Décompositions multiplicatives directes des entiers

D ^IAGRAMMES

L ^AURENT C ^OPPEY

Décompositions multiplicatives directes des entiers

Diagrammes, tome 67-68 (2012), p. 1-53

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DIAGRAMMES VOLUMES 67+68, 2012

DECOMPOSITIONS MULTIPLICATIVES DIRECTES DES ENTIERS

Deuxième Partie

Laurent Coppey

Sommaire de la première partie (Diagrammes, volumes 65+66, Paris, 2011)

Introduction.

0. Précatégories et prémonoïdes. p. 3

1. Décompositions directes des prémonoïdes commutatifs bien ordonnés

et noyaux d’instabilité. p. 21

2. Structures des décompositions directes additives de N . p. 30 3. Les décompositions directes non triviales de N² en deux facteurs. p. 39 4. Généralisation du résultat précédent à certaines décompositions de N^k . p. 49 4 ^bis. Exploration en petites dimensions (3, 4 et 5). p. 52

Sommaire de la deuxième partie

5. Classification générale. p. 3

6. La suite des foncteurs dérivés associée à une décomposition directe

multiplicative de N^* . p. 19

7. Squelettes. p. 26

8. Facteurs eulériens (ou le retour aux nombres). p. 41

_______________

UN SQUELETTE SAIN SEMI-TRIVIAL

DE DIMENSION 10

Combien de composantes connexes a-t-il ?

5 . Classification générale .

Objets irréductibles.

Soit (A,B) une décomposition directe de N^k ; parmi les parties propres de N^k, il y a les suivantes : soit H un sous-ensemble de K = {1, 2, …,k} ayant h éléments; l’ensemble des éléments (xp)p∈K tels que xp = 0 si p ∉ H est une partie propre relative à la décomposition donnée (A,B) sur laquelle (A,B) induit donc une décomposition directe (A’,B’) qui est naturellement isomorphe à une décomposition directe de N^h encore notée (A’,B’) ; la partie supplémentaire canonique de N^h est celle des éléments (x_p)_p∈K tels que x_p = 0 si p ∈ H ; c’est aussi une partie propre relative à la décomposition donnée (A,B) sur laquelle (A,B) induit une décomposition directe (A’’,B’’) qui est naturellement isomorphe à une décomposition directe de N^ℓ encore notée (A’’,B’’) (h + l = k) ; bien sûr N^k = N^h ⊕ N^ℓ, mais en général (A,B) n’est pas la somme directe (ou le produit !) des décompositions induites (A’,B’) et (A’’,B’’).

Définition 5-1.

S’il existe une partie propre H de K ( h = H≠ 0 et K \H = l ≠ 0) telle que l’on ait : (N^k, (A,B)) ≅ (N^h, (A’,B’)) ⊕ (N^ℓ, (A’’,B’’))

on dit que l’objet (N^k,(A,B)) est réductible; dans le cas contraire on dit qu’il est irréductible.

On suppose que pour tout p, 1 ≤ p ≤ k , Ap = {0}. Alors on a la proposition suivante : Proposition 5-1.

Si, pour un certain ordre lexicographique L, a = infL(A^*) n’a aucune composante nulle, alors pour tout autre ordre lexicographique L’, on a inf_L’(A^*) = a ; on peut donc écrire sans risque de confusion : ω* = inf(A^*) (ω* = a est bien défini sans référence à tel ou tel ordre lexicographique L)

► Soit donc un autre ordre lexicographique L’ et supposons a’ = infL’(A^*) ≠ a ; on a donc à la fois et par définition : a <_L a’ et a’ <_L’ a.

Définissons les deux éléments suivants :

b est défini par ses composantes : bi = a’i – ai si a’i ≥ ai et bi = 0 autrement b’ est défini par ses composantes : b’j = aj – a’j si aj ≥ a’j et b’j = 0 autrement

Remarquons d’abord que, pour tout i, on a : bi ≤ a’i . Supposons que pour tout indice i, on ait bi = a’i ; on ne peut pas avoir a’i ≥ ai , puisque cela entrainerait : bi = a’i – ai = a’i et donc a_i = 0, ce qui est exclu par hypothèse. Il existe donc au moins un indice i tel que b_i < a’_i . Supposons que cet indice i soit le plus petit possible, pour l’ordre lié à L’ ; on en déduit alors que b <_L’ a’ et donc que b ∈ B.

Remarquons encore que, pour tout j, on a : b’j ≤ aj . Supposons que pour tout indice j, on ait b’j = aj ; on ne peut pas avoir aj < a’j , puisque cela entrainerait : b’j = 0 = aj , ce qui est exclu

≥ a’

stricte a <_L a’ . Il existe donc un indice j tel que b’_j < a_j . Supposons que cet indice j soit le plus petit possible, pour l’ordre lié à L ; on en déduit alors que b’ <_L a et donc que b’ ∈ B.

Enfin, on vérifie que a + b = a’ + b’ ; en effet :

- ou bien a’i ≥ ai , et on a : ai + bi = ai + a’i – ai = a’i = a’i + 0 = a’i + b’i , - ou bien ai ≥ a’i , et on a : ai + bi = ai + 0 = ai = a’i + ai – a’i = a’i + b’i .

On aurait donc un élément avec deux décompositions. Ainsi, a’ = a = ω* = inf(A^*) est défini indépendamment de l’ordre lexicographique L choisi sur N^k . ◄

Supposons toujours que pour tout p, 1 ≤ p ≤ k , Ap = {0}. Alors on a la proposition suivante : Proposition 5-2.

Si l’élément ω* = inf(A^*) est bien défini, c’est-à-dire s’il existe un ordre lexicographique L tel que ω* (= infL(A^*)) ait toutes ses composantes ai non nulles, alors l’objet ( N^k, (A,B) ) est irréductible.

