ARITHMETIQUE DANS. Divisibilité. m n m + n. ATTENTION : La différence de deux entiers naturels n est pas nécessairement un entier naturel

1

ARITHMETIQUE DANS

Divisibilité

1) Présentation : l’ensemble des entiers naturels :

• L’addition est une loi de composition interne dans =



0,1, 2,3, 4,...



:

m n m n

    + 

ATTENTION :

La différence de deux entiers naturels n’est pas nécessairement un entier naturel

• La multiplication est une loi de composition interne dans =



0,1, 2,3, 4,...



:

m n m n

     

Soit aet bdeux entiers naturels avecb0, ^a

b n’est pas nécessairement un entier naturel Il n’existe donc pas dans tous les cas un entier naturel q tel que a=b q

Rappelons que l’ensemble des nombres rationnels est l’ensemble des nombres réels qui peuvent se mettre sous la forme ^a

b où aet bdeux entiers relatifs avecb0

On a :    .

2) Divisibilité dans

a) Définition

Soient deux entiers naturels a et b

On dit que b divise a et on note b |a s’il existe un entier naturel q tel que : a=b q

ATTENTION :

Ne pas confondre le symbole | qui exprime la divisibilité de deux entiers, avec le symbole / utilisé parfois pour donner le réel résultat de la division de deux réels a /

b a b

 = 

 

  On peut noter que, pour aet bdeux entiers naturels avecb0, on a

(b |a) Si et seulement si ( / a

a b= best un entier) Soient aetbdeux entiers naturels, pour « b divise a » on dit aussi :

➢ « b est un diviseur de a »

➢ « a est divisible par b »

➢ « a est un multiple de b ».

L’entier q est appelé quotient exact de a par b.

2

b) Ensemble des diviseurs et ensemble des multiples d’un entier naturel Soit n un entier naturel.

NotonsD n l’ensemble des entiers naturels diviseurs de n et

( )

M n l’ensemble des

( )

entiers naturels multiples de n.

Remarques :

• L’entier1 divise tout entier naturel, donc^{ n D n}

( )

^{ }.Mais 1 n’est divisible que par 1

• Tout entier naturel divise 0 ou 0 est un multiple de tout entier naturel ; donc

( )

n M n

    . Mais 0 ne divise aucun entier naturel non nul

• ^M

( )  

^{0 = 0 et D}

( )

^{0 =}

• Si a ^* et si b a alors ba

En effet  q ,a=bq , comme a0 alorsq0 donc q1 et a=bqb

Les diviseurs d’un entier naturel a non nul sont en nombre fini : il y en a au plus a

• ^D

( )  

^{1 = 1} , et pour tout entier naturel a non nul ^{D a}

( )

^{ 1,a}

• Les multiples d’un entier naturel a non nul sont en nombre infini c) Propriétés de la divisibilité

• Dans la relation | est réflexive : a a a | Démonstration : a a=1a donca|a

• Dans la relation | est transitive : Quelque soient les entiers naturels a, b, c : si a b | et b c | alors a | c

Démonstration :

Si a balors  q tel queb=aq, si b calors  q' tel que c=bq'

On peut donc écrire ^{c=bq'=aqq'=a qq}

( )

^{' avec}

( )

^qq' entier naturel comme produit d’entiers naturels, ce qui prouve que a c

• Quelque soient les entiers naturels a et b, ^{( |a b et b a | )}

(

^a=b

)

Démonstration :

Si a balors  q tel queb=aq, si b a/ alors  q' tel que a=bq'

On peut donc écrire quea=bq'=aqq', on obtient ^a

(

^1−qq'

)

^{=0 soit a=0ouqq'=1}

Si a=0alorsb=0q=0, nous avons bien a=b

Si qq'=1 alorsqetq'sont des diviseurs de 1, donc q=1et q'=1.Pour q=1on a b=1a=a

3

• Soient a et b deux entiers naturels :

Si a | b, alors pour tout entier naturel c, a | b c et a c | b c

Démonstration :

