Domaine principal 1 : Physique

Domaine principal ① : Physique

1

(SM)

(SM)

Chapitre 1:

Chapitre 2:

Lois de Newton.

Applications:

Domaine principal ① : Physique

Sous Domaine ❹ :

2

2.1. Chute verticale d'un solide:

2.2. Mouvements plans:

Chapitre 1: Lois de Newton.

1.1. Vecteur vitesse- vecteur accélération- vecteur accélération dans le repère de Frenet.

1.2. Deuxième loi de Newton: Rôle de la masse- Importance du choix du référentiel dans l’étude du mouvement du centre d’inertie d’un solide - Référentiels galiléens.

1.3. Troisième loi de Newton : Principe des actions réciproque.

1.4. Mouvement rectiligne uniformément varié

Chapitre 2: Applications:

2.1. Chute verticale d'un solide:

2.2. Mouvements plans:

* Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme.

* Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme. [SM]

* Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme.

* Satellites artificiels et planètes:

* chute verticale avec frottement.

* chute libre verticale^.

Les coordonnées x, y et z sont des fonctions du temps : {x(t), y(t) et z(t)}

Lois de Newton

1-Vecteur position:

 La position du centre d’inertie G d’un

système dans le repère d’espace peut être repérée à chaque instant par le

vecteur position avec:

x

y

z

o

trajectoire de G

∙

2-Vecteur vitesse instantanée:

1-2-Définition

Dans le référentiel choisi, le vecteur vitesse instantanée du

centre d’inertie G du solide est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur position :

Chapitre 1:

L'unité internationale de la vitesse est m.s-1

𝑶𝑮

𝑶𝑮 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌 𝑶𝑮

𝒊 _𝒋

𝒌

𝑽

𝑶𝑮 𝑽

= 𝒅𝑶𝑮

𝒅𝒕

𝑹(𝑶, 𝒊 , 𝒋 , 𝒌)

2-2-les coordonnées de la vitesse instantanée Dans un repère orthonormé , on écrit:

Donc :

On pose donc ou

Trajectoire de G

O

G

Le vecteur-vitesse en un point donné est tangent à la trajectoire et dirigé dans le sens de mouvement .

o x

y Sens du mvt

Le module de la vitesse est :

𝑹 𝑶, 𝒊 , 𝒋 𝑶𝑮 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 𝑽

= 𝒅𝑶𝑮

𝒅𝒕 = 𝒅𝒙

𝒅𝒕 𝒊 + 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒋

𝑽

= 𝑽

𝒊 + 𝑽

𝒋 𝑽

= 𝒙 𝒊 + 𝒚 𝒋

𝑽_𝒙 = 𝒅𝒙

𝒅𝒕 = 𝒙 𝑽_𝒚 = 𝒅𝒚

𝒅𝒕 = 𝒚

𝑽

= (𝒙 )

+(𝒚 )

𝑽_𝑮

𝑽_𝑮 𝑽_𝑮

𝒙 𝒚

𝒊

𝒋

3-Vecteur accélération instantanée:

1-3-Définition

Dans le référentiel choisi, le vecteur accélération instantanée du centre d’inertie G du solide est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse :

L'unité de l’accélération dans S.I est m.s^-2

On pose:

donc

2-3-coordonnées de dans le repère cartésien On a:

Ou

et

Le module de l’accélération est:

3-3-coordonnées de dans la base de Frenet La base de Frenet est un repère mobile lié au

mouvement de point M; son origine est le point M et ses vecteurs unitaires sont :

: tangent à la trajectoire et dirigé dans le sens du mouvement

𝒂

(t)

𝑽_𝑮 𝒂_𝑮 = 𝒅𝑽_𝑮

𝒅𝒕 𝒂_𝑮(t)

