Extreme rainfall analysis by a stochastic model: impact of the copula choice on the sub-daily rainfall generation

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Submitted on 1 Jul 2014

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P. Cantet, P. Arnaud

To cite this version:

P. Cantet, P. Arnaud. Extreme rainfall analysis by a stochastic model: impact of the copula choice on

the sub-daily rainfall generation. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment, Springer

Verlag (Germany), 2014, 28 (6), p. 1479 - p. 1492. �10.1007/s00477-014-0852-0�. �hal-01016960�

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❢♦r t❤❡ ❞✉r❛t✐♦♥ st♦r♠✱ ✇❤❛t❡✈❡r t❤❡ st✉❞✐❡❞ st❛t✐♦♥✳ ❖♥❧② ♣❛r❛♠❡t❡rs ♦❢ t❤❡s❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❧❛✇s ❞✐st✐♥❣✉✐s❤

✶ ❚❤❡ t❤r❡s❤♦❧❞20♠♠ ✐s ❛♥ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ t❛❦❡ ✐♥t♦ ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥ ❛t ❧❡❛st5❡✈❡♥ts ♣❡r ②❡❛r ❛♥❞ t♦ ❢♦❝✉s

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✷ ❚❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❞r② ♣❡r✐♦❞ ✐♥s✐❞❡ ❛ r❛✐♥② ♣❡r✐♦❞✳

✻

0510

A Rainy Event

Time (h)

Volume (mm)

0 6 12 18 24 30 36 42 48

Start of event End of event

Day 1 67.9 mm

Day 2 20.9 mm Rainy period 1

Storm 1 NS=1, DS=5, VS=29.5

RXS=0.3, RPXS=3

Dry Period 1 DRP=4

Rainy period 2 NS=3

DS=4, VS=19.7 Storm2 Storm3

RPXS=1, Storm4

Dry Period 2 DRP=6

Rainy period 3 NS=2

DS=4, VS=4.4 Storm5

RXS=0.34, RPXS=3 DS=3, VS=16.5

Storm6

RXS=0.5, RPXS=2

❋✐❣✳ ✷ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ r❛✐♥② ❡✈❡♥t ✭88.8♠♠ ✐♥2❞❛②s✮ ✇✐t❤ ✸ r❛✐♥② ♣❡r✐♦❞s ✭N_❘P= 3✮ ❛♥❞ ✻ st♦r♠s ✭✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ✷

✏♠❛❥♦r✑ st♦r♠s✿ ❙t♦r♠✶ ❛♥❞ ❙t♦r♠✷✮✳

t❤❡ ❝❧✐♠❛t❡ ✭❆r♥❛✉❞ ❡t ❛❧✳ ✷✵✵✼✮✳ ❈❛❧✐❜r❛t✐♥❣ t❤❡ ❣❡♥❡r❛t♦r ❝♦♥s✐sts ✐♥ ❡st✐♠❛t✐♥❣ ❞✐✛❡r❡♥t ♣❛r❛♠❡t❡rs ♦❢

t❤❡ ❝❤♦s❡♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❧❛✇s ✇✐t❤ ♦❜s❡r✈❡❞ r❛✐♥❢❛❧❧ ✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ r❛✐♥ ❣❛✉❣❡ st❛t✐♦♥✳ ✷✵ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ r❡q✉✐r❡❞

t♦ ❢✉❧❧② ❝❛❧✐❜r❛t❡ t❤❡ r❛✐♥❢❛❧❧ ❣❡♥❡r❛t♦r ❢♦r t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t s❡❛s♦♥s ♥❛♠❡❧② t❤❡ ✑❲✐♥t❡r✑ s❡❛s♦♥ ❢r♦♠ ❉❡❝❡♠❜❡r t♦ ▼❛② ❛♥❞ t❤❡ ✑❙✉♠♠❡r✑ s❡❛s♦♥ ❢r♦♠ ❏✉♥❡ t♦ ◆♦✈❡♠❜❡r✳ ❚❤❡s❡ ✇❡r❡ ❝❤♦s❡♥ ❢♦r ❛ ♠❛①✐♠✉♠ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥

♦❢ t❤❡ ♣r❡❝✐♣✐t❛t✐♦♥ r❡❣✐♠❡s✳ ◆♦t❡ t❤❛t s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ✷✵ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❡✐t❤❡r ✈❛r② s❧✐❣❤t❧② ♦r ❤❛✈❡ ✈❡r② ❧✐tt❧❡

✐♠♣❛❝t ♦♥ t❤❡ r❡s✉❧ts✳

✷✳✹ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❛♥❞ r❛✐♥❢❛❧❧ q✉❛♥t✐❧❡s ❡st✐♠❛t✐♦♥

❆❢t❡r t❤❡ ♠♦❞❡❧ ❝❛❧✐❜r❛t✐♦♥✱ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ s✐♠✉❧❛t❡ ❛ r❛✐♥② ❡✈❡♥t✱ ❛❧❧ ❞❡s❝r✐♣t✐✈❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛r❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ✐♥

❛ s♣❡❝✐✜❝ ♦r❞❡r ✭❙❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✮✳ ▼❛♥② r❛✐♥② ❡✈❡♥ts ❛r❡ ❝r❡❛t❡❞ t♦ ❜✉✐❧❞ t✐♠❡ s❡r✐❡s ❛s ❧♦♥❣ ❛s ✇❛♥t❡❞

✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♦❜s❡r✈❡❞ ❡✈❡♥ts ♣❡r ②❡❛r ❢♦r ❡❛❝❤ s❡❛s♦♥ ❛r❡ r❡s♣❡❝t❡❞✳ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❛r❡

❡♠♣✐r✐❝❛❧❧② ❡st✐♠❛t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡s❡ s✐♠✉❧❛t❡❞ t✐♠❡s s❡r✐❡s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❛♥ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❤❡♥♦♠❡♥♦♥^✸✳ ❚♦

r❡❞✉❝❡ t❤❡ s❛♠♣❧✐♥❣ ❡✛❡❝t ♦♥ t❤❡ s✐♠✉❧❛t❡❞ ❡✈❡♥ts✱ r❛✐♥❢❛❧❧ ✐s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ♦♥ ♣❡r✐♦❞s ✇❤✐❝❤ ✇❡r❡ ❛ t❤♦✉s❛♥❞

t✐♠❡s ❧♦♥❣❡r t❤❛♥ t❤❡ str♦♥❣❡st ✇❛♥t❡❞ r❡t✉r♥ ♣❡r✐♦❞✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❛ ✶✵✵ ②r✲q✉❛♥t✐❧❡ ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜②

❣❡♥❡r❛t❡❞ ❤②❡t♦❣r❛♣❤s ♦♥ ❛ ✶✵✵ ✵✵✵ ②r s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♣❡r✐♦❞✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ r♦❜✉st❧② ❡st✐♠❛t❡❞ s✐♥❝❡ ✐t ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡1000^th♦r❞❡r st❛t✐st✐❝s ♦❢ t❤✐s s✐♠✉❧❛t❡❞ s❡r✐❡s✳

✸ ❖❢ ❝♦✉rs❡✱ ♥♦ ♠♦❞❡❧ ❝❛♥ r❡♣r❡s❡♥t ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❛ r❡❛❧ ✇♦r❧❞ ♣❤❡♥♦♠❡♥♦♥✱ ✐t ✐s ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ r❡✢❡❝t✐♦♥ ♦❢ r❡❛❧✐t②✳

✼

❆t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣✱ t❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐✈❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✇❡r❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ st❛t✐st✐❝❛❧❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳ ▼❛♥② st✉❞✐❡s ❤✐❣❤❧✐❣❤t❡❞ t❤❛t s♦♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛r❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❛♥❞ t❤❛t t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡

♠♦❞❡❧✐③❛t✐♦♥ ✐s ♥❡❡❞❡❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ r❡♣r♦❞✉❝❡ t❤❡ r❛✐♥❢❛❧❧ s✐❣♥❛❧✳ ■♥❞❡❡❞✱ ❆r♥❛✉❞ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✼✮ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ♠♦❞❡❧ ❝❛♥ r❡♣r♦❞✉❝❡ ❡①tr❡♠❡ r❛✐♥❢❛❧❧ ❢♦r ❛❧❧ t②♣❡s ♦❢ ❝❧✐♠❛t❡ ❜② ❛❞❞✐♥❣ ❛ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ str✉❝t✉r❡ ❜❡t✇❡❡♥

t❤❡ ❞❡♣t❤s ♦❢ s✉❝❝❡ss✐✈❡ r❛✐♥st♦r♠s✳ ■♥ t❤✐s ♣❛♣❡r✱ ✇❡ ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ✈❛r✐❛❜❧❡s✿ t❤❡

❞❡♣t❤ ❛♥❞ t❤❡ ❞✉r❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ r❛✐♥st♦r♠✳

✷✳✺ ❆♥ ♦♣❡r❛t✐♦♥❛❧ ♠♦❞❡❧

Pr✐♠❛ ❢❛❝✐❡✱ ❙❍❨P❘❊ ❛♣♣❡❛rs t♦ ❜❡ ❛ ❝♦♠♣❧❡① ♠♦❞❡❧ ❞✉❡ t♦ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♦r t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t t②♣♦❧♦❣✐❡s ✉s❡❞ t♦ ❞❡✜♥❡ t❤❡♠✳ ◆❡✈❡rt❤❡❧❡ss✱ ❛♥ ❡✛♦rt ❤❛s ❜❡❡♥ ♠❛❞❡ t♦ s✐♠♣❧✐❢② ✐t ❡♥❛❜❧✐♥❣ ❛♥ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥

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❡①tr❡♠❡ r❛✐♥❢❛❧❧ t❤r♦✉❣❤♦✉t t❤❡ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs❀ t❤❡ ❙❍❨P❘❊ ♦✉t♣✉ts ❛r❡ ❛❧s♦ ✉s❡❞ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡

❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❛ ❞❛♠ ✐♥ ✭❈❛r✈❛❥❛❧ ❡t ❛❧✳ ✷✵✵✾✮ ♦r t♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡ ❢r❡q✉❡♥❝② ♦❢ r❛✐♥❢❛❧❧ ♦❜s❡r✈❡❞

✇✐t❤ ❛ r❛❞❛r ✭❋♦✉❝❤✐❡r ✷✵✵✼✮ ♦r ✐♥ ❛ ✢❛s❤ ✢♦♦❞ ✇❛r♥✐♥❣ ✭❏❛✈❡❧❧❡ ❡t ❛❧✳ ✷✵✶✵✮✳ ❆ r❡❣✐♦♥❛❧✐③❡❞ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢

t❤❡ ♠♦❞❡❧ ❛❧❧♦✇s t❤❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ r❛✐♥❢❛❧❧ q✉❛♥t✐❧❡s ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t t✐♠❡ ❞✉r❛t✐♦♥s ♦♥ ❛ sq✉❛r❡ ♦❢ ✶km²