Si a balors  q tel queb=aq, alors ^{bc=aqc=a qc}

( )

^{et comme}

( )

^qc est un entier naturel (produit d’entiers naturels ) alorsa bc

Si a balors  q tel queb=aq, alors ^bc=aqc=

( )

^{ac qetac bc}

On peut ajouter que, si cest un entier naturel non nul,

(

^{ac bc}

) ( )

^{ a b}

En effet si ac bc alors q ,bc qac . Comme c 0 , il vient b aq soit a b

• Soient a, b, c trois entiers naturels

Si a | b et a | c, alors pour tous entiers naturels k et l, a |k b l c+

Démonstration :

Si a balors  q tel queb=aq, si a calors  q' tel que c=aq'

On peut alors écrire ^{kb lc+ =kaq laq+ '=a kq q l}

(

^{+ '}

)

^{et comme}

(

^{(kq lq+ '}

)

est un entier naturel (produits et somme d’entiers naturels) alors a kb lc+

Exemples usuels : Si a | b et a | c, alors a b| +c et a b c| −

4

ARITHMETIQUE DANS

Division euclidienne

1) Théorème

Pour tout entier naturel a et pour tout entier naturel non nul b, il existe un couple unique

( )

q r d’entiers naturels tel que ^, a=bq+r et 0 r b

On nomme division euclidienne de a par b l’opération qui au couple

( )

^{a b,} associe le couple

( )

^{q r, .}

• L’entier naturel a est le dividende de la division euclidienne de a par b.

• L’entier naturel, non nul, b est le diviseur de la division euclidienne de a par b.

• L’entier naturel q est le quotient de la division de a par b.

• L’entier naturel r est le reste de la division de a par b.

Démonstration : Existence

Soit ^A=



^{n ;bna}



L’ensemble A est une partie de non vide car 0A

L’ensemble A est majorée par a ; en effet puisque b1 on a :  n A n, nba Par conséquent l’ensemble A admet donc un plus grand élément q qui vérifie :

bqa , puisqueqA et b q

(

+ 1

)

a , puisque

(

q+ 1

)

A En posant r= −a bq , on a : a=bq+r et 0 r b Unicité :

Soit un couple

(

^{q r', '}

)

d’entiers naturels tel que a=bq'+r' et 0 r' b Alors ^{bq+ =r bq'+ r' b q}

(

^−q'

)

^{= −r' r}

Si qq' alors ^{b q q}

(

^{− '}

)

^{=  −b q q' = − r' r b}

Or ^{0 0} ' '

0 ' 0 '

r b b r

b r r b r r b

r b r b

  −  − 

 

  −  −   − 

     

  on aboutit à une contradiction

Donc q=q' et r=r'

2) Remarques

• Si q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b0 , on a 0 −a bqb ; ce qui donne : ^{bq a b q}

(

¹

)

^{q a q 1}

  +    +b On a donc a

q b

=    (partie entière du réel^a b )

5

• L’entier naturel a est divisible par l’entier naturel non nul b (c'est-à-direb a) si et seulement si le reste de la division de a par b est nul.

• Les restes possibles de la division euclidienne d’un entier naturel a par un entier naturel b non nul sont : 0, 1, 2...

(

^b−1

)

.L’entier a peut s’écrire^{bq bq, +1,...,bq+ −}

(

^{b 1}

)

Par exemple : tout entier naturel a peut s’écrire 2q ou2q+1

(

^q

)

^.

• En Python 3, la division euclidienne des entiers naturels se fait à l’aide des opérateurs // (quotient) et % (reste)

>>> q=2018//17

>>> print(q) 118

>>> r=2018%17

>>> print(r) 12

6

ARITHMETIQUE DANS

PGCD et PPCM

A. PGCD de deux entiers naturels

1) Travaux préliminaires

Soit un entier naturel a ; notons ^{D a}

( )

l’ensemble des entiers naturels diviseurs de a.

