59 60 58 Exercices 57

(1)

148

• e²^x

e^x+1 =e^−4x+2 ⇔e²^x−x−1=e⁻⁴^x+2 ⇔x−1=−4x+2 2⇔5x=3⇔x= 3

5 6 == 3

{ }

5

• e^2x+1×e^x−3=e²^x+3 ⇔e^3x−2 =e²^x+3 ⇔3x−2=2x+3⇔ 3⇔x=5

6 =={ }5

• e^x² =e^x−3⇔x² =x−3⇔x²−x+3=0. Le trinôme x²−x+3 a pour discriminant ∆=( )−1²−4×1×3=−11.

∆,0, le trinôme n’admet pas de racine dans R.

6 ==∅

43 1. Graphiquement, il semble que le taux d’alcool dans le sang passe en dessous de 0,25 g/L environ 3 heures après l’ingestion.

2. f( )9 ,8 ≈1 ,1×1 0⁻³ ; f( )9 ,9 ≈9 ,9 ×1 0⁻⁴. Le taux d’alcool dans le sang est négligeable au bout de 9,9 heures.

3. Pour tout réel t[

[

0 ,0 2 5 ;+`

[

^{, on a :}

′

f t( )=2 e^−t−(2t−0 ,0 5)e^−t =e^−t(−2t+2 ,0 5). 4. Pour tout réel t[

[

0 ,0 2 5 ;+`

[

^,

e^−t.0 et −2t+2 ,0 5 >0 ⇔t<1 ,0 2 5.

La fonction f' est positive sur

[

0 ,0 2 5 ;1 ,0 2 5

]

et négative sur 1 ,0 2 5 ;+`

[ [

. On en déduit que la fonction f est croissante sur l’intervalle

[

0 ,0 2 5 ;1 ,0 2 5

]

et décroissante sur

[

1 ,0 2 5 ;+`

[

^.

La fonction f admet un maximum atteint pour t=1 ,0 2 5. f(1 ,0 2 5)=(2 ×1 ,0 2 5 −0 ,0 5)e^{−1 ,0 2 5} =2 e^{−1 ,0 2 5} ≈0 ,7 2. Le taux maximum d’alcool dans le sang est de 2 e^{−1 ,0 2 5} g/L soit environ 0,72 g/L.

44 1. Soit A x( ) l’aire du panneau publicitaire en fonction de x l’abscisse du point B, avec x appartenant à l’intervalle

0 ;+`

[ [

^.

A x( )=x×4 e^{−0 ,4}^x et en particulier A( )2 =2 ×4 e^{−0 ,4}^×2 =8 e^{−0 ,8} ≈3 ,6.

Si AB=2 m, alors le panneau publicitaire à une aire d’environ 3,6 m².

2. La fonction A est définie et dérivable sur l’intervalle

[

0 ;+`

[

^.

′

A x( )=4 e^{−0 ,4}^x−0 ,4 ×4 x×e^{−0 ,4}^x =e^{−0 ,4}^x(−1 ,6 x+4)^. Pour tout réel x[

[

0 ;+`

[

^,

e^{−0 ,4}^x.0 et −1 ,6x+4 >0 ⇔x<2 ,5. On en déduit que la fonction A est croissante sur l’intervalle

[

0 ; 2 ,5

]

et décrois- sante sur l’intervalle

[

2 ,5 ;+`

[

. La fonction A admet un maximum atteint pour x=2 ,5.

f( )2 ,5 =4 e^{−0 ,4}^{×2 ,5} = 4

e≈1 ,4 7. Le panneau publicitaire rectangulaire possédant l’aire la plus grande à une longueur de 2,5 m et une largeur d’environ 1,47 m.

45 _1.

0 1 x

y

1

2. Plus les valeurs de x sont grandes et plus la fonction f se rapproche de 0 sans jamais l’atteindre.

3.

46 Graphiquement, f( )0 =1 et f′ 1

( )

2 ⁼^0 . Pour tout réel x, on a :

′

f x( )=ae^−x−(ax+b)e^−x =e⁻^x(−ax+a−b). f( )0 =1

′ f 1

( )

2 ⁼⁰ ^⇔^⎧^⎨^⎪_⎩⎪ ^e⁻¹²

(

⁻¹₂^b^a⁺⁼¹^a⁻¹

)

⁼⁰

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔ b=1

21a−1=0

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔ b=1 a=2

⎧⎨

⎩

47 1. a. Pour tout réel x, on a :

′

f x( )=(2 x−2 ,5)e^x+

(

x² −2 ,5x+1

)

^e^x

x =e^x

(

x² −0 ,5x−1 ,5

)

^.

b. Pour tout réel x, e^x.0. Le trinôme x² −0 ,5 x−1 ,5 a pour discriminant ∆=(−0 ,5)² −4 ×1 × −1 ,5( )=6 ,2 5.

