Bases Scientifiques de l’´Electricit´e

Bases Scientifiques de l’´ Electricit´ e

Licence Professionnelle Qualit´e et Maˆıtrise de l’ ´Energie ´Electrique

UFR Physique et Ing´enierie Universit´e de Strasbourg

Lyc´ee Louis Couffignal

Edouard Laroche laroche@unistra.fr

http://eavr.u-strasbg.fr/~laroche/student 2010–2011

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Table des mati` eres

1 G´en´eralit´es 7

1.1 Introduction . . . 7

1.2 Raisonnement . . . 7

1.3 Les grandeurs ´electriques . . . 8

1.4 Les dipˆoles ´electriques . . . 10

1.4.1 Conventions . . . 10

1.4.2 R´esistance . . . 11

1.4.3 Inductance . . . 11

1.4.4 Capacit´e . . . 11

1.4.5 Sources . . . 12

2 Le r´egime sinuso¨ıdal monophas´e 13 2.1 D´efinition . . . 13

2.2 Puissance . . . 13

2.3 Dipˆoles en r´egime sinuso¨ıdal . . . 14

2.3.1 R´esistance . . . 14

2.3.2 Inductance . . . 14

2.3.3 Condensateur . . . 15

2.4 Rel`evement du facteur de puissance . . . 15

2.5 Notations de Fresnel . . . 16

2.5.1 Introduction . . . 16

2.5.2 Imp´edance complexe . . . 16

2.5.3 Puissance complexe . . . 16

3 Lois des r´eseaux ´electriques 19 3.1 Lois de Kirchhoff . . . 19

3.1.1 Loi des nœuds . . . 19

3.1.2 Loi des mailles . . . 21

3.1.3 Th´eor`eme de Millmann . . . 21

3.2 Sources ´equivalentes . . . 22

3.2.1 Mod`ele de Thevenin . . . 22

3.2.2 Mod`ele de Norton . . . 22

3.3 Th´eor`eme de superposition . . . 22

3.4 R´esolution matricielle . . . 23

3.4.1 Vecteurs et matrices . . . 23

3.4.2 R´esolution d’un syst`eme d’´equations lin´eaires . . . 24

4 Le r´egime sinuso¨ıdal triphas´e 27 4.1 Introduction . . . 27

4.2 Couplage en ´etoile . . . 28

4.3 Couplage en triangle . . . 29

4.4 Equivalence triangle/´etoile . . . 30

4.5 M´ethode d’´etude . . . 31 3

4 TABLE DES MATI `ERES

4.6 R´egime d´es´equilibr´e . . . 32

4.6.1 Les trois types de r´egime ´equilibr´e . . . 32

4.6.2 D´ecomposition d’un syst`eme triphas´e d´es´equilibr´e . . . 33

4.6.3 Etude . . . .´ 33

5 R´egime harmonique 37 5.1 D´ecomposition en s´erie de Fourier . . . 37

5.1.1 Propri´et´es de la d´ecomposition en s´erie de Fourier . . . 38

5.1.2 Sym´etries et s´erie de Fourier . . . 39

5.2 Puissance en non-sinuso¨ıdal . . . 40

5.2.1 Harmoniques de courant . . . 40

5.2.2 Harmoniques de tension . . . 42

5.2.3 Harmoniques de tension et de courant . . . 43

5.2.4 R´egime triphas´e ´equilibr´e avec harmoniques . . . 45

5.2.5 R´egime triphas´e d´es´equilibr´e avec harmoniques . . . 46

6 R´egimes transitoires 49 6.1 Equation diff´erentielle du premier ordre . . . 49

6.1.1 Equation sans second membre . . . 49

6.1.2 Equation avec second membre . . . 50

6.1.3 M´ethode de la variation de la constante . . . 51

6.2 Equation diff´erentielle du second ordre . . . 52

6.2.1 Equation diff´erentielle sans second membre . . . 52

6.2.2 Equation diff´erentielle avec second membre . . . .´ 53

6.3 D´etermination par la transform´ee de Laplace . . . 53

6.3.1 Transform´ee de Laplace . . . 53

6.3.2 Application `a la d´etermination du r´egime transitoire . . . 55

7 Mesure 57 7.1 Mesures de tension et de courant . . . 57

7.1.1 Les diff´erentes technologies de mesure . . . 57

7.1.2 Lecture sur un appareil analogique . . . 57

7.1.3 R´eduction du courant . . . 58

7.1.4 Sondes pour la visualisation . . . 58

7.2 Mesures de puissance . . . 58

7.3 Incertitudes . . . 59

7.3.1 Mesures . . . 60

7.3.2 Calculs . . . 60

7.4 Techniques num´eriques de mesure . . . 60

7.4.1 Echantillonnage . . . .´ 60

7.4.2 Calculs . . . 61

8 Asservissement 63 8.1 Notion de syst`eme . . . 63

8.1.1 Propri´et´es relatives aux syst`emes . . . 63

8.1.2 Syst`eme du premier ordre . . . 64

8.1.3 Syst`eme du deuxi`eme ordre . . . 64

8.2 Asservissement d’un syst`eme . . . 66

8.2.1 Principe . . . 66

8.2.2 Performance des syst`emes asservis . . . 67

8.2.3 Pr´ecision . . . 68

8.2.4 D´epassement . . . 68

8.2.5 Boucle ouverte ou boucle ferm´ee ? . . . 68

8.2.6 Exemples simples . . . 69

TABLE DES MATI `ERES 5

8.3 Analyse harmonique . . . 70

8.3.1 Fonction de transfert . . . 70

8.3.2 Repr´esentations fr´equentielles . . . 73

8.3.3 Crit`eres de stabilit´e . . . 74

8.3.4 Synth`ese de correcteur . . . 74

6 TABLE DES MATI `ERES

“Je ne connais rien de plus pratique qu’une bonne th´eorie.”

(Citations de Pierre Thuillier)

Chapitre 1

G´ en´ eralit´ es

1.1 Introduction

Cet ouvrage aborde les connaissances scientifiques de base utiles pour traˆıter les probl`emes de qualit´e et de maˆıtrise de l’´energie ´electrique. Plutˆot que de pr´esenter un formulaire des diff´erents r´esultats `a utiliser, le parti pris est de d´evelopper pas `a pas les connaissances. En effet, le but d’une formation n’est pas seulement d’ingurgiter un certain nombre de contenus d’un domaine, mais d’abord de d´evelopper les capacit´es intellectuelles et l’esprit d’analyse. Pour cela, il a ´et´e choisi de pr´esenter les r´esultats de mani`ere rigoureuse.

Pour profiter au mieux de cet ouvrage et r´eellement d´evelopper ses capacit´es d’analyse et de r´eflexion, il est n´ecessaire de faire les exercices associ´es et de s’entraˆıner `a refaire les calculs. L’en- traˆınement au calcul math´ematique est aussi un objectif de cet enseignement. Il n’est n´eanmoins pas n´ecessaire de s’attaquer d’un bloc `a ce travail ; il peut s’av´erer pr´ef´erable de commencer par s’impr´egner d’un chapitre en le lisant rapidement sans rentrer dans les calculs puis dans une seconde ´etape, de le reprendre pas `a pas en refaisant les calculs et en faisant les exercices.

1.2 Raisonnement

Les math´ematiques sont un mod`ele de rigueur en terme de raisonnement. La maˆıtrise des techniques de raisonnement s’av`ere utile dans des contexte d’argumentation. Ainsi, l’apprentis- sage des math´ematiques et notamment la pratique des m´ethodes de raisonnement, permet de d´evelopper les capacit´es d’argumentation.

Introduisons d’abord la notion deproposition. Une proposition est un ´enonc´e dont on peut dire qu’il est soit vrai soit faux. Par exemple : “le ciel est bleu” o`u “1 = 2”. On peut ensuite d´eterminer la proposition inverse. Les propositions inverses des deux propositions pr´ec´edentes sont : “le ciel n’est pas bleu” et “16= 2. Pour une proposition P, on note P la proposition inverse.

Dire qu’une premi`ere proposition P1 en implique une seconde P2 signifie que si P1 est vrai, alors P2 est ´egalement vrai. Le raisonnement par implication est le type de raisonnement le plus classique. En partant de faits reconnus par tous, on d´eduit au fur et `a mesure de nouvelles propositions pour arriver `a la proposition qui vous int´eresse.

