Exercice 50 (D´echarge d’un circuit RLC)
Un circuit RLC s´erie de r´esistance R, l’inductance L et de capacit´eC est initialement ouvert ; la capacit´e ´etant charg´ee `a la tensionE. A l’intant t= 0, on court-circuite ce dipˆole.
(1) D´eterminez l’´equation diff´erentielle du second ordre liant le courant et ses d´eriv´ees.
(2) Donnez les conditions initiales sur i(t) et di(t)dt .
(3) Donnez l’expression du courant et tracez sa forme d’onde.
Exercice 51 (Mise sous tension d’un circuit RLC)
Un circuit RLC s´erie de r´esistance R, l’inductance L et de capacit´e C est initialement ouvert et d´echarg´e. A l’intant t = 0, on connecte ce dipˆole avec un g´en´erateur de tension constante d’amplitude E. On donne R= 1 Ω, L= 1 mH,C = 1 mF et E= 50 V.
(1) D´eterminez l’´equation diff´erentielle du second ordre liant le courant et ses d´eriv´ees.
(2) Donnez les conditions initiales sur i(t) et di(t)dt .
(3) Donnez l’expression du courant et tracez sa forme d’onde.
(4) Donnez l’allure des tensions aux bornes de la r´esistance, de l’inductance et de la capacit´e.
6.2.2 Equation diff´´ erentielle avec second membre Soit l’´equation diff´erentielle :
¨
y(t) +ay(t) +˙ by(t) =u(t). (6.27) Comme pour les ´equations diff´erentielles du premier ordre avec second membre, on peut se ramener `a l’´equation sans second membre d`es lors qu’une solution particuli`ere est trouv´ee.
Exercice 52 (Mise sous tension d’un circuit RLC - 2)
Un circuit RLC compos´e d’une r´esistance R, l’inductance L et de capacit´eC est cˆabl´e comme suit : la capacit´e est connect´ee en parall`ele sur la r´esistance, l’ensemble ´etant connect´e en s´erie avec l’inductance. Le circuit ´etant initialement ouvert et d´echarg´e, on le connecte `a t= 0 `a un g´en´erateur de tension constante d’amplitude E. On donne R = 1 Ω, L= 1 mH, C = 1 mF et E = 50V.
(1) D´eterminez l’´equation diff´erentielle du second ordre liant la tensionv(t) du condensateur et ses d´eriv´ees.
(2) Donnez les conditions initiales sur v(t) et dv(t)dt .
(3) Donnez l’expression de la tension et tracez sa forme d’onde.
(4) Donnez l’expression et l’allure des tensions et courants relatifs `a chacun des ´el´ements du dipˆole.
6.3 D´ etermination par la transform´ ee de Laplace
La transform´ee de Laplace est un outil puissant permettant de r´esoudre simplement les
´equations diff´erentielles lin´eaires. A ce titre, il permet de d´eterminer les r´egimes transitoires de syst`emes dynamiques lin´eaires complexes. On retrouvera son utilisation dans le chapitre consacr´e aux asservissements.
6.3.1 Transform´ee de Laplace D´efinition
Pour un signal `a temps continux(t), on d´efinit sa transform´ee de Laplace par le signalX(s) o`u sest appel´ee variable de Laplace7, avec :
X(s) = Z ∞
0
x(t) exp(−st)dt (6.28)
7. La variable de Laplace est not´essoupsuivant les conventions.
54 CHAPITRE 6. R ´EGIMES TRANSITOIRES
h(t) H(s)
δ(t) 1
u(t) 1s
u(t−T) exp(s−T s)
tu(t) s12
tn
n!u(t) sn+11
exp(−at)u(t) s+a1 (1−exp(−at))u(t) s(s+a)a
sin(ωt)u(t) s2+ωω 2 cos(ωt)u(t) s2+ωs 2 sinh(at)u(t) s2−aa 2
cosh(at)u(t) s2−sa2
exp(−at) sin(ωt)u(t) (s+a)ω2+ω2
exp(−at) cos(ωt)u(t) (s+a)s+a2+ω2
Table 6.1 – Exemples de transform´ees de Laplace ´el´ementaires (u(t) est l’´echelon unitaire et δ(t) l’impulsion de Dirac)
A partir deX(s), on revient au signal de d´epart par une transform´ee de Laplace inverse : x(t) = 1
2jπ Z j∞
s=−j∞
X(s) exp(st)ds (6.29)
En consid´erant ques=jωo`uωest la pulsation, on peut consid´erer que la transform´ee de Laplace est une g´en´eralisation de la transform´ee de Fourier. Il s’agit en tous cas d’une transform´ee temps/fr´equence qui `a un signal temporel fait correspondre une repr´esentation fr´equentielle.
Nous verrons par la suite la puissance de cet outil qui permet de simplifier grandement les cal-culs.
On peut facilement trouver des abaques des transform´ees de Laplace usuelles. Contentons nous pour l’instant de mentionner l’´echelon unitaireu(t) qui a comme transform´ee 1s et le dirac δ(t) qui a comme transform´ee 1.