𝒂_𝑮 = 𝒅𝑽_𝑮

𝒅𝒕 = 𝒅𝒙

𝒅𝒕 𝒊 + 𝒅𝒚

𝒅𝒕 𝒋 𝒂_𝒙 = 𝒅𝒙

𝒅𝒕 = 𝒙 𝒂_𝒚 = 𝒅𝒚

𝒅𝒕 = 𝒚 𝒂_𝑮 = 𝒂_𝒙 𝒊 + 𝒂_𝒚 𝒋 𝒂_𝑮 = 𝒙 𝒊 + 𝒚 𝒋 𝒂_𝑮 = (𝒙 )^𝟐+(𝒚 )^𝟐

𝒂_𝑮(t) M (𝒖, 𝒏) M (𝒖, 𝒏)

𝒖

Dans la base de Frenet :

tel que est le vecteur accélération tangentielle: ^{a =}_T ^dV

dt

2 N

a = V

et le vecteur acceleration normal: ρ

avec ρ le rayon de courbure de la trajectoire au point M .

: normal à la trajectoire (perpendiculaire à ) et dirigé vers l’intérieure de la concavité de la trajectoire

Dans le cas ou la trajectoire est

un cercle ρ = R ^M

trajectoire

Remarque :

D’après le produit scalaire des deux vecteurs et , on peut

déterminer la nature du movement:

𝒂. 𝑽 = 𝒂 × 𝑽 × 𝐜𝐨𝐬 (𝒂, 𝑽)

𝒏 𝒖

𝒂 = 𝒂_𝑻 𝒖 + 𝒂_𝑵 𝒏 𝒂_𝑵

𝒂_𝑵 𝒂_𝑻

𝒂

𝒖 𝒏

𝑽

𝑽 𝒂

𝒂. 𝑽 < 𝟎 𝒂. 𝑽 > 𝟎

𝒂. 𝑽 = 𝟎 𝒂_𝑻

Mouvement uniforme :

Mouvement retardé : ^; Mouvement accéléré :

forces extérieures appliquées à un solide est nulle , le vecteur vitesse de son centre d’inertie reste constant.

2-4-Deuxième loi de Newton . 4- Lois de Newton

1-4-Première loi de Newton (ou principe d’inertie)

Dans un référentiel Galiléen , si la somme vectorielle des

Dans un référentiel Galiléen , la somme vectorielle des forces

extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d’ inertie :

3-4-Troisième loi de Newton

Lorsque le corps A exerce sur un corps B une force , alors le corps B exerce sur A la force Que les corps soient au repos ou en mouvement , ces forces :

sont opposées , ont le même support .

𝑭_𝒆𝒙𝒕 = 𝟎

𝑽

𝒄𝒕𝒆

𝑽_𝑮

𝑭_𝒆𝒙𝒕 = 𝒎𝒂_𝑮

𝑭

𝑭

𝑭

= - 𝑭

5-Mouvement rectiligne uniformément varié 1-5-Définition :

Le mouvement du centre d’inertie G d’un corps solide est rectiligne uniformément varié M.R.U.V, si la trajectoire de G est rectiligne et le vecteur accélération du point G reste constant au cours du

mouvement .

2-5-Les équations horaires du mouvement

Pour un mouvement rectiligne selon l’axe Ox le vecteur position

En considérant les conditions initiales suivantes : à t = 0 on a: x = x₀ et v_x = v_0x

et a_x = cte

Donc le vecteur vitesse du point G est:

s’ecrit:

x x

a = dVdt

V = a .t + V

On sait que: Equation de vitesse

𝒂

𝒄𝒕𝒆

𝑶𝑮

x . 𝒊

𝑽

𝑽

. 𝒊

mvt retardé

Pour déterminer l’équation horaire du mouvement x(t) :

x x 0x dx

V = a .t + V = dt

x(t) = a .t + V .t + x 1

2

l’équation horaire du mouvement On a:

mvt accéléré

V V

t t t

0 0 0

a<0 a=0

a>0 V

mvt uniforme 3-5-Les référentiels galiléens

Référentiel de Copernic

On appelle référentiel de Copernic (Héliocentrique), un référentiel ayant pour origine le centre de masse du système solaire et dont les axes pointent vers des étoiles éloignées.

Référentiels galiléens

un référentiel galiléen, est un référentiel dans lequel le principe

d'inertie est vérifié, Exemples : référentiel terrestre, référentiel géocentrique et référentiel héliocentrique (Copernic).



uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui-même galiléen.

