Devoir à la Maison n

ÉCS2

Devoir à la Maison n

6

On considère la matrice : M =







1 −3 3

−2 0 2 1 −1 3







et l’endomorphismef deR³ dont la matrice dans la base canoniqueB estM.

1. a)Déterminer les valeurs propres deM.

b)Établir que f est diagonalisable. Déterminer une base (V1; V2; V3) de vec- teurs propres def que l’on choisira de manière que chacun d’eux ait, dans la baseB, des coordonnées égales à 0 ou à 1.

c) Soitaetbdeux réels quelconques etfa,b=af+bId_R3. Montrer quefa,best diagonalisable.

2. À tout vecteury = (y1;y2;y3)deR³, on associe la fonctionφy de R³ dans R³ telle que, pour toutx= (x1;x2;x3)deR³,

φy(x) = (y1+y2)x1+ (y1+ 2y2)x2+y3x3.

a) Le vecteur y = (y1;y2;y3)de R³ étant fixé, exprimerφy(f(x))en fonction des coordonnéesx1,x2et x3 dex.

b) Montrer qu’à chaque vecteur y = (y₁;y₂;y₃) de R³, on peut faire corres- pondre un vecteurY = (Y₁; Y₂; Y₃)et un seul dansR³ tel que, pour toutx deR³,φ_y(f(x)) =φ_Y(x).

À cet effet, on exprimeraY₁,Y₂ etY₃ en fonction dey₁,y₂ ety₃.

c) On poseg(y) = Y. Vérifier quegest une application linéaire deR³dansR³, dont la matriceNdans la baseBestN =







1 −3 3

−2 0 −2

5 7 3





.

3. On considère la matrice : S =







1 1 0 1 2 0 0 0 1







et l’endomorphismesdeR³ dont la matrice dans la base canoniqueBestS.

a)Vérifier que Sest inversible et calculerS⁻¹. b)Calculer le produit SMS⁻¹.

c) En déduire que les vecteurss(V₁),s(V₂)et s(V₃)sont des vecteurs propres de la matrice^tN, transposée deN. Préciser les valeurs propres associées.

d)En déduire que Nest diagonalisable.

Lycée HenriPoincaré 1/1 _lo