mathématiques supérieures 5· Géométrie

lQUINET

Cours élémentaire de

mathématiques supérieures 5· Géométrie

Jnnons à z un ....

Un point M de 1 L'aire de la surface engendr y fonction S de la cote z du pain

positif. Il lui corresponL ans ces conditions, S(z) S

tronc de cône engendré par admet pour coordonnées c

x

Considérons l'arc de parabole

A=2nf' Jl+

¹

^Jzd

'"'''' • 0 4z

2. Aire de la sphère. La sphère de cenlre 0 el de rayot li-cercle ct 'équation

- - = - - - -= (1 +tg² ,) d(tg t) = tr

• dt

f

^{1 dt}

f

C054

1 C052

t C051 t

d'équation x 2fa 2+yZfb1

=

l, a>b, tournant auto

·1.1uation x2/a Z+y2/b1 ₌ 1, a>h, tournant 8'

équations x = a[ln tg(I/2+nj4)- sin Il, y

= ::.. 2

'f'

^{- I l} (1 + cos 0)' dO = -

a'f"

2 ^{- I I} (l + 2 cos a'

[30 .

^{sin 20J' a'}

= - -+2slO0+-- =3,,-.

2 2 4 -, 2

C'est ce résultat, bien connu en géométrie élémentaire, que nous avons utilisé ci- dessus pour évaluer l'aire latérale du tronc de cône engendré par MM' et qui nous la

de trouverfl: formule générale de l'air

f e

h

des

F

surf'

6e édition

^ré

A = 2"yjï+.)!'dz = 2n!!. z 1 +

~dz

^{" nJ Jl+4zdz'}

o h 0 hl 0

O'M+~~~~~~A~ __ ~

1 1 y

_A= f R

2nJR'-z'

J

1+-,--,dz=2nR ^z'

^fR

dz=4"J;

-R R -z ^-R

Dunod

^{8.19 Courbe} d'équation y3 = x, yE[O, 1), tournant autour de Oy.

8.20 Courbe d'équation

x'

+y' = 4, limitée par les points (1,

J3)

et (2,0), t Courbe d'équation y2 = 4x, limitée par les points (0,0) et (3,2 3), tournant Astroïde d'

J. QUINET

Ingénieur de l'École Supérieure d'Électricité

COURS ÉLÉMENT AIRE

DE

MATHÉMATIQUES

6

^e édition

par une équipe de professeurs Avec la participation de

J.FAZEKAS

SUPÉRIEURES

Tome 5

Géométrie

Professeur à l'École Centrale d'Électronique de Paris

Dunod

, '"

~:

© BORDAS, Paris, 1978 ISBN 2-04-010079-2

"Toute représent'ltion ou reproduction, intégrale ou partielle, faite sans lEi consentement de l'auteur, ou de ses ayants-droit, ou ayants-cause, est illicite (loi du 11 mars 1957, alinéa 1·' de l'article 40), Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. La loi du 11 mars 1957 n'autorise, aux termes des alin~as 2 et 3 de l'article 41, que les copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées 'à une utilisation collective d'une part, et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration "

'"

"

TABLE DES MATIÈRES

CHAPITRE 1. Fonctions à valeurs vectorielles 1.1 Limites des fonctions à valeurs vectorielles 1. 2 Limites dans les. plans euclidiens

1. 3 Continuité des fonctions à valeurs vectorielles 1.4 Dérivabilité des fonctions à valeurs vectorielles

CHAPITRE 2. Construction des arcs paramétrés 2.1 Définition des arcs paramétrés

2.2 Étude au voisinage d'un point 2.3 Branches infinies

2.4 Points doubles . . . . . 2.5 Intervalle d'étude . . . . 2.6 Tracé d'un arc paramétré 2.7 Exemples

2.8 L'astroïde . . . . 2.9 La tractrice . . . . 2.10 La parabole semi-cubique 2.11 Le folium de Descartes 2.12 La cycloïde

Exercices

CHAPITRE 3. Construction des coUrbes en coordonnées pqlaires 3.1 Équation de la droite . . . .

3.2 Équation du cercle . . . . . 3.3 Coniques ayant un foyer en 0 3.4 Tangente'en un point . . . . 3.5 Branches infinies . . . . 3.6 Intervalle d'étude et symétries 3.7 Points doubles . . . .

3.8 Tracé d'une courbe en coordonnées polaires

..

1 2 .3

6 6 8 9 Il 11 12 15 16 J7 18 20 22

23 25

·27 29 30 32 33 34

IV

3.9 La cardioïde . 3.10 La cissoïde 3.11 'La strophoïde

L "

3.12 La lemniscate de Bernoulli 3.13 Les 'spirales

Exercices

CHAPITRE 4. Étude métrique des courbes 4.1 Longueur d'un arc de courbe

4.2 Exemples. . . . . 4.3 Étude de la chaînette 4.4 Abscisse curviligne . 4.5 Rayon de courbure .

4.6 Calcul pratique du rayon de courbure 4.7 Exemples

4.8 Cercle osculateur Exercices

CHAPITRE 5. Courbes définies par une propriété différentielle

"

il. ) , ,

Table des matières

37 38 38 40 40 43

44

45 47 49 50 51 52 54 55

5.1 Courbes à sous-tangente constante 57

5.2 Courbes à tangente constante 58

5.3 Courbes à sous-normale constante 58

5.4 Courbes à normale constante 59

5.5 Courbes dont les normales passent par un point.fixe 60 5.6 Courbes telles que l'abscisse curviligne soit proportionnelle au carré de

l'abscisse . . . 60

5.7 Courbes à sous-tangente polaire constante . . . 61 5.8 Courbes à sous-normale polaire constante . . . 61 5.9 Courbes coupant les rayons vecteurs sous un angle constant 62 5.10 Courbes telles que

Il OM Il

=

IIOTII . . .