∆>0 ,le trinôme x² −0 ,5x−1 ,5 admet deux racines distinctes :

x₁ = 0 ,5 − 6 ,2 5

2 =−1 et x₂ = 0 ,5 + 6 ,2 5

2 =3

2 . Le trinôme x² −0 ,5x−1 ,5 est du signe a, donc positif, sur l’intervalle

]

−`;−1

]

^<^⎡_⎣₂³^;^+`^⎡_⎣ et négatif sur l’intervalle

−1; 32

⎡⎣ ⎤

⎦.

On en déduit que la fonction f' est positive sur l’intervalle

−`;−1

] ]

^<^⎡_⎣³₂^;⁺^`^⎡_⎣ et négative sur l’intervalle ⎡−1 ; 32

⎣ ⎤

⎦. c.

x –` –1 1

2 + `

f' (x) + 0 – 0 +

f (x) 4.5e^–1

0

2. Au point A d’abscisse –1, la tangente à la courbe #_f est horizontale et a pour équation y= f( )−1 = 4 ,5

e .

L’abscisse du point M est solution de l’équation f x( )= 4 ,5 e . À la calculatrice, une valeur approchée de l’abscisse du point M est 2,1.

3. Au point B d’abscisse 0, la tangente à la courbe #_f a pour équation :

y= f′( )0 (^x−0)+ f( )0 ⇔y=−1 ,5 x+1.

(2)

Chapitre 6 Fonction exponentielle 149

4.

48 1. Réponse b.

2. Réponse c.

3. Réponse a.

49 _{1. v}_{1 0} ₌_{9 ,8 1} _× ⁶

3 ,9 ×⎛1−e⁻^{3 ,9}⁶ ^{×1 0}

⎝⎜ ⎞

⎠⎟≈1 5

La vitesse de la goutte 10 s après sa chute est d’environ 15 m/s.

T_n=v_n₊₁ −v_n=9 ,8 1 m

k⎛1 −e⁻^m^k⁽ⁿ⁺¹⁾

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ −9 ,8 1 m

k⎛1 −e⁻^m^kⁿ

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎞⎠⎟=9 ,8 1m

k⎛e⁻^m^kⁿ−e⁻^m^kⁿ⁻^m^k

⎝⎜ ⎞

⎠⎟=9 ,8 1 m

ke⁻^m^kⁿ⎛1−e⁻^m^k

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

T_n₊₁ =9 ,8 1 m

ke⁻^m^k⁽ⁿ⁺¹⁾⎛1 −e⁻^m^k

⎝⎜ ⎞

⎠⎟=e⁻^m^k ×T_n T₀ =9 ,8 1 ×m

k⎛1−e⁻^m^k

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

La suite

( )

T_n est donc géométrique de premier terme T₀ =9 ,8 1× m

k⎛1 −e⁻^m^k

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ et de raison q=e⁻^m^k. q=e⁻^{3 ,9}⁶ =e⁻³⁵ , or 0,e⁻³⁵,1, T₀ =9 ,8 1× 6

3 ,9 ⎛1−e⁻^{3 ,9}⁶

⎝⎜ ⎞

⎠⎟≈7 ,2 .0, la suite

( )

T_n est décroissante pour tout n [ N.

À la calculatrice, on trouve que T_n est inférieure à 0,001 m/s au bout de 14 s.

50 e^{2 5} ≈7 ,2 ×1 0^{1 0}. Pour visualiser la courbe de la fonction exponentielle sur l’intervalle

[

0 ; 25

]

, il faut que la page ait une hauteur d’environ 7 ,2 ×1 0^{1 0} cm.