Le raisonnement par l’absurde consiste `a prouver qu’une proposition est vraie en montrant qu’elle ne peut ˆetre fausse. Consid´erant un certain nombre d’hypoth`ese reconnues et de donn´ees qui peuvent ˆetre consid´er´ee comme une proposition P0 consid´er´ee comme vraie. Pour montrer qu’une proposition P1 est vraie, on suppose d’abord qu’elle est fausse. Si `a partie de l`a, on parvient `a prouver que P0 ne peut ˆetre vraie (en partie), on aboutit `a une incoh´erence. Cela prouve que l’hypoth`ese “P1 fausse” est fausse, d’o`u “P1 vraie”.

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8 CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES

Si une implication P1 ⇒ P2 est r´eput´ee vraie, alors la contrapos´ee est ´egalement vraie, c’est-`a-dire P2 ⇒ P1. Par exemple, consid´erons la proposition P1 : “x > 1” et P2 : “x > 0”.

Les proposition inverses sont P1 : “x≤1” et P2 : “x ≤0”. Il est ´evident que P1 ⇒ P2. On en d´eduit quex≤0⇒x≤1. Ce r´esultat se d´emontre facilement par l’absurde. Consid´erons deux propositions P1 et P2 telles que P1⇒ P2. Consid´erons le cas o`u P2 fausse et montrons que P1 est n´ecessairement fausse. Raisonnons par l’absurde et supposons que P1 est vraie. Puisque P1

⇒ P2 alors P2 est vraie, ce qui contredit l’hypoth`ese de d´epart. Ainsi, P1 est n´ecessairement vraie.

Deux propositions P1 et P2 sont ´equivalentes si P1 ⇒ P2 et P2 ⇒ P1. On peut dire aussi P1 ⇒ P2 et P1 ⇒ P2. Le raisonnement par ´equivalence permet de d´eterminer des conditions n´ecessaires et suffisantes. Par exemple, on peut d´eterminer des conditions n´ecessaires et suff- isantes permettant de remplir un cahier des charges. Cela signifie que la cahier des charges est rempli, mais qu’en plus, on ne peut trouver de solution moins couteuse permettant de remplir le cahier des charges.

Exercice 1 (Logique et math´ematiques)

Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses ?

1. Une condition suffisante pour que x soit n´egatif est que x soit inf´erieur `a −1.

2. a≤0⇒a−1<0

3. Les propositions suivantes sont ´equivalentes : i. S’il fait chaud, alors je sors le transat.

ii. S’il fait froid, alors je ne sors pas le transat.

Exercice 2 (Logique)

1. Donnez la contrapos´ee de la proposition suivante : “Si la marge est sup´erieure `a 5 % alors les b´en´efices seront sup´erieurs `a 1000 Euros”.

1.3 Les grandeurs ´ electriques

Lorsqu’on parle de signal, on fait r´ef´erence aux variations d’une grandeur en fonction du temps t (unit´e la seconde, not´ee s). Les signaux ´electriques sont la tension, not´ee u(t) ou v(t) (unit´e le Volt, not´e V) et le courant not´e i(t) ou j(t) (unit´e l’Amp`ere, not´e A). On travaille

´egalement sur la puissancep(t) =u(t)×i(t) (unit´e le Watt, not´e W=VA). Afin de pr´esenter des d´efinitions pour tout type de signal, on utilisera le signalx(t) qui prendra la place de n’importe quel signal ´electrique.

La puissance p(t) est la d´eriv´ee de l’´energie ´electrique W_e(t) (en Joule, not´e J=Ws) re¸cue par le dipˆole :

p(t) = dWe(t)

dt (1.1)

Propri´et´e 1 (Conservation de l’´energie)

L’´energie absorb´ee par un sys-t`eme est ´egale `a la somme de l’´energie qu’il a dissip´e et de l’´energie qu’il a emmagasin´e.

La pluspart du temps, on travaillera sur des signaux p´eriodiques de p´eriodeT. D´efinition 1 (Signal p´eriodique)

Un signalx(t) est p´eriodique de p´eriode T six(t+T) =x(t) pour toutt. Sa fr´equence est alors f = _T¹ (en Hertz, not´e Hz).

1.3. LES GRANDEURS ´ELECTRIQUES 9

Propri´et´e 2 (Calcul de l’int´egrale)

L’int´egrale d’un signal p´eriodique de p´eriodeT sur un intervalle de largeur ´egale `aT est identique quelque soit l’intervalle choisi. On note R

Tx(t)dt cette int´egrale.

Pour un signalx(t) p´eriodique de p´eriodeT, on d´efinit lavaleur moyenneet lavaleur efficace.

D´efinition 2 (Valeur moyenne)

La valeur moyenne de x(t) est le signal constant qui a la mˆeme int´egrale sur une p´eriode. On notera < x > cette quantit´e.

Propri´et´e 3 (Calcul de la valeur moyenne)

< x >= 1 T

Z

T

x(t)dt (1.2)

D´efinition 3 (Valeur efficace)

La valeur efficace de x(t) est le signal constant dont le carr´e a la mˆeme valeur moyenne que x²(t). On notera X_{ef f} cette quantit´e.

Propri´et´e 4 (Calcul de la valeur efficace) X_{ef f} =p

< x²(t)> (1.3)

Remarque 1 (Valeur RMS = valeur efficace)

La valeur efficace est la racine carr´ee de la moyenne du carr´e du signal, ce qui se dit en anglais root mean square et donne les initiales RMS couramment utilis´ees.

Propri´et´e 5 (Valeur efficace nulle)

Un signal qui a une valeur efficace nulle est nul `a tout instant.

D´efinition 4 (R´egime continu)

Le r´egime continu est caract´eris´e par des valeurs moyennes non-nulles. Dans ce cas, c’est aux valeurs moyennes des signaux que l’on s’int´eresse.

D´efinition 5 (R´egime alternatif )

Le r´egime alternatif est caract´eris´e par des valeurs moyennes nulles. Dans ce cas, c’est aux valeurs efficaces que l’on s’int´eresse.

D´efinition 6 (Puissance moyenne)

On appelle puissance moyenne ou puissance active la valeur moyenne de la puissance :

P =< p(t)> . (1.4)

D´efinition 7 (Puissance apparente)

La puissance apparente S (unit´e VA) est d´efinie comme le produit des valeurs efficaces de la tension et du courant :

S =U_{ef f}I_{ef f} (1.5)

La puissance apparente est sup´erieure ou ´egale `a la puissance moyenne. Le facteur de puis- sance Fp caract´erise le rapport entre ces deux grandeurs :

F_P =P/S (1.6)

Avec les conventions ad´equates,F_pest positif et on a 0≤F_p≤1. Un facteur de puissance proche de 1 (0,9 par exemple) correspond `a une bonne utilisation de l’´electricit´e alors qu’un facteur de puissance nul o`u tr`es faible correspond `a de la tension et du courant avec pas ou peu d’´echange d’´energie.

10 CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES

Remarque 2

On ne s’int´eresse jamais `a la valeur efficace de la puissance. En effet, seule la puissance moyenne a un sens physique. D’ailleurs, pour connaˆıtre l’´energie transf´er´ee sur un intervale de temps par une ligne, il suffit de multiplier la puissance moyenne par la dur´ee de l’intervalle.

Propri´et´e 6 (La valeur moyennne est un op´erateur lin´eaire)

Cela signifie que la valeur moyenne de la somme de deux signaux est la somme de leurs valeurs moyennes et que la valeur moyenne d’un signal multiplit´e par une constante s’obtient en multi- pliant la valeur moyenne du signal par cette mˆeme valeur.

< x(t) +y(t)> = < x(t)>+< y(t)> (1.7)

< λx(t)> = λ < x(t)> (1.8) Propri´et´e 7 (La valeur efficace n’est pas un op´erateur lin´eaire)

Pour la valeur efficace, seule la seconde propri´et´e est valable. Si y(t) = λx(t), alors Y_{ef f} = λX_{ef f}.

Exercice 3 (Valeur moyenne et lin´earit´e) D´emontrez la Propri´et´e 6.

Exercice 4 (Valeur efficace et lin´earit´e)

D´emontrez la Propri´et´e 7. Trouvez un contre-exemple simple prouvant que la valeur efficace de la somme de deux signaux n’est pas, g´en´eralement, la somme des valeurs efficaces des signaux.

Exercice 5 (Valeur moyenne et efficace d’un cr´eneau)

On consid`ere le signal x(t) p´eriodique de p´eriode T ´egal `a E sur [0 ;αT[ et `a −E sur [αT; T[ avec 0< α <1. D´eterminez la valeur moyenne et la valeur efficace de ce signal.