62 5.11 Courbes à rayon de courbure constant . . . 63 5.12 Courbes telles que le rayon de courbure soit égal à la longueur de la normale 63 Exercices

CHAPITRE 6. Intégrales curvilignes 6.1 Intégrale d'une forme différentielle 6.2 Cas des formes différentielles exactes 6.3 Détermination du potentiel scalaire 6.4 Méthode de Poincaré

6.5 Facteurs intégrants 6.6 L'entropie

Exercices

65

66 67 72 74 76

78

80

Table des matières

CHAPITRE 7. Intégrales multiples

7.1 Intégrale double sur un rectangle . . . . 7.2 Intégrale double sur une partie quarrable

7.3 Changement de variable dans les intégrales doubles 7.4 La formule de Green-Riemann

7.5 Intégrales doubles généralisées 7.6 Intégrales triples

Exercices

CHAPITRE 8. Calcul des aires

8.1 Aire limitée par le graphe d'une fonction.

8.2 Aire comprise entre deux graphes . . . . 8.3 Aire limitée par le support d'un arc paramétré 8.4 Aire limitée par une courbe en coordonnées polaires . 8.5 Aire d'une surface de révolution

Exercices

CHAPITRE 9. Calcul des volumes

9.1 Volume limité par une surface d'équation résolue en z 9.2 Volume limité par une surface et deux plans parallèles 9.3 Formule des trois ni~eaux . . . . . . . . 9.4 Volume limité par une surface de révolution . . . .

9.5 Cas d'une surface <:le révolution engendrée par une courbe fermée Exercices

CHAPITRE 10. Recherche des centres d'inertie 10.1 Préliminaires . . . . 10.2 Centre d'inertie d'un système matériel

10.3 Propriétés du centre d'inertie d'un système Illatériel 10.4 Coordonnées du centre d'inertie d'un système matériel 10.5 Centre d'inertie d'un arc de courbe

10.6 Premier théorème de Guldin 10.7 Centre d'inertie d'une surface plane 10.8 Second théorème de Guldin . . . . 10.9 Centre d'inertie d'une surface de révolution 10.10 Centre d'inertie d'un volume

Exercices

v

82 85 88 89 91 92 94

97 99 100 102 104 109

113 118 120 122 124 126

127 127 128 130 130 134

135 138 139 140 141

VI

CHAPITRE 11. Calcul des moments d'inertie 11.1 Moment d'inertie d'un système matériel 11.2 Moment d'inertie d'un solide

11.3 Liens entre moments d'inertie 11.4 Théorème de Huygens . . . 11.5 Moments d'inertie de courbes 11.6 Moments d'inertie des surfaces planes 11.7 Moments d'inertie des surfaces de révolution 11.8 Moments d'inertie des volumes

Exercices

Solutions des exercices Chapitre 2

Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6 Chapitre 7 Chapitre 8 Chapitre 9 Chapitre 10 . Chapitre Il .

.'

Table des matières

144,

144

14~

146 147

148

f52 153 154

155 169

184

190 197 20'1 .208 213 216 217 Index terminologique ... , 231

CHAPITRE 1

FONCTIONS À VALEURS VECTORIELLES

En géométrie et en cinématique, on utilise constamment des fonctions d'une variable réelle à valeurs dans un espace vectoriel euclidien E, et non plus néces- sairement à valeurs réelles ou complexes. Nous allons voir que l'étude des fonctions à valeurs dans R ² ou dans R ³ se ramène aussitôt à celle des fonctions à valeurs réelles.

1.1 Limites des fonctions à valeurs vectorielles. La définition d'une fonction admettant une limite en un point est la même que dans le cas des fonctions numé- riques, à ceci près que l'on remplace une valeur absolue par une norme:

Considérons une fonctionfdéfinie sur une partie P de R à valeurs dans un espace vectoriel euclidien E et un nombre réel 10' Supposons que 10 soit un point de Pou, plus généralement, que 10 soit une extrémité d'un intervalle ouvert contenue dans P. On dit quef(t) admet pour limite un élément 1 de E lorsque t tend vers to si, pour tout nombre réel strictement positif e, il existe un nombre réel strictement positif 11 tel que la relation

te[to-ll, to+ll] n(P-{to}}

implique la relation IIf(t)-/11 ~ e.

(On remarquera que la variable s'appelle désormais t et non x, car en cinématique elle représente le temps.)

Grâce à l'inégalité triangulaire, on montre qu'un tel élément l, s'il existe, est unique; on l'appelle la limite def(t) lorsque t tend vers to, et on le note

1

=

limf(t).

t-+to

Comme dans le 'cas des fonctions numériques, on démontre que la somme de deux fonctions

f

et g ayant des limites 1 et m a encore une limite, à savoir 1+ m.

Le produit de deux fonctions à valeurs dans E n'a aucun sens. On peut toutefois définir le produit <pf d'une fonction <p à valeurs réelles par une fonctionf à valeurs vectorielles; c'est l'application qui au nombre réel t associe le vecteur <p(t)f(t).

Si <p a une limite .Â. et si f a une limite l, la fonction <pf admet pour limite .Â.I.

1.2 Limites dans les plans euclidiens. Supposons maintenant que E est de dimension 2. (Le cas de la dimension 3 est analogue.) Considérons une base ortho- normale (i, j) de E; par exemple la base canonique si E = R ²• Soit

f

une fonction définie sur une partie P de R à valeurs dans E. Pour tout élément t de P, le vecteur f(t) se décompose dans la base (id) sous la fonne

f(t) = xi+yj,

2

,

\'

k

où x et y sont des fonctions à valeurs réelles de la variable t : x =/(t) y =g(t).

Ainsi,

I(t) =f(t) i+g(t)j, ce qu'on écrit encore

1=li+gj.

Clzapitre 1

Pour que

1

admette une limite au point t_{o ,} il faut et il suffit que

1

et g admettent des limites en ce point. Dans ces conditions,

lim jet) = Iim f(t)i + Iim g(t)j.

t-+to t-+to t-+to

Supposons d'abord que/admette une limite 1= li+mj. La relation II/(t)-/II ~ ⁸

s'écrit

J[j(t)-/J²+[g(t)-mr ~ 8,

ce qui implique

I/(t)-/1 ~ 8 et Ig(t)-ml ~ 8.

Ainsi,f(t) tend vers 1 et g(t) tend vers m.

