Intégration (DS de l’année 2019-2020)

Intégration (DS de l’année 2019-2020)

Exercice 1 (EML 2018)

Dans tout cet exercice, f désigne la fonction définie sur]0,+∞[par :

∀x∈ ]0,+∞[, f(x) =x−ln(x)

Partie I : Étude de la fonction f

1. Dresser le tableau de variations de f en précisant ses limites en 0 et en+∞.

2. Montrer que l’équation f(x) = 2, d’inconnue x ∈ ]0,+∞[, admet exactement deux solutions, que l’on note aetb, telles que 0< a <1< b.

3. Montrer : b∈[2,4]. On donne : ln(2)'0,7.

Partie II : Étude d’une fonction définie par une intégrale On noteΦ la fonction donnée par :

Φ(x) = Z 2x

x

1 f(t) dt

4. Montrer que Φest bien définie et dérivable sur ]0,+∞[, et que l’on a :

∀x∈]0,+∞[, Φ⁰(x) = ln(2)−ln(x) (x−ln(x))(2x−ln(2x))

5. En déduire les variations de Φsur]0,+∞[.

6. Montrer : ∀x∈]0,+∞[, 06Φ(x)6x.

7. a) Montrer queΦest prolongeable par continuité en 0.

On note encoreΦ la fonction ainsi prolongée. Préciser alorsΦ(0).

b) Montrer : lim

x→0Φ⁰(x) = 0.

On admet que la fonctionΦest alors dérivable en0 et queΦ⁰(0) = 0.

8. On donne Φ(2)'1,1 et on admet que lim

x→+∞Φ(x) = ln(2)'0,7.

Tracer l’allure de la courbe représentative de la fonction Φ ainsi que la tangente à la courbe au point d’abscisse 0.

Exercice 2 (EDHEC S 2017)

Dans ce problème, n est un entier naturel non nul et Rn[X] est l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.

On noteB= (e₀, e₁, . . . , e_n)la base canonique deRn[X]. On rappelle quee₀(X) = 1et que∀k∈J1, nK, ek(X) =X^k.

Partie 2 : étude d’une autre application définie sur Rⁿ[X].

On désigne parx un réel quelconque.

4. a) Montrer que, pour tout entier naturelk, l’intégrale Z +∞

x

t^ke^−t dtest convergente.

b) En déduire que, siP est un polynôme de Rn[X], alors l’intégrale Z +∞

x

P(t)e^−t dt est conver- gente.

5. a) Donner la valeur de l’intégrale Z +∞

x

e^−t dt.

b) Établir que pour tout entier naturelk, on a : Z +∞

x

t^ke^−t dt = k!

k

P

i=0

xⁱ i! e^−x. 6. Informatique.

a) On admet que siuest un vecteur, la commandeScilabprod(u)renvoie le produit des éléments deu et la commandecumprod(u)renvoie un vecteur de même format queu dont la coordonnée numérokest le produit desk premiers éléments deu.

Utiliser l’égalité obtenue à la question 5.b) pour compléter le script Scilab suivant afin qu’il calcule et qu’il affiche la variablescontenant la valeur de l’intégrale

Z +∞

x

t^ke^−t dt, les valeurs dex et de k étant entrées par l’utilisateur.

1 k = input('Entrer la valeur de k : ')

2 x = input('Entrer la valeur de x : ')

3 p = prod(1:k)

4 u = - - - ./ - - - -

5 s = p ? - - - ? exp(-x)

6 disp(s) b) Seulement pour les cubes:

Montrer, grâce à un changement de variable simple : Z +∞

x

t^ke^−tdt = e^−x Z +∞

0

(u+x)^ke^−udu.

En déduire la commande manquante du scriptScilabsuivant afin qu’il permette de calculer et d’afficher une valeur approchée de

Z +∞

x

t^ke^−tdt grâce à la méthode de Monte Carlo.