Propri´et´es
Propri´et´e 14 (Lin´earit´e)
La transform´ee de Laplace est une transformation lin´eaire. Ainsi, la transform´ee de la somme de deux fonctions est la somme des transform´ees. Lorsqu’un signal est multipli´e par un r´eel constant, sa TL est ´egalement multipli´ee par la mˆeme valeur.
Propri´et´e 15 (Transform´ee de Laplace d’un signal d´eriv´e)
Soit y(t) = ˙x(t) = dx(t)dt . La transform´ee de Laplace de y(t) estY(s) =sX(s)−x(0) Propri´et´e 16 (Transform´ee de Laplace d’un signal retard´e)
La transform´ee de Laplace de y(t−T) estexp(−T s)Y(s)
6.3. D ´ETERMINATION PAR LA TRANSFORM ´EE DE LAPLACE 55
6.3.2 Application `a la d´etermination du r´egime transitoire M´ethode
La m´ethode de r´esolution des ´equations diff´erentielles s’appuyant sur la transform´ee de Laplace est la suivante :
1. ´Ecrire l’´equation diff´erentielle liant les grandeursu(t) et y(t) en jeux
2. Appliquer la transform´ee de Laplace en tenant compte des conditions initiales le cas ´ech´eant afin d’obtenir l’´equation liant les sigaux U(s) et Y(s) dans le domaine fr´equentiel
3. Ecrire l’expression du signal dans le domaine fr´equentiel connaissant l’expression du signal d’entr´ee
4. D´ecomposer en ´el´ements simples
5. Appliquer la transform´ee inverse de Laplace `a chacun des ´el´ements simples 6. Simplifier l’expression ainsi obtenue afin d’obteniry(t).
Exemple 1 (Transitoire d’un syst`eme du premier ordre)
Soit un dipˆome inductif mod´elis´e par la mise en s´erie d’une r´esistance R et d’une inductance L. Ce dipˆole est travers´e par le courant i(t). Il a `a ses bornes une tension v(t). On utilise les conventions de r´ecepteur. A partir de l’instant initial t= 0avec un couranti(0) = 0, on applique une tension constante v(t) =V. Le r´egime transitoire est obtenu avec la m´ethode ci-dessus :
1. L’´equation diff´erentielle s’´ecrit v(t) =Ri(t) +Ldi(t)/dt.
2. En passant dans le domaine fr´equentiel, on obtientV(s) =RI(s)+L(sI(s)−i(0)). Compte-tenu d’une CI nulle, cela se simplifie en V(s) = (R+Ls)I(s).
3. Le signal v(t) est un ´echelon d’amplitude V. Sa TL est V(s) = V /s. On obtient donc I(s) =V /(s(R+Ls)) = (V /L)/(s(s+a)) avec a=R/L.
4. Le signal s’´ecrit sous la forme de deux ´el´ements simples, soitI(s) =A/s+B/(s+a). Il y a diff´erentes techniques permettant de d´eterminer A=V /R et B =−V /R.
5. En appliquant la TL inverse `a chacun des ´el´ements simples, on obtient i(t) = Au(t) + Bexp(−at)u(t) o`u u(t) est l’´echelon unitaire.
6. En simplifiant, on obtient i(t) =V /R(1−exp(at))u(t).
Sur cet exemple tr`es simple, la puissance de cette m´ethode n’est pas ´evident car les m´ethodes de r´esolution dans le domaine temporel sont facilement applicables. Par contre, pour des syst`emes d’ordre sup´erieurs, la r´esolution temporelle est tr`es difficile `a mettre en œuvre et ce type de m´ethode s’´ev`ere tr`es pr´ecieuse. Dans les calculs, il est n´ecessaire de savoir d´eterminer une d´ecomposition en ´el´ements simples. Des techniques sont d´etaill´ees dans le paragraphe suivant.
D´ecomposition en ´el´ements simples
La d´ecomposition en ´el´ements simples est un outil permettant de transformer un fraction rationnelle en une somme d’´el´ements su premier ou de second ordre dont on pourra ensuite d´eterminer ais´ement la transform´ee de Laplace inverse.
Toute fraction rationnelle en s peut s’´ecrire comme une somme d’´el´ements simples de la forme λksk, s+pµk
Pour obtenir la d´ecomposition en ´el´ements simples, il faut :
56 CHAPITRE 6. R ´EGIMES TRANSITOIRES
1. D´eterminer la structure de la d´ecomposition ; 2. D´eterminez les coefficients de la d´ecomposition.
Pour d´eterminer les coefficients de cette d´ecomposition, on peut chercher `a identifier directement les deux expressions, ce qui aboutit `a la r´esolution d’un syst`emes d’´equations comportant autant d’´equations que de param`etres inconnus. Une autre approche, plus simple, consiste `a d´eterminer
`
a d´eterminer un par un chacun des coefficients en utilisant des valeurs particuli`eres. Par exemple, pour d´eterminer le coefficient λ1 de l’´equation 6.30, on peut multiplier les deux termes de l’´equation par s+a puis prendre comme valeur particuli`ere s = −a, de mani`ere `a annuler une partie des termes. On obtient alorsλ1= b−1a. De la mˆeme mani`ere, on obtient λ2 = a−1b. Exercice 53
D´ecomposez en ´el´ements simples les fractions rationnelles suivantes :
1. 1
(s+a)(s+b) (6.33)
2. s+a
s+b (6.34)
3. s+a
(s+b)2 (6.35)
4. 1
(s+a)2(s+b) (6.36)
5. s+a
(s+b)(s+c) (6.37)
6. s+a
(s+b)2(s+c) (6.38)
Exercice 54 (D´etermination du transitoire par la transf. de Laplace)
Reprenez les exercices de ce chapitre et faites la r´esolution en vous appuyant sur la transform´ee de Laplace.