Réciproquement, supposons que I(t) tende vers 1 et que g(t) tende vers m.

En prenant t suffisamment près de _to, nous pouvons réaliser simultanément les conditions

1/(0-/1 ~

8/.fi

Posons 1= li+mj; alors

et Ig(t)-ml ~

8/.j2.

1.3 Continuité des fonctions à valeurs vectorielles. La définition des fonctions continues s'étend immédiatement au cas des fonctions à valeurs dans un espace vectoriel euclidien E :

On dit que / est continue en un point to si

~) la fonction/est définie en ce point, c'est-à-dire si to eP;

b) la fonction/admet pour limite/(to) au point to : Hm f(t) = j(to) .

t-+to

Lorsque E est un plan euclidien muni d'une base orthonormale (i, j), la fonction

/ = li

+

gj est continue au point to si et seulement si les fonctions 1 et g le sont. De même, si E est de dimension 3 et muni d'une' base orthonormale (i, j, k) la fonction 1= li+gj+hk est continue au point to si et seulement si les fonctionsf,g eth le sont.

Géométrie euclidienne 3

1.4 Dérivabilité des fonctions à valeurs vectorielles. La définition des fonctions dérivables s'étend elle aussi au cas des fonctions à valeurs vectorielles. La dérivée de

1

au point to est

f'

^(to)

=

lim !(t) - !(to) .

1-+10 t - to

On définit enfin la fonction dérivée f' d'une fonction 1 dérivable en tout point de son ensemble de définition.

La somme de deux fonctions dérivables est dérivable, et sa dérivée est la somme de leurs dérivées.

Soient <p une fonction dérivable à valeurs réelles et

1

une fonction dérivable à valeurs dans E. Alors <pI est dérivable, et

(<pf)' = <p'I+<pf'.

Le calcul des dérivées des fonctions à valeurs dans un espace vectoriel euclidien ..de dimension 2 ou 3 s'effectue en pratique à l'aide d'une base orthonormale. Soit

1

⁼

li

+ gj; pour que

1

soit dérivable, il faut et il suffit que

f

et 9 le soient. Dans ces conditions,

f'=f'i+g'j.

EXEMPLES

1. Dérivée d'un vecteur unitaire. Soit u un vecteur unitaire, la variable étant l'angle () que fait ce vecteur avec Ox (Fig. 1.1).

y

FIG. 1.1

x

Alors

u = cos

eH

^sin

ej

et

du de = - sm .

e'

l

+

cos

e'

'1 = cos

(e +"2 n), .

^l

+

sm

^(e +"2 n).

J.

Ainsi, le vecteur U 1 = du/de est encore unitaire, et il fait un angle de n/2 avec u.

Autrement dit, dériver un vecteur unitaire par rapport à l'angle qu'il fait avec Ox revient à le faire tourner de n/2.

4 Chapitre 1

2. Dérivée d'un produit scalaire. Soient f1 et f2 des fonctions à valeurs dans un espace vectoriel euclidien E de dimension 2 ou 3. Si f1 et f2 sont dérivables, il en est de même de leur produit scalaire, c'est-à-dire de la fonction à valeurs réelles

Plus précisément,

Plaçons-nous par exemple dans le cas où E est de dimension 3, et décomposons les fonctions f1 et f2 dans une base orthonormale (i,j, k) :

Pour tout nombre réel t,

ce qui montre que le produit scalaire f1'[2 est encore donné par la formule sui- vante:

Rappelons que le produit de deux fonctions dérivables u et v est encore dérivable, et que

Ainsi,

(uv)' = u' v

+

^{uv' .}

(f1 f2)'

=

fi f2

+

f1 f;

(gl g2)' = g~ g2

+

^{gl g~}

(hl h2)' ^{= h~} h2

+

^{hl h~ .}

La somme de trois fonctions dérivables étant encore dérivable, nous en concluons que f1 .f2 est dérivable, et que

(f1·f2)' = fi f2

+

^{f1 f;}

+

^{g~ g2}

+

^{gl g~}

+

^h~ h2

+

^{h~ h~}

(fi f2

+

^{g~ g2}

+

^h~ h2)

+

^{(f1 f;}

+

^{gl g~}

+

^{hl h~) ,}

c'est-à-dire

ce qu'il fallait prouver.

Géométrie euclidienne 5

3. Dérivée d'un produit vectoriel. On suppose maintenant que E est un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Si

Il

et

12

sont dérivables, il en est de même de leur produit vectoriel, c'est-à-dire de la fonction à valeurs vectorielles

Plus précisément,

Prenons cette fois pour (i,j, k) une base orthonormale directe. En conservant les notations précédentes, nous vérifions que

Le calcul est alors analogue au précédent. On écrira que (gl h2 - g2 hl)' ^g~ h2

+

gl h; - g; hl - g2 h~

=

(g~ h2 - g; hl)

+

(gl h; g2 hl) ,

et d'autres relations semblables pour les deux autres composantes. L'essentiel est bien entendu de connaître le résultat (et de ne pas confondre

Il /\ 12

avec

12 /\ Il)·

,

L ," _e

CHAPITRE 2

CONSTRUCTION DES ARCS PARAMÉTRÉS

2.1 Définition des arcs paramétrés. La notion d'arc paramétré est d'origine cinématique. Considérons un point M du plan se déplaçant au cours du temps t.

Ses coordonnées x et y sont des fonctions de t : x =j(t) y =g(t).

On peut encore représenter le point M par le vecteur OM

=

Jet), oùjest une fonc- tion d'une variable réelle à valeurs dans R^2•

On est ainsi amené à appeler arc paramétré une application continue j définie sur un intervalle 1 (ou sur une" réunion d'intervalles) de R à valeurs dans R²• L'image

r

de 1 par j s'appelle support de l'arc paramétré. Soit M un élément de

r;

tout élément t de !tel que M = Jet) est dit paramètre du point t. En pratique, le point M est repéré par ses coordonnées x = Jet), y = g(t).

L'étude du graphe d'une fonction y = <p(x) rentre dans le cadre précédent: il suffit de poser x == t, Y = <p (t).