► On suppose donc qu’existe ω* = inf(A^*) et nous raisonnons par l’absurde en supposant que la décomposition directe additive ( N^k, (A,B)) se décompose en :

( N^k, (A,B)) = ( N^h, (A’,B’)) ⊕ ( N^ℓ, (A’’,B’’)), avec h et l ≠ 0(k = l+h).

Sans nuire à la généralité, on peut supposer que les composantes ont été rangées de telle sorte que N^h s’identifie à l’ensemble des x = (x₁, x₂,…, x_k) tels que x_h+1 = x_h+2 =…= x_k = 0 et N^ℓ s’identifie à l’ensemble des x = (x₁, x₂,…, x_k) tels que x₁ = x₂ =…= x_h = 0. L’élément ω* se décompose en a’+a’’∈ A’⊕ A’’ = A; les éléments a’ et a’’ sont dans A, mais évidemment strictement plus petits que ω* ; ils ne peuvent qu’être nuls, mais alors aussi d’où a = 0, ce qui est une contradiction. ◄

La réciproque de cette proposition est fausse dès la dimension 3 : il suffit de se référer aux décompositions de type (ii) et (iii) décrites au paragraphe 4)^bis Donnons encore un contre- exemple en dimension 4.

Une décomposition de N⁴ non descriptible en termes de décompositions de N, N², N³. Soient e₁ = (1,0,0,0), e₂ = (0,1,0,0), e₃ = (0,0,1,0) et e₄ = (0,0,0,1) les éléments de la « base canonique » de N⁴.

Pour une permutation (i,j,k,l) de (1,2,3,4), on pose Nij = N(ei +ej ) ⊕ Nek ⊕ Nel .

Le couple de parties A = N(e3 +e4 )∪N(e1 +e2 ) et B = N13 ∪ N24 ∪ N23 ∪ N14 constitue une décomposition directe de N⁴.

Voici la décomposition d’un élément u = (x,y,z,t) en somme a+b, avec a ∈ A et b ∈ B selon la valeur de m = inf(x, y, z, t) :

- m = x et t ≥ z ; a = (0, 0, z-x, z-x) et b = (x, y, x, t-z+x) - m = x et z ≥ t ; a = (0, 0, t-x, t-x) et b = (x, y, z-t+x, x) - m = y et t ≥ z ; a = (0, 0, z-y, z-y) et b = (x, y, y, t-z+y) - m = y et z ≥ t ; a = (0, 0, t-y, t-y) et b = (x, y, z-t+y, y) - m = z et x ≥ y ; a = (y-z, y-z, 0, 0) et b = (x-y+z, z, z, t) - m = z et y ≥ x ; a = (x-z, x-z, 0, 0) et b = (z, y-x+z, z, t) - m = t et x ≥ y ; a = (y-t, y-t, 0, 0) et b = (x-y+t, t, z, t) - m = t et y ≥ x ; a = (x-t, x-t, 0, 0) et b = (t, y-x+t, z, t)

On a donc bien N⁴ = A⊕B. On peut vérifier facilement que cette décomposition n’est en aucun cas produit de deux décompositions induites de dimensions 2 ou de deux décompositions de dimensions 1 et 3 :

- sur (xy) et (zt), (1,1,1,1) serait élément de A, puisqu’égal à (1,1,0,0)+(0,0,1,1) ; - sur (xz) et (yt), (1,1,1,1) serait élément de A, puisqu’égal à (1,0,1,0)+(0,1,0,1) ; - sur (xt) et (yz), (1,1,1,1) serait élément de A, puisqu’égal à (1,0,0,1)+(0,1,1,0) ; - sur (xyz) et (t), (1,1,1,1) ne serait pas dans B, puisqu’égal à (1,1,0,0)A+(0,0,1,1)B ; - sur (xyt) et (z), (1,1,1,1) ne serait pas dans B, puisqu’égal à (1,1,0,0)A+(0,0,1,1)B ; - sur (xzt) et (y), (1,1,1,1) ne serait pas dans B, puisqu’égal à (1,1,0,0)_B+(0,0,1,1)_A ; - sur (yzt) et (x), (1,1,1,1) ne serait pas dans B, puisqu’égal à (1,1,0,0)_B+(0,0,1,1)_A ;

Nous verrons que cet exemple est en quelque sorte générique, puisqu’il représente un nouveau type de décomposition non triviale de N⁴ , c’est-à-dire non « déductible » des décompositions directes des puissances de N inférieures à 4. On remarquera que le groupe S4 et sa représentation sur S3 sont en cause ici!

Soit (N^k, (A,B)) une décomposition directe telle que, pour tout p, on ait : A_p< ∞. D’après la proposition 4-1, dont on reprend les notations, (ΩΩΩΩ, C) est une décomposition directe de N^k ; les parties ΩΩΩ et C sont propres pour la décomposition (A,B) donnée. Ω

Tout z ∈ N^k s’écrit de façon unique z = ω+c où ω∈ ΩΩΩΩ et c∈ C , et l’on a : a(z) = a(ω) + a(c) et b(z) = b(ω) + b(c), où a(ω), b(ω) ∈ ΩΩΩΩ

On est donc ramené à décrire la décomposition induite sur ΩΩΩΩ. Comme ΩΩΩΩ est canoniquement isomorphe à N^k, il s’agit de décrire les décompositions directes de N^k telles que tous les axes Np = Nep , ep = (0,.0,., 0, 1p, 0.,.0), soient dans B, ce que nous supposons donc.

Proposition 5-3.