Chapitre 7
Mesure
7.1 Mesures de tension et de courant
7.1.1 Les diff´erentes technologies de mesure
On distingue de mani`ere g´en´erale les appareils num´eriques des appareils analogiques. Parmi ces derniers, on distingue deux technologies :
Les appareils magn´eto-statiques dits aussi `a cadre mobiles. Ils mesurent la valeur moyenne du signal et sont rep´erables au dessin repr´esentant un U retourn´e.
Les appareils ferro-magn´etiques. Ils donnent la valeur efficace du signal et sont rep´erables au symbole repr´esentant un circuit ´electrique entourant un circuit magn´etique.
Valeur efficace vraie et approch´ee
Diff´erentes approches existent pour calculer la valeur efficace. Certains appareils d´elivrent une mesure exacte ; on parle alors de valeur efficace vraie (en anglais : true RMS). D’autres se contentent d’une mesure approch´ee selon l’une des m´ethodes suivantes. Les mesures sont exactes pour les signaux sinuso¨ıdaux ; pour les signaux de forme diff´erente, des ´ecarts apparaissent.
– On peut se baser sur la mesure de la valeur moyenne h|x(t)|i du signal redress´e |x(t)|. Les appareils bas´es sur cette technique sont rep´erables par le symbole de la diode. Pour un signal sinuso¨ıdal de valeur efficace Xeff, la valeur moyenne du signal redress´e est de h|x(t)|i = λXeff avec λ = 2√π2 ≃ 0,90. On obtient alors la valeur efficace avec Xeff = h|x(t)|i/λ
– On peut se baser sur la valeur crˆete du signal. Pour un signal sinuso¨ıdal, on a√ Xmax = 2Xeff. On d´etermine alors Xeff =Xmax/√
2.
Exercice 55 (Mesure approch´ee de la valeur efficace) On consid`ere deux formes d’onde de courant :
a. le courant absorb´e par un redresseur monophas´e d´ebitant un courant constant Ic
b. le courant absorb´e par une phase d’un redresseur triphas´e d´ebitant un courant constant Ic.
On s’int´eresse aux mesures de valeur efficace approch´ees d´ecrites ci-dessus.
1. D´eterminez l’expression des valeurs efficaces des courants en fonction de Ic.
2. D´eterminez la mesure obtenue par la m´ethode no 1. Donnez le pourcentage d’erreur.
3. D´eterminez la mesure obtenue par la m´ethode no 2. Donnez le pourcentage d’erreur.
7.1.2 Lecture sur un appareil analogique
Pour lire une grandeur sur un appareil de mesure `a aiguille, il faut tenir compte du calibre utilis´e. Il suffit de consid´erer que lorsque l’aiguille est `a sa d´eviation maximale, la mesure est
´egale au calibre. Par une r`egle de 3, on en d´eduit que, pour une d´eviation de ggraduations sur une ´echelle deg∗ graduations et pour un calibre C, la mesure est gg∗C.
57
58 CHAPITRE 7. MESURE
7.1.3 R´eduction du courant
Lorque le courant `a mesurer est trop important pour les appareils de mesure disponibles, on peut avoir recours `a deux types d’appareils :
Le transformateur d’intensit´e (TI) ou transformateur de courant est utilis´e comme suit : le circuit secondaire est court-circuit´e et le circuit primaire est plac´e en s´erie avec le courant `a mesurer. On place un amp`erem`etre dans le circuit secondaire dont le courant est une fraction du courant primaire. Comme tout transformateur, il ne laisse pas passer les composantes continues. Ainsi, son usage est r´eserv´e au r´egime alternatif. En plus d’une att´enuation du courant, le TI permet uneisolation galvanique.
Le shunt est une r´esistance de tr`es faible valeur. Plac´ee en s´erie dans le circuit dont il faut mesurer le courant, elle d´elivre `a ses bornes une tension proportionnelle au courant. La mesure du courant se fait alors avec un voltm`etre. Le shunt ne permet pas d’isolation galvanique.
7.1.4 Sondes pour la visualisation
Afin de visualiser un signal de tension (respectivement de courant), on utilise une sonde de tension (ou de courant) qui transforme le signal de d´epart en une tension d’amplitude compatible avec la gamme d’entr´ee de l’oscilloscope et qui r´ealise l’isolation galvanique entre le circuit et l’oscilloscope. Il est n´ecessaire de bien tenir compte du gain de la sonde et de v´erifier qu’elle ne sature pas (que le signal mesur´e ne d´epasse pas la gamme d’entr´ee de la sonde).