On rappelle que : ^D

( )

^{0 = , et si a0 , alors D a}

( )

contient un nombre fini d’éléments Quelque soient les entiers naturels a et b, ^{D a}

( )

^{D b}

( )

^{  puisque 1a et 1b}

Si a = b = 0 alors^{D a}

( )

^{D b}

( )

^{=  =}

Si a 0 alors ^{D a}

( )

^{D b}

( )

est une partie non vide de et majorée para : cet ensemble possède donc un plus grand élément supérieur ou égal à 1 appelé le PGCD des entiers a et b et noté PGCD

( )

^{a b ou , ab .}

On a bien sûr ^{b =  =a a b max}

(

^{D a}

( )

^{D b}

( ) )

Si a 0et b=0 alors^{D a}

( )

^{D b}

( )

^{=D a}

( )

^{ =D a}

( )

qui a pour plus grand élément a Pour tout entier naturel a non nul, PGCD

( )

^{a, 0 = a}

On travaillera maintenant avec a et b deux entiers naturels non nuls Sib a alors ^{D b}

( )

^{D a}

( )

^{et PGCD}

( )

^{a b,} = b ; la réciproque est vraie donc :

( )

^{b a }

⁽

^{a =b b}

⁾

2) Algorithme d’Euclide

Euclide est un mathématicien de la Grèce antique, auteur d’éléments de mathématiques, qui constituent l'un des textes fondateurs de cette discipline en Occident.

Il est possible qu'il ait vécu vers 300 avant notre ère.

a) Théorème :

Soient deux entiers naturels a et b

Si

( )

q r,  ² tel que a=bq+r alors D a

( )

D b

( )

=D b

( )

D r

( )

Démonstration :

( ) ( )

x D a D b

  

x a x a x a bq x r

x b x bq x b x b

x b

   − 

   

   

  

   



, on a donc ^{xD b}

( )

^{D r}

( )

^{: D a}

( )

^{D b}

( )

^{D b}

( )

^{D r}

( ) ( ) ( )

x D b D r

  

x b x b x b

x r x bq x bq r a x r

  

  

   + =

 

  



, on a donc ^{xD a}

( )

^{D b}

( )

^{: D b}

( )

^{D r}

( )

^{D a}

( )

^{D b}

( )

Par le principe de double inclusion nous avons ^{D a}

( )

^{D b}

( )

^{=D b}

( )

^{D r}

( )

7 b) Corollaire :

Soient deux entiers naturels a et b avecbnon nul Si^

( )

^{q r,  2 tel que} a=bq+r alors a = b b r Démonstration :

( ) ( )

( ) ( ^{( ) ( )} )

max max ,

a =b D a D b = D b D r = b r (Les deux PGCD existent bien puisque b0 )

Pour l’instant chercher le pgcd de deux entiers naturels non nuls revient à chercher le plus grand de leurs diviseurs communs. Y a-t-il plus simple ?

c) Algorithme d’Euclide : détermination pratique du PGCD de deux entiers naturels non nuls

Soient deux entiers naturels a et b non nuls avecab,

➢ Si b a alors PGCD

( )

^{a b, = b}

➢ Si b ne divise pas a, soitr₁le reste de la division euclidienne de a par b avec0 r₁ b On a PGCD

( )

^{a b, = PGCD}

(

b r, 1

)

On réitère le raisonnement

Si r b₁ alors PGCD

(

b r, 1

)

=r1

Si r₁ ne divise pas b, soitr₂ le reste de la division euclidienne de b parr₁ avec0 r₂ r₁

1 0

0 r r

On a PGCD

( )

^{a b, = PGCD}

⁽

^{b r, 1}

⁾

^{= PGCD}

⁽

^{r r1, 2}

⁾

Après un nombre fini de divisions (car la suite « des restes » est une suite strictement

décroissante d’entiers naturels), la division de r_n−1 par r_nse fait exactement, c’est à dire r r_{n n−1}

(

^{n *}

)

et le reste r_n+1 de la division euclidienne de r_n−1 parr_n est nul.