Série N°10

Chapitre 2: Applications:

1. Chute verticale d'un solide:

1.1-Force de pesanteur terrestre :

Le poids d'un objet de masse m peut s'écrire :

Où est le vecteur champ de pesanteur terrestre.

 Caractéristiques de :

Sens : vers le centre de la Terre ; Direction : verticale ; Intensité : g=P/m exprimer en N.kg^-1

Au voisinage de la Terre, le champ de pesanteur est uniforme:

1.2-Forces exercées par un fluide sur un solide en mouvement: Poussée d'Archimède

La poussée d'Archimède est une force de contact sur la surface immergée du solide dans un fluide .

𝑷 = 𝒎𝒈 𝒈

𝒈 = 𝑪𝒕𝒆

𝑭_𝑨

𝒈

Direction : verticale;

ρf

(S) V

ρf

:La masse volumique du fluide (kg.m_f ^-3) ρ

V : Le volume de fluide déplacé (m³)

g : l’intensité de la pesanteur (N.kg^-1

ou m.s

On pose m_f =ρ _f .V la masse du fluide déplacé (kg).

et ont des sens contraires, donc : Intensité :

𝑭_𝑨

𝒈 𝑷

𝒈 𝑭_𝑨

𝑭

= −𝝆

𝑽 𝒈 = −𝒎

𝒈

Sens : vers le haut ;

 Caractéristiques de : 𝑭

𝑭

= 𝝆

𝑽𝒈

Direction : direction de (vitesse de G);

Sens : opposé à ;

Intensité : modéliser par une expression de la forme : où n est un entier.

K : est une constante qui dépend de la viscosité

μ

du fluide et de la forme du solide.

1-3-Force de frottement fluide :

O

z

AFr

Chute verticale d’une bille dans

un fluide (fig1) (S)

Si un solide (S) se déplace dans un fluide (liquide ou gaz), il subit une force de frottement fluide.

 Caractéristiques de :

Point d’action : G centre d'inertie de (S)

L’expression vectorielle de :

: est un vecteur unitaire orienté vers le bas n=1 : pour les vitesses faibles;

n=2 : pour des vitesses plus importantes.

2-Chute verticale avec force de frottement : 2-1-L’Équation différentielle du mouvement.

Etude de la chute d'une bille de masse m, dans une éprouvette remplie d'huile (fig 1)

.

𝒇

𝑭_𝑨 𝒇

𝒈

𝑷 𝒇 𝒌

𝒇

𝑽 𝑽

𝒇

𝒌

𝒇 = −𝑲 𝑽

𝒌

f=K 𝑽

 La bille est étudiée dans le référentiel terrestre galiléen, auquel on associe le repère:

l’axe est orienté vers le bas, le système étudié est la bille

 Bilan des forces exercées sur la bille : : Poids de la bille.

: Poussée d'Archimède.

: Force de frottement fluide. ^{f f}

(m = .V)ρ

 On applique la 2^ème loi de Newton :

(m-m ).gf -K.V =m.aⁿ Projection sur

f n

m-m K

a= m .g- .Vm Divisons par m

et a= dVdt m-mf

A = .g

K m B = m , on pose :

Donc : dV =A -B.Vⁿ dt

l'équation différentielle du mouvement de la bille dans le

fluide

2-2-Les grandeurs caractérisant le mouvement

En représente les variations de la vitesse V de la bille en fonction du temps , on obtient le graphe suivant :

R 𝑶, 𝒊 , 𝒋 , 𝒌 𝑶, 𝒌

𝑷 = 𝒎𝒈 𝑭_𝑨 = −𝒎_𝒇𝒈 𝒇 = −𝑲𝑽^𝒏𝒌

𝑭_𝒆𝒙 = 𝒎𝒂_𝑮

𝑷 + 𝑭_𝑨 + 𝒇 = 𝒎𝒂_𝑮 𝒎𝒈 − 𝒎_𝒇𝒈 − 𝑲𝑽^𝒏𝒌 = 𝒎𝒂_𝑮

𝒌

O

t(s)

4 10

V(m.s^-1)

asymptote

τ

V_l

régime

transitoire régime permanent

 Le graphe présente deux régimes:

Régime transitoire : la fonction V(t) croit en fonction du temps.