On est souvent amené à utiliser une représentation paramétrique d'une courbe d'équation F(x, y) = 0 non résolue par rapport à x, c'est-à-dire à considérer cette courbe comme le support d'un arc paramétré. Ainsi, le cercle d'équation

X2+y2 =R²

est le support de l'arc paramétré x

=

R cos t, y = R sin t. Plus généralement, l'ellipse d'équation

est le support de l'arc paramétré x = a cos t, y

=

^b sin t.

2.2 Étude au voisinage d'un point. On démontre que la formule de Taylor- Young (voir tome 3) s'étend au cas des fonctions à valeurs vectorielles. A partir de cette formule, on peut étudier l'existence d'une tangente au point Mo = f(to), et la position de la courbe par rapport à cette tangente au voisinage de to.

Si la dérivéef' (to) est non nulle, la courbe admet une tangente, à savoir la droite définie par le point Mo et le vecteur

f'

(to)'

- Dans ces conditions, si la dérivéef"(t

o)

est non colinéaire àf'(to), la courbe est située dans le demi-plan définie par la tangente et contenant le vecteur j" (to) (Fig. 2.1 a)) .

. - Sil" (to) est colinéaire àf' (to) et sif'" (to) est non colinéaire àf' (to), la courbe traverse sa tangente. On dit que le point Mo est un point d'inflexion (Fig. 2.lb)).

Construction des arcs paramétrés 7

Supposons maintenant que /' (to) = 0 et que f" (to) :1= O. La courbe admet une tangente, à savoir la droite définie par Mo etf"(to)'

- Siflll(to) n'est pas colinéaire àf"(tO)' la courbe est de part et d'autre de sa tangente. On dit que Mo est un point de rebroussement de première espèce (Fig. 2.lc».

- Si flll (to) est colinéaire à f" (to) et si _{f(4) (to)} n'est pas colinéaire à f" (to), la courbe est d'un même côté de sa tangente. On dit que Mo est un point de rebrousse- ment de seconde espèce (Fig. 2.ld».

(a)

(c) (d)

FIG. 2.1

En pratique, on détermine les dérivées successives de

f

par leurs composantes (/', g'), (fil, g"), etc.

Lorsque

Xo = f'

(to) et

Yo =

g' (to) sont non tous deux nuls, l'équation de la tangente en Mo est

X-Xo Y- Yo

- - = - -

EXEMPLES.

1. Étudier J'arc paramétré

au voisinage de l'origine.

L

--

8

Ici

1

j'(t)=2t g'(t)

=

2t-3t²

1

1"(t) =2 g"(t) = 2-6t

l

^{flll(t) glll(t)}

^{= =}

^{0 -6}

"

"

j'CO)

=

0 g'(O) = 0 1"(0) =2 g"(O) = 2 1"'(0) = 0 glll(O) = -6.

Chapitre 2

La courbe est donc tangente en 0 à la première bissectrice. Comme/III (0) n'est pas colinéaire à f" (0), le point 0 est un point de rebroussement de première espèce.

2. Étudier l'arc paramétré

x = et - ¹_t y = t³-3t au voisinage du point (0, 2), atteint pour t = 1.

Ici

f'(')

^{=et - 1_1 j'(1) =0}

g' (t) = 3t²-3 g'(l) =0

r(')

^{= et- 1} 1" (1) =1 g"(t) = 6t g"(l) =6

fm(,)

^{= er- 1}

1'"

(1) =1 glll(t) =6 ^glll(l) =6

f"'(') ^~ ,'-'

^{f(4)(1) = 1}

g(4)Ct) = 0 g(4)(1) = O.

Le vecteurf"(l) est non nul, et le vecteur/^lII(l) lui est colinéaire. Commej<4)(l) n'est pas colinéaire aux deux précédents, le point (0, 2) est un point de rebrousse- ment de seconde espèce.

2.3 Branches infinies. L'étude des branches infinies est calquée sur le cas où y est fonction de x (voir tome 2).

Si x tend vers Xo et si y tend vers

+

00 ou vers - 00 lorsque t tend vers t_{o ,} la droite d'équation x

=

^Xo est asymptote à la courbe. De même, si x tend vers

+

00

ou vers - 00 et si y tend vers Yo lorsque t tend vers to, la droite d'équation y ⁼ Yo est asymptote à la courbe.

Enfin, si x et y augmentent indéfiniment lorsque t tend vers to, on étudie la limite de y/x pour savoir si la courbe admet une direction asymptotique. Si y/x te~d

r: ! g

,

Construction des arcs paramétrés 9

vers

+

00 ou vers - 00, la courbe a une branche parabolique dans la direction de Dy. Si ylx tend vers 0, la courbe a une branche parabolique dans la direction de Dx.

Si ylx a une limite finie non nulle a, on cherche si y-ax a une limite finie b, auquel cas la droite d'équation y ax+b est asymptote à la courbe. En effectuant un développe men t limité de y - ax - b au voisinage de to , on peut déterminer la posi- tion de la courbe par rapport à l'asymptote.

Bien entendu, dans tout ce qui précède, on peut remplacer le cas échéant to par

+

00 ou - 00. Pour étudier la position de la courbe par rapport à l'asymptote, on effectue alors un développement limité de y-ax-b en fonction de lit.

EXEMPLE. - Étudier les branches infinies de l'arc paramétré 1 t²

+

1

x = - - y = - - .

t-1 t-1

Il est clair que x et y deviennent infinis lorsque t tend vers 1. Or, t²

+

1 2

y-2x = - - - - = t+1-t2.

t-1 t-1

La courbe admet donc pour asymptote la droite d'équation y = 2x+2.

D'autre part, lorsque t tend vers

+

⁰⁰ (resp. - (0), x tend vers

°

^{et y tend vers}

+

⁰⁰ (resp. vers - (0). La courbe admet donc pour asymptote l'axe Dy.

