement clos si la condition suivante est vérifiée : si x∈K, d∈A\ {0} et ∀n ∈N, dxⁿ ∈A alors x∈A.

On trouvera dans [13] la preuve du th´eor`eme suivant ainsi qu’une bibliographie concernant les anneaux de Fatou et leur passionnante histoire :

Théorème 1.3.1 Les anneaux de Fatou sont les anneaux complètement intégralement clos.

(21)

Revenons maintenant `a nos familles de suites. On a la

Proposition 1.3.4 Soient Aun anneau de Fatou de corps des fractionsK, run entier positif et I =< f1, . . . , ft> un id´eal de type fini de A[X]. Les assertions suivantes sont ´equivalentes : i) le A-module LA(I) est non trivial ;

ii) les polynômes f1, . . . , ft ont une racine entière (algébrique) commune dans une clôture algébrique K¯ de K. Soient α1, . . . , αr les racines entières communes de f1, . . . , ft. Soit, pour j ∈ {1, . . . , t},

fj(X) = (X−α1)^s^j1· · ·(X−αr)^s^jrgj(X)dansK¯[X]

o`u sji ∈N^∗ ∀i∈ {1, . . . , r}. Alors LA(I) =LA(f) o`u

f(X) = (X−α1)^s¹· · ·(X−αr)^s^r dans K[X]¯ avec si = min1≤j≤t(sji), ∀i∈ {1, . . . , r}.

Preuve

Montrons que i) implique ii). Supposons que LA(I) est non nul. Il existe donc une suite unon nulle dans S(A) telle que fiu = 0 pour tout i dans {1, . . . , t}. Comme K[X] est principal, il existe un polynˆome unitaire f ∈ I, de degr´e minimal k dans K[X] tel que : I = f K[X].

On donc f u = 0 et f divise fi dans K[X], pour tout i dans {1, . . . , t}. Or A est un anneau de Fatou, donc, pour tout i dans {1, . . . , t}, f ∈ A[X] et par suite f divise fi dans A[X]. Il s’ensuit que I =f A[X].

En faitf peut être obtenu comme polynôme caractéristique d’une matrice que nous allons ex- pliciter. SoitU1, . . . , Ukune base duA-moduleLA(I) etV le vecteur transposé de (U1, . . . , Uk).

Il existe alors une matrice Q dans Mk(A) telle que XV = QV. On en déduit, d’après le corollaire (1.2.2), que les suites U1, . . . , Uk sont annulées par le polynôme caractéristique q(X) de la matrice Q. La famille des suites U1, . . . , Uk étant génératrice on voit queLA(I)⊂LA(q).

Par conséquent f divise q, mais comme ils ont même degré ils sont égaux. Ce qui achève la première partie de la proposition. La seconde découle de la décomposition de f dans ¯K[X].

La r´eciproque est imm´ediate. 2

1.4 Syst` emes r´ ecursifs

Soit r ∈ N^∗, I = {1, . . . , r} et m1, . . . , mr des entiers rationnels strictement positifs. Soit u^j = (u^j_n)_n_≥₀, (j ∈I), une famille de suites de nombres r´eels de termes initiaux u^j₀, . . . , u^j_m_j₋₁, (j ∈ I). Soit ci,j,l ( (i, j) ∈ I²; 0 ≤ l ≤ mj) des nombres r´eels. On suppose que les suites

(22)

u¹, . . . , u^r vérifient le système d’équations :











m₁

X

l=0

c1,1,lu¹_n+l + · · · +

m_r

X

l=0

c1,r,lu^r_n+l= 0,

m₁

X

l=0

c2,1,lu¹_n+l + · · · +

mr

X

l=0

c2,r,lu^r_n+l= 0,

... ... ...

m₁

X

l=0

cr,1,lu¹_n+l + · · · +

m_r

X

l=0

cr,r,lu^r_n+l = 0,

(1.2)

pour tout n∈N et que

det¡¡

ci,j,m_j

¢¢

1≤i,j≤r 6= 0 . (1.3)

Dans [36], en réponse à une question de V. E. Hoggat, Jr. (voir [18]), B. Zay démontre que les suitesu¹, . . . , u^r sont des suites récurrentes linéaires réelles et ont toutes le même polynôme caractéristique. Nous nous proposons, dans cette section, d’étendre son résultat à des systèmes récursifs (homogènes ou non) sur des modules sur des anneaux commutatifs. On appliquera le théorème principal pour retrouver, dans les deux sections suivantes, des résultats concernant les suites récurrentes linéaires sur des algèbres.

Mais auparavant, signalons que, sur un corps commutatifK, le passage des suites à leurs séries génératrices permet de donner une autre démonstration du résultat de B. Zay. Rappelons (voir par exemple [21]) que si u = (un)n≥0 est un élément de K^N et si u(X) est sa série génératrice dans K[[X]], alors pourl ∈N^∗, la série génératrice V(X) de la suiteV = (un+l)n≥0, translatée deu, est donnée par :

X^lV(X) = u(X)−

l−1

X

i=0

uiXⁱ.

En injectant toutes les séries génératrices de u¹, . . . , u^r et de leurs translatées dans le système 1.2 on obtient un système linéaire de réquations à coefficients dans K[X]. Les solutions de ce système sont alors des fractions rationnelles. Ce qui signifie que les suites u¹, . . . , u^r sont des suites récurrentes linéaires.