Si l’élément ω* = inf(A^*) est bien défini, c’est-à-dire s’il existe un ordre lexicographique L tel que ω* (= infL(A^*)) ait toutes ses composantes bi ei non nulles, la demi-droite D = N.ω*

est une partie propre, l’ensemble L = {x  ∃ p (xp < bp)} est contenu dans B et l’on a : A = AD

et aussi B = BD⊕L.

► Ceci étant, on procède par récurrence portant sur les multiples entiers de ω* ; par définition, de ω*, on a : L ⊂ B, et tout élément z de ω* + L se décompose de façon évidente en ω* + l sachant que ω* ∈ A et l ∈ L⊂ B, conformément à l’énoncé de la

Supposons établi le résultat pour tous les ensembles p.ω* + L, avec p < q, à savoir que, pour tout l ∈ L, on a : a(pω* +l) = a(pω*) et b(pω* +l) = b(pω*) + l, avec a(pω*) et b(pω*) ∈ D.

Venons-en à l’ensemble q.ω* + L ; il y a trois cas à examiner :

- si q.ω* ∈ A , alors, on est dans la même situation que ci-dessus ( cas q = 1) ; tout élément z de q.ω* + L se décompose en q.ω*+ l sachant que q.ω* ∈ A et l∈L⊂ B;

- si q.ω* ∉ A∪B, alors q.ω* = a + b, où (a,b) ∈ A*×B* ; par hypothèse de récurrence, l’élément a = a(q.ω*) est a priori de la forme p.ω*, avec 0 < p < q et b est aussi un multiple de ω*, puisqu’égal à (q-p).ω* ; tout élément z de q.ω* + L, z = q.ω*+l, se décompose alors de façon évidente : en effet, grâce à l’hypothèse de récurrence, on sait que l’élément y = (q-p).ω* +l est dans B car b(y) = b((q-p).ω*+l) = b((q-p).ω*)+l = (q-p).ω*+l

= y ; et l’unicité de décomposition achève d’établir que a(q.ω*+l) = a(q.ω*) et b(q.ω*+l) = b(q.ω*) +l.

- si q.ω*∈B; montrons que pour tout l∈L⊂ B, q.ω*+ l∈ B.

A cet effet, établissons d’abord ceci :

si , pour tout l < l₁∈ L, on a : q.ω*+ l ∉ A, alors, pour ces mêmes l, on a q.ω*+ l ∈B ; soit en effet a = a(q.ω*+ l) et b = b(q.ω*+ l) ; b ≠ 0 car q.ω*+ l ∉ A ; donc a < q.ω*+ l; mais a priori a est de la forme p.ω* + l’ avec p < q ( p > q est impossible, p = q est exclu par hypothèse secondaire). L’hypothèse générale de récurrence s’applique alors : a(p.ω*+ l’)

= a(a) = a = p.ω* + l’ = a(p.ω*) ∈ N.ω* ; donc l’ = 0 et a = p.ω* ∈A; alors b = (q-p).ω*+ l; si p > 0, l’hypothèse générale de récurrence s’applique encore: b((q-p).ω*+ l) = (q-p).ω*+ l = b((q-p).ω*)+ l où b((q-p).ω*) ∈ B ; donc b((q-p).ω*) = (q-p).ω* ∈B ; il y a alors une contradiction, puisque q.ω* aurait deux décompositions : la triviale q.ω* = 0+q.ω* et l’autre q.ω* = p.ω* +(q-p).ω* ( 0 < p < q). La seule possibilité qui reste est : p = 0, donc a = 0, donc q.ω*+ l ∈B.

Maintenant, supposons qu’il y ait dans q.ω* + L des éléments de A ; soit q.ω*+l le plus petit d’entre eux (pour un ordre lexicographique arbitraire !) ; on sait que l =

∑

= k 1 i

i ie m , et il existe i tel que mi < bi ; effectuons pour tout i la division de mi par bi ; il existe donc des entiers si et ri tels que : mi = si.bi + ri , avec ri < bi ; l’un des entiers si au moins est nul ; distinguons alors deux cas :

~ supposons d’abord que l’on ait : r_i = 0 pour tout i ; alors l =

∑

= k 1 i

i ie

m =

∑

= k 1 i

i i ib e

s et il existe un indice i = j au moins tel que sj > 0 ; on supposera que cet indice est le plus petit possible (pour l’ordre lexicographique en cause) ; posons :

l₁ = (sj -1)bjej +

∑

≠j i

i i ib e s

de sorte que l = l₁ + bjej ; il y a alors une contradiction concernant l’unique décomposition de l’élément q.ω* + l+

∑

≠j i

i ie b : q.ω* + l+

∑

≠j i

i ie

b = (q.ω* + l)A + (

∑

≠j i

i ie b )B

q.ω* + l+

∑

≠j i

i ie

b = q.ω* + l₁ +

∑

= k 1 i

i ie

b = (q.ω* + l₁)B +(ω*)A

Remarquons bien que l₁ < l, par choix de minimalité de j, et le résultat du début s’applique : q.ω* + l₁ ∈ B.

Remarquons aussi que

∑

≠j i

i ie

b < ω* , et donc

∑

≠j i

i ie

b ∈ B, par définition de ω* ;

~ supposons maintenant qu’il existe j tel que r_j ≠0; alors τ =

∑

= k −

1 i

i i i r )e b

( ∈ L ⊂ B; de plus,

on a : l + τ = l₁ + ω* où l₁ =

∑

= k 1 i

i i ib e

s < l ; il y a encore une contradiction concernant l’unique décomposition de l’élément q.ω* + l+τ :

q.ω* + l+τ = (q.ω* + l)A + (τ)B = (q.ω* + l₁)B + (ω*)A

(l₁ < l et le résultat du début s’applique : q.ω* + l₁ ∈ B)

Finalement, l’existence même d’un élément de A tel que q.ω*+l conduit à une contradiction : tous les éléments de q.ω* + L sont dans B.