1 k = input('Entrer la valeur de k : ')

2 x = input('Entrer la valeur de x : ') Z = grand(1, 100000, 'exp', 1)

On considère maintenant l’application qui, à tout polynôme P de Rn[X], associe la fonction F = Ψ(P) définie par :

∀x∈R, F(x) =e^x Z +∞

x

P(t)e^−t dt 7. a) Montrer queΨest un endomorphisme de Rn[X].

b) Justifier queF est de classeC¹ sur Ret donner une relation entre F ,F⁰ etP. c) Montrer queΨest un automorphisme de Rn[X].

8. On considère un polynôme P non nul, vecteur propre de Ψpour une valeur propreλnon nulle.

a) Utiliser la relation obtenue à la question7.b) pour établir : P⁰ = λ−1 λ P.

b) En déduire, en considérant les degrés, queλ= 1 est la seule valeur propre possible deΨ.

c) Montrer enfin queλ= 1est bien la seule valeur propre deΨ. (On ne demande pas le sous-espace propre associé).

9. a) Montrer que les endomorphismesϕetΨsont égaux.

b) En déduire que, siP est un polynôme de Rn[X]et s’il existe un réelatel que pour tout réel x supérieur ou égal àa, on aP(x)>0, alors :

∀x>a,

n

P

i=0

P⁽ⁱ⁾(x)>0

Exercice 3 (HEC 2014)

• La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite est notée Φ. On rappelle : Φ : R → R+

x 7→

Z x

−∞

ϕ(t) dt où

ϕ : R → R

t 7→ 1

√ 2π e^−t

2 2

• La notation exp désigne la fonction exponentielle.

Un équivalent d’une intégrale

1. Soit N la fonction définie sur l’intervalle[0,1[, à valeurs réelles, telle que : N(x) =x²−2x−2 (1−x) ln (1−x) a) Montrer que la fonctionN est de classe C¹ sur[0,1[.

b) Montrer que pour toutx∈[0,1[, on a :ln (1−x)6−x.

c) On noteN⁰la fonction dérivée de la fonctionN. Montrer que pour toutx∈[0,1[, on aN⁰(x)60.

d) En déduire pour toutx∈[0,1[, un encadrement deN(x).

2. Soitf la fonction définie sur l’intervalle]0,1[, à valeurs réelles, telle que :f(x) =−2x+ ln (1−x) x² . a) Rappeler le développement limité en 0 à l’ordre 2 deln(1−x).

b) Calculer lim

x→0f(x). En déduire que la fonctionf est prolongeable par continuité en 0.

On note encoref la fonction ainsi prolongée.

c) Sous réserve d’existence, on notef⁰ la fonction dérivée de f. Montrer que pour toutx∈]0,1[, on a :f⁰(x) =−2 N(x)

x³(1−x). d) Dresser le tableau de variation de la fonctionf sur[0,1[.

En déduire quef réalise une bijection strictement croissante de[0,1[ dans[1,+∞[.

3. On pose pour tout n∈N^∗ et pour tout x∈[0,1[:gn(x) = exp

−nx² 2 f(x)

.

a) Établir la convergence de l’intégrale Z 1

0

g_n(x) dx.

On pose alors pour toutn∈N^∗ :In= Z 1

0

gn(x) dx.

b) Montrer que pour toutx∈[0,1[, on a :06g_n(x)6exp

−nx² 2

.

c) En déduire l’encadrement :06In6 r2π

n

Φ (√ n)−1

2

.

d) Montrer que pour toutn∈N^∗, on a :06In6 r π

2n. 4. Soit (v_n)_n∈

N^∗ la suite réelle définie par : pour tout n∈N^∗,v_n= 1 ln (n+ 2). a) Montrer que pour toutn∈N^∗, on a :0< vn<1.

b) On pose pour toutn∈N^∗ :w_n=f(v_n).