51 _{1. C}( )_{0 ,5} =5 0 0 0 ×e^{0 ,0 1 5}^{×0 ,5} ≈5 0 3 7 ,6 4 €

Au bout de 6 mois, le capital obtenu est d’environ 5 0 3 7 ,6 4 €. 2. C t′( )=0 ,0 1 5 ×5 0 0 0 ×e^{0 ,0 1 5}^t =7 5 ×e^{0 ,0 1 5}^t

Or, 7 5 ×e^{0 ,0 1 5}^t.0 pour tout t[

[

0 ;+`

[

. La fonction C est donc croissante sur l’intervalle

[

0 ;+`

[

^.

3. Graphiquement, il semble que le capital obtenu sera de 5 750 au bout d’environ 9 ans.

4. Graphiquement, le capital devient supérieur à 5 250 € au bout d’environ 3 ans.

52 _1._f

(

₁₉₄₉

)

=350⇔ke^λ⁽^1949−1949⁾=350⇔k=350 2. f

(

1 9 5 9

)

⁼^{3 5 0} ^×^e0 ,0 1 2 1 9 5 9( −1 9 4 9) =3 5 0 ×e^{0 ,0 1 2}^{×1 0} ≈3 9 4 ,6 2

53 1.

0 1 x

y

1

Graphiquement, #_g, la courbe représentative de la fonction g, est au-dessus de #_f, la courbe représentative de la fonction f, sur l’intervalle

]

−`;1 ,2

[

^.

2. 1

e^x−3.e³^x−2 ⇔e^−x+3.e³^x−2 ⇔e^−x+3

e³^x−2 .1⇔e⁻⁴^x+5.1 1⇔ e⁻⁴^x+5.e⁰⇔ −4x+5.0⇔x,5

4 Donc g x( ).f x( ) ⇔x[

]

−`;1 ,2 5

[

^.

54 1. f( )0 =2 ;f( )2 ≈3 ,5 ;f( )4 ≈3 ,8 ;f( )6 ≈3 ,7 ;

7 ; f( )8 ≈3 ,5. La fonction f donne une approximation satisfai- sante des frais au millier d’euros près.

2. f x′( )=e⁻³^x− 1

3(x−1)e⁻^x³ =−1

3e⁻³^x(x−4). On en déduit que f' est positive sur

[ ]

0 ; 4, négative sur

[

4 ;+`

[

^{et que la}

fonction f est croissante sur

[ ]

0 ; 4 et décroissante sur

[

4 ;+`

[

^.

Les frais de fonctionnement ont augmenté de 2010 à 2014 et baissent depuis 2014.

3. Le sens de variation de la fonction f laisse supposer que le gérant a raison de croire qu’à terme les frais de fonctionnement atteindront leur niveau de 2010.

4.

0 2 x

y

1

On remarque, graphiquement, que la fonction semble tendre vers une limite égale à 3 lorsque x tend vers des valeurs de plus en plus grandes. Plus x est grand et plus la fonction e⁻^x³ tend vers 0. La fonction f tend alors vers 3. Après 2014, l’entreprise ne pourra pas baisser ses frais de fonctionnement en dessous de 30 000 €.

5. À la calculatrice, on trouve que les frais de fonctionnement repasseront sous la barre des 32 000 € au bout de 13 ans, ce qui correspond à l’année 2023.

55 1. Réponses b et c.

2. Réponse b.

3. Réponse b.

4. Réponse a.

5. Réponse a.

56 1. La température à l’extérieur est inférieure à la tempé- rature de la pièce, la fonction f donnant la température en degré Celsius en fonction du temps écoulé depuis 22 h devrait être décroissante sur

[ ]

0 ; 9^.

2. −0 ,1 2 , 0 . La fonction e^{−0 ,1 2}^t est décroissante sur

[ ]

0 ; 9^. On en déduit que la fonction f est décroissante sur

[ ]

0 ; 9^. 3. f( )9 =9 e^{−0 ,1 2}^×9 +1 1 ≈1 4 °C. La température de la pièce à 7 h le lendemain matin est d’environ 14 °C.

(3)

150

4.

0 1 t

T (en °C)

2

À la calculatrice, on trouve que la température de la pièce passera sous la barre des 15 °C au bout de 6,8 heures soit vers 4 h 48 min le lendemain matin.

57 1. Pour tout réel x, on a f x′( )=e^x.

L’équation de la tangente à la courbe #_f au point A d’abscisse a, a pour équation :

y= f a′( )(x−a)+ f a( )⇔y=eâ(x−a)+eâ ⇔y=eâx+eâ(1−a) y= f a′( )(x−a)+ f a( )⇔y=eâ(x−a)+eâ⇔y=eâx+eâ(1−a).