On a donc PGCD

( )

^{a b, = PGCD}

⁽

^{b r, 1}

⁾

= ……= PGCD

(

r_n−1,r_n

)

=r_n Remarque : le PGCD est alors le dernier reste non nul

Si r₁=0 , ce résultat est encore vrai en posant b=r₀

Le PGCD des entiers naturels non nuls a et b est égal au « dernier reste » non nul dans l’algorithme d’Euclide.

Avec python 3

# calcul du pgcd def pgcd(a,b):

while a%b !=0 : a,b=b,a%b return b Par exemple :

>>> pgcd(126,315) 63

8 3) Propriétés du PGCD

A. Propriété 1 :

L’ensemble des diviseurs communs (ou codiviseurs) à deux entiers naturels non nuls est l’ensemble des diviseurs de leur PGCD.

Démonstration :

D’après l’algorithme d’Euclide

( ) ( ) ( ) ( )

0 ...

( )

_n1

( )

_n

( )

_n

D a D b =D b D r = =D r₋ D r =D r Car r r_{n n−1} B. Propriété 2 :

Si on multiplie deux entiers naturels non nuls par un même entier naturel non nul, leur PGCD est multiplié par ce nombre :

( )

^{a b, * * k *}

     PGCD (k a k b, )= k PGCD ( , )a b Démonstration :

On reprend l’algorithme d’Euclide aveckaetkb

PGCD

(

^{ka kb,}

)

^{= PGCD} (kb kr, 0) = ……= PGCD

(

kr_n−1,kr_n

)

=k r_n, car r r_{n n−1}kr kr_{n n−1} Conséquence :

Si l’on divise deux entiers naturels non nuls par un de leurs codiviseurs entiers naturels, leur PGCD est divisé par ce nombre :

Soit d un diviseur positif commun à a et b, a=d a' et b=d b' On a PGCD

( )

^{a b,} = d PGCD

(

^{a b', '}

)

soit PGCD a b,

d d

 

 

  = ^PGCD

( )

^{a b,}

d

4) Nombres premiers entre eux

Définition

Les deux entiers naturels a et b non nuls sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1.

Propriétés

Soient deux entiers naturels a et b non nuls

• Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si a et b ont pour seul diviseur commun positif 1

• Un entier naturel d est le PGCD de deux entiers naturels a et b Si et seulement si

il existe deux entiers naturels a et' b , premiers entre eux, tels que ' a=da' etb=db'.

Soient deux entiers naturels a et b non nuls 1) 1 ère étape

Supposons que ^{d=PGCD a b}

( )

^,

d aDonc il existe un entier naturel a'tel quea=da' d bDonc il existe un entier naturel b'tel queb=db'

9

Alors

( ) ( )

^,

', ' a b, PGCD a b 1

PGCD a b PGCD

d d d

 

=  = = ^, a'etb'sont premiers entre eux On a donc établi :

(

d=PGCD a b

( )

^,

)



(

il existe deux entiers naturels premiers entre eux ' et ' tels que a b a=da' et b=db'

)

2) 2^ème étape

Supposons qu’il existe deux entiers naturels a'etb', premiers entre eux, tels que a=da' etb=db' Alors ^{PGCD a b}

( )

^{, =PGCD da db}

(

^{', '}

)

^{=d PGCD a b( ', ')=  =d 1 d.}

On a donc établi :

(il existe deux entiers naturels premiers entre eux ' et ' tels que a b a=da' et b=db')

(

d=PGCD a b( ),

)

Conclusion :

(

d=PGCD a b( )^,

)

⁽il existe deux entiers naturels premiers entre eux ' et ' tels que a b a=da' et b=db'⁾

5) Théorème de Gauss

Soient trois entiers naturels non nuls a b, etc Si a bc et a premier avec b alors a c

Démonstration :

a bc a bc ac c b a c

a ac

10

B. PPCM de deux entiers naturels

1) Définition

Soit un entier naturel ; notons M

( )

^a l’ensemble des multiples de a.

