Corrections de l’ex.9 1)2)5)

Ti2D3

Corrections de l’ex.9 1)2)5)

Exercice 9 :

Déterminer la fonction F, primitive de f sur l’intervalle I, qui vérifie la condition indiquée.

1) ] ; [

2) ]0; [

3) IR

4) ] ; [

5) IR

6) ]0; [

Corrigé :

1) 𝑓(𝑥) =_(&(^&'

)*)^'= ⁺

,×_(&^,&₍ ^'

)*)^'

On reconnaît la forme 𝑓 =⁺_,×_.^._'^/ avec 0𝑢(𝑥) = 𝑥^,+ 2 𝑢⁴(𝑥) = 3𝑥^*

Or 𝐹 = −⁺_,×⁺_.+ 𝑘 donc 𝐹(𝑥) = −⁺_,×_&(⁺_)*+ 𝑘 = −_,(&(⁺_)*)+ 𝑘

De plus, on cherche 𝑘 tel que 𝐹(1) = 2 ⟺ −_,(+(⁺_)*)+ 𝑘 = 2 ⟺ −⁺_;+ 𝑘 = 2 ⟺ 𝑘 = 2 +⁺_; =^+<_; +⁺_; =^+;_;

Donc la primitive cherchée est 𝑭(𝒙) = −_𝟑A𝒙^𝟏_𝟑)𝟐C+^𝟏𝟗

𝟗

2) 𝑓(𝑥) = cos H2𝑥 −^I_,J

On reconnaît 𝑓(𝑥) = cos(𝑎𝑥 + 𝑏) avec 𝑎 = 2 et 𝑏 = −^I_, Or 𝐹(𝑥) =_M⁺sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑘 donc 𝐹(𝑥) =⁺_*sin H2𝑥 −^I_,J + 𝑘 De plus, on cherche 𝑘 tel 𝐹 H^I_PJ = 1 ⟺ ⁺_*sin H2 ×^I_P−^I_,J + 𝑘 = 1

⟺ ⁺_*sin H^I_*−^I_,J + 𝑘 = 1

⟺ ⁺_*sin H^,I_Q −^*I_QJ + 𝑘 = 1

⟺ ⁺_*sin H^I_QJ + 𝑘 = 1

⟺ ⁺_*×⁺_*+ 𝑘 = 1

⟺ ⁺_P+ 𝑘 = 1

⟺ 𝑘 = 1 −⁺_P= ^P_P−⁺_P =^,_P Donc la primitive cherchée est 𝑭(𝒙) = ^𝟏_𝟐𝐬𝐢𝐧 H𝟐𝒙 −^𝝅_𝟑J +^𝟑_𝟒

2 3

2

) 2 ) (

( = +

x x x

f ^{I =}

2

3 +¥ F(1)=2

÷ø ç ö

è æ -p

=cos 2 3 )

(x x

f I = p ¹

4÷= ø ç ö è Fæ p

1 ) 2

( = 2+

x x x

f _{I =} F(2)=3

x x x

f ₂

cos ) sin

( = I =

2 -p

2

p F(0)=1

1 2 ) 1

( ₂

+ +

= +

x x x x

f I = F(0)=0

x x x

f ln

)

( = I = +¥ F(e)=1

Ti2D3

5) 𝑓(𝑥) =_&')*&)+^&)+ = ⁺_*×_&^*(&)+)_')*&)+= ⁺_*×_&'^*&)*_)*&)+

On reconnaît 𝑓 =⁺_*^._.^/ avec 0𝑢(𝑥) = 𝑥^*+ 2𝑥 + 1

𝑢⁴(𝑥) = 2𝑥 + 2 Or 𝐹 =⁺_*ln(𝑢) + 𝑘 Donc 𝐹(𝑥) = ⁺_*ln(𝑥^*+ 2𝑥 + 1) + 𝑘

Or on chercher 𝑘 tel que 𝐹(0) = 0 ⟺⁺_*ln(0^*+ 2 × 0 + 1) + 𝑘 = 0 ⟺⁺_*ln(1) + 𝑘 = 0

⟺⁺_*× 0 + 𝑘 = 0

⟺ 𝑘 = 0

Donc la primitive cherchée est 𝑭(𝒙) = ^𝟏_𝟐𝐥𝐧(𝒙^𝟐+ 𝟐𝒙 + 𝟏) Remarque :

Ici, 𝑢 est bien strictement positive (sinon 𝑙𝑛 n’existe pas) car 𝑢(𝑥) = 𝑥^*+ 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)^*