Exercice 6 (Valeur moyenne d’une sinuso¨ıde redress´ee)

On consid`ere le signalx(t)p´eriodique de p´eriodeT /2´egal `aXcos(ωt)sur [−T /4;T /4]. D´etermi- nez sa valeur moyenne.

Exercice 7 (Valeur efficace d’une sinuso¨ıde) D´eterminez la valeur efficace de x(t) =Xcos(ωt).

Exercice 8 (Puissance en sinuso¨ıdal)

Un dipˆole a `a ses bornes la tension u(t) = Ucos(ωt) et est parcouru par le courant i(t) = Icos(ωt−φ). D´eterminez sa puissance moyenne.

1.4 Les dipˆ oles ´ electriques

1.4.1 Conventions

En convention r´ecepteur, la puissance calcul´ee est la puissance fournie par le circuit et ab- sorb´ee par le dipˆole. Elle est globalement positive pour une charge et n´egative pour un g´en´erateur.

En convention g´en´erateur, la puissance calcul´ee est la puissance fournie par le dipˆole au circuit.

Elle est globalement positive pour un g´en´erateur et n´egative pour une charge. Les conventions peuvent ˆetre choisies arbitrairement. Les lois de comportement des dipˆoles changent de signe suivant la convention choisie ; il est donc pr´ef´erable de choisir la convention appropri´ee (r´ecepteur pour une charge et g´en´erateur pour une source).

1.4. LES DIP ˆOLES ´ELECTRIQUES 11

1.4.2 R´esistance

Certains dipˆoles ´electriques ont la propri´et´e d’avoir un signal de courant proportionnel au signal de tension `a tout instant. On appelle r´esistance (not´e R, d’unit´e l’Ohm Ω=V/A) le coefficient de proportionnalit´e tel queu(t) =Ri(t) pour toutt. Notons qu’il s’agit d’une propri´et´e math´ematique qui, pour un syst`eme physique, ne correspondra qu’`a une approximation de la r´ealit´e, valable dans un certain domaine. Les dipˆoles couramment mod´elis´es par une r´esistance sont les rh´eostats (chauffage) et les lampes (du moins les ampoules `a filament). En convention r´ecepteur, la r´esistance est positive.

De mani`ere ´evidente, on montre que la loi de proportionnalit´e reste valable pour les valeurs moyennes et efficaces (< u >=R < i > etU_{ef f} =RI_{ef f}, cf. exercice 9).

La puissance s’´ecrit p(t) = u(t)i(t) = Ri²(t) = _R¹u²(t). La puissance moyenne s’´ecrit P = R < i²(t) >= RI_{ef f}² ou P = _R¹ < u²(t) >= _R¹U_{ef f}² . On comprend maintenant la notion de

“valeur efficace” : il s’agit de la valeur du courant (ou de la tension) qui, s’il traversait une r´esistance, produirait le mˆeme echauffement.

Un cˆable cylindrique de section uniforme S (en m²) et de longueur l (en m), compos´e d’un mat´eriau de conductivit´eσ (en Ω⁻¹m⁻¹) a comme r´esistance :

R= l

σS. (1.9)

On utilise ´egalement la r´esistivit´eρ= 1/σ(en Ωm). Les mat´eriaux les plus conducteurs sont le cuivre et l’aluminium ; leur conductivit´e est de l’ordre de 10⁸ Ω⁻¹m⁻¹.

Exercice 9 Montrez que < u >= R < i > et que U_{ef f} = RI_{ef f} pour des signaux p´eriodiques quelconques.

1.4.3 Inductance

Certains dˆıpoles ´electriques ont la propri´et´e d’avoir une tension proportionnelle `a la d´eriv´ee du courant. On appelle inductance (not´ee L, d’unit´e le Henry, H=Vs/A) ce coefficient de pro- portionnalit´e tel queu(t) =L<sup>di(t)</sup><sub>dt</sub> . Les bobinages ´electriques sont mod´elis´es en premi`ere approx- imation par une telle inductance¹. En convention r´ecepteur, l’inductance est positive.

La puissance instantan´ee s’´ecritp(t) =u(t)i(t) =L^di(t)_dt i(t). La quantit´e d’´energie transf´er´ee entre les instants t₀ ett est :

Z t t0

p(τ)dτ = Z t

t0

Ldi(τ)

dt i(τ)dτ (1.10)

= 1

2Li²(τ) τ=t

τ=t0

(1.11)

= 1

2Li²(t)−1

2Li²(t₀) (1.12)

En consid´erant qu’`at0 le courant est nul (i(t0) = 0) et que cela correspond `a un niveau d’´energie nul, on observe que l’´energie transmise est W_L(t) = ¹₂Li²(t). Cette ´energie n’est pas dissip´ee comme c’´etait le cas pour la r´esistance ; elle est stock´ee et peut ˆetre lib´er´ee par une diminution de i(t). Remarquons que le courant dans une inductance ne peut ˆetre discontinu (cela correspondrait

`

a une tension infinie) ; plac´e dans un circuit, une inductance `a donc tendance `a lisser le courant la traversant. En r´egime continu constant, l’inductance se comporte comme un court-circuit.

1.4.4 Capacit´e

La capacit´e est l’´el´ement dual de l’inductance : il suffit d’´echanger les rˆoles de la tension et du courant. Ainsi, la capacit´eC correspond `a une proportionnalit´e entre le courant et la d´eriv´ee

1. Ce mod`ele n’est pas valable en basse fr´equence et en r´egime continu o`u l’effet de la r´esistance du circuit est pr´epond´erant.

12 CHAPITRE 1. G ´EN ´ERALIT ´ES

de la tension :i(t) =C^du(t)_dt (unit´e : le Farad not´e F=As/V). Les condensateurs sont des dipˆoles dont le mod`ele classique est un condensateur. Tout comme l’inductance, la capacit´e stocke de l’´energie : WC(t) = <sup>1</sup><sub>2</sub>Cu<sup>2</sup>(t). La tension ne peut ˆetre discontinue aux bornes d’une capacit´e `a moins d’un courant infini ; plac´ee aux bornes d’un circuit, la capacit´e a donc tendance `a diminuer les variations de tension `a ses bornes. En convention r´ecepteur, la capacit´e est positive. En r´egime continu constant, la capacit´e se comporte comme un circuit ouvert.

1.4.5 Sources

On distingue des sources de tension et de courant. Une source de tension a la propri´et´e d’imposer la valeur de la tension `a ses bornes quelque soit le courant qui la parcourt ; une telle source ne peut ˆetre mise en court-circuit sous risque de destruction. Une source de courant a la propri´et´e d’imposer la valeur du courant la traversant, du moins tant que son circuit n’est pas ouvert. Les sources peuvent ˆetre continues (constante ou non), alternatives (sinuso¨ıdales ou non).

Exercice 10

Un condensateur de capacit´eC est travers´e par un courant p´eriodique de p´eriodeT et de rapport cycliqueα= 0,75´egal `a I sur [0 ;αT] et ´egal `a−I sur [αT; T]. Le condensateur a une tension nulle `at= 0. D´eterminez l’allure de la tension aux bornes du condensateur. Valeurs num´eriques : I = 10A, C = 1 mF et T = 10 µs.

Chapitre 2

Le r´ egime sinuso¨ıdal monophas´ e

2.1 D´ efinition

Le r´egime sinuso¨ıdal est un r´egime alternatif particulier o`u l’ensemble des tensions et courants ont une allure sinuso¨ıdale `a une pulsation uniqueω (en rad/s) :

u(t) = Umcos(ωt+α) (2.1)

i(t) = I_mcos(ωt+β) (2.2)

Une fois choisie une r´ef´erence des temps, chaque tension ou courant est d´etermin´e par deux grandeurs : son amplitude et son d´ephasage `a t= 0 (ou d´ephasage `a l’origine).

Les valeurs efficaces des signaux sont U = ^U√^m

2 et I = √^Im

2. L’indication “eff” n’est plus n´ecessaire ; seule la valeur efficace ´etant importante en r´egime alternatif. On notera par la suite les grandeurs :

u(t) = U√

2 cos(ωt+α) (2.3)

i(t) = I√

2 cos(ωt+β) (2.4)

La pulsation est li´ee `a la fr´equence f par la relation ω = 2πf. Les deux fr´equences des r´eseaux ´electriques sont le 50 Hz pr´esent notamment en Europe et le 60 Hz utilis´e en Am´erique du nord.

Un signal est en avance sur un autre si son d´ephasage `a l’origine est plus important ; l’onde correspondante est alors d´ecal´ee vers la gauche (vers les tn´egatifs).