En résumé, nous savons maintenant que si (N^k, (A,B)) est une décomposition directe telle que, pour tout p, on ait : A_p< ∞, alors :

N^k = L ⊕ D ⊕ C = L⊕ AD ⊕ BD ⊕ AC ⊕ BC où A = A_ΩΩΩΩ ⊕ AC = AD ⊕ AC et B = L⊕ BD ⊕ BC , et, lorsqu’on a opéré la première réduction, ou si l’on veut si C = {0}, alors :

N^k = L ⊕ D = L⊕ AD ⊕ BD où A = AD et B = L⊕ BD . .

Nous indiquons pour finir comment calculer pratiquement p et l. Soit x =

∑

i i ie

x ; on a ω* =

∑

i i ie

b ; si x ∉ L, c’est que toutes les composantes de x sont plus grandes que celles de ω* ; pour tout i, de 1 à k, on effectue la division euclidienne de xi

par bi : xi = pi.bi + ri , avec ri < bi ; si x ≠ ω* il existe au moins un indice i pour lequel pi ≠ 0 ; soit alors p le plus petit des pi ≠ 0 ; alors l’élément suivant : l =

∑

^{− +}

i

i i i i p).b r ).e p

(( =

∑

⁻

i

i i i p.b ).e x

( est dans L : en effet, soit j un indice pour lequel pj = p; on a : l_j = r_j < b_j ; l’élément l n’est autre que x – p.ω* ; pour avoir la décomposition de x, il convient de décomposer encore p sur la demi droite D = N.ω*. ◄

Définition 5-2

Soit (N^k, (A,B)) une décomposition directe telle que tous les axes Np = N.ep se décomposent en Ap⊕Bp chaque Ap étant fini. Si, après réduction, existe l’élément α = inf(A^*) comme dans la proposition 5-3 ci-dessus, un tel objet sera dit objet irréductible simple, et plus précisément, si tous les Ap sont réduits à {0} (i.e. C = {0}) objet irréductible réduit simple.

Ce sont les objets de la proposition 5-2.

Définition 5-3.

On dira que (e_i1 , e_i2, …, e_iq) est à la base d’un sous-objet irréductible simple de (N^k, (A,B)) si la décomposition induite par (A,B) sur N.ei1 ⊕ N.ei2 ⊕ …⊕ N.eiq , qui est canoniquement isomorphe à une décomposition de N^q , est un objet irréductible simple, ce qui suppose qu’existe un plus petit élément α de A\{0}∩ (N.ei1 ⊕ N.ei2 ⊕ …⊕ N.eiq) qu’on appellera le générateur d’irréductiblité du sous-objet en question.

Définition 5-4 (sutures).

Soit (N^k, (A,B)) un objet irréductible simple, avec générateur d’irréductiblité α dans A ; l’ensemble D = N.α se décompose en AD ⊕ BD ; si AD est fini (et par essence non réduit à {0}!) nous dirons que c’est une suture de genre a (ou que l’objet (N^k, (A,B)) présente une suture de genre a) ; les éléments non nuls de AD sont appelés points de suture.

On définit de façon symétrique les sutures de genre b et leurs points de suture.

Notons que la seule considération des squelettes sains (cf. : la première partie, au § 4) ^bis, petite incursion en dimension 4 et 5 ) élimine d’office les sutures.

Dans ce qui suit, propositions 5-4 à 5-10, on travaille avec un objet (N^k, (A,B)) où chaque Np est contenu dans B.

Proposition 5-4.

Supposons que Eq = (ei1 , ei2, …, eiq) et Er = (ej1 , ej2, …, ejr) soient à la base de deux sous- objets irréductibles simples distincts de (N^k, (A,B)), avec générateurs d’irréductibilité respectifs αq et αr. Alors les ensembles Eq et Er sont disjoints.

►Posons αq =

∑

= q 1 p

ip pe

m et αr =

∑

= r

1 p

jp pe

n ; nous raisonnons par l’absurde et supposons donc que e ∈ Eq ∩Er et, pour fixer les idées, que e = ei1= ej1 et que l’on ait : m1 ≥ n1 ; alors l’élément x = m₁.e+

∑

= q 2 p

ip pe

m +

∑

= r 2 p

jp pe

n aurait deux décompositions selon (A,B), à savoir :

a(x) = m1.e+

∑

= q 2 p

ip pe

m =

∑

= q 1 p

ip pe

m = αq et b(x) =

∑

= r 2 p

jp pe

n (∈B, par déf. de αr), et

a(x) = n1.e+

∑

= r 2 p

jp pe

n =

∑

= r

1 p

jp pe

n = αr et b(x) =

∑

= q 2 p

ip pe

m +(m1-n1).e (∈B, par déf. de αq) ◄

Proposition 5-5.

Il existe une unique partition P de K = {0,1,2,…,k} ayant la propriété suivante : ∀ I ∈ P - ou bien card(I) ≥ 2 et dans ce cas, (ei)i ∈I est une base de sous-objet irréductible simple de (N^k, (A,B)),

- ou bien card(I) = 1 et l’ensemble S de ces singletons est tel que S =

⊕

s∈S^{N.es ⊂ B.}

► Soit B l’ensemble des bases de sous-objets irréductibles simples de (N^k, (A,B)). D’après la proposition 5-4 c’est un ensemble de parties disjointes de K ayant chacune au moins 2 éléments. Soit U leur réunion et soit S = K \ U.