Soit donc Aun anneau commutatif unitaire etM unA-module. On garde les mêmes notations que ci-dessus et on cherche à déterminer les suites u¹, . . . , u^r de M dont les termes initiaux u^j₀, . . . , u^j_m_j₋₁ ( j ∈I), sont dans M et qui satisfont à :







C11(X)u¹ + · · · +C1r(X)u^r = 0,

... ...

Cr1(X)u¹ + · · · +Crr(X)u^r = 0,

(1.4) o`u

Cij(X) =

m_j

X

l=0

ci,j,lX^l ∈ P, ∀(i, j)∈I². (1.5)

(23)

On supposera, en outre, que

det¡¡

ci,j,m_j

¢¢

1≤i,j≤r∈U(A). (1.6)

Le r´esultat de B. Zay, obtenu dans [36], est alors un cas particulier du

Théorème 1.4.1 Pour toute famille u^j₀, . . . , u^j_m_j₋₁, ( j ∈I) d’éléments de M, le système 1.4 possède une unique solution u¹, . . . , u^r où u¹, . . . , u^r sont des suites récurrentes linéaires sur M de longueur inférieure ou égale à P_r

j=1mj. Preuve

L’existence et l’unicité d’une solution du système 1.4 est assurée par la condition 1.6. Montrons que les solutions sont des suites récurrentes linéaires.

Posons

C(X) = (Cij(X))₁_≤_i,j_≤_r. C’est un ´el´ement de Mr(P). Soit

V =



 u¹

... u^r



.

Le système 1.4 est équivalent à :C(X)V = 0.

L’anneau P étant commutatif, la matrice C(X) est alors, d’après le théorème de Cayley- Hamilton ([7]) , racine de son polynôme caractéristique,

P(Y) =Y^r+ar−1(X)Y^r⁻¹ +· · ·+a0(X)∈Mr(P)[Y].

On a donc

P(C(X))V = 0 et C(X)V = 0.

Par cons´equent

a0(X)uⁱ = 0 ∀i∈I.

Remarquons que le d´eterminant de C(X) est, au signe pr`es, le polynˆome a0(X). Ce dernier a un coefficient dominant inversible dans A. En effet, si

det(C(X)) = X

σ∈Sr

²σC1σ(1)(X)· · ·Crσ(r)(X), le coefficient dominant de ce d´eterminant est donn´e par :

X

σ∈S_r

²σC1σ(1)m_σ(1)· · ·Crσ(r)m_σ(r) = det(Cijm_j)∈U(A).

On a montré ainsi, que pour tout i ∈ I, l’idéal Iuⁱ contient un polynôme unitaire de degré inférieur ou égal à Pr

j=1mj. Ce qui achève la démonstration du théorème. 2

(24)

Remarques

1. Si A[X] est principal (c’est-`a-dire si A est un corps), on peut arriver au même résultat en utilisant la méthode des facteurs invariants. La matrice C(X) est équivalente `a une matrice diagonale, disons

D(X) = diag(D1(X), . . . , Dr(X))

oùDi(X) divise Di+1(X) pour touti∈ {1, . . . , r−1}. Dans ce cas, le polynôme Dr(X) est un polynôme caractéristique des suites u¹, . . . , u^r.

2. Soit M2 = M^N² l’ensemble des 2-suites sur le A-module M. Comme dans le cas des suites surM, M2 est muni canoniquement d’une structure de A[X, Y]-module. Pour d∈N,

u= (umn)_(m,n)_∈N² et p(X, Y) = X

0≤i,j≤d

pijXⁱY^j ∈A[X, Y], on pose

(p(X, Y)u)mn = X

0≤i,j≤d

pijum+i,n+j ∀(m, n)∈N².

SoitC(X, Y) une matrice d’ordreret à coefficients dansA[X, Y]. Si on suppose que le système C(X, Y)u = 0 possède des solutions u¹, . . . , u^r dans M2, alors, en rempla¸cant dans la preuve du thórème A[X] par A[X, Y], on voit que ces solutions sont toutes annulées par un même polynôme dans A[X, Y].

Le résultat reste également valable si on considère des k-suites, c’est-`a-dire des éléments du A-module M^N^k, pour k dans N^∗ (voir le chapitre 3).

Corollaire 1.4.1 [Cas non homogène] On utilise les mêmes hypothèses et notations que ci- dessus. Soient C(X) dans Mr(P), W¹, . . . , W^r des suites récurrentes linéaires sur M et W le vecteur transposé de (W¹, . . . , W^r). On suppose que la matrice C(X) vérifie la condition 1.6.

Alors le syst`eme

C(X)u=W (1.7)

possède une unique solution u= (u¹, . . . , u^r)où les suitesu¹, . . . , u^r sont des suites récurrentes linéaires sur M ayant même polynôme caractéristique.

Preuve

Soit, comme ci-dessus, P(Y) = Y^r +ar−1(X)Y^r⁻¹ +· · · +a0(X) ∈ Mr(P)[Y] le polynˆome caract´eristique de C(X).

On a

C(X)^ru+ar−1(X)C(X)^r⁻¹u+· · ·+a0(X)u= 0. (1.8) Or C(X)u=W, donc

C(X)^r⁻¹W +ar−1(X)C(X)^r⁻²W +· · ·+a0(X)u= 0. (1.9) On pose pour touti dans {1, . . . , r},

Wi =ai(X)C(X)ⁱ⁻¹W avec ar(X) = 1.