2. Le point B appartient à la droite 7 et son ordonnée est nulle. L’abscisse du point B satisfait donc l’équation suivante :

0=e^ax_B+e^a(1−a)⇔x_B =a−1.

3. BH=

(

x_H−x_B

)

² ⁺

(

^yH−y_B

)

² ⁼ (^a−(^a−¹))²+(0−0)² =1 BH=

(

x_H−x_B

)

² ⁺

(

^yH−y_B

)

² ⁼ ⁽^a−⁽^a−¹⁾⁾²⁺⁽⁰⁻⁰⁾² ⁼¹

La distance BH est indépendante de a et est égale à 1.

Exercices

58 1. Pour tout réel x[

[ ]

0;5^{, on a :}

′

f x( )=1 −e⁻^{x+0 ,5}.

1 −e⁻^{x+0 ,5}.0 ⇔e^{−x+0 ,5},1⇔e⁻^{x+0 ,5},e⁰ ⇔ −x+0 ,5 ,0 ⇔x.0 ,5 1 −e⁻^{x+0 ,5}.0 ⇔e⁻^{x+0 ,5},1⇔e⁻^{x+0 ,5},e⁰ ⇔ −x+0 ,5,0 ⇔x.0 ,5

La fonction f' est négative sur

[

0 ; 0 ,5

]

et positive sur

[

0 ,5 ; 5

]

^.

On en déduit que la fonction f est décroissante sur

[

0 ; 0 ,5

]

^et

croissante sur

[

0 ,5 ;5

]

^.

2. a. Par lecture graphique, 2 <α<2 ,5 .

b. Graphiquement, la courbe #_f est située en dessous de la droite ∆ sur l’intervalle

] ]

α;5^.

3. La fonction f admet un minimum atteint en x = 0,5. Il faut donc produire 50 cartes pour que le coût d’utilisation de la machine soit minimal.

4. B x( )=R x( )−C x( )=1 ,5 x−

(

x+1 +e⁻^{x+0 ,5}

)

⁼^{0 ,5} ^x⁻¹⁻^e^{−x+0 ,5}

B x( )=R x( )−C x( )=1 ,5 x−

(

x+1 +e⁻^{x+0 ,5}

)

⁼^{0 ,5} ^x⁻¹⁻^e^{−x+0 ,5}

5. Pour tout réel x[

[

0 ; 5

]

^{, on a :}

′

B x( )=0 ,5 +e^{−x+0 ,5} .0 , la fonction B est croissante sur

[ ]

0 ; 5 ^.

6. B( )0 =−2,0 et B

( )

5 =1 ,5 −e^{−4 ,5}.0. De plus, sur l’intervalle

[ ]

0 ;5 la fonction B est continue, dérivable et strictement croissante. L’équation B x( )=0 admet donc une solution unique α sur l’intervalle

[ ]

0 ; 5^.

À la calculatrice, 2 ,3 2 <α<2 ,3 3. L’entreprise doit donc produire et vendre au moins 233 cartes pour réaliser un bénéfice.

59 _{Partie 1}

1. Pour tout réel x[

[

0 ;+`

[

^{, on a :}

′

g x( )=e^x−e^x−xe^x =−xe^x<0.

La fonction g est décroissante sur l’intervalle

[

0 ;+`

[

^.

2. À la calculatrice, α ≈1 ,2 8.

3. g( )α =0⇔e^α− αe^α+1=0⇔e^α(1− α)=−1⇔e^α = 1 α −1 g( )α =0⇔e^α− αe^α+1=0⇔e^α(1− α)=−1⇔e^α= 1

α −1 Partie 2

1. La fonction A est définie et dérivable sur l’intervalle

[

0 ;+`

[

^.

′

A x( )= 4 e

(

^x+1

)

⁻^4xe^x

e^x+1

( )

² ⁼

4 e

(

^x−xe^x+1

)

e^x+1

( )

² ⁼

(

^e^{4g x}^x⁺^{( )}¹

)

²

Le signe de A x′( ) est le même que g x( )^.

2. D’après la question précédente, A' (x) est positive sur

[ ]

0;α et négative sur

[

α;+`

]

. On en déduit que la fonction A est croissante sur

[

0 ;α

]

et décroissante sur

[

α;+`

]

^.

Partie 3

La fonction f est définie et dérivable sur l’intervalle

[

0 ;+`

[

^.