Établir la convergence de la suite(wn)_n∈N∗; déterminer sa limite.

c) Établir pour toutn∈N^∗ les inégalités suivantes : I_n>

Z vn

0

g_n(x) dx>

Z vn

0

exp

−nx² 2 w_n

dx> 1

√nwn

Z vn

√nwn

0

exp

−u² 2

du

d) Établir pour toutn∈N^∗, l’encadrement, : 2

√w_n

Φ vn

√nwn

−1 2

6In

r2n π 61 e) En déduire un équivalent deI_n lorsquentend vers +∞.

Problème 1 (EDHEC 2015)

Partie I

Dans cette partie, x désigne un réel de[0,1[.

1. a) Montrer :∀m∈N,0 6 Z x

0

t^m

1−t² dt 6 1

1−x² × 1 m+ 1. b) En déduire que : lim

m→+∞

Z x 0

t^m 1−t² = 0.

2. a) Pour tout réeltde [0,1[et pour tout kélément de N^∗, calculer

k−1

P

j=0

t^2j.

b) En déduire :

k−1

P

j=0

x^2j+1 2j+ 1=

Z x 0

1

1−t² dt− Z x

0

t^2k 1−t² dt.

c) Utiliser la question 1 pour montrer que la série de terme général x^2j+1

2j+ 1 converge et exprimer

+∞

P

j=0

x^2j+1

2j+ 1 sous forme d’une intégrale que l’on ne cherchera pas à calculer.

d) Conclure :∀k∈N,

+∞

P

j=k

x^2j+1 2j+ 1 =

Z x 0

t^2k 1−t² dt.

On admet sans démonstration que l’on a aussi :∀k∈N,

+∞

P

j=k+1

x^2j 2j =

Z x 0

t^2k+1 1−t² dt.

Partie II

Un joueur réalise une suite de lancers indépendants d’une pièce.

Cette pièce donne pile avec la probabilité p(0< p <1) et face avec la probabilité q= 1−p.

On noteN la variable aléatoire égale au rang d’apparition du premier pile.

SiN prend la valeur n, le joueur placenboules numérotées de 1 àndans une urne, puis il extrait une boule au hasard de cette urne. On dit que le joueur a gagné si le numéro porté par la boule tirée est impair et on désigne parA l’événement : « le joueur gagne ».

On appelle X la variable aléatoire égale au numéro porté par la boule extraite de l’urne.

3. Reconnaître la loi deN.

4. a) Montrer que, si m est un entier naturel, la commande 2*floor(m/2) renvoie la valeur m si et seulement simest pair.

b) Compléter les commandes Scilabsuivantes pour qu’elles simulent N etX puis renvoient l’un des deux messages « le joueur a gagné » ou « le joueur a perdu ».

1 p = input('donner la valeur de p')

2 N = grand(1, 1, 'geom', –––) // 'geom' désigne une loi géométrique

3 X = grand(1, 1, 'uin', –––) // 'uin' désigne une loi uniforme discrète

4 if –––––– then

5 disp('––––––')

6 else

7 disp('––––––')

5. a) Donner, pour tout entier naturelk supérieur ou égal àj, la valeur deP[N=2j] [X= 2k+ 1]

. b) Donner, pour tout entier naturelksupérieur ou égal àj+1, la valeur deP[N=2j+1] [X= 2k+ 1]

. c) DéterminerP[N=2j] [X = 2k+ 1]

lorsque k appartient àJ0, j−1K. d) DéterminerP[N=2j+1] [X = 2k+ 1]

lorsquek appartient à J0, jK. 6. a) Justifier :P [X= 2k+ 1]

=

+∞

P

n=1

P [N =n]) P[N=n] [X= 2k+ 1]

.

En admettant que l’on peut scinder la somme précédente selon la parité den, montrer :

∀k∈N, P [X= 2k+ 1]

= p q

+∞

P

j=k+1

q^2j 2j +

+∞

P

j=k

q^2j+1 2j+ 1

!

b) En déduire :∀k∈N,P [X= 2k+ 1]

= p q

Z q 0

t^2k 1−t dt.

