Corrections des ex.3, 4, 5 et 6

Ti2D3

Corrections des ex.3, 4, 5 et 6

Ü Recherche de primitives

Exercice 3 :

Déterminer l’ensemble des primitives :

8) 𝑓(𝑥) =_(()*'^&'₊₎₊ 11) 𝑓(𝑥) = 2(2𝑥 − 3)^/

Correction : dans cet exercice, on tombe parfaitement sur les formes voulues.

8) On reconnaît parfaitement la forme 𝑓 =₀⁰₊¹ avec 2𝑢(𝑥) = 1 + 2𝑥^* 𝑢⁶(𝑥) = 4𝑥 Or 𝐹 = −₀⁽ Conclusion : 𝐹(𝑥) = −_()*'⁽ ₊

11) On reconnaît parfaitement la forme 𝑓 = 𝑢′ × 𝑢^/ avec 2𝑢(𝑥) = 2𝑥 − 3 𝑢⁶(𝑥) = 2 Or 𝐹 = ⁰_<^; Conclusion : 𝐹(𝑥) =^(*'=>)_< ^;

Exercice 4 :

Déterminer l’ensemble des primitives : 2) 𝑓(𝑥) = ⁽

√*')( 5) 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥^*− 4)^> 8) 𝑓(𝑥) =_*'^>'_@)(⁺

Correction : dans cet exercice, on va compenser par des coefficients.

2) 𝑓(𝑥) =_√*')(⁽ =⁽_*×_√*')(^* On reconnaît la forme 𝑓 =⁽

*× ⁰¹

√0 avec 2𝑢(𝑥) = 2𝑥 + 1 𝑢⁶(𝑥) = 2

Or 𝐹 = ⁽_*×2√𝑢 = √𝑢 Conclusion : 𝐹(𝑥) = √2𝑥 + 1 3) 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥^* − 4)^> =⁽_*× 2𝑥(𝑥^* − 4)^>

On reconnaît la forme 𝑓 =⁽_*×𝑢′ × 𝑢^> avec 2𝑢(𝑥) = 𝑥^* − 4 𝑢⁶(𝑥) = 2𝑥 Or 𝐹 = ⁽_*×⁰_&^A =⁰_B^A Conclusion : 𝐹(𝑥) = ^C'+=&D_B ^A 8) 𝑓(𝑥) =_*'^>'_@)(⁺ = ⁽_*×_*'^<'_@)(⁺

On reconnaît la forme 𝑓 =⁽_*×⁰₀¹ avec 2𝑢(𝑥) = 2𝑥^>+ 1 𝑢⁶(𝑥) = 6𝑥^*

Or 𝐹 = ⁽_*×ln 𝑢 Conclusion : 𝐹(𝑥) = ⁽_*ln(2𝑥^>+ 1)

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Ü Recherche d’une primitive particulière

Exercice 5 :

Déterminer la primitive M de la fonction m définie sur IR par : vérifiant .

Correction :

• 𝑚 est une somme donc 𝑀(𝑥) = 3 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝑘 (𝑘 ∈ ℝ).

En effet : une primitive de cos 𝑥 est sin 𝑥 et une primitive de sin 𝑥 est − cos 𝑥 (car (sin 𝑥)⁶ = cos 𝑥 et (cos 𝑥)⁶ = − sin 𝑥).

• Trouvons 𝑘 tel que 𝑀(𝜋) = −2 ⟺ 3 sin 𝜋 + cos 𝜋 + 𝑘 = −2

⟺ 3 × 0 − 1 + 𝑘 = −2

⟺ 𝑘 = −2 + 1 = −1

Donc 𝑴(𝒙) = 𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 − 𝟏 Exercice 6 :

1) Montrer que la fonction F définie par est une primitive sur ]0; [ de la fonction f définie par .

2) Déterminer la primitive de f qui s’annule en 1.

Correction :

1) Vérifions en dérivant 𝐹 : 𝐹 = 𝑢 × 𝑣 − 𝑤 avec _

𝑢(𝑥) = 𝑥 𝑣(𝑥) = ln 𝑥

𝑤(𝑥) = 𝑥

donc _

𝑢′(𝑥) = 1 𝑣(𝑥) =⁽_' 𝑤′(𝑥) = 1 Or 𝐹⁶ = 𝑢⁶𝑣 + 𝑢𝑣⁶ − 𝑤′

Donc 𝐹′(𝑥) = 1 × ln 𝑥 + 𝑥 ×⁽_'− 1 = ln 𝑥 + 1 − 1 = ln 𝑥 = 𝑓(𝑥) En effet, 𝐹 est donc une primitive de 𝑓.

2) L’ensemble des primitives de 𝑓 est donc de la forme 𝐹(𝑥) = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝑘 (𝑘 ∈ ℝ).

On cherche 𝑘 tel que 𝐹(1) = 0.

1 ln 1 − 1 + 𝑘 = 0 ⟺ 0 − 1 + 𝑘 = 0 ⟺ 𝑘 = 1

Conclusion : 𝑭(𝒙) = 𝒙 𝐥𝐧 𝒙 − 𝒙 + 𝟏 est la primitive de 𝒇 qui s’annule en 𝟏.

x x x

m( )=3cos -sin 2

) (p =- M

x x x x

F( )= ln - +¥

x x

f( )=ln