′

f x( )=− 4e^x e^x+1

( )

²

L’équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point M d’abscisse α a pour équation :

y= f′( )α (x− α)+ f( )α ⇔y=− 4e^α e^α+1

( )

²⁽^x^{− α}⁾⁺ ^e^α⁴⁺¹^⇔^y⁼

4 1α −1 α −11+1

( )

²⁽^x^{− α}⁾⁺ ^{α −}¹⁴¹⁺¹^⇔^y⁼ ⁴⁽^x^α^{− α}⁾⁺⁴⁽^{α −}^α ¹⁾^⇔^y⁼ ^α⁴^x⁻^α⁴

y= f′( )α (x− α)+ f( )α ⇔y=− 4e^α e^α+1

( )

²⁽^x^{− α}⁾⁺^e^α⁴⁺¹^⇔^y⁼

4 1α −1 α −11+1

( )

²⁽^x^{− α}⁾⁺ ^{α −}¹⁴¹⁺¹^⇔^y⁼ ⁴⁽^x^α^{− α}⁾⁺⁴⁽^{α −}^α ¹⁾^⇔^y⁼^α⁴^x⁻^α⁴

y= f′( )α (x− α)+ f( )α ⇔y=− 4e^α e^α+1

( )

²⁽^x^{− α}⁾⁺^e^α⁴⁺¹^⇔^y⁼

4 1α −1 α −11+1

( )

²⁽^x^{− α}⁾⁺ ^{α −}¹⁴¹⁺¹^⇔^y⁼ ⁴⁽^x^α^{− α}⁾⁺⁴⁽^{α −}^α ¹⁾^⇔^y⁼ ^α⁴^x⁻^α⁴

y= f′( )α (^x− α)+ f( )α ⇔y=− 4e^α e^α+1

( )

²⁽^x^{− α}⁾⁺^e^α⁴⁺¹^⇔^y⁼

4 1α −1 α −11+1

( )

²⁽^x^{− α}⁾⁺ ^{α −}¹⁴¹⁺¹^⇔₆₀^y⁼_{1. a.}⁴⁽^x^α^{− α}⁾⁺⁴⁽^{α −}^α ¹⁾^⇔^y⁼ ^α⁴^x⁻^α⁴^.

C₅ = 8 4

7 ⎛1−e⁻⁵^{8 0}^×7

⎝⎜

⎞

⎠⎟=1 2 1

(

−e−0 ,4 3 7 5

)

^≈^{4 ,2 5 2} ^µ M^⋅L^–1

b. En utilisant la table de la calculatrice, on observe que cette concentration augmente mais la croissance est de moins en moins forte et la concentration se rapproche de 12 µM⋅L⁻¹. 2. La formule donnant la concentration devient C_n= d

3⎛1−e⁻³ⁿ⁸⁰

⎝⎜ ⎞

⎠⎟.

n→+lim`e⁻³ⁿ⁸⁰ =0 , donc lim

n→+`1−e⁻³⁸⁰ⁿ =1 ;

n→+`lim C_n=15 ⇔d

3 = 15, soit d = 45 µM ⋅L⁻¹.

(4)

Chapitre 6 Fonction exponentielle 151

61 Partie A

1. La fonction cosh( )x est définie et dérivable sur R.

cosh′( )x = e^x−e^−x

2 =sinh( )x 2. cosh²( )x −sinh²( )x = )= e^x+e^−x

(

2

)

²⁻

(

^e^x⁻²^e^−x

)

²

)

² ⁼ ê²^x⁺^2e^xê^−x⁺ê^−2x⁻⁴ê²^x⁺^2e^xê^−x⁻ê⁻²^x ⁼ ^4e⁴⁰ ⁼¹

3. cosh( )−x = e^−x+e^{− −x}^{( )}

2 = e^−x+e^x

2 =cosh( )x La fonction cosh est paire.

sinh( )−x = e^−x−e^{− −}^{( )}^x

2 = e^−x−e^x

2 =−e^x−e^−x

2 =−sinh( )x La fonction sinh est impaire.