Rappels : ^M

( )  

^{0 = 0 Et si a0, alors M}

( )

^a contient un nombre infini d’éléments.

Remarque :

Quelque soient les entiers naturels a et b, ^{M a}

( )

^{M b}

( )

^{  puisque 0}est un multiple dea

et deb

Si l’un au moins des deux entiers naturels a et b est nul alors ^{M a}

( )

^{M b}

( )

⁼

 

⁰

Quelque soient les entiers naturels a et b non nuls ^{M a}

( )

^{M b}

( )

contient des entiers autres que 0 puisque cet ensemble contient ab0

L’ensemble ^{M a}

( )

^{M b}

( )

est donc une partie non vide de : elle possède un plus petit élément supérieur ou égal à 1 puisqu’elle contient au moins un entier naturel non nul Définition :

Soient a et b deux entiers naturels non nuls.

Le plus petit élément strictement positif de ^{M a}

( )

^{M b}

( )

est appelé le PPCM de a et b, et est noté PPCM

( )

^{a b, ou ab .}

On peut donc se limiter à a ^* et b ^* Soient a et b deux entiers naturels non nuls

Sib a alors ^{M a}

( )

^{M b}

( )

^{et M a}

( )

^{M b}

( )

^{=M a}

( )

^{et PPCM}

( )

^{a b,} = a ; la réciproque est vraie donc :

^{( / )b a }

(

^{PPCM( , )a b =a}

)

2) Propriétés du PPCM de deux entiers naturels non nuls

a) Propriété 1 :

L’ensemble des multiples communs de deux entiers naturels non nuls est l’ensemble des multiples de leur PPCM

Démonstration :

Soient a et b deux entiers naturels non nuls ; notons m= a b Montrons par double inclusion que ^{M a}

( )

^{M b}

( )

^{=M m}

( )

( )

^,

x M m m x

 

transitivité

a m a x

b m b x

 

  

 

 

  , donc ^{xM a}

( )

^{M b}

( )

^{: M m}

( )

^{M a}

( )

^{M b}

( ) ( ) ( )

x M a M b

  

Effectuons la division euclidienne de x parm : ^!

( )

^{q r,  2 x=mq+r avec} 0 r m

11

Alors ^{a x a x} a x mq r

a m a mq

 

   − =

 

 

 

De même ^{b x b x} b x mq r

b m b mq

 

   − =

 

 

 

Donc r est un multiple commun à a etb

Si r0 , on aurait un multiple commun à a etb strictement positif plus petit que ab Nous pouvons conclure que r=  =0 x mq et M a

( )

M b

( )

M m

( )

b) Propriété 2 :

Si on multiplie deux entiers naturels non nuls par un même entier naturel non nul, leur PPCM est multiplié par ce nombre :

( )

^{a b, * * n *}

     PPCM (n a n b, )= n PPCM ( , )a b

Démonstration :

Soient a et b deux entiers naturels non nuls ; notons m= a b et m'=(na)(nb) Montrons que mn=m'

a m an mn b m bn mn

 

 

 

 

  donc mn est un multiple commun (non nul) de an etbn , mn est un multiple de m' : m'mn

L’entierm'est un multiple dean etbn, l’entierm'est donc un multiple de n :  k m'=kn

n *

kn an k a kn bn ^ k b

 

 

 

 

  , k est un multiple de a etb : c’est un multiple demdonc m'=kn est un multiple de mn : mnm'

Conclusion : ^' '

' mn m

m mn m mn

 

 =

 

Conséquence :

Si l’on divise deux entiers naturels non nuls par un de leurs codiviseurs entiers naturels, leur PPCM est divisé par ce nombre :

Soit d un diviseur commun positif à a et b, a=d a' et b=d b' (remarquons qued0) On a PPCM

( )

^{a b, = d  PPCM}

(

^{a b', '}

)

soit PPCM a b,

d d

 

 

  = ^PPCM

( )

^{a b,}

d

12

ARITHMETIQUE DANS

Nombres premiers

A. Définitions

1) Définition

Un entier naturel p est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.