2.4 Points doubles. On dit qu'un point M du support d'un arc paramétré est double s'il est atteint pour deux valeurs distinctes du paramètre. Autrement dit, il existe deux nombres réels distincts t' et t" tels que

l

^{f(t') g(t') = =} g(t"): ^f(t")

Lorsque j et g sont des fonctions rationnelles, on peut commencer par simplifier par t' t"; on fait apparaître ensuite la somme s = t' + t" et le produit p = t' tlt . On calcule s et p; on en déduit t'et t", et enfin x = j(t') = j(tlt), Y = g(t') = g(t").

Examinons un cas particulier très fréquent. Supposons que j et g sont les quotients de deux trinômes de degré 2 :

Pour que x et y soient les coordonnées d'un point double, il faut et il suffit que les deux trinômes

x(a1 X2

+

^[31 X +1'1)-(a 1 X2

+b 1 X +c1) y(a2X2+[32X+1'2) (a2X2

+b2X+C2)

aient deux racines communes. Cela revient à dire que leurs coefficients sont pro-

L ,

L ^{" lÎ,}

--, --

10 Chapitre 2

portionnels :

XCX 1 - al X[Jl-bl XY1- Cl

ycx2- a2 y[J2-^b2 YY2-^C2

Ce procédé a l'avantage de fournir directement les coordonnées des points doubles sans passer par l'intermédiaire des valeurs du paramètre. En outre, il s'applique au cas où le point double est atteint pour les valeurs infinies de t, alors que le premier procédé tombe en défaut.

EXEMPLES.

1. Cherchons les points doubles de l'arc paramétré x

=

2t+t2 Y

=

2t-l/t 2.

Écrivons que

2t' + t,2

=

2t" + t,,2 2t' -

~

_t,2 ⁼ 2t"

-~.

_t,,2

Simplifions les deux relations par t' - tIf : 2

+

t' +t" = 0

t' +t"

2 + - - = 0 , t,2 t,,2

soit s = - 2, S/p2 = - 2. Finalement, s

= -

2 et p2

=

1.

Si p = 1, alors t'et tIf sont les racines de l'équation t2+2t+l =0,

ce qui montre que t'

=

tIf

=

-1. Comme t'et tIf ne sont pas distincts, cette solution est à rejeter.

Si p

=

^-1, alors t'et tIf sont racines de t 2+2t-l =

o.

D'où t'

=

-1

+J2,

^tIf

= -1-J2

^{et x 1, y = -5.}

2. Chercher les points doubles de l'arc paramétré

La première méthode consiste à écrire que

t, 2

+

3 t' - 2 t,,2

+

3 tIf - 2 t' -1 t"-1

= t"2__t,, +2

i

Constructioll des arcs paramétrés 11

La première relation conduit à s ^{- p l} et la seconde à s - ^p = - 2, ce qui est impossible.

La deuxième méthode s'applique ici; elle conduit à écrire que les coefficients des polynômes

(x-l) X2-(x+3) X +2x+2 et yX2+(y-l) X +y+ 1 sont proportionnels; soit

x-l x+3 2x+2

= - -

y l-y y+l

Il vient aussitôt x 1 et y = O.

La première méthode ne pouvait aboutir, car le point (l, 0) ~st atteint lorsque t

=

1 et lorsque t tend vers

+

00 ou vers 00.

2.5 Intervalle d'étude. Dans le cas où les fonctionsfet g admettent une même période non huIle T, on limite évidemment la variation de t à un intervalle de longueur T.

Si les fonctions

f

et g sont impaires, c'est-à-dire si le changement de t en - t transforme x en -x et yen -y, la courbe est symétrique par rapport à O. On prend alors pour intervalle d'étude [0,

+

oo[ ou, dans le cas d'une période T, [0, Tj2].

Sif est impaire et g paire, la courbe est symétrique par rapport à Oy; de même, si

f

est paire et g impaire, la courbe est symétrique par rapport à Ox. On réduit encore l'intervalle d'étude comme ci-dessus.

Si

f

et g sont paires, la courbe est parcourue deux fois lorsque t varie de - 00

à

+

00. On obtient le support tout entier en se limitant aux valeurs positives de t.

EXEMPLE. - Soit l'arc paramétré x = a cos t y b sin t.

La période est 2n. Puisque x est une fonction paire de t et que yen est une fonction impaire, le graphe est symétrique par rapport à Ox. On peut donc prendre pour intervalle d'étude [0, n]. Mais, de plus, le changement de t en n-t transforme x en -x tout en conservanty. Le graphe est symétrique par rapport à Oy, et l'inter- valle [0, nj2] suffit.

Remarque. - Dans certains cas, le graphe fait apparaître une symétrie qui n'était pas en évidence sur les expressions de x et de y. On essaiera alors de déter- miner le changement à effectuer sur t pour obtenir cette symétrie. On réduira en conséquence l'intervalle d'étude ... ce qui conduira à recommencer cette étude.

2.6 Tracé d'un arc paramétré. Les considérations ci-dessus sont résumées dans la règle suivante :

Règle.

1. On commence par déterminer l'intervalle d'étude, en tenant compte de la périodicité et des symétries.

t x' y' x y

12

, '"

~

CIlapitre 2

2. On calcule les dérivées de x et de y par rapport à t; on cherche leurs signes et les valeurs de t pour lesquelles elles s'annulent.

3. On dresse le tableau de variation en cinq lignes pour t, x', yi, x et y. On porte les valeurs remarquables de x et de y, ainsi que les limites aux bornes des intervalles où ces fonctions sont définies. On indique par des flèches les sens de variation de x et de y.

4. On étudie les branches infinies.

5. On étudie les points de rebroussement.

6. On construit la courbe. Sur chaque intervalle où ^x et y sont monotones, tout se passe comme si y était fonction de x.

7. On cherche les coordonnées des points doubles, dans la mesure où le gra- phique en a montré l'existence.

On peut améliorer la précision du tracé en calculant les coordonnées de quelques points, en particulier les intersections avec les axes de coordonnées.

2.7 Exemples.

1. Construire l'arc paramétré

t+2 t-5 t-5

x = - -

t²-1 y= = .

t2-4t+3 (t-3)(t-l)

Il n'y a nas de symétrie évidente. D'autre part, x est défini lorsque t est différent de 1 et de -1, tandis que y est défini lorsque t est différent de 1 et de 3.