Montrons que le sous-monoïde S engendré par S est entièrement contenu dans B. Raisonnons par l’absurde : supposons que A ∩ S ne soit pas réduit à {0}; soit a ∈ A ∩ S un élément non nul, ayant un nombre de composantes non nulles minimum (ce nombre est alors nécessairement supérieur ou égal à 2); pour fixer les idées, supposons que ces composantes correspondent aux indices ( i1 , i2 , …, ir ) et posons pour simplifier fn = ein ; soit R le sous- monoïde engendré par (f₁, f₂ ,…, f_r ) et soit L un ordre lexicographique dans R (correspondant par exemple à l’ordre naturel : 1 < 2 <…< r ) ; soit enfin a’ = inf_L(A^*∩ R) ; les r composantes de a’ sont non nulles puisque a a été choisi dans S avec un nombre minimum de composantes non nulles (qui est r !). D’après les propositions 5-1 et 5-2, l’élément a’ = inf(A^*∩ R) est minimum absolu et R est sous-jacent à un sous-objet irréductible de (N^k, (A,B)), dont a’ serait le générateur d’irréductibilité ; alors { i₁ , i₂ , …, i_r }serait une base de sous-objet irréductible et donc élément de B, et à ce titre { i₁ , i₂ , …, i_r } serait contenu dans U et non dans S. ◄

Proposition 5-6.

Supposons en plus que P ne contienne qu’un élément de base Eq = (e1 , e2, …, eq) et de générateur d’irréductibilité α =

∑

= q 1 i

i ie

n ; désignons par (f₁, f₂ ,…, f_s ) les éléments de S.

► Nous raisonnons par l’absurde et seulement dans le cas i = 1 pour fixer les idées : supposons que α* =

∑

= q β

2 i

i ie

' +

∑

= s β

1 j

j

j.f soit un élément de A^*, minimum pour un ordre lexicographique ; d’après la proposition 5-5, l’élément

∑

= s β

1 j

j

j.f est dans B, et l’élément

∑

=

β

q 2 i

i ie

' est aussi dans B, puisqu’il est sur le bord d’un objet irréductible dont les

axes sont dans B (la première composante de a(

∑

= q β

2 i

i ie

' ) est nulle, et comme c’est un élément de A dans un sous-objet irréductible à base dans B, il ne peut qu’être nul, donc

∑

= q β

2 i

i ie

' ∈ B) ; de plus

∑

= q β

2 i

i ie

' ≠ 0, sinon α* ∈ A∩B et α* = 0 ∉ A^*.

Si β’i ≥ ni, on pose t_i = β’i- n_i et u_i = 0; si n_i >β’i, on pose u_i = n_i -β’i et t_i = 0 (par convention, β’1= 0); l’élément z = α* +

∑

= q 1 i

i ie

u a deux décompositions :

(1) z =

∑

= q β

2 i

i ie

' +

∑

= s β

1 j

j j.f +

∑

= q 1 i

i ie

u = α + (

∑

= q 2 i

i ie t +

∑

= s β

1 j

j j.f ) ;

l’élément (

∑

= q 2 i

i ie t +

∑

= s β 1 j

j

j.f ) est strictement plus petit que α* , puisqu’il existe au moins un indice i pour lequel β’i ≠ 0, et nécessairement alors élément de B ;

(2) z = α* +

∑

= q 1 i

i ie u

∑

= q 1 i

i ie

u est élément de B puisque pour tout i on a : ni ≥ ui et qu’il existe au moins un indice i

pour lequel cette inégalité est stricte, car

∑

= q β

2 i

i ie ' ≠ 0.

Ces deux décompositions sont évidemment distinctes. ◄

Cette proposition généralise la proposition 4-1-1 (cf. première partie)

Proposition 5-7.

Dans le cas de deux bases de sous-objets irréductibles simples (de même nature) : - soit Ep = (e1,…, ep) et Eq = (f1,…, fp) (dans B toutes deux)

- et leurs générateurs d’irréductibilité: α =

∑

= p 1 i

i ie

n et α’ =

∑

= q 1 j

j jf '

n , éléments de A, on a : Lp ⊕ Lq ⊂ B.

► Lp = { l_p =

∑

= p λ

1 i

i

ie ^ ∃i λi < ni } et Lq = { l_q =

∑

= q λ 1 j

j

jf  ∃j λj < n’j }. Comme Lp ⊕ Lq est propre, il suffit de montrer que Lp ⊕ Lq ne contient aucun élément de A.

Pour l_p ∈ Lp on définit l’entier h(l_p) = l_p1 + l_p2 +…+ l_pp .

Pour l_q ∈ Lq fixé, on effectue une simple récurrence portant sur l’entier n = h(l_p) ; on peut supposer l_p ≠ 0 .

Supposons que l’_p + l_q ∈ B pour tout l’_p tel que h(l’_p) < n ;

soit alors l_p tel que n = h(l_p) ; pour tout i, posons mi = 0 si l_pi ≥ ni et ni - l_pi autrement ; soit µ =

∑

= p 1 i

i ie

m ; supposons que l_p + l_q ∈ A ; soit z = l_p + l_q + µ ; alors on dispose de deux décompositions pour z :

z = (l_p + l_q )A + µB car µ ∈ Lp⊂ B , et

z = l_p + l_q + µ = l’p + µ’ + l_q + µ = (l’p + l_q)B + αA ;

oùl’on a posé: l_p = l’p + µ’, avec µ’ =

∑

= p −

1 i

i i i m ).e n

( et l’p i = l_{p i} + mi – ni ; on a : h(l’_p) < n ,

car si l_pi ≥ ni , alors mi = 0 et l_{p i} + mi – ni < l_{p i} , et si l_pi < ni , alors l_{p i} + mi – ni = 0 ≤ l_{p i} ; et si on est toujours dans le deuxième cas, il n’est que de remarquer qu’un au moins des l_{p i} n’est pas nul, puisque l_p ≠ 0 ; ainsi , par hypothèse de récurrence, l’p + l_q ∉ A et donc ∈ B, car la partie Lp ⊕ Lq est propre.