2) Exemples :

• 0 et 1 ne sont pas premiers

• 2 est le seul nombre premier pair 3) Remarque :

Un entier naturel n2 non premier est dit composé ; c’est un nombre qui admet donc un diviseur d tel que1 d n.

B. Reconnaissance d’un nombre premier

1) Théorème 1 :

Tout entier naturel n, supérieur ou égal à 2, admet au moins un diviseur premier.

Démonstration :

Considérons nun entier naturel 2

Soit n est premier, il admet au moins un diviseur premier : lui-même

Soit nn’est pas premier, l’ensemble des diviseurs positifs den, noté^{D n}

( )

, contient d’autres diviseurs que1 etn.

Soit ple plus petit diviseur positif dendifférent de 1. Montrons que cet entier pest premier Pour cela considérons un diviseur positifdep, p /

p n n

 ^

 donc est un diviseur denet comme p on a  p

Les diviseurs denqui sont inférieurs ou égaux ànsont1etpdonc =1ou= p, ce qui établit que pa pour diviseurs positifs 1 et lui-même donc pest premier et nadmet au moins un diviseur premier

2) Théorème 2 :

Tout entier naturel n2 non premier admet au moins un diviseur premier dont le carré est inférieur ou égal à n.

Démonstration :

Considérons nun entier naturel 2 non premier

Reprenons les notations de la démonstration du théorème 1, c'est-à-dire soit ple plus petit diviseur positif dendifférent de 1.

On sait que l’entier pest un nombre premier.

13

Commep n,  q tel que n=pq.Alors l’entier naturel qest un diviseur positif denet qest nécessairement différent de 1 sinon n=1p= pce qui est impossible puisque nest non

premier et p premier.

L’entier qest donc supérieur ou égal à p, on peut écrire alors pqet en multipliant chacun des deux membres de cette inégalité par l’entier positif pon obtient p²  pq soitp² n. Conséquence :

Soit un entier naturel n2.

Si n n’est divisible par aucun nombre premier p tel quep² n , alors n est un nombre premier.

C. L’ensemble des nombres premiers

Théorème : L’ensemble des nombres premiers est infini.

Démonstration :

Raisonnons par l’absurde, supposons que l’ensemble des nombres premiers, notéP, contient un nombre fini d’éléments

Soient p₁,....,p_n les éléments de P(nest donc le nombre de nombres premiers)

Considérons l’entierN = p p_{1 2}...p_n+1, comme p₁1et…et p_n 1on a p₁...p_n 1et donc 2

N

On peut utiliser le théorème 1 :N admet au moins un diviseur premier. Notons qun diviseur premier de N

Comme qest un nombre premier, il est élément de l’ensemble P c'est-à-dire ^{ k}



^1,...,n



^tel

que q= p_k

( )

1

1

.... ... 1

k k

n

q p p p

q N p p q N

=   − =

 Ce qui est impossible puisque le seul diviseur positif de 1 est 1 qui n’est pas premier

Conclusion : P est un ensemble infini

Pour obtenir la liste des nombres premiers strictement inférieurs à un entier naturel n donné on peut utiliser l’algorithme appelé crible d’Eratosthène

Crible d’Eratosthène

Ératosthène est un astronome, géographe, philosophe et mathématicien grec (-276,-194)

Cherchons par exemple les nombres premiers inférieurs ou égaux à 100

➢ p=2 est un nombre premier ; on barre tous ses multiples (strictement supérieurs à p)

➢ Le premier entier non barré suivant p est premier. On le note à nouveau p et l’on barre tous ses multiples (strictement supérieurs à p)

➢ Tant qu’il reste un nombre non barré après p , on réitère l’opération….