❡✈❡r②✇❤❡r❡ ✐♥ t❤❡ ❋r❡♥❝❤ t❡rr✐t♦r② ✭❆r♥❛✉❞ ❡t ❛❧✳ ✷✵✵✻✮✳

✸ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡

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✈❛r✐❛❜❧❡s✱ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ❝♦♣✉❧❛s✳ ❋♦r ❢✉rt❤❡r ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ s❡❡ ◆❡❧s❡♥ ✭✷✵✵✻✮ ❛♥❞ ●❡♥❡st ❛♥❞ ❋❛✈r❡ ✭✷✵✵✼✮✳

✸✳✶ ▼❡❛s✉r✐♥❣ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✿ ❑❡♥❞❛❧❧✬s t❛✉

❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t ❛ r❛♥❞♦♠ s❛♠♣❧❡(X₁, Y₁), . . . ,(Xn, Yn) ✐s ❣✐✈❡♥ ❢r♦♠ s♦♠❡ ♣❛✐r(X, Y)♦❢ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✈❛r✐✲

❛❜❧❡s✳ ❚❤❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❑❡♥❞❛❧❧✬s t❛✉✱0≤τ≤1✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

τn = Pn−Qn

n(n−1)/2 = 4

n(n−1)Pn−1 ✭✶✮

✇❤❡r❡ Pn ❛♥❞ Qn ❛r❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♥❝♦r❞❛♥t ❛♥❞ ❞✐s❝♦r❞❛♥t ♣❛✐rs✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❍❡r❡✱ t✇♦ ♣❛✐rs (X_i, Y_i),(X_j, Y_j) ❛r❡ s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❝♦♥❝♦r❞❛♥t ✇❤❡♥ (X_i−X_j)(Y_i−Y_j) >0✱ ❛♥❞ ❞✐s❝♦r❞❛♥t ✇❤❡♥ (X_i− X_j)(Y_i−Y_j)<0✳

✽

■❢ X ❛♥❞ Y ❛r❡ ♠✉t✉❛❧❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✱ ✇❡ ❤❛✈❡ τn ≈0✳ ❆♥ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ t❡st ❝❛♥ ❜❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ τn✱ s✐♥❝❡ ✉♥❞❡rH0✿ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ t❤✐s st❛t✐st✐❝ ✐s ❝❧♦s❡ t♦ ♥♦r♠❛❧ ✇✐t❤ ③❡r♦ ♠❡❛♥ ❛♥❞

✈❛r✐❛♥❝❡2(2n+ 5)/(9n(n+ 1))✭●❡♥❡st ❛♥❞ ❋❛✈r❡ ✷✵✵✼✮✳

❲✐t❤ ❞✐s❝r❡t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ t❤✐s st❛t✐st✐❝❛❧ t❡st ✐s ❜✐❛s❡❞ ❜② t❤❡ t✐❡s✳ ❆♥ ✉♥❜✐❛s✐♥❣ t❡st ❝♦♥s✐sts ✐♥ r❡♣❧❛❝✐♥❣

n❜②n−♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐❡s ✐♥ t❤❡ ✈❛r✐❛♥❝❡ ❝❛❧❝✉❧✉s ✉♥❞❡rH0✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤✐s ❝❛s❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ❢✉rt❤❡r✳

✸✳✷ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✿ ❝♦♣✉❧❛ ❛♣♣r♦❛❝❤

❋♦r s✐♠♣❧✐❝✐t② ♣✉r♣♦s❡s✱ ✇❡ r❡str✐❝t ❛tt❡♥t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❜✐✈❛r✐❛t❡ ❝❛s❡ ✐♥ t❤✐s ♣❛♣❡r✳

❆♥② ❥♦✐♥t ❝✉♠✉❧❛t✐✈❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥F_XY ♦❢ ❛ ♣❛✐r ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✭X, Y✮ ❝❛♥ ❜❡

✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠

FXY(x, y) = C(FX(x), FY(y)), ∀x, y ∈R ✭✷✮

✇❤❡r❡FX❛♥❞FY ❛r❡ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞C: [0,1]×[0,1] → [0,1]✐s ❛ ❝♦♣✉❧❛✳ ❙❦❧❛r ✭✶✾✺✾✮ s❤♦✇❡❞

t❤❛t C✱F_X✱ ❛♥❞F_Y ❛r❡ ✉♥✐q✉❡❧② ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ✇❤❡♥F_XY ✐s ❦♥♦✇♥✱ ❛ ✈❛❧✐❞ ♠♦❞❡❧ ❢♦r(X, Y) ❛r✐s❡s ❢r♦♠

❊q✳ ✭✷✮ ✇❤❡♥❡✈❡r t❤❡ t❤r❡❡ ✏✐♥❣r❡❞✐❡♥ts✑ ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ ❢r♦♠ ❣✐✈❡♥ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❢❛♠✐❧✐❡s ♦❢ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✳ ❚❤❡

♠❛✐♥ ❛❞✈❛♥t❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♣✉❧❛ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s t❤❛t t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧ ❜❡t✇❡❡♥X ❛♥❞Y ❞♦❡s

♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✳

■♥ t❤✐s ♣❛♣❡r✱ ♦♥❧② t❤r❡❡ ❛r❝❤✐♠❡❞❡❛♥ ❝♦♣✉❧❛s ❛r❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✿ t❤❡ ❋r❛♥❦ ❝♦♣✉❧❛ ✭❋r❛♥❦ ✶✾✼✾✮✱ t❤❡

❈❧❛②t♦♥ ❝♦♣✉❧❛ ✭❈❧❛②t♦♥ ✶✾✼✽✮✱ ❛♥❞ t❤❡ ●✉♠❜❡❧ ❝♦♣✉❧❛ ✭●✉♠❜❡❧ ✶✾✻✶✮ ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡✐rC(u, v)❛r❡ ❞❡✜♥❡❞

✐♥ ❚❛❜❧❡ ✶✳ ❚❤❡ t❤r❡❡ ❝♦♣✉❧❛s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥ t❤✐s ♣❛♣❡r ❤❛✈❡ ❛ s②♠♠❡tr✐❝ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ str✉❝t✉r❡ ✲✐❡✲C(u, v) = C(v, u),∀u, v ∈ [0,1]✳ ❚❡sts ❛r❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❢♦r t❤❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s t❤❛t t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❝♦♣✉❧❛ ♦❢ ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❛♥❞♦♠ ♣❛✐r ✐s s②♠♠❡tr✐❝ ✭●❡♥❡st ❡t ❛❧✳ ✷✵✶✷✮✳

✸✳✸ ❚❛✐❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡

❚❤❡ t❛✐❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✐s ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ❝♦♥❝❡♣t ✐♥ t❤❡ ♠✉❧t✐✈❛r✐❛t❡ ❡①tr❡♠❡ ✈❛❧✉❡ t❤❡♦r②✳ ❈♦♥tr❛r② t♦ t❤❡

❦❡♥❞❛❧❧✬s t❛✉ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✐ts ❡st✐♠❛t✐♦♥ t❛❦❡s ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t ❛❧❧ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♣❛✐r(X, Y)✱ t❤❡ t❛✐❧ ❞❡♣❡♥✲

❞❡♥❝❡ ❢♦❝✉s ♦♥ ❡①tr❡♠❡ ✈❛❧✉❡s✳ ❚❤❡ ✉♣♣❡r ✭r❡s♣✳ ❧♦✇❡r✮ t❛✐❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♥♦t❡❞λ_U ✭r❡s♣✳λ_L✮ ♠❡❛s✉r❡s t❤❡

✾

❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ t❤❡ ✉♣♣❡r✲r✐❣❤t ✭r❡s♣✳ ❜♦tt♦♠✲❧❡❢t✮ q✉❛❞r❛♥t ❛♥❞ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✿

λ_U := lim

uր1P ^{Y > F}Y⁻¹(u)|X > F_X⁻¹(u)

= lim

uր1

1−2u+C(u, u) 1−u λ_L := lim

uց0P ^{Y ≤F}Y⁻¹(u)|X ≤F_X⁻¹(u)

= lim

uց0

C(u, u)

u ✭✸✮

❚❤❡s❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ ♥♦♥♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❛♥❞ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥❧② ♦♥ t❤❡ ❝♦♣✉❧❛C ♦❢X ❛♥❞Y✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢

t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t❛✐❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ✐s t❤❛t ✐t ♠❡❛s✉r❡s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ t✇♦ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❜♦t❤ t❛❦✐♥❣

❡①tr❡♠❡ ✈❛❧✉❡s✳ ■❢λ_U ✐♥(0,1]✱ ✇❡ s❛②C❤❛s ❛♥ ✉♣♣❡r t❛✐❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡❀ ✐❢λ_U = 0✱ ✇❡ s❛②C❤❛s ♥♦ ✉♣♣❡r t❛✐❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✲✐❡✲ t❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢C ✐s ✐❞❡♥t✐❝❛❧ t♦ t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❝♦♣✉❧❛✬s❀ ❛♥❞ s✐♠✐❧❛r❧②

❢♦rλ_L✳ ■t ✐s ♥♦t tr✐❝❦② t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡ ❜♦t❤ t❤❡s❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❢♦r t❤❡ ●✉♠❜❡❧✱ ❋r❛♥❦ ❛♥❞ ❈❧❛②t♦♥ ❝♦♣✉❧❛s ✭s❡❡

❚❛❜❧❡ ✶✮✳

❋♦r ✐❧❧✉str❛t✐♦♥ ♣✉r♣♦s❡s ♦♥❧②✳ ❲❡ ✇❛♥t t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ ❛ ❝♦✉♣❧❡(u, v) ✇❤✐❝❤ r❡s♣❡❝t ❛ ❦❡♥❞❛❧❧✬s t❛✉ ♦❢ ✵✳✶✱

t❤❡♥ t❤❡ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦✉♣❧❡(u >0.9999, v >0.9999)✐s ❛❜♦✉t1000t✐♠❡s ♠♦r❡ ❧✐❦❡❧② ✇✐t❤ ❛ ●✉♠❜❡❧

❝♦♣✉❧❛ ✭✉♣♣❡r ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ t❛✐❧✮ t❤❛♥ ✇✐t❤ ❛ ❋r❛♥❦ ❝♦♣✉❧❛ ✭♥♦ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ t❛✐❧✮✱ ✇❤❡r❡❛sP^{(u >}0.9, v >0.9)

