4ème
DM2 : Croissances exponentielles CORRECTION
1) L
oi de Moore
Gordon Earle Moore (1929-) est un ingénieur américain, un des trois fondateurs en 1968 de Intel, le plus gros fabricant de microprocesseurs. Il publia en 1965 un article dans lequel il explique cette loi :
« le nombre de transistors dans un microprocesseur double tous les deux ans » Le processeur 4004 d'Intel comportait 2300 transistors en 1971. Le graphique ci-contre montre l'augmentation réelle du nombre de transistors dans les processeurs.
a) Observer l'échelle verticale de ce graphique. Quel en est le principe (voir aussi le papier semi-logarithmique ci-dessous qui offre davantage de détails)?
Alors que pour une échelle graduée habituellement, à chaque graduation on ajoute 1. Ici, à chaque nouvelle graduation, le nombre est multiplié par 10. On a ainsi gradué régulièrement selon les puissances de 10, entre 103 et 1011 pour le graphique d'Intel. On ajoute ainsi, à chaque graduation, 1 à l'exposant de 10.
b) En approchant le nombre 2300, donné pour 1971, par la puissance de 2 la plus proche, et en suivant la loi formulée par Moore, donner le nombre théorique de transistors pour 1973, 1975, …, 2017, 2019 sous la forme d'une puissance de 2 et sous la forme décimale.
Parmi les puissances de 2 qui encadrent 2300, la plus proche est 211=2048 (après, il y a 212=4096 qui est beaucoup plus grand). On va donc approcher le nombre théorique de transistors en 1971 par 211=2048, deux années plus tard le nombre théorique de transistors a été multiplié par 2, il vaut donc 212=4096. La suite est régulière, je l'ai calculé avec le tableur (dans la colonne du milieu j'ai mis l'exposant de la puissance de 2).
Pour 2021, on arrive théoriquement à 236 soit 68 719 476 736, un peu moins de 69 milliards.
c) Lire les coordonnées des processeurs suivants : 4004, 8088, Intel486, Pentium 4. Vérifier, pour ces quatre processeurs, que le nombre de transistors a suivi globalement la loi de Moore. L'Intel Core i3/i5/i7(Skylake) de 2015 contient 1 750 000 000 transistors. La loi de Moore est-elle encore respectée en 2015 ?
Le 4004 est sorti en 1971 et contient 2300 transistors.
C'est notre point de départ (il n'y avait rien avant donc cela ne contredit pas la loi de Moore).
Le 8088 est sorti en 1979 (lecture graphique) et contient 35 000 transistors (estimation graphique aidée des graduations en rose ci-dessous où on voit qu'au milieu entre 10000 et 100000, c'est environ 35000) : c'est presque ce que donne la loi de Moore car il y a 4 fois 2 ans entre 71 et 79, on aurait dû avoir 2300×24=36 800.
L'Intel486 est sorti en 1989 (lecture graphique) et contient 1 000 000 transistors. D'après la loi de Moore, comme il y a 9 fois 2 ans entre 71 et 89, on aurait dû en avoir 2300×29=1 177 600. On trouve donc un peu moins de ce que donne la loi de Moore en partant du chiffre de l'année 1971.
Pentium 4 est sorti en 2001 (lecture graphique) et contient 50 000 000 transistors. D'après la loi de Moore, comme il y a 15 fois 2 ans entre 1971 et 2001, on aurait dû en avoir 2300×215=75 366 400. On trouve donc moins de ce que donne la loi de Moore en partant du chiffre de l'année 1971.
Remarquons que la loi de Moore est indiquée en tirets bleus sur le graphique. Ici, pour la 1ère fois le point est visiblement en dessous de ce que donne la loi de Moore.
L'Intel Core i3/i5/i7(Skylake) est sorti en 2015 et contient 1 750 000 000 transistors. D'après la loi de Moore, comme il y a 22 fois 2 ans entre 1971 et 2015, on aurait dû en avoir 2300×222=9 646 899 200. On trouve donc beaucoup moins de ce que donne la loi de Moore.
Remarque : la tendance à passer en dessous de la prévision de la loi de Moore se généralise de plus en plus, la loi devient de moins en moins pertinente car on a atteint une miniaturisation telle des transistors qu'il devient difficile d'aller au-delà.
Désormais, en attendant une nouvelle technologie, il faut s'attendre à une augmentation de moins en moins importante du nombre de transistors dans les microprocesseurs (le doublement, au lieu de se faire tous les 2 ans n'advient que tous les 3 ou 4 ans).
2)
Fractal e de Moore
Eliakim Hastings Moore (1862-1932) est un mathématicien américain. On lui doit le principe de cette belle courbe (voir ci-dessous) qui remplit progressivement toute la surface d'un carré.
a) Si on considère que le côté du carré, à chaque étape de la construction, ne change pas et vaut 1, déterminer la longueur de la courbe à l'étape 1 et à l'étape 2.
À l'étape 1, il y a 15 segments de 1/3 de long, la longueur de la courbe vaut donc 5 fois le côté du carré.
À l'étape 2, il y a 4×15+3 segments de 1/7 de long, la longueur de la courbe vaut donc 63/7=9 fois le côté du carré. On a donc multiplié la longueur par 9/5 entre l'étape 1 et l'étape 2.
b) En considérant que le facteur multiplicatif à appliquer à la longueur de la courbe est constant d'une étape à l'étape suivante, déterminer la longueur de la courbe aux étapes 3 et 4.
D'après la méthode indiquée, la longueur de la courbe de Moore à l'étape 3 est 9×9/5=81/5=16,2.
De même, à l'étape 4 cette longueur est 9×9/5×9/5=9×(9/5)²=729/25=29,16.
c) Utiliser le papier semi-logarithmique ci-contre pour placer les quatre points correspondants aux quatre longueurs calculées (en abscisse : le numéro de l'étape, en ordonnée : la longueur de la courbe). Évaluer graphiquement la longueur de la courbe à l'étape 15. Vérifier ce résultat à l'aide du calcul.
J'ai placé les 4 points calculés : ils sont alignés sur ce graphique !
C'est tout l'intérêt d'utiliser ce type de graduation quand une quantité est multipliée par un même nombre à chaque étape (c'est ce que signifie exactement le terme de croissance exponentielle) : les points sont alignés.
Fort de cette observation on peut réaliser l'estimation demandée.
Je trace la droite qui passe par ces 4 points alignés et je peux prévoir (sans calcul) la longueur de la courbe à l'étape 15 : entre 21 000 et 22 000 d'après cette estimation graphique.
Par le calcul, à l'étape 15, on va avoir une courbe de longueur 9×
(
95)
13=9×25418658283291220703125 ≈18740,67 . Le calcul est plus précis bien sûr mais la représentation graphique utilisée, utilisant le papier semi- logarithmique, a de nombreux avantages. Notez que si on utilise un papier gradué de façon ordinaire, il est absolument impossible d'utiliser les 4 points calculés pour estimer un point lointain comme il est demandé, car les points ne sont pas alignés.
Remarque : Cette courbe de Moore, contenue entièrement dans le carré, a une longueur qui augmente indéfiniment, la courbe « finit » par remplir complètement la surface du carré (j'ai mis finit entre guillemets car cela ne se produit théoriquement qu'après une infinité d'étapes...)