2.2 Puissance

La puissance instantan´eep(t) =u(t)i(t) peut s’´ecrirep(t) =U Icos(α−β)+U Icos(2ωt+α+ β). La puissance instantan´ee est donc la somme de deux termes : un terme constant U Icos(φ) o`u φ=α−β est le d´ephasage de la tension par rapport au courant et un terme sinuso¨ıdal `a la pulsation 2ω.

La puissance moyenne est :

P =U Icos(φ) (2.5)

La puissance apparente est :

S =U I (2.6)

Le facteur de puissance est :

F_p = cos(φ) (2.7)

On d´efinit une nouvelle forme de puissance : la puissance r´eactive Q (unit´e var pour Vol- Amp`ere r´eactif) :

Q=U Isin(φ) (2.8)

13

14 CHAPITRE 2. LE R ´EGIME SINUSO¨IDAL MONOPHAS ´E

On montre simplement que :

S²=P²+Q². (2.9)

En travaillant dans un rep`ere o`u l’axe des abscisses est gradu´e en P et l’axe des ordonn´ees est gradu´e en Q, on met en ´evidence le triangle des puissance dont les sommets sont les points de coordonn´ees (0,0), (P,0) et (P,Q) o`uS est l’hypoth´enuse. Dans ce triangle, φest l’angle entre le cot´e confondu avec l’axe des abscisses et l’hypoth´enuse.

Propri´et´e 8 (Conservation de l’´energie active)

L’´energie active totale absorb´ee par un circuit est ´egale `a la somme des ´energies actives absorb´ees par ses diff´erents constituants.

En effet, du fait de la p´eriodicit´e, il n’y a pas de variation d’´energie stock´ee au bout d’une p´eriode.

Propri´et´e 9 (Conservation de l’´energie r´eactive)

L’´energie r´eactive totale absorb´ee par un circuit est ´egale `a la somme des ´energies r´eactives absorb´ees par ses diff´erents constituants. Ce r´esultat est connu sous le nom de Th´eor`eme de Boucherot.

Remarque 3 (Pas de conservation de la puissance apparente)

De mani`ere g´en´erale, la puissance apparente absorb´ee par un circuit n’est pas ´egale `a la somme des puissances apparentes absorb´ees par ses diff´erents composants.

2.3 Dipˆ oles en r´ egime sinuso¨ıdal

2.3.1 R´esistance

Pour une r´esistance R, la relation tension-courant implique : U√

2 cos(ωt+α) =RI√

2 cos(ωt+β) (2.10)

Or deux fonctions sinuso¨ıdales de mˆeme pulsation sont identiques si et seulement si leur ampli- tude et leur d´ephasage `a l’origine sont identiques. Ce ne peut ˆetre le cas que si :

U = RI (2.11)

α = β (2.12)

Le d´ephasage tension-courant est nul et on a : P = S = RI² = U²/R, Q = 0 et F_p = 1. La r´esistance consomme uniquement de l’´energie active.

2.3.2 Inductance

Pour une inductance L, la relation tension-courant s’´ecrit : U√

2 cos(ωt+α) =LωI√

2 cos(ωt+β+π

2) (2.13)

Ce qui donne comme relation :

U = LωI (2.14)

α = β+π

2 (2.15)

Le d´ephasage estφ= ^π₂ (la tension est en avance deπ/2 par rapport au courant) et on a :P = 0, Q=S=LωI²=U²/(Lω) etF_p= 0. L’inductance consomme uniquement de l’´energie r´eactive.

2.4. REL `EVEMENT DU FACTEUR DE PUISSANCE 15

2.3.3 Condensateur

Pour une capacit´eC, la relation tension-courant s’´ecrit : I√

2 cos(ωt+β) =CωU√

2 cos(ωt+α+π

2) (2.16)

Ce qui donne comme relation :

I = CωU (2.17)

β = α+π

2 (2.18)

Le d´ephasage est φ=−^π₂ (le courant est en avance de π/2 par rapport `a la tension) et on a : P = 0, Q=−S =−CωU² =I²/(Cω) et F_p = 0. L’inductance fournit uniquement de l’´energie r´eactive.

2.4 Rel` evement du facteur de puissance

La pluspart des ´equipements industriels sont de nature inductive et consomment de la puis- sance r´eactive, aboutissant parfois `a de mauvais facteurs de puissance. Ce facteur de puissance peut-ˆetre am´elior´e en ajoutant des condensateurs qui fournissent l’´energie r´eactive. Cela per- met d’abaisser le courant absorb´e par l’installation, diminuant ainsi les pertes et ´evitant un surdimensionnement de l’installation ´electrique.

Soit une installation sous une tensionU n´ecessitant pour son fonctionnement une puissance activeP. L’installation initiale a un facteur de puissanceF_p1et consomme une puissance r´eactive Q₁. Quelle puissance de condensateur faut-il fournir pour amener le facteur de puissance `a F_p2 < F_p1?

SoitQ_c l’´energie r´eactive que va fournir le condensateur etQ₂ l’´energie r´eactive consomm´ee par l’installation apr`es ajout du condensateur. Le th´eor`eme de Boucherot donne Q2 = Q1 − Q_c. En notant que Q₁ = Ptan(φ₁) et que Q₂ = Ptan(φ₂) (la puissance active n´ecessaire est inchang´ee), on obtient :

Qc =P(tanφ1−tanφ2) (2.19)

Exercice 11 (Rel`evement du facteur de puissance)

Une installation monophas´ee sous une tension de 400 V consomme une puissance de 5 kW avec un facteur de puissance de 0,5.

1. D´eterminez la valeur efficace du courant, la puissance apparente et la puissance r´eactive.

2. On envisage de mettre un condensateur en parall`ele sur l’entr´ee de l’installation pour amener le facteur de puissance `a 0,9. D´eterminez la puissance r´eactive et la capacit´e du condensateur.

Exercice 12 (Compensation du r´eactif d’une installation)

On cherche `a compenser la puissance r´eactive d’une installation de nature inductive dont la consommation varie au cours de la journ´ee. On a relev´e 4 r´egimes diff´erents :

a. P = 1 kW, F_p = 0,7 b. P = 2 kW, F_p = 0,95 c. P = 3 kW, F_p = 0,85 d. P = 2 kW, F_p = 0,7

On recherche la compensation fixe minimale permettant de garantir un facteur de puissance ´egal

` a 0,9.

1. D´eterminez laquelle des quatre situations a besoin de plus de compensation pour atteindre le facteur de puissance objectif.

2. D´eterminez la puissance r´eactive `a fournir.

3. Pour les trois autres situations, d´eterminez le facteur de puissance en pr´ecisant si l’instal- lation compens´ee est de nature inductive ou capacitive.

4. Placez sur un diagramme(P, Q) les situations avant et apr`es compensation.

16 CHAPITRE 2. LE R ´EGIME SINUSO¨IDAL MONOPHAS ´E

2.5 Notations de Fresnel

2.5.1 Introduction

En principe, la r´esolution d’un probl`eme d’´electricit´e en r´egime sinusoidal, c’est-`a-dire la d´etermination des tensions et des courants, peut se faire en ´ecrivant les solutions sous une forme sinuso¨ıdale, d’amplitude et de phase inconnue, en rempla¸cant ensuites les tensions et courants dans les ´equations par leurs expressions et en cherchant ensuite `a r´esoudre les ´equations (non- diff´erentielles) obtenues afin de d´eterminer les amplitudes et d´ephasages (cf. Exercice 46).

N´eanmoins, cette m´ethode est lourde en temps de calculs et n’est pas employ´ee en pratique, sauf ´eventuellement pour des circuits ´el´ementaires. En effet, les notations de Fresnels que nous allons introduire permettent de se transformer les ´equations diff´erentielles en ´equations simples grˆace aux variables imaginaires, permettant de simplifier grandement la r´esolution du probl`eme.

D´efinition 8 (Vecteur de Fresnel) Pour une grandeur sinuso¨ıdales x(t) = X√

2 cos(ωt+δ), le vecteur de Fresnel est le nombre imaginaire X=Xexp(jδ).

L’int´erˆet de cette notation r´eside dans le fait que la d´eriv´ee ^dx(t)_dt =Xω√

2 cos(ωt+δ+^π₂) a comme nombre complexe associ´e jωX¹. Il suffit donc de retenir que d´eriver (en temporel) revient `a multiplier par jω (en complexe).