7. a) Montrer : lim

n→+∞

Z q 0

t²ⁿ⁺²

(1−t)²(1 +t) dt= 0.

b) Montrer :

n

P

k=0

P [X = 2k+ 1]

= p q

Z q 0

1

(1−t)²(1 +t) dt− Z q

0

t²ⁿ⁺²

(1−t)²(1 +t) dt

c) En déduire :P(A) = p q

Z q 0

1

(1−t)²(1 +t) dt.

8. a) Trouver trois constantes réellesa,betctelles que, pour tout tdifférent de 1et de −1, on ait : 1

(1−t)²(1 +t) = a

1−t+ b

1 +t+ c (1−t)²

b) ÉcrireP(A) explicitement en fonction de q.

c) En déduire :P(A)> 1 2.

Problème 2 (EML 2018 voie S - adaptation)

On définit la fonction I d’une variable réellex par : I(x) = Z 1

0

e^xt+e^−xt

√

1−t² dt.

Partie I : Une inégalité de Taylor-Lagrange

1. Soit u∈[0,+∞[. Démontrer par récurrence que, pour tout n∈N, pour toute fonction f de classe Cⁿ⁺¹ sur[0,+∞[, on a :

f(u) =

n

P

k=0

f^(k)(0) k! u^k+

Z u 0

f⁽ⁿ⁺¹⁾(y)

n! (u−y)ⁿ dy

2. Soit u∈[0,+∞[. Soientn∈Netf une fonction de classe Cⁿ⁺¹ sur[0,+∞[. En déduire :

f(u)−

n

P

k=0

f^(k)(0) k! u^k

6 uⁿ⁺¹ (n+ 1)! M où M = max

y∈[0,u]

f⁽ⁿ⁺¹⁾(y)

.

Cette inégalité est appeléeinégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre n de la fonction f. Partie II : Une autre expression de I(x)

3. Montrer que, pour tout k deN, l’intégrale Z ₁

0

t^k

√1−t² dt converge.

On note alors, pour tout k∈N:Wk = Z 1

0

t^k

√

1−t² dt.

4. a) Soitk∈N. À l’aide d’une intégration par parties, montrer : W_k−W_k+2 = 1

k+ 1W_k+2. b) On admet :W₀= π

2. Montrer, pour tout k∈N:W_2k= (2k)!

2^2k(k!)² π 2. 5. a) Montrer que la fonctionI est définie surRet préciser sa parité.

b) Donner la valeur deI(0).

6. Soit x∈R+.

a) Soientt∈[0,1]etn∈N.

(i) Démontrer :∀k∈N,f^(k):y7→e^y+ (−1)^k e^−y.

(ii) Soitu∈[0,+∞[. En utilisant l’inégalité de Taylor-Lagrange (Partie I) à l’ordre2nappliquée à la fonctionf :y 7→e^y+e^−y, montrer :

e^u+e^−u−

n

P

k=0

2 (2k)! u^2k

6 u²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! (e^u−e^−u)

Indication : on pensera à découper la somme obtenue en appliquant l’inégalité de Taylor- Lagrange en deux sommes : l’une ne comportant que les termes d’indice pair, l’autre ne comportant que les termes d’indice impair.

(iii) En déduire :

b) En déduire, pour toutnde N:

I(x)− Pⁿ

k=0

2x^2k (2k)! W_2k

6 x²ⁿ⁺¹π 2(2n+ 1)! e^x. c) En déduire que la série P

k>0

x^2k

2^2k(k!)² converge et que l’on a :

+∞

P

k=0

x^2k

2^2k(k!)² = 1 π I(x).