Calculons les dérivées de x et de y par rapport à t :

1 (t2-1)-(t+2)2t -t2-4t-1 x = =

--=---::--

(t2 _1)2 (t2 _1)2

1 (t-3)(t-1)-(t 5)(2t-4) y = (t-3i (t-1)2

_t2+ 10t-17 (t-3)2(t-1)2 .

On voit que x' s'annule pour deux valeurs ^0: et

P

de t, égales sensiblement à -3,7 et à -0,3; de même, yi s'annule pour deux valeurs y et () de t, sensiblement égales à 2,2 et à 7,8. D'où le tableau de variation:

-00

^{0: -1}

P

¹ Y 3 ⁽⁾

-

_{0 +}

/1

+0

- - - - -

- - - -

^- 0 +

/1

+ 0

-

0

'\. /' +00 1/-00 /' '\. -00 +00 '\. '\.

^5/8

'\. '\.

0

'\. '\.

^-3/4

'\. '\. -00 +00 '\. /' +00 11-00 /' '\.

+00

0 0

Construction des arcs paramétrés 13

La courbe admet évidemment pour asymptotes les droites d'équations x = 5/8 et y = -3/4. De plus, lorsque t tend vers 1,

y (t- 5)(t+ 1) 4 4 t+9 5

- = . ~ - et y - - x = - ~ -.

x (t-3)(t+2) 3 3 3(t+l)(t-3) 6

La courbe admet donc pour asymptote oblique la droite d'équation

4 5

y=-x+-.

3 6

L'origine des coordonnées n'apparaît pas comme un point exceptionnel. La limite de y/x lorsque x tend vers

+

00 ou vers - 00 est 1; la tangente à l'origine est la première bissecttice.

y

// ⁾⁽

/ ---,~,i~---

^{-! -}

i---

~/ !

/ ' 1

/ ,

,/ i

, ,

FIG. 2.2

Le graphe (Fig. 2.2) montre l'existence d'un point double. Pour déterminer les coordonnées de celui-ci, écrivons que les polynômes

xX²-X-x-2 et yX²-(4y+ 1) X +3y+5

ont deux racines communes, et donc que leurs coefficients sont proportionnels :

d'où

x 1 x+2

- = - - = - - - ;

y 4y+1 3y+5

3y+5+(x+2) (4y+ 1) = 0 y":"x(4y+ 1) = O.

14 Cltapitre 2 En ajoutant ces deux relations membre à membre, nous obtenons 12y+ 7 = 0, soit y

= -

7/12 et enfin x

=

7/16.

2. Construire l'arc paramétré x = - -t

t²-1

t² y = - .

t-l

TI n'y a pas de symétrie évidente. De plus, x est défini lorsque t est différent de 1 et de -1, tandis que y est défini lorsque t est différent de 1.

Calculons les dérivées de x et de y par rapport à t :

1 2t(t-l)-t2 t(t-2) y= (t-l)2 =(t-l)2·

D'où le tableau de variation:

t

-00

^{-1 0 1 2}

+00

x'

-

Il ^{- - - -}

yi

+ +

⁰

- -

0

+

x 0

'\. -00 Il ^{+00 '\.}

⁰

^{'\. -00 +00 '\.}

^2/3

^'\.

⁰

y

-00

)' -1/2 )' 0

'\. -00 +00 '\.

^{4 )'}

+00

La courbe admet évidemment pour asymptotes les droites d'équations x = 0 et y = - 1/2. Lorsque t tend verse 1,

E=t(t+l)--+-2 et

y_2x=t(t+2)--+-~.

x t+l 2

La courbe admet donc pour asymptote oblique la droite d'équation y

=

2x+ 3/2.

On peut déterminer la position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique en effectuant un développement limité de y - 2x lorsque t est au voisinage de 1 :

y-2x =

~ +

[t(t+2) -

~J

2 t+l 2

= -3

+

t-l+o(t-l).

2

~

+

(-,-t ----'.-1 )-'-( t_+-'.3 /--.;.2)

2 t+l

Ainsi, la courbe est au-dessus de l'asymptote si t> 1, et en dessous si t< 1.

Construction des arcs paramétrés

y

, 1

, 1 , 1 , 1

" 1

l ' 1 : l ,

1 :

12

FIG. 2.3

1 1

/ 1 1 1 1

1 1

1 1 /

15

/

x

Le graphe (Fig. 2.3) montre l'existence d'un point double: Écrivons que les polynômes xX² X - x et X² - yX

+

y ont deux racines communes, et donc que leurs coefficients sont proportionnels :

x/I = I/y -x/y.

D'oùx ^y=-l.

2.8 L'astroïde. C'est l'arc paramétré x = a cos³ 1 y = a sin³ 1.

La période est 2 n. Les changements de 1 en - 1 et en n 1 montrent que la courbe est symétrique par rapport à Dx et à Dy. Enfin, lorsqu'on remplace ¹ par n/2-^l, on remarque que x et y sont échangés. La courbe est donc symétrique par rapport à la première bissectrice, ce qui permet de restreindre l'intervalle d'étude à [0, n/4].

Calculons les dérivées de x et de y par rapport fi 1 :

Xl = -3a cos² 1 sin 1

y'

=

3a sin² 1 cos 1.

16

, '"

~,

Chapitre 2

D'où le tableau:

°

^n/4

x'

°

^-3a/2J2

y'

° ⁺

^3a/2J2

x a

'\.

a/2J2

y

° ^/'

^a/2J2

Pour déterminer la tangente au point de paramètre 0, calculons x" et y" : x" 6 a cos t sin ² t - 3 a cos 3 t

y" 6 a sin t cos 2 t - 3 a sin 3 t

x" (0)

= -

3a y" (0) = 0,

ce qui montre que la tangente est l'axe Ox. Une fois la courbe complétée par symétrie (Fig. 2.4), on voit qu'il s'agit d'un point de rebroussement de première espèce. La courbe a la forme d'un as de carreau.

y

x

FIG. 2.4 2.9 La tractrice. C'est l'arc paramétré

x a (ln tg-t

+

cos t)

2 y = a sin t.