Clairement ces deux décompositions sont distinctes…d’où la contradiction et l_p + l_q ∉ A . ◄

Proposition 5-8.

Toujours avec les mêmes hypothèses, et les mêmes notations et posant D = N.α et D’ = N.α’, D ⊕ D’est une partie propre et l’on a : A = AD ⊕ D’ et B = BD ⊕ D’ ⊕ Lp ⊕ Lq .

► On établit ce résultat par récurrence (transfinie) portant sur les couples (p,p’) d’entiers coordonnées des éléments de D ⊕ D’. Les éléments de Lp (resp. Lq ) sont génériquement désignés par la lettre l (resp. l’). On suppose que pour tout couple (q,q’) p (p,p’) on a :

a(q.α+q’.α’+l+l’) = a(q.α+q’.α’) et b(q.α+q’.α’+l+l’) = b(q.α+q’.α’)+l+l’ avec a(q.α+q’.α’) et b(q.α+q’.α’) ∈ D ⊕ D’

soit z0 = p.α+p’.α’+l+l’(z0 = z+ z’, avec z = p.α+l et z’ = p’.α’+l’); on décompose z0 -l-l’=

p.α+p’.α’ en a + b, où a = p1.α+p’1.α’+l₁+l’1 et b = p2.α+p’2.α’+l₂+l’2; supposons que l’on ait : (p1,p’1) p (p,p’) et (p2,p’2) p (p,p’) ; alors :

p1.α+p’1.α’+l₁+l’1 = a(p1.α+p’1.α’+l₁+l’1) = a(p1.α+p’1.α’) ;

donc l₁ = l’₁ = 0 et p₁.α+p’₁.α’ ∈ A; dans ce cas, b = (p-p₁).α + (p’-p’₁).α’; de même on a : p₂.α+p’2.α’+l₂+l’₂ = b(p₂.α+p’2.α’+l₂+l’₂) = b(p₂.α+p’2.α’)+l₂+l’₂ ;

donc p₂.α+p’₂.α’ ∈ B et l’unicité de décomposition selon D ⊕ D’⊕ Lp ⊕ Lq achève de prouver que:

a(p.α+p’.α’) = p1.α+p’1.α’ et b(p.α+p’.α’) = p2.α+p’2.α’ ;

de plus, b(p2.α+p’2.α’+l+l’) = b(p2.α+p’2.α’)+l+l’ = p2.α+p’2.α’+l+l’ (en appliquant l’hypothèse de récurrence) et du coup, on a :

a(z0) = a(p.α+p’.α’+l+l’) = p1.α+p’1.α’ = a(p.α+p’.α’), et b(z₀) = b(p.α+p’.α’+l+l’) = p₂.α+p’₂.α’+l+l’ = b(p.α+p’.α’)+l+l’ ;

supposons maintenant que (p₁,p’₁) = (p,p’) ; alors p.α+p’.α’∈ A, et l+l’∈ B, de sorte qu’on a encore, grâce à l’unicité de décomposition :

a(z₀) = a(p.α+p’.α’+l+l’) = p.α+p’.α’ = a(p.α+p’.α’) et b(z₀) = l+l’ = b(p.α+p’.α’)+l+l’;

supposons enfin que (p₂,p’₂) = (p,p’); alors b = p.α+p’.α’+l₂+l’₂ et nécessairement l₂=l’₂ =0 et b = p.α+p’.α’, et a = 0 ; ainsi on trouve encore :

a(z₀) = 0 = a(p.α+p’.α’), et

b(z0) = p.α+p’.α’+l+l’ = b(p.α+p’.α’)+l+l’ . ◄

Proposition 5-9 (généralise la proposition 5-7)

Dans le cas de r bases de sous-objets irréductibles simples, soit E1, E2,...Er (toutes dans B) et leurs générateurs d’irréductibilité : α₁, α₂,…, α_r (tous dans A) on a :

L1 ⊕ L2 ⊕ …⊕ Lr ⊂ B, où , rappelons-le : Ls = { l_s =

∑

=

sλ

p i

i s i s e 1

 ∃i λs i < ns i }.

► Rappelons que : L1 = { l₁ =

∑

=

1λ p

1 i

i 1 i

1 e  ∃i λ_{1 i} < n_{1 i} } ,…, Lr = { l_r =

∑

=

r λ p

1 i

i r i

r e  ∃i λ_{r i} < n_{r i} }.

On établit ce résultat par récurrence sur le nombre r. Pour r = 2, la proposition 5-7 fournit le résultat. Supposons le résultat établi pour tout s < r. Alors L2 ⊕ L3 ⊕ …⊕ Lr ⊂ B.

Comme L1 ⊕ L2 ⊕ …⊕ Lr est propre, il suffit de montrer que L1 ⊕ (L2 ⊕ …⊕ Lr) ne contient aucun élément de A.

Pour l₁ ∈ L1 on définit l’entier h(l₁) = l_{1 1} + l_{1 2} +…+ l_{1 p1} .

Pour l₂ +…+l_r ∈ L2 ⊕ …⊕ Lr fixé, on effectue une simple récurrence portant sur l’entier n

= h(l₁) ; on peut supposer l₁ ≠ 0 .