Partie III : Équivalent de I(x) lorsque x tend vers +∞

6. Montrer, pour tout x deR+ :0 6 Z 1

0

e^−xt

√1−t² dt 6 π 2. 7. a) Montrer, pour toutv de

0,¹₂

:1 6 1

1−v 6 (1 +v)².

b) Soitx∈R+. Montrer, à l’aide du changement de variableu= 1−t: Z 1

0

e^xt

√1−t² dt = e^x

√2 Z 1

0

e^−xu

√u r

1− u 2

du

c) En déduire, pour toutx de R+ : e^x

√2 Z ₁

0

e^−xu

√u du 6 Z ₁

0

e^xt

√1−t² dt 6 e^x

√2 Z ₁

0

e^−xu

√u du+ e^x 2√ 2

Z ₁

0

e^−xu√ u du

8. a) Rappeler l’expression d’une densité de la loi normale d’espérance nulle et de variance 1 2. En déduire les convergences et les valeurs des intégrales suivantes :

Z +∞

0

e^−t2 dt et

Z +∞

0

t²e^−t2 dt b) Soitx∈R^∗₊. À l’aide du changement de variablet=√

xu, montrer :

Z 1 0

e^−xu

√u du ∼

x→+∞

√π

√x et

Z 1 0

e^−xu√

u du ∼

x→+∞

√π 2x√ x

9. En déduire : I(x) ∼

x→+∞

e^x√

√ π 2x .

Partie IV : Une application en probabilités Dans cette partie, λdésigne un réel strictement positif.

On considère deux variables aléatoires indépendantesX etY définies sur un même espace probabilisé (Ω,A,P), suivant toutes les deux la loi de Poisson de paramètreλ.

On s’intéresse à la probabilité de l’événement[X=Y].

10. a) Écrire une fonctionScilabd’en-têtefunction r = estime(lambda) qui, prenant en argument un réellambdastrictement positif, simule un grand nombre de fois les variables aléatoiresX et Y, et renvoie une estimation deP([X =Y]).

On rappelle que l’instructiongrand(1,1,'poi',lambda) simule la loi de Poisson de paramètre lambda.

b) Grâce à la fonction précédente, on trace, en fonction de λ, une estimation de√

πλ P([X =Y]) pourλ∈]0,20] et on obtient le graphe suivant :

À la vue de ce graphe, proposer un équivalent deP([X=Y])lorsque λtend vers+∞.

11. Montrer : P([X =Y]) =e^−2λ

+∞

P

k=0

λ^2k (k!)².

12. a) ExprimerP([X=Y]) en fonction deλet de la fonctionI.

b) En déduire un équivalent deP([X =Y])lorsque λtend vers +∞.

Exercice 4 (EML 2013)

Partie I - Calcul d’une intégrale dépendant d’un paramètre.

On considère l’application g: [0,1]→Rdéfinie, pour tout t∈[0,1], par : g:t7→

( −tlnt si0< t61 0 sit= 0 1. Montrer que g est continue sur[0,1].

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer, pour tout x∈]0,1[, l’intégrale Z 1

x

g(t) dt.

3. En déduire que l’intégrale Z 1

0

g(t) dtconverge et : Z 1

0

g(t) dt = 1 4 Partie II - Exemple de densité.

On considère l’application f :R→Rdéfinie, pour tout t∈R par : f :t7→







−tln(t) +t¹³ si0< t <1

0 sinon

4. Montrer que f est continue sur ]− ∞,1[et sur]1,+∞[.

Est-ce que f est continue en1? 5. Établir que l’intégrale

Z +∞

−∞

f(t) dt converge et : Z +∞

−∞

f(t) dt= 1.

6. Montrer que f est une densité.

7. a) Montrer quef est de classe C² sur]0,1[et calculer f⁰(t) etf⁰⁰(t)pour tout t∈]0,1[.

b) En déduire que l’équationf⁰(t) = 0, d’inconnuet∈]0,1[, admet une solution et une seule, notée α, et montrer : 1

e < α <1.

c) Écrire un programme enScilab qui calcule et affiche une valeur approchée de α à 10⁻³ près, mettant en oeuvre l’algorithme de dichotomie.

Partie III - Calcul d’une fonction de répartition.

On admet qu’il existe une variable aléatoire réelleXayantf pour densité (l’application f a été définie au début de la Partie II) et on note F la fonction de répartition de X.

8. Calculer, pour tout x∈]0,1[, l’intégrale Z 1

x

f(t) dt.

(On pourra utiliser le résultat obtenu à la question I-2.)