Partie B

1. a. f( )−x =a×cosh −x

( )

38 ⁺^b⁼^a^×^cosh

( )

38^x ⁺^b⁼ ^{f x}^{( )} La fonction f x( ) est paire, la courbe représentative de la fonction f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

b. f( )0 =190 f

( )

95 =0

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔ a+b=190

acos h 95

( )

38 ⁺^b⁼⁰ ^⇔ acos h 2 ,5^a⁺

( )

^b⁼^{1 9 0}+b=0

⎧⎨

⎪

⎩⎪

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔ a+b=1 9 0

a

(

1−cos h 2 ,5

( ) )

=1 9 0

⎧⎨

⎪

⎩⎪ ⇔ b=1 9 0 −a

a= 1 9 0

1 −cos h 2 ,5

( )

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔ b≈2 2 7 ,0 2

a≈ −3 7 ,0 2

⎧⎨

⎪

⎩⎪

2. 6 3 ,4 0

2 =3 1 ,7. Cela revient à trouver l’image de 31,7 par la

fonction f.

f(3 1 ,7)=−3 7 ,0 2 ×cosh 3 1 ,7

( )

3 8 ⁺^{2 2 7 ,0 2} ^≈^{1 7 6 ,3 5}^.

Le Solar Impulse ne doit pas dépasser une altitude de 176,35 m pour passer sous l’arche.

62 1. La fonction f est définie et dérivable sur

[

0 ;+`

[

^.

′

f t( )=−1 5ae^−t⁵

f( )0 =a+b et f′( )0 =−1 5a.

À t=0, la température est de 1 000 °C.

On en déduit le système suivant : f( )0 =1000

′ f ( )0 +1

5f( )0 =4 ⇔ a+b=1000

−1 5a+ 1

5(a+b)=4

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔ a=1000−b 15b=4

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔ a=980 b=20

⎧⎨

⎩ 2. f t′( )=−1

5×980×e^−t⁵ =−196e^−t⁵ ,0

La fonction f est décroissante sur l’intervalle

[

0 ;+`

[

. Aussitôt le four éteint, il paraît cohérent que la température du four diminue.

3. a. Le programme détermine, avec une précision de 1, la première valeur de t pour laquelle la fonction e^kt est supé- rieure à une valeur égale à b.

b. Le programme fonctionne lorsque la fonction e^kt est décroissante. Ainsi, il faut que la valeur de k soit négative. De plus, e^k×0 =1, le seuil b sous lequel doit passer la fonction doit donc être inférieur à 1 et positif car la fonction exponentielle est strictement positive sur R.

c.

Il faut attendre au moins 15 heures après l’arrêt du four pour que la température de celui-ci soit inférieure à 70 °C.

63 _1._f( )₀ =3 et f′( )0 =−2.

2. Pour tout réel x, on a :

′

f x( )=e^x+a−be^−x. 3. f( )0 =3

′

f ( )0 =−2

⎧⎨

⎪

⎩⎪ ⇔ 1+b=3

1+a−b=−2

⎧⎨

⎩ ⇔ b=2

a=−1

⎧⎨

⎩

Exercices

VERS L’ÉPREUVE ÉCRITE

64 Partie A

1. Graphiquement, la concentration du produit dans le sang du patient au bout de 2 h est d’environ 0,97 g/L.

2. La courbe représentative de la fonction f est en dessous de la droite d’équation y=0 ,4 sur l’intervalle ]5,75 ; 12]. Il faut donc attendre au moins 5,75 heures pour que la personne puisse prendre le volant.

Partie B

1. f( )0 =1 ,2 ⇔b=1 ,2. Ainsi f t( )=

(

0 ,5t+1 ,2

)

^e^{−0 ,4}^t^.

2. f

( )

5 =

(

0 ,5 ×5 +1 ,2

)

^e^{−0 ,4}^×5 =3 ,7 e⁻² =3 ,7 e² ≈0 ,5

La concentration du produit dans le sang du patient au bout de 5 h est d’environ 0,5 g/L.

3. f t′( )=0 ,5 e^{−0 ,4}^t −0 ,4 0 ,5

(

t+1 ,2

)

^e^{−0 ,4}^t

t =e^{−0 ,4}^t(−0 ,2t+0 ,0 2 ) 4. Pour tout t[

[

0 ; 24

]

^,

e^{−0 ,4}^t.0 et −0 ,2t+0 ,0 2 >0 ⇔t<0 ,1.

On en déduit que la fonction f est croissante sur l’intervalle 0 ; 0 ,1

[ ]

et décroissante sur l’intervalle

[

0 ,1 ; 2 4

]

. La concentration de médicament dans le sang du patient augmente pendant les 6 minutes après l’injection puis diminue.