C'est la tension image de la température inférieure du four délivrée par le capteur (exprimée par rapport à la température ambiante

Exercice n°1 : Asservissement de température d'un four (1^er ordre)

On considère l'asservissement numérique de température constitué d'un four et d'un capteur de température associé, représenté ci-après :

Données :

• θ_c(t) : Tension de consigne en [V]. Elle représente la température de consigne désirée pour le four (par rapport à la température ambiante.

• θ(t) : Tension de mesure [V]. C'est la tension image de la température inférieure du four délivrée par le capteur (exprimée par rapport à la température ambiante).

• u(t) : Puissance électrique délivrée au four [W].

• ε(t) : Erreur entre la consigne et la mesure [V].

Les équations de fonctionnement du système conduisent à : θ(t)+τ_BO dθ(t)

dt =Ku(t) avec

• τ_BO : constante de temps du système. τ_BO=60s

• K: gain du système. K=0,01 V/W

1 Exprimer la fonction de transfert du système en boucle ouverte T₀(p) sous la forme : T₀(p)=θ (p)

U(p)= T₀ 1+τp

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2 Exprimer et calculer les grandeurs T₀ et τ .

3 Donner l'expression numérique de la fonction de transfert discrétisée avec son échantillonneur bloqueur d'ordre zéro, soit T_0d(z)=Z[B₀(p)T₀] , avec une période d'échantillonnage Te=15 s .

T_0d(z)= b₁z⁻¹ 1+a₁z⁻¹

A Compléter

b₁= a₁=

4 Correcteur proportionnel : K_P(z)=K_p .

4.1 Donner l'expression de la fonction de transfert en boucle fermée : T_Kp(z) .

4.2 Étudier la stabilité du correcteur proportionnel en fonction de son gain Kp.

A Compléter

< K_P <

4.3 Tracer les lieux d'Evans dans le plan complexe de z. Commenter.

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4.4 En appliquant le théorème de la valeur finale en déduire l'expression littérale de l'erreur de position ε_p(t→+∞) en fonction de a₁, b₁et k_p .

5 Nous souhaitons en boucle fermée , un système 3 fois plus rapide, avec une erreur de position ε_p(t→+∞)=0 .

5.1 Justifier le choix de la période d'échantillonnage Te=15 s .

5.2 La fonction de transfert en boucle fermée désirée, peut se mettre sous la forme T₁(p)= T₁

1+τBF p . Donner l'expression de T₁ et τ_BF .

5.3 Donner l'expression numérique de la fonction de transfert discrétisée T_1d(z) .

T_1d(z)= B1z⁻¹ 1+A₁z⁻¹

A Compléter

B₁= A₁=

5.4 Nous souhaitons mettre en place un correcteur PI numérique de la forme K_pi(z)=r_0pi+r_1piz⁻¹

1−z⁻¹ .

5.4.1 Pourquoi un tel correcteur permet d'annuler l'erreur de position ?

5.4.2 Déterminer l'expression numérique des coefficients du correcteur.

A Compléter

r_0pi= r_1pi=

5.4.3 Déterminer le temps de réponse à 5% pour un échelon unitaire.

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Exercice n°2 : Asservissement de température d'un four (2eme ordre)

Une pièce d'une unité d'habitation est chauffée par un radiateur électrique. Une partie de la puissance fournie par le radiateur est perdue par fuites thermiques vers le milieu extérieur, par les fenêtres et les murs. La puissance non perdue permet d'échauffer l'air de la pièce et les murs.

• θ(t) : Tension de mesure [V]. C'est la tension image de la température moyenne de l'air de la pièce.

• θ_c(t) : Tension de consigne en [V]. Elle représente la température de consigne désirée pour le four (par rapport à la température ambiante.

• θ_e : Tension de la « température » [V].Température moyenne du milieu extérieur. (nous la choisirons tel que θ_e(t)=0° C .

• u(t) : Puissance électrique délivrée au radiateur [W].

Le radiateur électrique qui sert au chauffage de la pièce absorbe une puissance électrique qui est entièrement dissipée sous forme de chaleur par la résistance chauffante.

Le radiateur est muni d'une cavité de mesure dans laquelle on a placé une sonde (thermistance) pour la mesure de la température θ(t) .

La fonction de transfert en boucle ouverte du système est T₀(p)=θ (p)

U(p)= K₁

(1+τ₁p)(1+τ₂p) avec K₁=25 τ₁=450s τ₂=150s .

1

1.1 Exprimer la fonction de transfert du système en boucle ouverte T₀(p) sous la forme : T₀(p)=θ (p)

U(p)= T₀ p²

ω₀²+2mp ω₀ +1

.

1.2 En déduire l'expression littérale de ω₀ et m . Calculer ω₀ et m .

1.3 Donner l'expression numérique de la fonction de transfert discrétisée avec son échantillonneur bloqueur d'ordre zéro, soit T_0d(z)=Z[B₀(p)T₀] avec une période d'échantillonnage Te=60 s .

T_0d(z)= b₁z⁻¹+b₂z⁻² 1+a₁z⁻¹+a₂z⁻²

A Compléter

b₁= b₂= a₁= a₂=

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2 Nous souhaitons un comportement en boucle fermée du second ordre avec un pulsation propre ω₁=4∗ω₀ et un coefficient d'amortissement m₁=0,707 .

2.1 Justifier le choix de la période d'échantillonnage Te=60 s .

2.2 La fonction de transfert en boucle fermée désirée, peut se mettre sous la forme . T₁(p)= T₁

p²

ω₁²+2m₁p ω₁ +1

. Calculer T₁ , ω₁ et m₁ .

A Compléter

T₁= ω₁= m₁=

2.3 Donner l'expression numérique de la fonction de transfert discrétisée T_1d(z) .

T_1d(z)= B₁z⁻¹+B₂z⁻² 1+A₁z⁻¹+A₂z⁻²

A Compléter

B₁= B₂= A₁= A₂=

2.4 Nous souhaitons mettre en place un correcteur PID filtré numérique de la forme K_pid(z)=r_0pid+r_1pidz⁻¹+r_2pidz⁻²

(1−z⁻¹)(1+s₁z⁻¹) .

2.4.1 Déterminer l'expression numérique des coefficients du correcteur.

A Compléter

r_0pid= r_1pid= r_2pid= s₁=

2.4.2 Déterminer le temps de réponse à 5% pour un échelon unitaire.

3 Nous souhaitons en boucle fermée , une réponse en un échantillon , avec une erreur de position ε_p(t→+∞)=0 et un système .

3.1 Déterminer l'expression numérique des coefficients du correcteur du correcteur K₁(z) .

3.2 Vérifier (sous Matlab faire valider par l'enseignant) la réponse à un échelon afin de voir si le cahier des charges est respecté.

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4 Nous souhaitons en boucle fermée , une réponse en deux échantillons , avec une erreur de vitesse ε_v(t→+∞)=0 .

4.1 Déterminer l'expression numérique des coefficients du correcteur du correcteur K₂(z) .

4.2 Vérifier (sous Simulink faire valider par l'enseignant) la réponse à une rampe afin de voir si le cahier des charges est respecté, en visualisant la consigne et la température . θ(t) .