Supposons que l’1 +(l₂ +…+l_r) ∈ B pour tout l’1 tel que h(l’1) < n ;

soit alors l₁ tel que n = h(l₁) ; pour tout i, posons m_i = 0 si l_{1 i} ≥ n_{1 i} et n_{1 i} - l_{1 i} autrement ; soit µ =

∑

= p1

1 i

i 1 ie

m ; supposons que l₁ +(l₂ +…+l_r) ∈ A ; soit z = l₁ + l₂ +…+ l_r + µ ; alors on dispose de deux décompositions pour z :

z = (l₁ + l₂ +…+ l_r)_A + µ_B car µ ∈ L₁⊂ B , et

z = l₁ + l₂ +…+ l_r + µ = l’₁ + µ’ + l₂ +…+ l_r + µ = (l’₁ + l₂ +…+ l_r) _B + (α₁) _A ;

oùl’on a posé: l₁ = l’₁ + µ’, avec µ’ =

∑

=

1 − p

1 i

i 1 i i

1 m ).e

n

( et l’_{1 i} = l_{1 i} + m_i – n_{1 i} ; on a : h(l’1) < n ,

car si l_{1 i} ≥ n1 i , alors m_i = 0 et l_{1 i} + m_i – n_{1 i} < l_{1 i} , et si l_{1 i} < n1 i , alors l_{1 i} + mi – n1 i = 0 ≤ l_{1 i} ;

et si on est toujours dans le deuxième cas, il n’est que de remarquer qu’un au moins des l_{1 i} n’est pas nul, puisque l₁ ≠ 0 ; ainsi, par hypothèse de récurrence, (l’1 + l₂ +…+ l_r) ∉ A et donc ∈ B, car la partie L1 ⊕ L2 ⊕ …⊕ Lr est propre.

Clairement ces deux décompositions sont distinctes d’où une contradiction : alors l’élément l₁ + l₂ +…+l_r ∉ A . ◄

Proposition 5-10 (généralise la proposition 5-8)

Toujours avec les mêmes hypothèses, et les mêmes notations, posant D1 = N.α1, D2 = N.α2,

…Dr = N.αr , alors D = D1 ⊕ D2 ⊕ …⊕ Dr est une partie propre et on a : A = AD et B = BD ⊕ L₁ ⊕ L₂ ⊕ …⊕ L_r .

► On établit ce résultat par récurrence (transfinie) portant sur les r-uples (p₁, p₂,…,p_r) d’entiers coordonnées des éléments de D1 ⊕ D₂ ⊕ …⊕ D_r. Les éléments de Lp sont génériquement désignés par la lettre l_p, pour tout p de 1 à r.

On suppose que pour tout r-uple (q1, q2,…,qr) p (p1, p2,…,pr) on a :

a(

∑

= r α

1 j

j qj +

∑

= r 1 j

lj) = a(

∑

= r α

1 j

j

qj ) et b(

∑

= r α

1 j

j qj +

∑

= r 1 j

lj) = b(

∑

= r α

1 j

j qj ) +

∑

= r 1 j

lj, avec a(

∑

= r α

1 j

j

qj ) et b(

∑

= r α

1 j

j

qj ) ∈ D1 ⊕ D2 ⊕ …⊕ Dr ;

soit z0 =

∑

= r α

1 j

j pj +

∑

= r 1 j

lj (z0 =

∑

= r 1 j

z , avec zj j = pj.αj+l_j ); on décompose z0 -

∑

= r 1 j

lj=

∑

= r α 1 j

j

pj en a + b, où a =

∑

= r α

1 j

1 j

pj +

∑

= r 1 j

j1

l et b =

∑

= r α

1 j

2 j

pj +

∑

= r 1 j

j2

l ; supposons que l’on ait : (p11

, p21

,…, pr1

) p (p1, p2,…,pr) et (p12

, p22

,…, pr2

) p (p1, p2,…,pr) ; alors :

∑

= r α 1 j

1 j

pj +

∑

= r 1 j

j1

l = a(

∑

= r α

1 j

1 j

pj +

∑

= r 1 j

j1

l ) = a(

∑

= r α

1 j

1 j pj ) ;

donc ∀j, 1 ≤ j ≤ r, l_j¹ = 0 et

∑

= r α

1 j

1 j

pj ∈ A; dans ce cas, b =

∑

=

α r −

1 j

1 j j

j p ).

p

( ; de même on a :

∑

= r α 1 j

2 j

pj +

∑

= r 1 j

j2

l = b(

∑

= r α

1 j

2 j

pj +

∑

= r 1 j

j2

l ) = b(

∑

= r α

1 j

2 j

pj )+

∑

= r 1 j

j2 l ;

donc

∑

= r α

1 j

2 j

pj ∈ B et l’unicité de décomposition selon D₁ ⊕ D₂⊕ ..⊕ D_r ⊕ L₁⊕ L₂ ⊕ ..⊕ L_r achève de prouver que:

a(

∑

= r α

1 j

j

pj ) =

∑

= r α

1 j

1 j

pj et b(

∑

= r α

1 j

j

pj ) =

∑

= r α

1 j

2 j pj ;

de plus, b(

∑

= r α

1 j

2 j

pj +

∑

= r 1 j

lj) = b(

∑

= r α

1 j

2 j

pj )+

∑

= r 1 j

lj =

∑

= r α

1 j

2 j

pj +

∑

= r 1 j

lj (en appliquant l’hypothèse de récurrence) et du coup, on a :

a(z₀) = a(

∑

= r α

1 j

j pj +

∑

= r 1 j

lj) =

∑

= r α

1 j

1 j

pj = a(

∑

= r α

1 j

j pj ), et b(z₀) = b(

∑

= r α

1 j

j pj +

∑

= r 1 j

lj) =

∑

= r α

1 j

2 j

pj +

∑

= r 1 j

lj= b(

∑

= r α

1 j

j pj )+

∑

= r 1 j

lj ;