❛r❡ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ♦r❞❡r ♦❢ ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ❢♦r t❤❡ ❜♦t❤ ❝♦♣✉❧❛s✳

✸✳✹ ❊st✐♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ♠♦❞❡❧s

▲✐❦❡ ✉s✉❛❧ st❛t✐st✐❝ ❧❛✇s✱ ❞✐✛❡r❡♥t ♠❡t❤♦❞s ❛r❡ ✉s❡❞ t♦ ❡st✐♠❛t❡ ❝♦♣✉❧❛ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✭●❡♥❡st ❡t ❛❧✳ ✶✾✾✺❀

❏♦❡ ✶✾✾✼❀ ❚s✉❦❛❤❛r❛ ✷✵✵✺❀ ●❡♥❡st ❡t ❛❧✳ ✷✵✵✽❛✮✳ ■♥ t❤✐s st✉❞②✱ t❤❡ ❝♦♣✉❧❛ ♣❛r❛♠❡t❡r ✐s ❡st✐♠❛t❡❞ ❜② t❤❡

✐♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❑❡♥❞❛❧❧✬s t❛✉✳ ❆♥❛❧②t✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡s❡ t✇♦ q✉❛♥t✐t✐❡s ❛r❡ ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❚❛❜❧❡ ✶ ❢♦r t❤❡ ✸ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❝♦♣✉❧❛s✳

❈♦♣✉❧❛s C_θ(u, v) P❛r❛♠❡t❡rθ ❑❡♥❞❛❧❧✬s t❛✉ λL λU

■♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ uv ◆♦ − ✵ ✵

❋r❛♥❦ _θ¹ln

1 +^(eθu−1)(e_(eθ−1)^θv−1)

R^∗ τ(θ) = 1−⁴_θ+_θ⁴2

Rθ 0

t

e^t−1dt ✵ ✵

●✉♠❜❡❧ exp

−

(−lnu)^θ+ (−lnv)^θ1/θ

θ≥1 τ(θ) = 1−¹_θ ✵ 2−2^1/θ

❈❧❛②t♦♥ u^−1/θ+v^−1/θ−1−θ

θ≥ −1 τ(θ) = _θ+2^θ 2^−1/θ ✵

❚❛❜❧❡ ✶ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦✉r ❛r❝❤✐♠❡❞❡❛♥ ❝♦♣✉❧❛s ✇✐t❤ t❤❡✐r ♣❛r❛♠❡t❡r ✭θ✮ s♣❛❝❡✱ ❛♥❞ ❛♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r t❤❡

♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❑❡♥❞❛❧❧✬s t❛✉ ✭τ✮✱ ❛♥❞ ❛♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r t❤❡ t❛✐❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✭λ_L✱λ_U✮ ❞❡✜♥❡❞ ❜②

❊q✳✸✳

✶✵

■♥ t②♣✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧❧✐♥❣ ❡①❡r❝✐s❡s✱ t❤❡ ✉s❡r ❝❛♥ ❝❤♦♦s❡ ❜❡t✇❡❡♥ ♠❛♥② ❞✐✛❡r❡♥t ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ str✉❝t✉r❡s✳

❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ ❛ ♠❡t❤♦❞ ✐s ♥❡❝❡ss❛r② t♦ s❡❧❡❝t✱ ❛♠♦♥❣ ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦♣✉❧❛s✱ t❤❡ ❜❡st ❛❞❛♣t❡❞ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡

str✉❝t✉r❡ ❢♦r t❤❡ st✉❞✐❡❞ ❞❛t❛✳ ●❡♥❡st ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✽❜✮ ❝♦♠♣❛r❡❞ ❛ ❧♦t ♦❢ ♠❡❛s✉r❡s t♦ ❝❤♦♦s❡ t❤❡ ❜❡st ❝♦♣✉❧❛✳

❆ ❜♦♦tstr❛♣ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ✐♥ ✭●❡♥❡st ❛♥❞ ❘é♠✐❧❧❛r❞ ✷✵✵✽✮ ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ t❡st t❤❡ ❣♦♦❞♥❡ss✲♦❢✲✜t

♦❢ ❝♦♣✉❧❛s✳ ❚❤✐s t❡st ❤❛s ❜❡❡♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✿ ✑❣♦❢❝♦♣✉❧❛✑ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ✑❝♦♣✉❧❛✑ ♣❛❝❦❛❣❡ ✭❨❛♥ ✷✵✵✼❀ ■✈❛♥

❑♦❥❛❞✐♥♦✈✐❝ ❛♥❞ ❏✉♥ ❨❛♥ ✷✵✶✵✮ ❢r♦♠ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❘ ✭❘ ❈♦r❡ ❚❡❛♠ ✷✵✶✸✮✳ ❚❤❡ t❛✐❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❝❛♥ ❛❧s♦

✉♥❞❡r♣✐♥ t❤❡ s❡❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♣✉❧❛s ✭P♦✉❧✐♥ ❡t ❛❧✳ ✷✵✵✼✮✳

✸✳✺ ●❡♥❡r❛t✐♥❣ ❛ ♣❛✐r ❢r♦♠ ❛ ❝♦♣✉❧❛

❙✐♠♣❧❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❛r❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ❢♦r ♠♦st ❝♦♣✉❧❛ ♠♦❞❡❧s✱ ❡✳❣✳ ❉❡✈r♦②❡ ✭✶✾✽✻✱ ❈❤✳ ✷✮✱ ♦r ❲❤❡❧❛♥