2.5.2 Imp´edance complexe

Pour une r´esistance, la loi d’Ohm s’´ecrit : U = RI; pour l’inductance, la loi de comporte- ment est U = jLωI et pour le condensateur, c’est I = jCωU. Les relations diff´erentielles de l’inductance et du courant sont transform´ees en lois d’Ohm g´en´eralis´ees de la formeU =ZI ou I =Y U o`uZ etY sont respectivement l’imp´edance complexe et l’admittance complexe.

Les lois d’association s´erie et parall`ele s’appliquent aux imp´edances complexes. Ainsi, l’imp´edance complexe ´equivalente correspondant `a deux dipˆoles mis en s´erie est la somme des imp´edances complexes des dipˆoles. L’admittance complexe ´equivalente correspondant `a deux dipˆoles mis en parall`eles est la somme des complexes complexes des dipˆoles.

2.5.3 Puissance complexe D´efinition

On d´efinit la puissance complexe S par :

S =U I^∗ (2.20)

o`u I<sup>∗</sup> repr´esente le conjugu´e de I, c’est-`a-dire le nombre imaginaire de mˆeme module et d’ar- gument oppos´e. Dans le cas o`u U = Uexp(jα) et I = Iexp(jβ), on a S = U Iexpjφ avec φ=α−β. Ainsi, on obtient les relations suivantes :

S = |S| (2.21)

P = e(S) (2.22)

Q = Im(S) (2.23)

φ = arg(S) (2.24)

S = P +jQ (2.25)

S = Sexp(jφ) (2.26)

Propri´et´e 10 (Conservation de la puissance complexe)

La puissance complexe absorb´ee par un syst`eme est la somme des puissances absorb´ees par ses diff´erents constituants.

1. En effet, exp(j(δ+^π₂)) = exp(j^π₂) exp(δ) =jexp(δ).

2.5. NOTATIONS DE FRESNEL 17

Cette propori´et´e d´ecoule de la conservation des puissances actives et r´eactives.

Puissance et imp´edance

Pour une imp´edanceZ (U =ZI), la puissance complexe s’´ecrit² :

S=ZII^∗ =ZI² (2.27)

ce qui donne :

S = |Z|I²=ZI² (2.28)

P = Re(Z)I² (2.29)

Q = Im(Z)I² (2.30)

φ = arg(Z) (2.31)

(2.32) Pour une admittanceY (I =Y U), la puissance complexe s’´ecrit :

S =Y^∗U U^∗ =Y^∗U² (2.33)

ce qui donne :

S = |Y|U²=Y U² (2.34)

P = Re(Y)U² (2.35)

Q = −Im(Y)U² (2.36)

φ = −arg(Y) (2.37)

(2.38) Exercice 13 (Mod`ele d’une charge)

Une charge monophas´ee sous tension sinuso¨ıdale de 400 V `a 50 Hz consomme 4 kW pour un courant sinuso¨ıdal de 13 A de valeur efficace.

1. On suppose que la charge est inductive ; d´eterminez les valeurs de la r´esistance et de l’inductance du mod`ele RL s´erie.

2. On suppose que la charge est capacitive ; d´eterminez les valeurs de la r´esistance et de la capacit´e du mod`ele RC parall`ele.

Exercice 14 (Charge RL)

Soit le sch´ema de la figure 2.1 o`u une source de tension u(t) alimente un circuit RL s´erie.

i(t)

u(t)

R

L

Figure2.1 – Circuit RL aliment´e en tension

1. Dans le cas du r´egime permanent sinuso¨ıdal (50 ou 60 Hz), ´ecrivez la relation liant les vecteurs de Fresnel U et I repr´esentant respectivement la tension u(t) et le courant i(t).

2. En se rappelant quezz^∗=|z|².

18 CHAPITRE 2. LE R ´EGIME SINUSO¨IDAL MONOPHAS ´E

2. D´eterminez le d´ephasage tension/courant, le facteur de puissance et la puissance active en fonction deU (valeur efficace de la tension), R etL.

3. D´eterminez la capacit´e C du condensateur `a placer en parall`ele sur la source de tension u(t) permettant d’amener le facteur de puissance de la source `a 1.

Exercice 15 (Installation ´electrique)

Une installation ´electrique monophas´ee aliment´ee en 230 V 50 Hz comprend deux charges : – La charge n˚1 consomme 1 kW et a un facteur de puissance de 0,9.

– La charge n˚2 consomme 2 kW et a une puissance apparente de 3 kVA.

D´eterminez au niveau de l’alimentation : les puissances consomm´ees (active, r´eactive, apparente) et le facteur de puissance.

Chapitre 3

Lois des r´ eseaux ´ electriques

Un r´eseau ´electrique se compose d’un certain nombre de sources et de charges. Les lois pr´esent´ee dans cette partie permettent d’en d´eduire le courant et la tension `a diff´erents points.

3.1 Lois de Kirchhoff

3.1.1 Loi des nœuds

La premi`ere loi de Kirchhoff s’´enonce ainsi : la somme des courants se dirigeant vers un nœuds du circuit est nulle `a tout instant.

Cette loi permet directement d’´etudier la mise en parall`ele de dipˆoles de mˆeme nature. Soit un dipˆole compos´e dendipˆoles de mˆeme nature (r´esistance, inductance ou condensateur) plac´es en parall`ele. Soiti(t) etu(t) les grandeurs relatives au dipˆole complet, en convention r´ecepteur.

Soit i_k,k= 1...nle courant traversant chacun des ndipˆoles, ´egalement en convention r´ecepteur par rapport `a la tensionu(t). La loi de nœuds donne la relation :

i(t) =

n

X

k=1

i_k(t), ∀t (3.1)

Consid´erons le cas o`u les dipˆoles sont des r´esistances de valeur R_k, k = 1...n. Alors, on a u(t) =Rkik(t). La loi des nœuds donne :

i(t) =

n

X

k=1

i_k(t) (3.2)

=

n

X

k=1

u(t)

R_k (3.3)

=

n

X

k=1

1 R_k

!

u(t) (3.4)

= 1

Req

u(t) (3.5)

Ainsi, le dipˆole r´esultant est une r´esistance Req telle que : 1

R_eq =

n

X

k=1

1

R_k (3.6)

Consid´erons le cas o`u les dipˆoles sont des inductances de valeurL_k. Alors, on au(t) =L_k^dik_dt^(t) 19

20 CHAPITRE 3. LOIS DES R ´ESEAUX ´ELECTRIQUES

pour chaque dipˆole. La loi des nœuds donne : i(t) =

n

X

k=1

i_k(t) (3.7)

di(t)

dt =

n

X

k=1

di_k(t)

dt (3.8)

di(t)

dt =

n

X

k=1

1 Lk

u(t) (3.9)

L_eqdi(t)

dt = u(t) (3.10)

avec

1 L_eq =

n

X

k=1

1

L_k (3.11)

Ainsi, le dipˆole r´esultant est une inductance de valeur L_eq.

Consid´erons le cas o`u les dipˆoles sont des capacit´es de valeurC_k. Alors, on ai_k(t) =C_k^du(t)_dt pour chaque dipˆole. La loi des nœuds donne :

i(t) =

n

X

k=1

i_k(t) (3.12)

=

n

X

k=1

C_kdu(t)

dt (3.13)

= C_eqdu(t)

dt (3.14)

avec

Ceq=

n

X

k=1

C_k (3.15)

Ainsi, le dipˆole r´esultant est une capacit´e de valeurC_eq.

En parall`ele les capacit´es d’ajoutent alors que ce sont les inverses des r´esistances et les inductances qui s’ajoutent. En r´egime sinuso¨ıdal, la loi des nœuds s’applique aux vecteurs de Fresnel et s’´ecrit alors :

I =

n

X

k=1

I_k. (3.16)

Exercice 16 (Loi de comportement d’un g´en´erateur de Norton)

On mod´elise un r´eseau comme ´etant un dipˆole compos´e d’une source de courant sinuso¨ıdaleJ et d’une admittanceY plac´es en parall`ele. On note U et I respectivement la tension et le courant du dipˆole, en convention g´en´erateur,I ´etant choisi dans le mˆeme sens queJ.

1. A partir de la loi des mailles, d´eterminez la loi de comportement du dipˆole (c’est-`a-dire la relation entre son courant et sa tension). On donne J =J et Y =Y exp(−j^π₂).

2. D´eterminez l’expression g´en´erale de la valeur efficace de la tension U aux bornes de la charge en fonction de la valeur efficace du courant I lorsque le circuit est charg´e par une r´esistance R_ch.

3. On a relev´e un courant de court-circuit de 1000 A et une tension `a vide de 230 V.

D´eterminez les valeurs num´eriques deJ etY.