supposons maintenant que (p₁¹, p₂¹,…, p_r¹) = (p₁, p₂,…,p_r) ; alors

∑

= r α

1 j

j

pj ∈ A, et

∑

= r 1 j

lj∈ B, de sorte qu’on a encore, grâce à l’unicité de décomposition :

a(z0) = a(

∑

= r α

1 j

j pj +

∑

= r 1 j

lj) =

∑

= r α

1 j

j

pj = a(

∑

= r α

1 j

j

pj ) et b(z0) =

∑

= r 1 j

lj = b(

∑

= r α

1 j

j pj )+

∑

= r 1 j

lj;

supposons enfin que (p₁², p₂²,…, p_r²) = (p₁, p₂,…,p_r); alors, b =

∑

= r α

1 j

j pj +

∑

= r 1 j

j2 l et nécessairement ∀j, 1 ≤ j ≤ r, l_j² = 0 et b =

∑

= r α

1 j

j

pj , et a = 0 ; ainsi on trouve encore : a(z₀) = 0 = a(

∑

= r α

1 j

j pj ), et b(z₀) =

∑

= r α

1 j

j pj +

∑

= r 1 j

lj = b(

∑

= r α

1 j

j pj )+

∑

= r 1 j

lj ◄

La proposition suivante concerne le cas général.

Elle « rétablit » la symétrie entre A et B.

Proposition 5-11 (cas général, généralise les propositions 5-8 et 5-10).

- On suppose que chaque axe est entièrement dans A ou entièrement dans B (il y a donc eu éventuellement une première simplification par les axes sur lesquels on a:│A│=│B│= ∞, grâce au théorème 1-1, et aussi une première réduction, grâce à la proposition 4-1).

- On dispose des cycles et singletons qui sont dans B :

(f1, f2 ,…, ft ) les éléments de SB ; ils engendrent le sous-monoïde SB ,

les r cyles bases de sous-objets irréductibles simples E1, E2,…,Er à bords dans B, avec générateurs d’irréductibilité α1, α2, …, αr , éléments de A, générateurs des droites D1, D2, …, Dr .

- On dispose aussi des cycles et singletons qui sont dans A :

(g₁, g₂ ,…, g_u ) les éléments de S_A ; ils engendrent le sous-monoïde SA ,

les s cycles bases de sous-objets irréductibles simples F1, F2,…,Fs à bords dans A, avec générateurs d’irréductibilité β₁, β₂, …, β_s , éléments de B, générateurs des droites D’1, D’2,

…, D’s ;

- On dispose encore des « régions » L1, L2 , …, Lr qui sont entièrement dans B , et des « régions » L’1, L’2 , …, L’s qui sont entièrement dans A .

Alors,

SA⊕ D1 ⊕ D2 ⊕ …⊕ Dr ⊕ SB ⊕ D’1 ⊕ D’2 ⊕ …⊕ D’s

et L1 ⊕ L2 ⊕ …⊕ Lr ⊕ L’1 ⊕ L’2 ⊕ …⊕ L’s sont des parties propres.

- On pose :

L = L1 ⊕ L2 ⊕ …⊕ Lr , L’ = L’1 ⊕ L’2 ⊕ …⊕ L’s

et D = SA⊕ D₁ ⊕ D₂ ⊕ …⊕ D_r ⊕ S_B ⊕ D’₁ ⊕ D’₂ ⊕ …⊕ D’_s .

Les générateurs de D sont désignés génériquement par γ i; ce sont les éléments f1, f2 ,…, ft de S_B , les éléments g₁, g₂ ,…, g_u de S_A , et les générateurs α₁, α₂, …, α_r , β₁, β₂, …, β_s.

Tout élément z se décompose de façon unique en z = l + l’+

∑

_ipi.^γi , avec l∈ L , l’∈ L’ et

∑

_ipi.^γi ∈ D , et sa décomposition selon (A,B) est donnée par :

a(z) = l’+ a(

∑

_ipi.^γi ) et b(z) = l + b(

∑

_ipi.^γi ).

► On établit ce résultat par récurrence (transfinie) portant sur les n-uples d’entiers (pi) 1≤ i ≤ n

coordonnées des éléments de D.

Les éléments de L = L1 ⊕ L2 ⊕ …⊕ Lr , génériquement désignés par la lettre l sont dans B.

Les éléments de L’ = L’1⊕ L’₂⊕…⊕L’_r , génériquement désignés par la lettre l’sont dans A.

Ces derniers faits résultent de la proposition 5-10.

On suppose que :

∀ z’ = l + l’+

∑

_iqi.^γi , où le n-uple (q_i) _{1≤ i ≤ n} est tel que : (q_i) _{1≤ i ≤ n}p (p_i) _{1≤ i ≤ n} on a :

a(z’) = a(l+ l’+

∑

_iqi.^γi ) = l’+ a(

∑

_iqi.^γi ), b(z’) = b(l+ l’+

∑

_iqi.^γi ) = l + b(

∑

_iqi.^γi ), avec a(

∑

_iqi.^γi ) et b(

∑

_iqi.^γi ) ∈ D,

soit z = l+l’+

∑

_ipi.^γi ; l’élément z - l- l’ =

∑

_ipi.^γi se décompose en a + b, où a priori : a = l¹+ l’¹ +

∑

_i 1^γi

i .

p avec l¹∈ L , l’¹ ∈ L’ et

∑

_i 1^γi i .

p ∈ D et b = l²+ l’² +

∑

_i 2^γi

i .

p avec l²∈ L , l’² ∈ L’ et

∑

_i 2^γi i .

p ∈ D

supposons que l’on ait :

(p_i¹) _{1≤ i ≤ n} p (p_i) _{1≤ i ≤ n} et (p_i²) _{1≤ i ≤ n} p (p_i) _{1≤ i ≤ n} alors :