Régime permanent : la fonction V(t) se stabilise à une vitesse limite: 𝑽 = 𝑽_𝓵 = 𝑽_𝑳𝒊𝒎

a- Le temps caractéristique

τ

la tangente à la courbe V=f(t) au point O (origine du repère) coupe l’asymptote en un point d’abscisse

τ

Temps caractéristique du mouvement.

b-Calcul de a₀ , V_l et

τ

 L'accélération initiale a₀ de la bille : a= dV

dt = A -B.Vⁿ

(V = 0)o

à t = 0

La vitesse limite: V_l

Lorsque la vitesse limite est atteinte , la vitesse est constante, Donc: dV =0dt et dV = A -B.V

dt ^{A -B.V = 0limn V =lim}

 

1/n

lim f

V = g (m-m )

K 

 

 

 Le temps caractéristique :

τ

o (t=0)

a = dV

dt = ΔV^(t=0)

Δt ^lim

= V

τ ^limo

= V

τ a

graphiquement

2-3-Résolution de l’équation différentielle par la méthode d'EULER

Cette méthode comporte deux étapes de calcul qu’il faut répéter dans le temps. C’est une méthode répétitive, itérative. ةيطبارت ةيراركت ةقيرط

 Première étape : On calcule l’accélération a₀ à la date t₀ :

n

o dV o

a = = A -B.V

dt V est la vitesse à t = 0⁰

 Deuxième étape : On calcule la vitesse V₁ à la date t₁ = t₀ + ∆t La durée ∆t est appelée le pas du calcul. (Δt 

τ

1 0

V - V

= Δt

o (t=0)

a = ΔV

Δt V = V +a .Δt^{1 o o}

 On recommence ces deux étapes de calcul, On calcule l’accélération a₁ à la date t₁ : ^{a = A -B.V}_{1 1}ⁿ

On calcule ensuite la vitesse V₂ à la date t₂ : V = V +a .Δt_{2 1 1}

 

lim A

V = B

 On recommence en calculant a₂ : a = A -B.V ...Voir tableau_{2 2}ⁿ

Vitesse V_i date Accélération a_i

t = 0o

1 o

t = t + Δt

2 1

t = t + Δt Vo

1 o o

V = V +a .Δt

2 1 1

V = V +a .Δt

n

0 0

a = A -B.V

n

1 1

a = A -B.V

n

2 2

a = A -B.V

i+1 i i

V = V +a .Δt

n

i+1 i+1

a = A -B.V t = t +Δt_{i+1 i}

.. . .. .

.. .

 En cherchant les valeurs de A, B et n qui permettent de faire coïncider les valeurs calculées par la méthode d’EULER, avec les valeurs Expérimentales.

3-Chute verticale libre 3-1-Définition

Un solide est en chute libre s'il n'est soumis qu'à son poids. On peut étudier la chute dans le vide, elle est parfaitement libre.

3-2-Equations horaires du mouvement

O

Z

z ^billeG

Pour étudier le mouvement de chute libre d’une bille on choisit le repère dirigé vers le bas

𝒌

𝑽_𝟎 (O,𝒌)

𝑷

 La projection sur l’axe donne :

V = g.t + V

la primitive

et V = dzdt z = .t + V .t +z2^{g 2 o o}

l’équation de vitesse

l’équation horaire du mouvement l’équation différentielle

z₀ : est le cộte à l’instant t=0 . V₀ : est la vitesse initiale (à t=0) g : l'intensité de la pesanteur.

a=g=𝑪^𝒕𝒆 : le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.

𝒅𝑽

𝒅𝒕 = 𝒂 = 𝒈

la primitive

𝑶, 𝒌

 On applique la deuxième loi de Newton :

𝑭 = 𝒎𝒂_𝑮 𝑷 = 𝒎𝒂G 𝒎𝒈 = 𝒎𝒂G 𝒈 = 𝒂G

Série N°11