4. Repr´esentez graphiquementU en fonction de I. Vous pourrez vous appuyer sur les valeurs obtenues pour R_ch = 0, R_ch=∞ et R_ch= 1/Y.

3.1. LOIS DE KIRCHHOFF 21

3.1.2 Loi des mailles

Laseconde loi de Kirchhoffs’´enonce ainsi : la somme des diff´erences de potentiels obtenus le long d’une maille ferm´ee du circuit est nulle.

La loi des mailles permet d’´etudier la mise en s´erie de dipˆoles de mˆeme nature. Soit un dipˆole compos´e den dipˆoles de mˆeme nature plac´es en s´erie, tous parcourus par le couranti(t) et chacun d’entre eux ayant la tension uk(t) `a ses bornes avec la convention r´ecepteur. Soitu(t) la tension aux bornes du dipˆole r´esultant, toujours avec les mˆemes conventions. La loi des mailles donne la relation :

u(t) =

n

X

k=1

u_k(t), ∀t (3.17)

Pour des r´esistances, cette relation s’´ecrit u(t) = P_n

k=1R_ki, soit u(t) = R_eqi avec R_eq = Pn

k=1R_k. Pour une inductance, la relation devientu(t) =Pn

k=1L_k^di(t)_dt , soitu(t) =L_eq^di(t)_dt avec Leq =Pn

k=1Lk. Pour un condensateur, en d´erivant la relation, on obtient ^du(t)_dt =Pn k=1 1

Cki(t), soitC_eq^du(t)_dt =i(t) avec _C¹

eq =P_n

k=1 1

Ck. Ainsi, en s´erie, ce sont les r´esistances et les inductances qui s’ajoutent alors que ce sont les inverses des capacit´es qui s’ajoutent. En r´egime sinuso¨ıdal, la loi des mailles s’applique aux vecteurs de Fresnel et s’´ecrit alors :

U =

n

X

k=1

U_k. (3.18)

Exercice 17 (Loi de comportement d’un g´en´erateur de Th´evenin)

On mod´elise un r´eseau par un dipˆole compos´e d’une source de tension sinuso¨ıdale E et d’une imp´edance Z plac´es en s´erie. On note U et I respectivement la tension et le courant du dipˆole, en convention g´en´erateur, U ´etant choisi dans le mˆeme sens que E.

1. A partir de la loi des mailles, d´eterminez la loi de comportement du dipˆole. On donne E =E et Z =Zexp(j^π₂).

2. D´eterminez l’expression de la valeur efficace de la tension U en fonction de la valeur efficace du courant I lorsque le circuit est charg´e par une r´esistance R_ch.

3. On a relev´e un courant de court-circuit de 1000 A et une tension `a vide de 230 V.

D´eterminez les valeurs num´eriques de E et Z.

4. Repr´esentez graphiquementU en fonction de I. Vous pourrez vous appuyer sur les valeurs obtenues pour R_ch= 0, R_ch=∞ et R_ch=Z.

3.1.3 Th´eor`eme de Millmann

Consid´erons un circuit en ´etoile en r´egime sinuso¨ıdal compos´e denadmittancesY_k,k= 1...n, chacune ´etant reli´ee par une borne au nœuds de diff´erence de potentiel V₀ par rapport `a une r´ef´erence et l’autre borne ´etant au potentielVk, reli´ee `a un autre circuit. On noteI_kles courants dans chaque branche, not´es positivement dans le sens entrant. La loi des nœuds permet d’´ecrire :

n

X

k=1

I_k= 0. (3.19)

La loi d’Ohm g´en´eralis´ee et la loi des mailles donnent : V_k−V₀= I_k

Y_k. (3.20)

En rempla¸cant dans (3.19), on obtient :

n

X

k=1

Y_k(V_k−V₀) = 0. (3.21)

22 CHAPITRE 3. LOIS DES R ´ESEAUX ´ELECTRIQUES

Ce qui donne le th´eor`eme de Millmann : V₀ =

P_n

k=1Y_kV_k Pn

k=1Y_k (3.22)

Exercice 18 (Application du th´eor`eme de Millmann)

On consid`ere un circuit en ´etoile constitu´e comme suit : le nœud est num´erot´e 0 et a comme tension V<sub>0</sub> par rapport `a r´ef´erence ; la branche n˚1 est compos´ee d’une inductance de valeur L qui est connect´ee `a une extr´emit´e `a la tensionV₁; la branche n˚2 est compos´ee d’une capacit´eC et est connect´ee `a la tension V₂; la branche n˚3 est compos´ee d’une r´esistance dont une borne est au potentiel de r´ef´erence.

1. D´eterminez V₀, la tension du nœud, en fonction de V₁, V₂,R, L et C.

3.2 Sources ´ equivalentes

Soit un dipˆole constitu´e d’un certain nombre de sources de tension et de courant sinuso¨ıdales, de r´esistances, d’inductance et de condensateurs. Il s’agit d’un r´eseau lin´eaire puisque la relation entre le courant entrant et la tension `a ses bornes est lin´eaire<sup>1</sup>. Ce dipˆole peut alors se mod´eliser par un dipˆole plus simple de deux mani`eres diff´erentes.

3.2.1 Mod`ele de Thevenin

Il s’agit d’un mod`ele compos´e d’une force-´electromotrice (une source de tension)E et d’une imp´edanceZ<sub>T</sub>. La femEest d´etermin´ee par le calcul de la tension `a vide du circuit. L’inp´edance Z_T est l’imp´edance ´equivalente du circuit o`u toutes les sources de tension sont cour-circuit´ees et toutes les sources de courant sont ouvertes.

3.2.2 Mod`ele de Norton

Il s’agit d’un mod`ele compos´e d’une source de courantJ et d’une admittanceY<sub>T</sub>. Le courant J de la source est le courant de court-circuit. L’admittanceY<sub>T</sub> est l’admittance ´equivalente du courcuit o`u chaque source de courant est remplac´ee par un circuit ouvert et chaque source de tension est remplac´ee par un court-circuit.

3.3 Th´ eor` eme de superposition

Lorsque tout les ´el´ements d’un circuit sont lin´eaires (c’est le cas de l’ensemble des ´elements qui ont ´et´e abord´es jusqu’ici), le th´eor`eme de superposition indique que la valeur d’un courant ou d’une tension en un point quelconque du circuit est la somme des valeurs obtenues si une seule source ´etait alum´ee.

On en d´eduit la m´ethode d’´etude suivante : on ´ecrit autant de sh´emas que de source ; chacun de ces sh´emas correspondant `a une seule source, les autres sources ´etant ´eteintes (les sources de tension sont mises `a z´ero, c’est-`a-dire remplac´ees par un court-circuit ; les cources de courant sont mises `a z´ero, c’est-`a-dire remplac´ees par un circuit ouvert). On r´esoud ensuite chacun des sh´emas. Le r´esultat final est la somme des r´esultats obtenus `a partir des diff´erents sh´emas.

Bien que le nombre de sh´emas `a ´etudier augmente, chacun d’entre eux est g´en´eralement beaucoup plus simple que le sh´ema de d´epart. Ainsi, cette m´ethode permet une r´eelle diminution du temps d’´etude d’un sch´ema.

Exercice 19 (Etude d’un r´eseau)

Repr´esentez un r´eseau ´electrique sinuso¨ıdal (pulsationω), compos´e d’une source de tensionE= E, d’une source de courant J = Jexp(j^π₂), d’une r´esistance R, d’une inductance L et d’une capacit´eC. Vous pourrez vous inspirer du circuit donn´e sur la figure 3.1.

1. De mani`ere plus rigoureuse, cette relation est affine.

3.4. R ´ESOLUTION MATRICIELLE 23

R

C J

E

L

Figure 3.1 – Exemple de circuit ´electrique

1. En utilisant le th´eor`eme de superposition, d´eterminez les tensions et les courants relatifs

`

a chaque dipˆole.

2. Choisissez 2 points (not´es A et B) du circuit qui ne sont pas au mˆeme potentiel ´electrique.

D´eterminez le g´en´erateur de Th´evenin ´equivalent.

3. D´eterminez le g´en´erateur de Norton ´equivalent du mˆeme dipˆole.

4. D´eduisez-en la tension et le courant relatifs `a une charge R_ch qui est ajout´ee au circuit entre les bornes A et B.