II est clair que 2n est période. Comme tg t/2 doit être strictement positif, on prendra t dans l'intervalle ]0, n[. Le changement de t en n-t montre que la courbe est symétrique par rapport à Oy. On limitera l'intervalle d'étude à ]0, n/2].

1

(1 .)

^{cos2 t}

x =a -.--smt a

sm t sin t

yI = a cos t.

Construction des arcs paramétrés 17

t

o

n/2

X'

+ o

y'

+ o

x -00

o

y

o

^a

Pour étudier la tangente au point de paramètre n/2, calculons x" et y" :

, , ( cos³

t)

X = a - 2 cos t - -.--

sm² t x"(n/2)

=

0 y" = -a sin t y"(n/2) = -a.

La tangente est donc verticale. Vu la symétrie, c'est une tangente de rebroussement de première espèce (Fig. 2.5).

y

a

o

x

FIG. 2.5

C'est la courbe décrite par la roue arrière d'une voiture se rangeant en marche avant le long d'un trottoir. On remarquera qu'il faut théoriquement une distance infinie pour se ranger par ce procédé.

2.10 La parabole semi-cubique. Dans cet exemple et dans le suivant, nous construirons des courbes définies par une équation cartésienne en nous aidant d'une représentation paramétrique.

La parabole semi-cubique a pour équation cartésienne ay2 = x 3.

Paramétrons-la en posant x = at² y = at³•

En changeant t en - t, on voit que Ox est axe de symétrie. On peut prendre pour intervalle d'étude [0,

+

00[.

x'

=

2at

18

, '"

g

t x' y'

X

y 0 0 0 0 0

+ + /' /'

+co

+co +co

,"

i!.

Chapitre 2

Lorsque t tend vers 0, y/x

=

t tend vers 0, et la courbe est tangente en 0 à Ox.

Lorsque t tend vers + co, y/x t tend vers + co. La courbe admet donc une branche parabolique dans la direction de Oy (Fig. 2.6).

y

x

FIG. 2.6

2.11 Le folium de Descartes. C'est la courbe d'équation x 3+y3-3axy=0.

Posons y tx; l'équation devient x 3 (1

+

t 3)_ 3atx² = 0 x(I +t3)-3at 0

d'où la représentation paramétrique:

x = - -3at 1+t³

3at² y = - - .

l+t³

Construction des arcs paramétrés 19

Le changement de t en l/t échange x et y. On pourra donc prendre pour inter- valle d'étude ^]-1,1]. La valeur ^-1 est exclue car, lorsque ^t

=

^-l, x et y ne sont pas définis.

1

+

t³ - 3 t³ 1- 2 t³ x' = 3 a = 3 a - - - (1

+

t3)2 (1

+

t3)2 y' = 3a 2t (l+t³)-3t⁴ = 3a t(2-t^3).

(1

+

t3)2 (1

+

t3)2

t - 1 0 l/Vi

x' + + ⁰

y' 0 +

+

x -00

/'

⁰

/' \.

^3a/2

y +00

\.

⁰

/' /'

^3a/2

Lorsque t tend vers - l,

y/x = t ^--l> -1

et

t² t t

y+x=3a--+3a--=3a --l>-a.

1 + t³ 1 + t³ t² - t + ¹

La courbe admet donc pour asymptote la droite d'équation ^x

+

y

+

^a

= o.

, _,

"

"

_"

" " , ,

"

" " _"

y

, " " " ,

FIG. 2.7

" _"

" _"

"

"

~

"

/

" "

x

, ,

"

~, 1 L !

20 Chap;tre'2

Lorsque t

=

0, x = y

=

O. Comme y/x

=

t tend vers 0, la courbe est tangente en

o

à Ox (Fig. 2.7).

2.12 La cycloïde. Intuitivement, la cycloïde est la courbe engendrée dans un plan vertical par la valve d'une roue de bicyclette lorsque cette roue roule sur un sol horizontal. Plus précisément, c'est la courbe décrite par un point lié à un cercle lorsque ce cercle roule sans glisser sur une droite (Fig. 2.8). '

.~--

..

---~-~---

o

D A

< ~

2na FIG. 2.8

A un instant quelconque, le cercle de centre C a déjà roulé d'une distance OA.

Le point lié au cercIe coïncidant avec 0 à l'jnstant initial s'est élevé en se déplaçant vers la droite et est venu en P; l'arc PA est donc égal à la longueur du segment [0, A], et le rayon du cercle a décrit à ce moment un angle t.

Soient x et y les coordonnées de P. Alors

..-..

x = OD

=

OA-DA

=

PA-PB

=

at-a sin t et

y = DP = AC-BC = a-a cos t, ce qui donne finalement

x = aCt-sin t) y = a(1-cos t).

Lorsque t augmente de 2n, x augmente de 2na, tandis que y reprend sa valeur.

On obtient donc toute la courbe à partir de l'arc correspondant à la variation de t sur [ -n, n], grâce à des translations parallèlement à Oxd'amplitude 2na. En outre, comme x est une fonction impaire de t et que y en est une fonction paire, l'arc correspondant à [-n, 0] se déduit de l'arc correspondant à [0, n] par symétrie par rapport à Oy. L'intervalle d'étude est donc [0, n].

x' = a(l-cos t) y'

=

a sin t.

Construction des arcs paramétrés 21

0 n

x' 0

+

^2a

y' 0

+

⁰

X 0

/'

^na

y 0

/'

^2a

Pour étudier la tangente à l'origine, calculons x" et y" : x" = a sin t x" (0)

=

0

y" = a cos t y" (0) = a.

La tangente est verticale; l'origine est un point dè rebroussement de première espèce (Fig. 2.9).

y

x FIG. 2.9

"

, ,

L ! k' _!

