Correction DM2 du 1 octobre.

Lycée Paul Rey Denis Augier

Correction DM2 du 1 octobre.

Ex 56 page 98 1.

xÑ0limx²`3x`1“1 lim

xÑ0^´

x“0^´ , . -

ñ lim

xÑ0^´

fpxq “ ´8 et

xÑ0limx²`3x`1“1 lim

xÑ0^`

x“0^´ , . -

ñ lim

xÑ0^`

fpxq “ `8

2.

fpxq “x²`

1`<sub>x</sub><sup>3</sup>`_x¹2

˘

x “x

ˆ 1`3

x` 1 x²

˙

donc

xÑ`8lim “1`³_x`_x¹2 “1

xÑ`8lim x“ `8 , . -

ñ lim

xÑ`8fpxq “ `8

et

xÑ´8lim “1`<sub>x</sub><sup>3</sup>`_x¹2 “1

xÑ´8lim x“ ´8 , . -

ñ lim

xÑ`8fpxq “ ´8 3. .

4.

gpxq “fpxq ´ px`3q “ x<sup>2</sup>`3x`1´xpx`3q

x “ 1

x donc lim

xÑ`8gpxq “0 et lim

xÑ´8gpxq “0 Donc la droite d’équationy“x`3 est une asymptote oblique à la représentation graphique def.

Ex 85 page 1.

fpxq “x³`

1´_x¹`_x³3

˘ x²`

1´_x¹2

˘ “x

`1´<sub>x</sub><sup>1</sup>`_x³3

˘

`1´_x¹2

˘

xÑ`8lim 1´<sup>1</sup><sub>x</sub>`_x³3 “1

xÑ`8lim 1´_x¹2 “1 , . -

ñ lim

xÑ`8

`1´<sub>x</sub><sup>1</sup>`_x³3

˘

`1´_x¹2

˘ “1

xÑ`8lim x“ `8

, // /. // /-

xÑ`8lim fpxq “ lim

xÑ`8x

`1´<sup>1</sup><sub>x</sub>`_x³3

˘

`1´_x¹2

˘ “ `8

xÑ´8lim 1´¹_x`_x³3 “1

xÑ´8lim 1´_x¹2 “1 , . -

ñ lim

xÑ´8

`1´<sub>x</sub><sup>1</sup>`_x³3

˘

`1´_x¹2

˘ “1

xÑ´8lim x“ ´8

, // /. // /-

xÑ´8lim fpxq “ lim

xÑ´8x

`1´<sup>1</sup><sub>x</sub>`_x³3

˘

`1´_x¹2

˘ “ ´8

lim

xÑ´1x³´x²`3“3 lim

xÑ´1^´

x²´1“0^` , . -

ñ lim

xÑ´1^´

fpxq “ `8 et

lim

xÑ´1x³´x²`3“3 lim

xÑ´1^`

x²´1“0^´ , . -

ñ lim

xÑ´1^`

fpxq “ ´8

Première S 2018-2019 1

Lycée Paul Rey Denis Augier

xÑ1limx³´x²`3“3 lim

xÑ1^´x²´1“0^´ , . -

ñ lim

xÑ´1^´

fpxq “ ´8 et

xÑ1limx³´x²`3“3 lim

xÑ1^{`</sup>x<sup>2</sup>´1“0<sup>`} , . -

ñ lim

xÑ´1^`

fpxq “ `8

gpxq “x²` 1`_x²2

˘ x`

1`¹_x˘ “x

`1`_x²2

˘

`1`¹_x˘

xÑ`8lim 1`_x²2 “1

xÑ`8lim 1`_x¹ “1 , . -

ñ lim

xÑ`8

`1`_x²2

˘

`1`_x¹˘ “1

xÑ`8lim x“ `8

, // /. // /-

xÑ`8lim gpxq “ `8

xÑ´8lim 1`_x²2 “1

xÑ´8lim 1`_x¹ “1 , . -

ñ lim

xÑ´8

`1`_x²2

˘

`1`_x¹˘ “1

xÑ´8lim x“ ´8

, // /. // /-

xÑ´8lim gpxq “ ´8

lim

xÑ´1x²`2“3 lim

xÑ´1^´

x`1“0^´ , . -

ñ lim

xÑ´1^´

gpxq “ ´8 et

lim

xÑ´1x²`2“3 lim

xÑ´1^`

x`1“0<sup>`</sup> , . -

ñ lim

xÑ´1^`

gpxq “ `8

2. .

3. (a)

fpxq ´gpxq “ x³´x²`3

px´1qpx`1q´px<sup>2</sup>`2qpx´1q

px`1qpx´1q “x<sup>3</sup>´x<sup>2</sup>`3´ px³´x²`2x´2q

x²´1 “´2x`5 x²´1 (b) On obtient donc le tableau de signe :

x

´2x`5 x² ´1 fpxq ´gpxq

position

´8 ´1 1 5

2 `8

` ` ` 0 ´

` 0 ´ 0 ` `

` ´ ` 0 ´

Cf

Cg

Cg

Cf

Cf

Cg

Cg

Cf

Première S 2018-2019 2

Lycée Paul Rey Denis Augier

(c)

fpxq ´gpxq “ 1

xˆ´2`_x⁵ 1´_x¹2

xÑ`8lim ´2`⁵_x “ ´2

xÑ`8lim 1´_x¹2 “1 , . -

ñ lim

xÑ`8

´2`_x⁵ 1´_x¹2

“ ´2

xÑ`8lim x“ `8

, // /. // /-

xÑ`8lim fpxq ´gpxq “ lim

xÑ`8

1

xˆ´2`⁵_x 1´_x¹2

“0

xÑ´8lim ´2`⁵_x “ ´2

xÑ´8lim 1´_x¹2 “1 , . -

ñ lim

xÑ´8

´2`_x⁵ 1´_x¹2

“ ´2

xÑ´8lim x“ ´8

, // /. // /-

xÑ´8lim fpxq ´gpxq “ lim

xÑ´8

1

xˆ´2`⁵_x 1´_x¹2

“0

On peut donc remarquer que les courbes def etg se rapprocheen l’infini.

Première S 2018-2019 3