✭✷✵✵✹✮ ❢♦r t❤❡ ❆r❝❤✐♠❡❞❡❛♥ ❝♦♣✉❧❛s✳ ■♥ t❤❡ ❜✐✈❛r✐❛t❡ ❝❛s❡✱ ❛ ❣♦♦❞ str❛t❡❣② ❢♦r ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❛ ♣❛✐r (U, V)

❢r♦♠ ❛ ❝♦♣✉❧❛C ❝♦♥s✐sts ✐♥ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✿

✶✳ ●❡♥❡r❛t❡u❢r♦♠ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧[0,1]✱

✷✳ ●✐✈❡♥U=u✱ ❣❡♥❡r❛t❡ ❢r♦♠ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✿

Qu(v) = P^{(V ≤v|U =u) =} _∂u^{∂ C(u, v)}

❜② s❡tt✐♥❣V =Q⁻¹_u (U^◦)✱ ✇❤❡r❡U^◦∼ U[0,1]

❚❤❡ ❡①♣❧✐❝✐t ❢♦r♠✉❧❛s ❢♦r Q⁻¹_u ❛r❡ ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❚❛❜❧❡ ✷ ❢♦r t❤❡ ❋r❛♥❦ ❛♥❞ ❈❧❛②t♦♥ ❝♦♣✉❧❛s✳ ❋♦r t❤❡ ●✉♠❜❡❧ ❝♦♣✉❧❛✱ ♥♦ ❡①♣❧✐❝✐t ❢♦r♠✉❧❛ ❡①✐sts✱ t❤❡ ✈❛❧✉❡v = Q⁻¹u (u^◦)❝❛♥ ❜❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ❛ ♥✉♠❡r✐❝❛❧

❛♣♣r♦❛❝❤^✹✳

❚♦ ❛✈♦✐❞ ✉s✐♥❣ ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠✱ ❊♠❜r❡❝❤ts ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✸✮ ♦r ▼❝ ◆❡✐❧ ✭✷✵✵✽✮ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ❣❡♥❡r❛t❡

❞✐r❡❝t❧② t❤❡ ♣❛✐r ✭U, V✮✳ ■♥ ♦✉r ❝❛s❡✱ t❤❡ ❧❛tt❡r ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s ♥♦t s✉✐t❛❜❧❡ s✐♥❝❡ t❤❡ st♦r♠ ❞✉r❛t✐♦♥ ♠✉st ❜❡

❣❡♥❡r❛t❡❞ ❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥ ✈♦❧✉♠❡ st♦r♠ ✭❙❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✮✳

✹ ■♥ ♦✉r ❝❛s❡✱ t❤r❡❡ ✐t❡r❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❜✐s❡❝t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ❣✐✈❡ t❤❡ st❛rt✐♥❣ ♣♦✐♥t ♦❢ t❤❡ ◆❡✇t♦♥✲❘❛♣❤s♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳

❆Q⁻¹u (u^◦)✲❡st✐♠❛t✐♦♥ ❛s ❛❝❝✉r❛t❡ ❛s ❞❡s✐r❡❞ ✐♥ t❤✐s ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ ✐♥ ❛ r❡❧❛t✐✈❡❧② s❤♦rt t✐♠❡✳

❈♦♣✉❧❛s C(u, v) Q⁻¹u (u^∗)

❋r❛♥❦ ¹_θln

1 +^(eθu−1)(e_(eθ−1)^θv−1)

−¹_θln

1 + ^{u∗(e−θ−1)}

e

u+(1+u^∗)e^−θ·u

❈❧❛②t♦♥ u^−1/θ+v^−1/θ−1−θ

1−u^−θ+ (u^∗·u^1+θ)^−1+θθ −1/θ

❚❛❜❧❡ ✷ ❚❤❡ ❋r❛♥❦ ❛♥❞ ❈❧❛②t♦♥ ❝♦♣✉❧❛s ❛♥❞ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡✐r ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✳

✶✶

✸✳✻ ❚❤❡ ❞✐s❝r❡t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❝❛s❡

■♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✱ t❤❡ ♠❡t❤♦❞s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛❜♦✈❡ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ❢♦r t❤❡

♠❛r❣✐♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❞✐s❝r❡t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ ♠❛♥② ❞❡s✐r❛❜❧❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♠❡❛s✉r❡s

♥♦ ❧♦♥❣❡r ❤♦❧❞✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❛r❣✉♠❡♥t ❝♦♥s✐sts ✐♥ ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡❣❡r✲✈❛❧✉❡❞ r❛♥❞♦♠

✈❛r✐❛❜❧❡s✳ ❍❡r❡✱ ✇❡ ✉s❡❞ t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ✭❉❡♥✉✐t ❛♥❞ ▲❛♠❜❡rt ✷✵✵✺✮✳

❆ss✉♠❡ t❤❛tX ✐s ❛ ❞✐s❝r❡t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛♥❞X ≥0✳ ❲❡ ❛ss♦❝✐❛t❡X ✇✐t❤ ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❛♥❞♦♠X^∗ s✉❝❤

❛s

X^∗ = X + (U−1), ✇❤❡r❡U ∼ U[0,1]. ✭✹✮

✹ ❊✈❛❧✉❛t✐♦♥ ❋r❛♠❡✇♦r❦

❚✇♦ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❝r✐t❡r✐❛ ❛r❡ ❞❡s✐❣♥❡❞ t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡ t❤❡ ❣♦♦❞♥❡ss✲♦❢✲✜t ✇✐t❤ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝❛r❡ ❢♦r t❤❡ ❡①tr❡♠❡

♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳ ❚❤❡s❡ ❝r✐t❡r✐❛ ♣❡r♠✐t t♦ ❥✉❞❣❡ t❤❡ r❡❧✐❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠❡t❤♦❞ ♦♥ ❛ t❡rr✐t♦r②✿ t❤❡

♠♦❞❡❧ ✐s ❛❜❧❡ t♦ ❛ss✐❣♥ ❝♦rr❡❝t ❡①❝❡❡❞❛♥❝❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ❢♦r s❡✈❡r❛❧ st❛t✐♦♥s✳ ❙❡❡ ✭❘❡♥❛r❞ ❡t ❛❧✳ ✷✵✶✸✮ ❢♦r

❞❡t❛✐❧s ♦♥ t❤❡s❡ ❝r✐t❡r✐❛✳

▲❡tL_j ❜❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ②❡❛rs ♦❢ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ st❛t✐♦♥j✳

▲❡tN E_j ❜❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♦❜s❡r✈❡❞ r❛✐♥② ❡✈❡♥ts ✭s❡❡ ❙❡❝✳ ✷✳✷ ❢♦r ❞❡✜♥✐t✐♦♥✮ ♦❝❝✉rr✐♥❣ ♦♥ t❤❡ st❛t✐♦♥j✳

▲❡tN Ej

def= ^{N E}_L ^j

j ❜❡ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r❛✐♥② ❡✈❡♥t ♣❡r ②❡❛r✳

▲❡tX_j(D) ={X_jⁱ(D)}_{i=1..N Ej} ❜❡ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ r❛✐♥❢❛❧❧ ✐♥D❤♦✉rs ❢♦r ❡❛❝❤ ♦❜s❡r✈❡❞ r❛✐♥② ❡✈❡♥t✳

◆♦t❡ t❤❛tLj❝❛♥ ❞✐✛❡r ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ st❛t✐♦♥s✳

✹✳✶ ◗✉❛♥t✐❧❡ ✈✐♦❧❛t✐♦♥s

❚❤❡ ✜rst ❝r✐t❡r✐♦♥ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ q✉❛♥t✐❧❡ ✈✐♦❧❛t✐♦♥s ✿ ✐t ✈❡r✐✜❡s ✐❢ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥

❛❜♦✈❡ ❛ q✉❛♥t✐❧❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ❜② ❛ ❣✐✈❡♥ ♠❡t❤♦❞ ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✐❧❡ ❧❡✈❡❧✳

▲❡tq^M_j (D, T)❜❡ t❤❡ r❡t✉r♥ ❧❡✈❡❧ ♦❢ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ r❛✐♥❢❛❧❧ ✐♥D ❤♦✉rs ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ r❡t✉r♥ ♣❡r✐♦❞T

②❡❛rs ✭❝❛❧❧❡❞T②r✲q✉❛♥t✐❧❡✮ ❡st✐♠❛t❡❞ ❜② t❤❡ ♠♦❞❡❧M ❛t s✐t❡j✳

▲❡t N_j^M(D, T) ❜❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ q✉❛♥t✐❧❡s ✈✐♦❧❛t✐♦♥s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢(X_jⁱ(D))_{i=1..N Ej}

✇❤✐❝❤ ❡①❝❡❡❞q^M_j (D, T)✳

N_j^M(D, T) =

N Ej

X

i=1

1Xⁱ_j(D)>q_j^M(D,T)

✶✷

❋♦r ❛ ❣✐✈❡♥ t✐♠❡ st❡♣D❛♥❞ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠♦❞❡❧M✱ t❤❡ ❡①❝❡❡❞❛♥❝❡ ♦❢ ❛ q✉❛♥t✐❧❡q_j^M(D, T)✐s ❛ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ tr✐❛❧✳

❯♥❞❡r t❤❡ r❡❧✐❛❜✐❧✐t② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ✐ts s✉❝❝❡ss ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✐s _{N E}¹

j×T✳ ❈♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥

r❛✐♥② ❡✈❡♥ts✱ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡N_j^M(D, T)t❤❡r❡❢♦r❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✉❝❝❡ss❡s ✐♥N E_j✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t

❇❡r♥♦✉❧❧✐ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❛♥❞ t❤✉s✿

QV_T : N_j^M(T)∼ B(N E_j, 1

N E_j×T) ✭✺✮

✇❤❡r❡ B ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡ ❇✐♥♦♠✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ tr✐❛❧sN E_j ❛♥❞ s✉❝❝❡ss ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②p=

1

N Ej×T✳ ◆♦t❡ t❤❛t✱ ✐♥ ❛♥ ❛♥♥✉❛❧ ♠❛①✐♠❛ ♠♦❞❡❧❧✐♥❣✱ ✇❡ ❤❛✈❡N Ej = 1✱ ❧✐❦❡ ✐♥ ✭❘❡♥❛r❞ ❡t ❛❧✳ ✷✵✶✸✮✳

✹✳✷ ❋r❡q✉❡♥❝② ♦❢ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥

❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ❝r✐t❡r✐♦♥ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ♦❜s❡r✈❡❞ r❛✐♥❢❛❧❧ X_j^max(D) = max_{i=1..N Ej}X_jⁱ(D) ❢♦r ❛