22 Chapitre 2

EXERCICES' Construire les arcs paramétrés d'équations suivantes:

t t³

2.1 x

=

1 + t4 y = 1 +

2.2 x = - -t

t 2 -1 y=

-3t+2 '

t t-2

2.3 x = - -

y = (t-l)(t+2) ' t 2-1

2.4 x = t 2+2t 1 +2t

Y = f 2 '

2.5 (t+2)2 (t-2)2

x = - - y = - - ,

t+1 t-1

2.6 ^(l +2t)2 (1 +2t)2

x= (3-2t)(1-2t) y = 2(3-2t) ,

2.7 t(t+2) t

x = - -t 2-1 y = t+1'

2.8 t²+2 t²+2

x= +t+1 y = t²-t+3 '

2.9 x = e-1/^t y = te2 /t ,

2.10 x = cos² t+lnsint y = sintcost,

2.11 x = 11cos t y=sint,

2.12 x = tg t Y = 11sin t, 2.13 x = cos 2t y = sin 2t-sin t, 2.14 x = cos 4t+4 cos t y = sin 3t,

CHAPITRE 3

CONSTRUCTION DES COURBES EN COORDONNÉES POLAIRES

L'emploi des coordonnées polaires permet de représenter très simplement cer- taines courbes et, par suite, de faciliter les calculs.

Nous allons d'abord chercher les équations de quelques courbes fondamentales en coordonnées polaires. Nous déterminerons ensuite les tangentes, les asymptotes et les points doubles d'une courbe en coordonnées polaires, et nous passerons enfin à la construction des courbes.

ÉQUATIONS DE COURBES FONDAMENTALES 3.1 Équation de la droite. Nous devons distinguer deux cas.

a) Droite passant par o. ^Soit D une droite faisant l'angle

e

o ^avec Ox (Fig. 3.1).

L'équation de cette droite en coordonnées polaires est tout simplement

e=e

o•

y

D

FIG. 3.1

Réciproquement, une équation de cette forme représente la droite passant par

o

faisant l'angle

e

_o avec Ox.

b) Droite ne passant pas par

o.

Soit maintenant D une droite ne passant pas par 0, d'équation

ax+by+c=O,

où c:f:.

°

(Fig. 3.2).

Remplaçons x par p cos

e

^et

y

^{par p sin}

e :

ap

cos

e+bp

sin

e+c

= 0,

p=

1

,

A

cos

e+B

sin

e

soit (1)

, ,"

l<

24 Chapitre 3

D

x FIG. 3.2

où A = -ale et B= - bic.

Inversement, une équation de cette forme représente la droite d'équation carté- sienne

Ax+By= 1.

Si D est parallèle à Ox, d'éqùation cartésienne y

=

^a, son équation en coor- données polaires est

p

=

alsin fJ.

De même, si D est parallèle à Oy, d'équation cartésienne x

=

b, son équation en coordonnées polaires est

p = blcos fJ.

Dans le cas général, posons p

= 11.J

A ²

+

B2; soit IX l'angle défini par cos IX = Ap sin IX = Bp.

Alors

" p

p = cos fJ cos IX

+

sin fJ sin IX '

soit

p= .

cos CfJ-lX) (2)

L'équation cartésienne correspondante est x cos IX

+

Y sin IX = P .

On reconnaît l'équation de la droite perpendiculaire en P à la droite OP, où P est le point de coordonnées cartésiennes (p cos IX, p sin IX), c'est-à-dire le point de coordonnées polaires (p, IX).

EXEMPLES

1. Soit D la droite d'équation cartésienne x-y-5=O.

Ici, a = 1, b = -1, e

= -

5; d'où A = liS et B

=

-liS. L'équation de cette droite en coordonnées polaires est

Construction des courbes en coordo1llU!es polaires 25

p= 5 .

cos O-sin ⁰ (l')

Posons p = 1/.J A 2

+

^B2 = 5/.J2. Alors cos ⁰⁽ = Ap = 1/.J2 et sin ⁰⁽ = Bp = -1/J2.

Ainsi, ⁰⁽ = -n/4, et l'équation de D en coordonnées polaires s'écrit encore 5

p = J2 cos (0+n/4)' 2. La droite d'équation polaire

p = - - - - -7 2 cos 0-3 sin 0 a pour équation cartésienne

2x-3y-7 =0.

(2')

3.2 Équation du cercle. L'équation générale d'un cercle en coordonnées polaires est compliquée et sans intérêt. Toutefois, cette équation devient très simple dans les deux cas suivants :

- cercle de centre 0;

- cercle passant par O.

a) Cercle de centre O. Soit C un cercle de centre 0 et de rayon R (Fig. 3.3).

L'équation de ce cercIe en coordonnées polaires est tout simplement p=R.

y

x

FIG. 3.3

Réciproquement, une équation de cette forme représente le cercle de centre 0 et de rayon R.

b) Cercle passant par O. Soit maintenant C un cercle passant par O. Son équation cartésienne est de la forme

x 2+ y2-20(x-2f3y = 0,

"

"

, L

26 Chapitre 3

où a et j3 sont les coordonnées du centre (Fig. 3.4).

y

FIG. 3.4 Remplaçons x par p cos 8 et y par p sin 8 :

p2-2ap cos 8-2j3p sin 8 = O.

En supposant p non nul, nous pouvons simplifier par p : p = 2a cos 8+2j3 sin 8.

x

Cette équation représente cependant le cercle tout entier, y compris l'origine, atteinte lorsque

a cos 8

+

j3 sin 8 =

o.

L'équation d'un cercle est donc de la forme p = A cos 8

+

B sin 8.

Réciproquement, multiplions les deux membres de l'équation (3) par p : p2 = Ap cos 8+Bp sin 8,

c'est-à-dire

X2+y2_Ax-By

= o.

(3)

On reconnaît l'équation du cercle passant par 0 centré au point de coordonnées cartésiennes (A/2, Bf2).

Si C est centré sur Ox, son équation en coordonnées polaires est

p = A cos 8, où

lAI =

2R.

De même, si C est centré sur Oy,

p=Bsin8, où

IBI

=2R.

EXEMPLES

1. Soit C le cercle d'équation cartésienne

X2+y2 16.

Remplaçons x par p cos 8 et y par p sin 8; nous obtenons p2 = 16, soit p=4 ou p= -4.

Mais, pour tout nombre réel 8, le point de coordonnées polaires (-4,8) n'est autre