3.4 R´ esolution matricielle

La r´esolution d’un circuit, c’est-`a-dire la d´etermination des courants et de tension inconnus, passe souvent par la r´esolution d’un syst`eme d’´equations lin´eaires. Les outils num´eriques (feuilles de calcul o`u logiciels de calcul num´eriques) sont d’une aide pr´ecieuse pour la r´esolution de tels syst`emes. Nous introduisons dans les paragraphes qui suivent la r´esolution d’un syst`eme d’´equations lin´eaires par la m´ethode matricielle, puis un exemple illustratif dans le domaine

´electrique.

3.4.1 Vecteurs et matrices G´en´eralit´es

Lorsque l’on souhaite manipuler plusieurs inconnues en mˆeme temps, il est pratique de recourir `a la notation vectorielle. Par exemple, consid´eronsn inconnues x_k,k= 1...n. On note alors :

X =





 x1

... xn







L’ensemble des vecteurs r´eels `a ncomposantes est not´eRⁿ.

Une fonction lin´eaire qui transforme un vecteurx de Rⁿ en un vecteur Y de R^p s’´ecrit : y₁ = a₁₁x₁+...+a_1nx_n

... ... ... (3.23)

y_p = a_p1x₁+...+a_pnx_n Cette application est d´efinie par la matrice

A=







a₁₁ ... a_1n ... ... ... a_p1 ... a_pn







24 CHAPITRE 3. LOIS DES R ´ESEAUX ´ELECTRIQUES

Cette matrice est de dimentionp×n. On dit qu’elle appartient `aR<sup>p×n</sup>. L’´equation (3.23) s’´ecrit de mani`ere compact´ee

Y =A X On a :

y_i =

p

X

j=1

a_ijb_j

La matrice identit´e est la matrice qui transforme un vecteur en un vecteur identique. On note In la matrice identit´e d’ordre n. C’est une matrice avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.

Produit d’une matrice par un scalaire

Soit un scalaire (r´eel)λet une matriceA. AlorsλAest une matrice dont les coefficients sont obtenus en multipliant ceux deA parλ.

Produit matriciel

Soit une matrice C de dimention p ×m et de coefficients cij. Par cette application, on transformeY en Z =C Y. AvecY =A X, on aZ =C A X. En notantD=C A, on ´ecrit Z = D X o`u les ´el´ementsd<sub>ij</sub> de Dse calculent de la mani`ere suivante :

d_ij =

p

X

k=1

a_ikb_kj

Inversion d’une matrice

La fonction qui `aX associe Y =A X est inversible si, pour toutY de R<sup>p</sup>, il existe unX de R<sup>n</sup>v´erifiantY =A X. Alors, la matrice associ´ee `a l’application inverse est not´eeA⁻¹. Seules les matrices carr´ees sont inversibles. On a alors :

A A⁻¹=A⁻¹A=In

Une matrice est inversible si et seulement si son d´eterminant est non nul.

Pour une matrice de taille 2×2

A= a b

c d

on retiendra que son d´eterminant est det(A) =ad−bc. S’il est non nul, on a : A⁻¹= 1

det(A)

d −b

−c a

3.4.2 R´esolution d’un syst`eme d’´equations lin´eaires

Soit un syst`eme de n´equations `a ninconnues qui s’´ecrit sous la forme :

a₁₁x₁+...+a_1nx_n = b₁ (3.24)

... ... ... (3.25)

an1x1+...+annxn = bn (3.26)

o`u les x<sub>k</sub>,k = 1...n sont les inconnues ; lesa<sub>k</sub> etb<sub>k</sub> sont des donn´ees du probl`eme. Ce syst`eme se r´e´ecrit sous forme matricielle :







a₁₁ ... a_1n ... ... ... a_n1 ... a_nn











 x₁

... x_n





=





 b₁

... b_n





 (3.27)

3.4. R ´ESOLUTION MATRICIELLE 25

que nous pouvons r´e´ecrire sous forme simplifi´ee :

AX =B (3.28)

o`u

A=







a11 ... a1n

... ... ... an1 ... ann





, X =





 x1

... xn





 et B =





 b1

... bn





 (3.29)

Le syst`eme a une solution unique si et seulement si la matrice A est inversible. Soit A<sup>−1</sup> l’inverse de A, c’est-`a-dire une matrice telle que A⁻¹AX = X et supposons que cette matrice soit calcul´ee par un logiciel. Alors, en multipliant `a gauche l’´equation matricielle par A<sup>−1</sup>, on obtient la solution du probl`eme :

X =A⁻¹B (3.30)

On en d´eduit une m´ethode g´en´erale d’´etude des circuits ´electriques suivante : 1. ´Ecrire les ´equations du circuit

2. Mettre ces ´equations sous la forme matricielle (3.28), c’est-`a-dire d´eterminer la matriceA et le vecteur B

3. Calculer A⁻¹ l’inverse de A

4. D´eterminer le vecteur des inconnuesX =A⁻¹B

Exercice 20 (´Etude d’une installation avec double alimentation) Une installation monophas´ee est aliment´ee par 2 sources distinctes :

– Le r´eseau principal fournit une tension sinuso¨ıdale `a vide de 225 V. La phase de ce r´eseau sera prise comme r´ef´erence dans la suite. Son courant de court-circuit est de 230 A ; son imp´edance est suppos´ee purement inductive.

– Une source d’´energie ´electrique de tension `a vide 230 V en d´ephasage arri`ere de π/6 par rapport au r´eseau principal. Son courant de court-circuit est de 460 A ; son imp´edance est suppos´ee purement inductive.

La charge est lin´eaire et sera mod´elis´ee par une imp´edance constante. On a relev´e les car- act´eristiques nominales suivantes : 230 V, 2 kW, cosphi = 0,8.

1. D´eterminez l’imp´edanceZ de la charge.

2. D´eterminez les imp´edances Z₁ et Z₂ des deux r´eseaux.

3. D´eterminez les grandeurs vectoriellesE₁ etE₂ repr´esentatives des deux sources de tension.

4. Faites un sch´ema du circuit faisant apparaitre les diff´erentes grandeurs. On notera I₁ le courant fournit par le r´eseau principal, I₂ le courant fournit par le r´eseau secondaire et I le courant absorb´e par la charge.

5. A partir des ´equations de Kirschhoff, ´ecrivez les trois ´equations liant les courants.

6. Mettez ces ´equations sous forme matricielleAX =B avec : X=



 I₁

I I₂





D´eterminez la matrice A et le vecteur B.

7. D´eterminez les trois courants par la r´esolution du syst`eme

8. Calculez les puissances actives fournies `a la charge par chacunes des alimentations et la puissance active absorb´ee par la charge. D´eterminez les trois facteurs de puissance corre- spondants.

26 CHAPITRE 3. LOIS DES R ´ESEAUX ´ELECTRIQUES

Chapitre 4

Le r´ egime sinuso¨ıdal triphas´ e

4.1 Introduction

L’´electricit´e est produite et transport´ee sous forme triphas´ee ; c’est-`a-dire que trois cˆables se partagent la puissance. Parfois, un quatri`eme cˆable est utilis´e pour transmettre le potentiel du neutre ; on parle alors de triphas´e 4 fils. Dans ce chapitre, on se limite `a l’´etude du cas triphas´e sinuso¨ıdal ´equilibr´e. Dans le r´egime sinuso¨ıdal, les grandeurs triphas´ees sont de la forme :

xa(t) = Xa

√2 cos(ωt+αa) x_b(t) = X_b√

2 cos(ωt+α_b) x_c(t) = X_c√

2 cos(ωt+α_c) (4.1)

Pour le r´egime sinuso¨ıdal ´equilibr´e, les amplitudes des trois phases sont identiques et les phases r´eguli`erement espac´ees de ^2π₃ . Ainsi, les tensions sont de la forme :

va(t) = V√

2 cos(ωt+αa) (4.2)

v_b(t) = V√

2 cos(ωt+α_a−2π

3 ) (4.3)

v_c(t) = V√

2 cos(ωt+α_a−4π

3 ) (4.4)

et les courants :

ia(t) = I√

2 cos(ωt+αa−φ) (4.5)

i_b(t) = I√

2 cos(ωt+α_a−φ−2π

3 ) (4.6)

i_c(t) = I√

2 cos(ωt+α_a−φ−4π

3 ) (4.7)

o`u φ<sub>k</sub> est le d´ephasage arri`ere du courant par rapport `a la tension.

Les grandeurs de Fresnel correspondantes sont alors :

V_a = V exp(jα_a) (4.8)

V_b = V exp(j(αa−2π

3 )) (4.9)

V_c = V exp(j(α_a−4π

3 )) (4.10)

et :

I_a(t) = Iexp(j(αa−φ)) (4.11)

I_b(t) = Iexp(j(α_a−φ−2π

3 )) (4.12)

I_c(t) = Iexp(j(α_a−φ−4π

3 )) (4.13)

27

28 CHAPITRE 4. LE R ´EGIME SINUSO¨IDAL TRIPHAS ´E

Les vecteurs repr´esentatifs de la tension (respectivement du courant) forment un triangle ´equilat´eral.