❣✐✈❡♥ st❛t✐♦♥ ✭●❛r❛✈❛❣❧✐❛ ❡t ❛❧✳ ✷✵✶✵✮✳

▲❡tFˆ_j^(D,M)❜❡ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ r❛✐♥❢❛❧❧ ✐♥D❤♦✉rs ❛t s✐t❡j❡st✐♠❛t❡❞ ❜② ❛ ❣✐✈❡♥

♠♦❞❡❧M✳

❯♥❞❡r t❤❡ r❡❧✐❛❜✐❧✐t② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ✿

F M: Fˆ_j^(D,M)(X_j^max(D)) ∼ K(N E_j,1) ✭✻✮

✇❤❡r❡K(N Ej,1)✐s t❤❡ ❑✉♠❛r❛s✇❛♠② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✭❑✉♠❛r❛s✇❛♠② ✶✾✽✵✮ ✇❤♦s❡ ❝❞❢ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐t❡♥F_K(t) = t^{N Ej} ✇✐t❤0≤t≤1✳ ■♥❞❡❡❞✱

P

Fˆ_j^(D,M) X_j^max(D)

≤t

=P

X_j^max(D)≤ Fˆ_j^(D,M)−1

t

=P

X_jⁱ(D)≤ Fˆ_j^(D,M)−1

(t); ∀i∈1, .., N Ej

✭❈♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ r❛✐♥② ❡✈❡♥ts✮=

N Ej

Y

i=1

P

X_jⁱ(D)≤ Fˆ_j^(D,M)−1

(t)

✭✉♥❞❡r t❤❡ r❡❧✐❛❜✐❧✐t② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✮=h

Fˆ_j^(D,M)

Fˆ_j^(D,M)−1

(t)iN Ej

=t^{N Ej}

◆♦t❡ t❤❛t✱ ✐♥ ♦✉r ❝❛s❡Fˆ_j^(D,M)(.) ✐s ❡♠♣✐r✐❝❛❧❧② ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❧❛r❣❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢

r❛✐♥② ❡✈❡♥ts ✭N Esim✮✳Fˆ_j^(D,M)(X_j^max(D))✐s t❤❡♥ ❡st✐♠❛t❡❞ ❜② t❤❡ ❍❛③❡♥ ❢♦r♠✉❧❛ _{N Esim}^i−0.5 ✇❤❡r❡i✐s t❤❡

r❛♥❦ ♦❢X_j^max(D)❛♠♦♥❣ t❤❡N Esim♠❛①✐♠✉♠ r❛✐♥❢❛❧❧ ✐♥D❤♦✉rs ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② t❤❡ r❛✐♥❢❛❧❧ ♠♦❞❡❧✳

✶✸

✹✳✸ ●r❛♣❤✐❝❛❧ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥

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n^M(D, T) ={n^M_j (D, T)}_j=1..N❢♦r t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢T②r✲q✉❛♥t✐❧❡ ✈✐♦❧❛t✐♦♥s ❛♥❞f f^(D,M)={f f_j^(D,M)}_j=1..N

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S^M(QV_T) = 1−2_N¹ PN

j=1|B_nj,T(n^T_j)−Hˆ_j| ✭✼✮

S^M(F M) = 1−2_N¹ PN

j=1|K_{N Ej}(f f_j)−Hˆ_j| ✭✽✮

✇❤❡r❡ Hˆ_j ✐s t❤❡ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ❢r❡q✉❡♥❝②✳ ❇② ❝♦♥str✉❝t✐♦♥✱0≤C^M(.) ≤1✳ ✐❢C^M1(.)> C^M2(.) t❤❡♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧M1✐s ❛ss✉♠❡❞ ❛ ❜❡tt❡r ♠♦❞❡❧ t❤❛♥M2t♦ ❡st✐♠❛t❡ ❡①tr❡♠❡ q✉❛♥t✐❧❡ ❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥ r❛✐♥❢❛❧❧

❞✉r❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❛ ❣✐✈❡♥ r❡t✉r♥ ♣❡r✐♦❞✭♦♥❧② ❢♦r t❤❡ q✉❛♥t✐❧❡ ✈✐♦❧❛t✐♦♥ ❝r✐t❡r✐♦♥✮✳

✺ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✐♥t♦ t❤❡ r❛✐♥❢❛❧❧ ❣❡♥❡r❛t♦r✿ ❉❡♣t❤✴❉✉r❛t✐♦♥ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡

❚❤❡ s✉❜❥❡❝t ♦❢ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✐s t♦ ❛♣♣❧② t❤❡ ❝♦♣✉❧❛ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐♥t♦ t❤❡ r❛✐♥❢❛❧❧ ❣❡♥❡r❛t♦r ✐♥ ♦r❞❡r t♦ s✐♠✉❧❛t❡

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❉❡♣t❤✴❉✉r❛t✐♦♥ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✐s ♦♥❧② ❛♣♣❧✐❡❞ ♦♥ ♠❛❥♦r st♦r♠s✳

❋✐rst✱ t❤❡ ❞❛t❛ ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ st✉❞② ❛r❡ ❜r✐❡✢② ♣r❡s❡♥t❡❞✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ t♦♦❧s✱ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥

❙❡❝t✳ ✸✱ ❛r❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ♠♦❞❡❧ t❤❡ ❉❡♣t❤✴❉✉r❛t✐♦♥ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✳ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ ❢♦✉r ♠♦❞❡❧s ❛r❡ ❝♦♠♣❛r❡❞

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