Quatri`eme math´ematiqus 2 Novembre 2011 Issaoui Hacen
- Feuille d’exercices N ◦ 8 -
∼D´eplacements - antid´eplacemets∼
Exercice 01
SoitABC un triangle rectangle isoc`ele de sommet principalAtel que
−−\→ AB,−→
AC
≡ π
2[2π] etI le milieu de [BC].
1. (a) Montrer qu’il existe un seul d´eplacementf tel quef(A) =I etf(I) =B.
(b) En d´eduire que f est une rotation dont on pr´ecisera le centre Ω et l’angle.
2. (a) Pr´eciser l’imageB′ de B par f en d´eduire l’imageC′ de C parf. (b) Quelle est la nature du quadrilat`ere ABC′I?
3. Soitg l’antid´eplacement qui envoieA en I etI enB.
(a) Montrer que gest une sym´etrie glissante dont on pr´ecisera le vecteur et l’axe.
(b) Construire Ω′ l’image de Ω par g.
(c) On pose h=t−IA→◦g. Pr´eciser h(Ω) eth(A) puis caract´eriserh.
Exercice 02
SoitABCD un carr´e de centreO tel que
−−→\ AB,−−→
AD
≡ π
2[2π], on noteI =A∗B,J =B∗C etK =C∗D.
1. (a) Montrer qu’il existe un seul d´eplacementf qui transformeC en J etJ en O.
(b) Pr´eciser une mesure de son angle θ.
(c) Caract´eriserf ◦f et d´eduire que f est une rotation de centre Ω =O∗C.
2. (a) Pr´eciser l’image deO parf en d´eduire l’image deI parf. (b) Quelle est la nature du quadrilat`ere ΩID?
3. Soitg=t−CJ→◦f,h=S(BD)◦g etϕ=h◦S(AB).
(a) Pr´eciser g(O) puis caract´eriserg et d´eduire l’image du carr´eABCD parg.
(b) Pr´eciser h(O) et h(J) puis caract´eriserh.
(c) Caract´eriser la transformation ϕ.
Exercice 03
SoitABC un triangle rectangle isoc`ele tel que
−−→\ AB,−→
AC
≡ π
2[2π] et soitC le cercle de diam`etre [AB]. SoiR la rotation de centreA qui transformeB enC, soit C′=R(C). On d´esigne par O le centre de C et parO′ celui de C′.
1. (a) ConstruireC etC′. On d´esigne parI leur point d’intersection autre que A.
(b) Montrer que pour tout pointM ∈C d’image M′ par R, les points I, M etM′ sont align´es.
(c) En d´eduire que I =B∗C. Pr´eciser la nature du triangle IOAO′. 2. Soientr1 =R
O,π 2
etr2 =R O′,π
2
.
(a) Pr´eciser les images de B par les applicationsf =r2◦r1 etg=r−21◦r1.
(b) D´eterminer la nature et les ´el´ements caract´eristiques des applications f, g,f ◦S(BC) etg◦S(BC).
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Exercice 04
Soit ABC un triangle rectangle isoc`ele tel que
−−→\ AB,−→
AC
≡ π
2[2π]. On construit le point I tel que CIA soit rectangle et isoc`ele enC et tel que
−→\ CA,−→
CI
≡ −π
2[2π]. Soit Ω =S(BC)(A).
1. (a) Montrer qu’il exisite un seul d´eplacementf tel quef(A) =I etf(B) =C.
(b) Montrer que f est une rotation de centre Ω dont on pr´ecisera l’angle.
2. On poseg=f◦S(BC) etB′=S(ΩC)(B).
(a) Montrer que f(C) =B′ puis d´eterminerg(B) et g(C).
(b) V´erifier que g(A) = Ω, en d´eduire l’image de la droite (IC) par g.
(c) Montrer que gest une sym´etrie glissante de vecteur 1 2
−−→
BB′ et pr´eciser l’axe ∆.
3. SoitH le projet´e orthogonal de C sur (AB) et h=S(CH)◦g.
(a) V´erifier que S(CH)◦S∆=t−BH−→.
(b) En d´eduire que h est une translation de vecteur−−→
BC puis caract´erisert−−→
BC◦S(ΩA). Exercice 05
Dans le plan orient´e on consid`ere un triangle ABC tel que
−−→\ AB,−→
AC
≡ π
2[2π] et
−−→\ BC,−−→
BA
≡ π
3[2π]. On d´esigne par Γ le cercle circonscrit au triangle ABC et par O son centre, soient H et K les milieux respectifs de [OB] et [AC]. La m´ediatrice du segment [AC] coupe Γ enI etJ (I ∈ACd contenantB).
1. (a) Montrer qu’il existe un seul d´eplacementR qui envoieA en C etB en O.
(b) Montrer que R est une rotation, d´eterminer son angle.
(c) Montrer que I est le centre deR. 2. On poseR(C) =C′.
(a) Montrer que la droite (CC′) est tangente `a Γ.
(b) Montrer que les points A, OetC′ sont align´es.
3. Soitf =R◦S(AC)◦S(AB).
(a) D´eterminer la nature et les ´el´ements caract´eristiques def.
(b) On pose g=R◦f−1 et on poseR(J) =J′. D´eterminer la nature et les ´el´ements caract´eristiques deg.
En d´eduire que C est le milieu de [J J′].
4. On poseh=R◦S
(AB). (a) D´eterminer h(A).
(b) Montrer que h(I) =A.
(c) Montrer que hest une sym´etrie glisssante dont on d´eterminera le vecteur et l’axe.
Exercice 06
Soit ABC un triangle rectangle enC tel que
−→\ CA,−−→
CB
≡ π
2[2π] et soitR une rotation de centre A et d’angle π
2. Soient D=R(C) et E =R−1(B). On d´esigne parI le milieu de [CD].
1. (a) Montrer qu’il existe un unique d´eplacementf tel quef(A) =Detf(C) =A.
(b) Pr´eciser la nature et les ´el´ements caract´eristiques def.
2. Soitg=f ◦R.
(a) Montrer que gest une translation.
(b) Soit F =g(E). Montrer que f(B) =F.et en d´eduire la nature de triangleBIF.
(c) Montrer que les points C,A etF sont align´es.
3. SoitG=t−AD−→(I).
(a) Montrer qu’il existe un unique antid´eplacement ϕtel queϕ(C) =Det ϕ(I) =G.
(b) Montrer que ϕest une sym´etrie glissante dont on d´eterminera le vecteur et l’axe.
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