On parle de triangle des tensions (respectivement des courants).

En r´egime ´equilibr´e, les sources et les charges sont ´equilibr´ees (pour les charges, cela sig- nifie qu’elles ont les mˆemes imp´edances). Un d´es´equilibre peut ˆetre du `a la source (on parle d’alimentation d´es´equilibr´e) o`u `a la charge (on parle de charge d´es´equilibr´ee).

4.2 Couplage en ´ etoile

Soient trois sources monophas´ees de tensions : v_a(t) = V√

2 cos(ωt) (4.14)

v_b(t) = V√

2 cos(ωt−2π

3 ) (4.15)

v_c(t) = V√

2 cos(ωt−4π

3 ) (4.16)

et de courants :

i_a(t) = I√

2 cos(ωt−φ) (4.17)

i_b(t) = I√

2 cos(ωt−φ−2π

3 ) (4.18)

i_c(t) = I√

2 cos(ωt−φ−4π

3 ) (4.19)

avec des conventions g´en´erateur.

Consid´erons que ces trois sources sont coupl´ees en ´etoile ; c’est-`a-dire que les trois bornes de r´ef´erence (bases de la fl`eche de tension) sont reli´ees entre elles et forment le neutre. Les trois autres bornes sont utilis´ees pour r´ealiser une alimentation triphas´ee. Les tensions du r´eseau se mesurent entre deux des trois cˆables :

u_ab(t) = va(t)−v_b(t) (4.20)

u_bc(t) = v_b(t)−v_c(t) (4.21)

u_ca(t) = v_c(t)−v_a(t) (4.22)

on parle de tensions compos´ees. En s’appuyant sur la repr´esentation vectorielle (4.10), on peut calculer :

U_ab = Uexp(jπ

6) (4.23)

U_bc = Uexp(−jπ

2) (4.24)

U_ca = Uexp(j5π

6 ) (4.25)

avec :

U =√

3V (4.26)

Cette relation indique que les tensions simples sont dans un rapport√

3 par rapport aux tensions simples.

Exercice 21 (Triangle des tensions)

Repr´esentez le triangle des tensions simplesV_a,V_b etV_c. En vous appuyant sur ce trac´e, tracez le triangle des tensions compos´ees U_ab, U_bc et U_ca. Retrouvez g´eom´etriquement les nombres compexes leur correspondant.

4.3. COUPLAGE EN TRIANGLE 29

Les courants de ligne sont ´egaux aux courants des g´en´erateurs. La puissance transmise par la ligne est la somme des puissances transmises par chacune des trois g´en´eraleurs, soit :

p(t) = p_a(t) +p_b(t) +p_c(t) (4.27)

= 2V I(cos(ωt) cos(ωt−φ) (4.28)

+ cos(ωt−2π

3 ) cos(ωt−φ−2π

3 ) (4.29)

+ cos(ωt−4π

3 ) cos(ωt−φ−4π 3 )

(4.30)

= V I

3 cos(φ) + cos(2ωt−φ) + cos(2ωt−φ− 4π

3 ) (4.31)

+ cos(2ωt−φ−8π 3 )

(4.32)

= V I

3 cos(φ) + cos(2ωt−φ) + cos(2ωt−φ+ 2π

3 ) (4.33)

+ cos(2ωt−φ−2π 3 )

(4.34)

= 3V Icos(φ) (4.35)

= √

3U Icos(φ) (4.36)

Remarquons que la puissance instantan´ee est constante et non puls´ee contrairement au cas monophas´e ; elle est donc ´egale `a sa puissance moyenneP =√

3U Icos(φ).

La puissance r´eactive estQ=√

3U Isin(φ) ; la puissance apparente estS=√

3U I. Le facteur de puissance est, lui, inchang´e : Fp = cos(φ). Notez bien que le d´ephasage φ intervenant dans les formules correspond au d´ephasage entre la tension simple et le courant relatifs `a une mˆeme phase.

4.3 Couplage en triangle

Soient trois sources monophas´ees de tensions : e_a(t) = E√

2 cos(ωt) (4.37)

e_b(t) = E√

2 cos(ωt− 2π

3 ) (4.38)

ec(t) = E√

2 cos(ωt− 4π

3 ) (4.39)

et de courants :

j_a(t) = J√

2 cos(ωt−φ) (4.40)

j_b(t) = J√

2 cos(ωt−φ−2π

3 ) (4.41)

j_c(t) = J√

2 cos(ωt−φ−4π

3 ) (4.42)

avec des conventions g´en´erateur. Les trois dipˆoles ont comme bornes respectivement (a, a^′), (b, b^′) et (c, c^′) et sont orient´es de sorte que ea(t) = Va(t)−V_a^′(t), e_b(t) = V_b(t)−V_b^′(t) et e_c(t) = V_c(t)−V_c′(t). On associe ces dipˆoles en triangle de sorte que les pˆoles soient connect´es par paires : a^′ avec b, b^′ avec c etc^′ avec a. Des bornes a,b etc sont tir´es trois cˆables formant une ligne triphas´ee.

Dans ce cas, les tension compos´ees sont identiques aux tensions des g´en´erateurs :

uab(t) = ea(t) (4.43)

u_bc(t) = e_b(t) (4.44)

u_ca(t) = e_c(t) (4.45)

30 CHAPITRE 4. LE R ´EGIME SINUSO¨IDAL TRIPHAS ´E

Pour d´eterminer les courants de ligne, il faut ´ecrire une loi de nœud :

i_a(t) = j_a(t)−j_c(t) (4.46)

i_b(t) = j_b(t)−j_a(t) (4.47)

i_c(t) = j_c(t)−j_b(t) (4.48)

(4.49) En ´ecrivant le triangle des courants associ´es correspondant aux vecteurs de courant :

J_a = Jexp(−jφ) (4.50)

J_b = Jexp(j(−φ−2π

3 )) (4.51)

J_c = Jexp(j(−φ−4π

3 )) (4.52)

on peut calculer les courants de ligne :

I_a = Iexp(j(−φ+π

6)) (4.53)

I_b = Iexp(j(−φ−π

2)) (4.54)

I_c = Iexp(j(−φ+5π

6 )) (4.55)

avec :

I =√

3J (4.56)

Les courants de ligne forment un syst`eme triphas´e ´equilibr´e d’amplitudeI =√ 3J.

La puissance transmise est la somme des puissances transmises par chacun des trois dipˆoles et s’´ecrit :

p(t) = pa(t) +p_b(t) +pc(t) (4.57)

= 2EJ(cos(ωt) cos(ωt−φ) (4.58)

+ cos(ωt− 2π

3 ) cos(ωt−φ−2π

3 ) (4.59)

+ cos(ωt− 4π

3 ) cos(ωt−φ−4π

3 ) (4.60)

= 3EJcos(φ) (4.61)

= √

3U Icos(φ) (4.62)

Ce qui donne les mˆemes formules de puissances que dans le cas du couplage ´etoile. Le d´ephasage φpeut ˆetre interpr´et´e comme le d´ephasage relatif au dipˆole composant la source (ou la charge) ou comme le d´ephasage entre un courant et une tension simple de la ligne triphas´ee.

4.4 Equivalence triangle/´ etoile

Soit une charge triphas´ee d’imp´edance Z_Y coupl´ee en ´etoile. Chaque dipˆole consomme la puissance complexe Z_YI² o`u I est la valeur efficace du courant de ligne ; la charge consomme doncS_Y = 3Z_YI².

Imaginons maintenant une seconde charge triphas´ee, cette fois coupl´ee en triangle d’imp´edance Z_∆. Chaque dipˆole consomme la puissance complexeZ_∆J² o`uJ est le courant dans un dipˆole.

La charge consomme donc la puissance complexeS_∆= 3Z_∆J² =Z_∆I².

Les charges sont identiques du point de vue de la ligne si elles absorbent la mˆeme puissance complexe, ce qui est le cas si :

Z_∆= 3Z_Y (4.63)

Par ce moyen, on peut toujours se ramener `a un sch´ema d’´etude o`u toutes les charges sont de mˆeme nature, triangle ou ´etoile, du moins en r´egime sinuso¨ıdal. C’est ´egalement le cas pour les sources comme vous propose de le d´ecouvrir l’exercice suivent.