14

D. Factorisation des entiers naturels

1) Théorème fondamental : (unicité admise)

Tout entier naturel 2 est, de façon unique, un produit de nombres premiers Démonstration : par récurrence forte

Soit P n : "n est produit de nombres premiers"

Initialisation pourn 2 2

P est vraie puisque 2 est premier lui-même

Hérédité : soit n 2 ,supposons la proposition vraie jusqu’au rang n c’est-à-dire tout entier 2,

k n est un produit de nombres premiers. Montrons que P n 1 vraie Deux cas :

Si n 1 est premier alors n 1 s’écrit comme produit d’un nombre premier : lui-même Si n 1 n’est pas premier , alors il existe deux entiers a et b appartenant à 2,n tels que

1 n ab

D’après l’hypothèse de récurrence a etb s’écrivent comme produit de nombres premiers alors leur produit n 1 abest aussi produit de nombres premiers

Certains facteurs premiers peuvent être égaux ; en les associant, tout entier naturel a2 s’écrit sous la forme :a= p p₁^1 ₂^2...p_n^n où p p₁, ₂,..,p_n sont des nombres premiers et

1, 2,..., _n

   des entiers naturels non nuls avecn ^*.

Les nombres premiers sont appelés les facteurs premiers de l’entier a Exercice :

Un nombre premier divise un produit d’entiers naturels non nuls si et seulement s’il divise l’un de ces facteurs

1, 2,.., _n

p p p

15 2) Conséquences :

Si a est un entier naturel 2se décompose en produit de facteurs premiers sous la forme

1 2

1 2 ... _nⁿ

a= p p^{ } p^ , alors :

• Les diviseurs entiers naturels de l’entier a sont les entiers naturels de la forme

1 2

1 2 ... _nⁿ

p p^{ } p^ où, pour tout entier^i



^{1, 2,..,n}



^, i est un entier tels que0 _i  _i.

• Le nombre de diviseurs entiers naturels de l’entier a est

(

1+1

)(

2+1 ....

) (

_n+1

)

3) Application à la recherche du PGCD et PPCM de deux entiers naturels non nuls

a) PGCD et décomposition en facteurs premiers Soient deux entiers naturels a et b supérieurs ou égaux à 2

Le PGCD de a et b est égal au produit des facteurs premiers communs aux

décompositions de a et b, chacun d’eux étant affecté du plus petit exposant avec lequel il figure dans les deux décompositions.

b) PPCM et décomposition en facteurs premiers Soient deux entiers naturels a et b supérieurs ou égaux à 2

Le PPCM de a et b est égal au produit des facteurs premiers figurant dans l’une ou l’autre des décompositions de a et b, chacun d’eux étant affecté du plus grand exposant avec lequel il figure dans les deux décompositions.

Conclusion : Soit r ^*

Siaetbsont deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 qui s’écrivent

1

i

r i i

a p

=

=



^et

1

i

r i i

b p

=

=



^où

^

^p1,...,pr

^

est l’ensemble des nombres premiers distincts deux à deux contenant tous les diviseurs premiers deaet b, et pour tout entier natureli , _iet _i sont des entiers naturels éventuellement nuls

Alors on a : ^{min( , )}

1

i i

r i i

a b p

=

 =



^{et max( , )}

1

i i

r i i

a b p

=

 =



Puisque min

(

i, i

)

+max

(

i, i

) (

= i+ i

)

, il vient

( )

^{min( , ) max( , ) ( )}

1 1 1 1

( ) ^{i i i i i i i i}

r r r r

i i i i

i i i i

a b a b p ⁺ p ⁺ p p a b

= = = =

   =



=



=







= 

c) Théorème

Le produit de deux entiers naturels non nuls est égal au produit de leur PGCD et de leur PPCM

C’est à dire si a et b deux entiers naturels non nuls, alors ^PGCD

( )

^{a b, PPCM}

( )

^{a b, = a b}

Conséquence :

Si a et b deux entiers naturels non nuls premiers entre eux, alors ^PPCM

( )

^{a b, =ab}

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